2023年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019七上·沛县期末）在下列生活实例中，数学依据不正确的是（ ）
A．在植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，依据的是两点确定一条直线；
B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼和两个准星在一条直线上，才能射中目标，依据的是两点之间线段最短；
C．从甲地到乙地，原来是绕山而过，如今穿山修了一条笔直的隧道，大大节约了路程，依据的是两点之间线段最短；
D．体育课上，体育老师测量跳远距离的时候，测的是落脚脚跟到起跳线的距离，依据的是垂线段最短.
2．（2023七下·金华期末）如图，用剪刀沿图中虚线将一个正方形图片减掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方片的周长要小，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
3．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022七下·奉化期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
5．（2022七下·杭州期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
6．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
7．（2022七下·义乌开学考）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
8．（2022七下·宁波开学考）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P、Q两点分别从AB两点同时出发分别以2单位/秒和l单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022七下·杭州期末）若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
10．（2020八上·柯桥期中）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2022七上·杭州月考）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：
①，②，③，④，⑤其中，正确的结论有 （填序号）.
12．（2020七上·武汉月考）若 ，且 ，以下结论：
① ， ；
②关于x的方程 的解为 ；
③
④ 的值为0或2；
⑤在数轴上点A.B.C表示数a、b、c，若 ，则线段AB与线段BC的大小关系是 .
其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）.
13．如图，张萌的手中有一张正方形纸片ABCD（AD∥BC），点E，F分别在AB个CD上，且EF∥AD，此时张萌判断出EF∥BC，则张萌判断出该结论的理由是 ．
14．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
15．（2022七下·拱墅期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1.能判断直线mn的有 .（填序号）
三、解答题（共9题，共70分）
16．（2020七上·朝阳期末）判断一个正整数能被3整除的方法是：把这个正整数各个数位上的数字相加，如果所得的和能够被3整除，则这个正整数就能被3整除.请证明对于任意两位正整数，这个判断方法都是正确的.
17．如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．
18．（2022七下·萝北期末）如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．
（1）如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．
（2）在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．
19．（2022七下·丰台期末）阅读下列材料：
如图1，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．用等式表示，与的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想：．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
过点作，由，可得，根据平行线的性质，可得，，从而证得．
请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
（1）如图2，若，，则的度数为 ；
（2）如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
（3）如图4，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
20．（2017八上·乌审旗期中）将下列推证过程补充完整．
（1）如图1，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．
①BE= = ；
②∠BAD= = ；
③∠AFB= =90°；
④S△ABC= ．
（2）如图2，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，
∵AB∥CD
∴∠1+45°+∠2+45°= ．
∴∠1+∠2= ．
∴∠E= ．
21．（2021七上·瑶海期中）我们常用以下的方法判断一个数字能否被三整除：例如一个三位数M，百位数字、十位数字、个位数字依次是a、b、c，如果a、b、c的和可以被三整除，那么就可以判断M可以被三整除．小明同学在学习过代数式的相关知识后，解释了这样判断的依据，请完成下面的说理过程：
（1）这个三位数M可以表示为 ；
（2）设k表示任意一个整数， 则a＋b＋c＝ （用含k的代数式表示）；
（3）完成说理过程：
因为M＝a＋b＋c＋（ ） ＝ （ ） ＋3（ ）＝ 3（ ），而a、b、k都是整数，所以M可以被三整除．
22．（2021七上·西城期末）（阅读与理解）小天同学看到如下的阅读材料：
对于一个数A，以下给出了判断数A是否为19的倍数的一种方法：
每次划掉该数的最后一位数字，将划掉这个数字的两倍与剩下的数相加得到一个和，称为一次操作，依此类推，直到数变为20以内的数为止．若最后得到的数为19.则最初的数A就是19的倍数，否则，数A就不是19的倍数．
以为例，经过第一次操作得到55，经过第二次操作得到15，，．所以436不是19的倍数．
当数A的位数更多时，这种方法依然适用．
（1）（操作与说理）
当时，请你帮小天写出判断过程；
（2）小天尝试说明方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析．请你补全小天列出的表格：
说明：表示，其中，a，b，c均为整数．
A A的表达式 第一次操作得到的和，记为M（A）
436 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6
532 532＝ M（532）＝
863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3
…… …… ……
＝ M（）＝
（3）利用以上信息说明：当M（）是19的倍数时，也是19的倍数．
23．（2020七下·西华期末）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系.
（1）如图1，∠A与∠B的关系是 ；如图2，∠A与∠B的关系是 ；
（2）若∠A与∠B的两边分别平行，试探索这两个角的等量关系，画图并证明你的结论.
24．（2020七上·汽开区期末）探究：如图①， ，试说明 ．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．
解： ∵ ．(已知)
∴ ．（ ）
同理可证， ．
∵ ，
∴ ．（ ）
应用：如图②， ，点F在 之间， 与 交于点M， 与 交于点N．若 ， ，则 的大小为 度．
拓展：如图③，直线 在直线 之间，且 ，点 分别在直线 上，点Q是直线 上的一个动点，且不在直线 上，连结 ．若 ，则 = 度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、在植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，依据的是两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
B、在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼和两个准星在一条直线上，才能射中目标，依据的是两点确定一条直线，故本选项符合题意；
C、从甲地到乙地，原来是绕山而过，如今穿山修了一条笔直的隧道，大大节约了路程，依据的是两点之间线段最短，故本选项不符合题意；
D、体育课上，体育老师测量跳远距离的时候，测的是落脚脚跟到起跳线的距离，依据的是垂线段最短，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论.
2．【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】观察图形可得，剪裁前后的周长之差在于点E到点F的距离，剪裁之前的路径是E-C-F，剪裁之后的路径是E-F，故根据两点之间，线段最短可判定剩下部分的周长比原正方片的周长要小.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
4．【答案】D
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图，
设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、；
则，即：，
，；
；
矩形的面积是，矩形的周长是；
故A、是正确的；
又因为的面积是的面积是；
；
故正确
故答案为：D.
【分析】设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、，根据长方形面积公式和正方形的面积公式，利用面积和差表示出S1和S2，则可表示出S1-S2，然后整理化简得出S1-S2=，再表示出 ①和②的面积差，然后逐项判断，即可解答.
5．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PHAB，
∵ABCD，
∴CDPH，
故①正确；
∴ABCDPH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP-∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°.
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：B.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行，得HP∥AB，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥HP，据此判断①；由二直线平行，内错角相等，得∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，进而根据角的和差及及角平分线的定义可得∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，据此可判断②；∠GPH与∠FPH不一定相等，所以∠FPH＝∠GPH不一定成立，据此判断③；根据角的和差、平行线的性质及三角形外角系数可得∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠PHG，由平行线的性质得∠A+∠PHG＝180°，从而推出∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°，据此可判断④.
6．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
7．【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解： ∵M、N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，BN=CN，
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∵AM=MD，
∴AM=MD=BD，
∴AB=AM+MD+BD=3BD，正确；
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN，
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN，正确；
③AC-BD=AM+MC- BN-DN
=(MC-DN)+(AM-BN)
=(MC-DN)+(MD-CN)
=(MC-DN)+(MC+CD-CD-DN)
=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD
=AM+MC+DN+NB
=MD+MC+DN+CN
=MD+DN+MC+CN
=MN+MN
= 2MN.
综上，正确的是 ①②③④ .
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义得到AM=MD，BN=CN，再结合每项的条件，利用线段间的和差关系分别求解，即可判断.
8．【答案】C
【知识点】线段的中点；利用合并同类项、移项解一元一次方程；线段的计算
【解析】【解答】解：设AC=x，
∴BC=4x-20，
∵AC+BC=AB，
∴x+4x-20=30
解之：x=10，
∴BC=20，AC=10，
∴BC=2AC，故①正确；
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=15-t，
∵QM=BM+BQ
∴QM=15；
∵点N为QM的中点，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，点P在点Q的左侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=t-15，
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
当t＞30时，
此时点P在点Q的右侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=t-15，
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
综上所述AB=4NQ时，故②正确；运动过程中QM的长度保持不变，故③正确；
当0＜t≤15，PB=BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∴30-2t=t
解之：t=10，
当15＜t≤30，PB=BQ时，此时点P在线段AB外，点P与点Q重合，
∴t=30，
当t＞30时，此时点P在点Q的右侧，PB＞BQ，
∴当PB=BQ时，t=10或30，故④错误.
∴正确结论有①②③，一共3个.
故答案为：C.
【分析】设AC=x，利用 BC比AC的4倍少20，可表示出BC，再根据AC+BC=30，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出BC，AC的长，可对①作出判断；分情况讨论：当0≤t≤15时，此时点P在线段AB上，可表示出BP的长，利用线段中点的定义可表示出BM的长，由此可求出QM的长，利用线段中点的定义求出NQ的长，可得到AB与NQ之间的数量关系；当15＜t≤30时，此时点P在线段AB外，点P在点Q的左侧，同理可得到AB与NQ之间的数量关系；当t＞30时，此时点P在点Q的右侧，分别表示出AP，BQ，BP的长，利用线段中点的定义可表示出MB的长，即可求出NQ的长，可得到AB与NQ之间的数量关系，可对②和③作出判断；当0＜t≤15，PB=BQ时，此时点P在线段AB上，利用BP=AB-AP，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当15＜t≤30，PB=BQ时，此时点P在线段AB外，点P与点Q重合，可得到t的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】D
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
当时，，即，
故①正确；
，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
故②正确.
综上所述，结论①②都正确.
故答案为：D.
【分析】根据异分母分式减法法则可得M-N=，当ab=1时，M-N=0，据此判断①；根据分式的混合运算法则可得MN=，当a+b=0时，a=-b，MN=<0，据此判断②.
10．【答案】A
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：图1作的是∠BAC的角平分线，图2作的是BC边的垂直平分线，图3作的是∠BAC的角平分线，
∴不能判断射线AD平分∠BAC的是图2.
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的作法可对图1和图3作出判断；利用线段垂直平分线的作法，可对图2作出判断。
11．【答案】①②③
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较
【解析】【解答】解：根据题意得：，
则：①，故①原结论正确；
②，
，
，故②原结论正确；
③，，，
，故③原结论正确；
④，，
，故④原结论错误；
⑤，，
当时，，
故⑤原结论错误；
故正确的结论有①②③正确．
故答案为：①②③．
【分析】根据各数在数轴上的位置可得，可得a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，然后根据有理数的乘法、绝对值的性质、有理数的加法分别计算，再判断即可.
12．【答案】②③⑤
【知识点】无理数在数轴上表示；一元一次方程的解；无理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）∵a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴①错误；
∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，a=-（b+c），
∵ax+b+c=0，
∴ax=-（b+c），
∴x=1，
∴②正确；
∵a=-（b+c），
∴两边平方得：a2=(b+c)2，
∴③正确；
∵a＞0，c＜0，
∴分为两种情况：
当b＞0时， + + + = + + + =1+1+（-1）+（-1）=0；
当b＜0时， + + + = + + + =1+（-1）+（-1）+1=0；
∴④错误；
∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，
∴a＞0，c＜0，a=-b-c，
∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，
∵b＜0，
∴-3b＞0，
∴-3b+b-c＞b-c，
∴AB＞BC，
∴⑤正确； 即正确的结论有②③⑤.
故答案为：②③⑤.
【分析】①根据a＋b＋c＝0，且a＞b＞c推出a＞0，c＜0；
②由a＋b＋c＝0变形得a＝ （b＋c），再把关于x的方程变形得ax＝ （b＋c），于是可得关于x的方程ax=a，方程的两边都除以a即可求解；
③由a＋b＋c＝0变形得a＝ （b＋c），将等式两边平方即可求解；
④由题意分为两种情况：当b＞0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号可求解；当b＜0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号可求解；
⑤求出|a b|＞|c b|，根据AB＝|a b|，BC＝|b c|即可判断求解．
13．【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行．
故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行．
【分析】根据平行公理的推论即可得到结论．
14．【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
15．【答案】①④⑤
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤.
【分析】由已知条件可得∠ABC+∠1=55.5°=55°30′=∠2，然后根据平行线的判定定理可判断①；∠1+∠ABC不一定等于∠2，结合平行线的判定定理可判断②③；过点C作CE∥m，由平行线的性质可得∠3=∠4，进而推出∠1=∠5，得到EC∥n，据此判断④；易得∠2=∠ABC+∠1，然后根据平行线的判定定理可判断⑤.
16．【答案】解：设一个两位正整数十位上的数字为 ，个位上的数字为 （ ， 为整数，且 ， ），
则这个两位正整数为 .
由题意可知 与 的和能被3整除，
所以可设 ，其中 为正整数.
所以 .
因为 ， 均为整数，
所以 能够被3整除.
即对于任意两位正整数，这个判断方法都是正确的.
【知识点】用字母表示数
【解析】【分析】设一个两位正整数十位上的数字为 ，个位上的数字为 （ ， 为整数，且 ， ），则这个两位正整数为 ,由题意可知 与 的和能被3整除，可设 ，即可得到 ，故可求解.
17．【答案】解：作QR∥AB，PL∥AB，∴RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD
∴∠RQM=∠BMQ，∠RQN=∠QND，∠MPL=∠BMP，∠NPL=∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND ，
∴∠PMB=3∠QMB ，∠PND=3∠QND ，
∵∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，
∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】作QR∥AB，PL∥AB，可得RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠RQM=∠BMQ，从而可得∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，同理可得∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，结合已知即可求出结论.
18．【答案】（1）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下：
如图，过M作MFAB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF，
又∵ABCD，
∴MFCD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；
（2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；
过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，
又∵ABCD，
∴MFCD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；
当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．
过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，
又∵ABCD，
∴MFCD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用平行线的判定与性质计算求解即可。
19．【答案】（1）解145°
（2）解：由（1）同理可得：
与的平分线交于点，
（3）解：由（1）同理可得：
与的平分线交于点，
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，
，，
，
，
．
，，
【分析】（1）由已知结论∠EPF=∠AEP+∠CFP，可求出答案；
（2）由已知结论得到∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，又因为EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，可得∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，所以∠EPF=2∠EQF；
（3）由已知结论和四边形内角和得到∠EPF与∠EQF的数量关系。
20．【答案】（1）CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC； BC AF
（2）180°；90°；90°
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）①BE=CE= BC；
②∠BAD=∠CAD= ∠BAC；
③∠AFB=∠AFC=90°；
④S△ABC= BC AF；（2）∵AB∥CD，
∴∠1+45°+∠2+45°=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠E=90°．
故答案为：（1）CE，BC；∠CAD，∠BAC；∠AFC； BC AF；（2）180°，90°，90°．
【分析】（1）根据三角形的中线的定义，角平分线的定义，高线的定义以及三角形的面积公式分别求解即可；（2）根据两直线平行，同旁内角互补以及三角形的内角和等于180°分别填空即可．
21．【答案】（1）100a+10b+c
（2）3k
（3）99a+9b；3k；33a+3b；k+33a+3b
【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）M=100a+10b+c，
故答案为：100a+10b+c；
（2）设k表示任意一个整数，a、b、c的和可以被三整除，
∴a＋b＋c＝3k，
故答案为：3k；
（3）M=100a+10b+c，
= a＋b＋c＋(99a＋9b)，
=3k+3(33a＋3b)，
=3(k+33a+3b)，
∵而a、b、k都是整数，
∴M可以被三整除，
故答案为99a＋9b；3k，33a＋3b；k+33a+3b．
【分析】（1）根据三位数的表示方法进行求解即可求出结果；
（2）由a、b、c的和可以被三整除，可知a＋b＋c＝3k；
（3）将M变成为3(k+33a+3b)，而a、b、k都是整数，即可得出M可以被三整除。
22．【答案】（1）解：，经过第一次操作得到57，经过第二次操作得到19，，所以532是19的倍数；
（2）解：补表如下：
说明：表示，其中，a，b，c均为整数．
A A的表达式 第一次操作得到的和，记为M（A）
436 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6
532 532＝ M（532）＝
863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3
…… …… ……
＝ M（）＝
（3）解： ，，
，
当M（）是19的倍数时，也是19的倍数，即是19的倍数，此时也是19的倍数．
【知识点】用字母表示数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据 ， 计算求解即可；
（2）根据 表示， 计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求解即可。
23．【答案】（1）∠A=∠B；∠A+∠B=180°
（2）解：如图3，∠A=∠B，
∵AD∥BF，∴∠A=∠1，
∵AE∥BG，∴∠1=∠B，
∴∠A=∠B；
如图4，∠A+∠B=180°，
∵AD∥BG，
∴∠A=∠2，
∵AE∥BF，
∴∠2+∠B=180°，
∴∠A+∠B=180°.
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，∠A=∠B，
∵∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC，
∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED，
∠B=180°﹣∠BCE﹣∠BEC，
∴∠A=∠B，
如图2，∠A+∠B=180°；
∴∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°.
∴∠A与∠B的等量关系是互补；
故答案为：∠A=∠B，∠A+∠B=180°；
【分析】（1）根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠A=∠B，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°.所以如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补；
（2）分图3与图4两种情况，根据平行线的性质得到同位角相等，同旁内角互补即可得到结论.
24．【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；60；70或290
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：探究：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），
同理可证，∠F＝∠2，
∵∠BCF＝∠1＋∠2，
∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换．
应用：由探究可知：∠EFG＝∠AMF＋∠CNF，
∵∠EFG＝115°，∠AMF＝∠EMB＝55°，
∴∠DNG＝∠CNF＝∠EFG－∠AMF＝115° 55°＝60°，
故答案为：60；
拓展：如图，
当点Q在直线GH的右侧时，
∠AGQ＋∠EHQ，
＝180°－∠BGQ＋180°－∠FHQ，
＝360°－（∠BGQ+∠FHQ），
＝360°－∠GQH，
＝360° 70°，
＝290°，
当点Q′在直线GH的左侧时，∠AGQ′＋∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°，
故答案为：70或290．
【分析】探究：利用平行线的性质解决问题即可；应用：利用探究中的结论解决问题即可；拓展：分两种情形，画出图形分别求解即可．
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.3 证明 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2019七上·沛县期末）在下列生活实例中，数学依据不正确的是（ ）
A．在植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，依据的是两点确定一条直线；
B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼和两个准星在一条直线上，才能射中目标，依据的是两点之间线段最短；
C．从甲地到乙地，原来是绕山而过，如今穿山修了一条笔直的隧道，大大节约了路程，依据的是两点之间线段最短；
D．体育课上，体育老师测量跳远距离的时候，测的是落脚脚跟到起跳线的距离，依据的是垂线段最短.
【答案】B
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【解答】解：A、在植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，依据的是两点确定一条直线，故本选项不符合题意；
B、在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼和两个准星在一条直线上，才能射中目标，依据的是两点确定一条直线，故本选项符合题意；
C、从甲地到乙地，原来是绕山而过，如今穿山修了一条笔直的隧道，大大节约了路程，依据的是两点之间线段最短，故本选项不符合题意；
D、体育课上，体育老师测量跳远距离的时候，测的是落脚脚跟到起跳线的距离，依据的是垂线段最短，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论.
2．（2023七下·金华期末）如图，用剪刀沿图中虚线将一个正方形图片减掉一部分，发现剩下部分的周长比原正方片的周长要小，能解释这一现象的数学知识是（ ）
A．垂线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短
【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短
【解析】【解答】解：如图，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】观察图形可得，剪裁前后的周长之差在于点E到点F的距离，剪裁之前的路径是E-C-F，剪裁之后的路径是E-F，故根据两点之间，线段最短可判定剩下部分的周长比原正方片的周长要小.
3．（2022八上·台州月考）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EFBC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，
∵2∠OBC+2∠OCB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A；
∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°+∠A=90°+∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，
∵∠AEF=∠EOB+∠EBO=2∠EBO
∴∠EBO=∠AEF，故②正确；
∵OD⊥AC，
∴∠ODC=90°，
∴∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DOC+∠OCB=90°，故③正确；
连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，
∵OB，OC是△ABC的角平分线，
∴OA平分∠BAC，
∴OG=OD=m
∴S，故④正确；
∴正确结论有4个.
故答案为：D.
【分析】利用角平分线的定义可证得∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，∠OBC=∠EBO，∠DCO=∠OCB，利用三角形的内角和定理可推出∠OBC+∠OCB=90°-∠A；再利用三角形的内角和定理可得到∠BOC和∠A的数量关系，可对①作出判断；利用平行线的性质去证明∠EOB=∠OBC=∠EBO，利用三角形的外角的性质可证得∠EBO和∠AEF的数量关系，可对②作出判断；利用垂直的定义可证得∠ODC=90°，利用直角三角形的两锐角互余，可证得∠DOC+∠OCB=90°，可对③作出判断；易证OA平分∠BAC，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可证得OG=OD=m，然后三角形的面积公式表示出△AEF的面积，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
4．（2022七下·奉化期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【知识点】列式表示数量关系；整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】如图，
设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、；
则，即：，
，；
；
矩形的面积是，矩形的周长是；
故A、是正确的；
又因为的面积是的面积是；
；
故正确
故答案为：D.
【分析】设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、，根据长方形面积公式和正方形的面积公式，利用面积和差表示出S1和S2，则可表示出S1-S2，然后整理化简得出S1-S2=，再表示出 ①和②的面积差，然后逐项判断，即可解答.
5．（2022七下·杭州期中）如图，ABCD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：①CDPH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°；其中正确结论是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PHAB，
∵ABCD，
∴CDPH，
故①正确；
∴ABCDPH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，
∴∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，
故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠FPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP-∠EPG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH-（∠FPH+∠GPH）
＝∠A+∠PHG，
∵ABPH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°.
故④正确；
综上所述，正确的选项①②④，
故答案为：B.
【分析】由同旁内角互补，两直线平行，得HP∥AB，进而根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥HP，据此判断①；由二直线平行，内错角相等，得∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，进而根据角的和差及及角平分线的定义可得∠BEP+∠DFP＝2∠EPG，据此可判断②；∠GPH与∠FPH不一定相等，所以∠FPH＝∠GPH不一定成立，据此判断③；根据角的和差、平行线的性质及三角形外角系数可得∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝∠A+∠PHG，由平行线的性质得∠A+∠PHG＝180°，从而推出∠A+∠AGP+∠DFP-∠FPG＝180°，据此可判断④.
6．（2022七下·仙居期中）如图a∥b，与相交，与相交，下列说法：
①若，则；
②若，则c∥d；
③；
④，
正确的有（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图：
①若∠1=∠2，则a//e//b，则∠3=∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4=180°，由a//b得到，∠5+∠4=180°，则∠1=∠5，则c//d；故此说法正确；
③由a//b得到，∠5+∠4=180°，由∠2+∠3+∠5+180° ∠1=360°得，∠2+∠3+180° ∠4+180° ∠1=360°，则∠4 ∠2=∠3 ∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4=∠2+∠3=180°时，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故此说法错误.
综上，正确的有①②③.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定及平行线公理的推论，可证得a//e//b，再利用平行线的性质可推出∠3=∠4，可对①作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用补角的性质可证得∠1=∠5，由此可推出c∥d，可对②作出判断；利用平行线的性质可证得∠5+∠4=180°，利用四边形的内角和等于360°，可推出∠4 ∠2=∠3 ∠1，可对③作出判断；由题意可知，∠1+∠4=∠2+∠3=180°，才能得到∠1+∠2+∠3+∠4=360°，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
7．（2022七下·义乌开学考）如图，C、D是线段AB上两点，M、N分别是线段AD，BC的中点，下列结论：
①若AD＝BM，则AB＝3BD；②AC＝BD，则AM＝BN；③AC﹣BD＝2（MC﹣DN）；④2MN＝AB﹣CD．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】线段的中点；线段的计算
【解析】【解答】解： ∵M、N分别是线段AD，BC的中点，∴AM=MD，BN=CN，
①∵AD=BM，
∴AM+MD=MD+BD，
∴AM=BD，
∵AM=MD，
∴AM=MD=BD，
∴AB=AM+MD+BD=3BD，正确；
②∵AC=BD，
∴AM+MC=BN+DN，
∵AM=MD，CN=NB，
∴MD+MC=CN+DN，
∴MC+CD+MC=CD+DN+DN，
∴MC=DN，
∴AM=BN，正确；
③AC-BD=AM+MC- BN-DN
=(MC-DN)+(AM-BN)
=(MC-DN)+(MD-CN)
=(MC-DN)+(MC+CD-CD-DN)
=2(MC-DN)；
④AB-CD=AC+BD
=AM+MC+DN+NB
=MD+MC+DN+CN
=MD+DN+MC+CN
=MN+MN
= 2MN.
综上，正确的是 ①②③④ .
故答案为：D.
【分析】根据线段中点的定义得到AM=MD，BN=CN，再结合每项的条件，利用线段间的和差关系分别求解，即可判断.
8．（2022七下·宁波开学考）如图，AB=30，C为射线AB上一点，BC比AC的4倍少20，P、Q两点分别从AB两点同时出发分别以2单位/秒和l单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC=2AC；②运动过程中，QM的长度保持不变；③AB=4NQ；④当BQ=PB时，t=12.其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】线段的中点；利用合并同类项、移项解一元一次方程；线段的计算
【解析】【解答】解：设AC=x，
∴BC=4x-20，
∵AC+BC=AB，
∴x+4x-20=30
解之：x=10，
∴BC=20，AC=10，
∴BC=2AC，故①正确；
当0≤t≤15时，
此时点P在线段AB上，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=15-t，
∵QM=BM+BQ
∴QM=15；
∵点N为QM的中点，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
当15＜t≤30时，
此时点P在线段AB外，点P在点Q的左侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=t-15，
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
当t＞30时，
此时点P在点Q的右侧，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AP-AB=2t-30，
∵点M是BP的中点，
∴BM= BP=t-15，
∵QM=BQ-BM=15
∵点N为QM的中点，
∴NQ= QM= ，
∴AB=4NQ；
综上所述AB=4NQ时，故②正确；运动过程中QM的长度保持不变，故③正确；
当0＜t≤15，PB=BQ时，此时点P在线段AB上，
∴AP=2t，BQ=t，
∴BP=AB-AP=30-2t，
∴30-2t=t
解之：t=10，
当15＜t≤30，PB=BQ时，此时点P在线段AB外，点P与点Q重合，
∴t=30，
当t＞30时，此时点P在点Q的右侧，PB＞BQ，
∴当PB=BQ时，t=10或30，故④错误.
∴正确结论有①②③，一共3个.
故答案为：C.
【分析】设AC=x，利用 BC比AC的4倍少20，可表示出BC，再根据AC+BC=30，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可求出BC，AC的长，可对①作出判断；分情况讨论：当0≤t≤15时，此时点P在线段AB上，可表示出BP的长，利用线段中点的定义可表示出BM的长，由此可求出QM的长，利用线段中点的定义求出NQ的长，可得到AB与NQ之间的数量关系；当15＜t≤30时，此时点P在线段AB外，点P在点Q的左侧，同理可得到AB与NQ之间的数量关系；当t＞30时，此时点P在点Q的右侧，分别表示出AP，BQ，BP的长，利用线段中点的定义可表示出MB的长，即可求出NQ的长，可得到AB与NQ之间的数量关系，可对②和③作出判断；当0＜t≤15，PB=BQ时，此时点P在线段AB上，利用BP=AB-AP，建立关于t的方程，解方程求出t的值；当15＜t≤30，PB=BQ时，此时点P在线段AB外，点P与点Q重合，可得到t的值，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．（2022七下·杭州期末）若，为实数且满足，，设，，有以下2个结论：若，则；若，则下列判断正确的是（ ）
A．①对②错 B．①错②对 C．①②都错 D．①②都对
【答案】D
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【解答】解：，
当时，，即，
故①正确；
，
当时，，
，，
，
，
，
，
，
故②正确.
综上所述，结论①②都正确.
故答案为：D.
【分析】根据异分母分式减法法则可得M-N=，当ab=1时，M-N=0，据此判断①；根据分式的混合运算法则可得MN=，当a+b=0时，a=-b，MN=<0，据此判断②.
10．（2020八上·柯桥期中）在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，不能判断射线AD平分∠BAC的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【答案】A
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：图1作的是∠BAC的角平分线，图2作的是BC边的垂直平分线，图3作的是∠BAC的角平分线，
∴不能判断射线AD平分∠BAC的是图2.
故答案为：A.
【分析】利用角平分线的作法可对图1和图3作出判断；利用线段垂直平分线的作法，可对图2作出判断。
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2022七上·杭州月考）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：
①，②，③，④，⑤其中，正确的结论有 （填序号）.
【答案】①②③
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数大小比较
【解析】【解答】解：根据题意得：，
则：①，故①原结论正确；
②，
，
，故②原结论正确；
③，，，
，故③原结论正确；
④，，
，故④原结论错误；
⑤，，
当时，，
故⑤原结论错误；
故正确的结论有①②③正确．
故答案为：①②③．
【分析】根据各数在数轴上的位置可得，可得a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，然后根据有理数的乘法、绝对值的性质、有理数的加法分别计算，再判断即可.
12．（2020七上·武汉月考）若 ，且 ，以下结论：
① ， ；
②关于x的方程 的解为 ；
③
④ 的值为0或2；
⑤在数轴上点A.B.C表示数a、b、c，若 ，则线段AB与线段BC的大小关系是 .
其中正确的结论是 （填写正确结论的序号）.
【答案】②③⑤
【知识点】无理数在数轴上表示；一元一次方程的解；无理数的绝对值
【解析】【解答】解：（1）∵a+b+c=0，且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，
∴①错误；
∵a+b+c=0，a＞b＞c，
∴a＞0，a=-（b+c），
∵ax+b+c=0，
∴ax=-（b+c），
∴x=1，
∴②正确；
∵a=-（b+c），
∴两边平方得：a2=(b+c)2，
∴③正确；
∵a＞0，c＜0，
∴分为两种情况：
当b＞0时， + + + = + + + =1+1+（-1）+（-1）=0；
当b＜0时， + + + = + + + =1+（-1）+（-1）+1=0；
∴④错误；
∵a+b+c=0，且a＞b＞c，b＜0，
∴a＞0，c＜0，a=-b-c，
∴AB=a-b=-b-c-b=-2b-c=-3b+b-c，BC=b-c，
∵b＜0，
∴-3b＞0，
∴-3b+b-c＞b-c，
∴AB＞BC，
∴⑤正确； 即正确的结论有②③⑤.
故答案为：②③⑤.
【分析】①根据a＋b＋c＝0，且a＞b＞c推出a＞0，c＜0；
②由a＋b＋c＝0变形得a＝ （b＋c），再把关于x的方程变形得ax＝ （b＋c），于是可得关于x的方程ax=a，方程的两边都除以a即可求解；
③由a＋b＋c＝0变形得a＝ （b＋c），将等式两边平方即可求解；
④由题意分为两种情况：当b＞0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号可求解；当b＜0，a＞0，c＜0时，去掉绝对值符号可求解；
⑤求出|a b|＞|c b|，根据AB＝|a b|，BC＝|b c|即可判断求解．
13．如图，张萌的手中有一张正方形纸片ABCD（AD∥BC），点E，F分别在AB个CD上，且EF∥AD，此时张萌判断出EF∥BC，则张萌判断出该结论的理由是 ．
【答案】如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行．
故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行．
【分析】根据平行公理的推论即可得到结论．
14．（2021七上·洪山期末）如图，点C，D在线段BE上（C在D的左侧），点A在线段BE外，连接AB，AC，AD，AE，已知∠BAE ＝ 120°，∠CAD ＝ 60°，有下列说法：①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②作∠BAM＝ ∠BAD，∠EAN＝ ∠EAC.则∠MAN＝30°；③以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为420°；④若BC＝2，CD＝DE＝3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B，C，D，E的距离之和最大值为17，最小值为11.其中说法正确的有 .（填上所有正确说法的序号）
【答案】①③④
【知识点】直线、射线、线段；角的运算
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；
②如图所示，
当AM、AN在三角形外部时，
∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，
∠BAM+∠EAN ＝ ∠BAD+ ∠EAC=90°，
∠MAN＝360°-120°-90°＝150°.
∠MAN≠30°；故②不正确；
③由∠BAE＝120°，∠DAC＝60°，根据图形则有∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝120°+120°+120°+60°＝420°，故③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC＝11，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC＝8+0+6+3＝17，故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据线段的概念找出直线CD上线段的条数，据此判断①；当AM、AN在三角形外部时，易得∠BAD+∠EAC=120°＋60°=180°，则∠BAM+∠EAN=∠BAD+∠EAC=90°，结合周角的概念可得∠MAN＝150°，据此判断②；根据图形可得∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE＝420°，据此判断③；当F在线段CD上，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC，当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FE+FD+FC，据此判断④.
15．（2022七下·拱墅期中）将一块三角板ABC（∠BAC=90°，∠ABC=30°）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2-∠1.能判断直线mn的有 .（填序号）
【答案】①④⑤
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=25.5°，∠2=55°，∠ABC=30°，
∴∠ABC+∠1=55.5°=55°=∠2，
∴mn，故①符合题意；
∵∠1+∠2=90°，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故②不符合题意；
∵∠2=2∠1，∠ABC=30°，
∴∠1+∠ABC不一定等于∠2，
∴m和n不一定平行，故③不符合题意；
过点C作CEm，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=∠1+∠3，∠ACB=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴ECn，
∴mn，故④符合题意；
∵∠ABC=∠2-∠1，
∴∠2=∠ABC+∠1，
∴mn，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤.
【分析】由已知条件可得∠ABC+∠1=55.5°=55°30′=∠2，然后根据平行线的判定定理可判断①；∠1+∠ABC不一定等于∠2，结合平行线的判定定理可判断②③；过点C作CE∥m，由平行线的性质可得∠3=∠4，进而推出∠1=∠5，得到EC∥n，据此判断④；易得∠2=∠ABC+∠1，然后根据平行线的判定定理可判断⑤.
三、解答题（共9题，共70分）
16．（2020七上·朝阳期末）判断一个正整数能被3整除的方法是：把这个正整数各个数位上的数字相加，如果所得的和能够被3整除，则这个正整数就能被3整除.请证明对于任意两位正整数，这个判断方法都是正确的.
【答案】解：设一个两位正整数十位上的数字为 ，个位上的数字为 （ ， 为整数，且 ， ），
则这个两位正整数为 .
由题意可知 与 的和能被3整除，
所以可设 ，其中 为正整数.
所以 .
因为 ， 均为整数，
所以 能够被3整除.
即对于任意两位正整数，这个判断方法都是正确的.
【知识点】用字母表示数
【解析】【分析】设一个两位正整数十位上的数字为 ，个位上的数字为 （ ， 为整数，且 ， ），则这个两位正整数为 ,由题意可知 与 的和能被3整除，可设 ，即可得到 ，故可求解.
17．如图 ，AB∥CD，且∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND，判断∠P 与∠Q的数量关系，并说明理由．
【答案】解：作QR∥AB，PL∥AB，∴RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD
∴∠RQM=∠BMQ，∠RQN=∠QND，∠MPL=∠BMP，∠NPL=∠PND，
∵∠PMQ=2∠QMB，∠PNQ=2∠QND ，
∴∠PMB=3∠QMB ，∠PND=3∠QND ，
∵∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，
∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，
∴∠MPN=3∠MQN，即∠P=3∠Q.
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】作QR∥AB，PL∥AB，可得RQ∥CD∥AB，PL∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠RQM=∠BMQ，从而可得∠MQN=∠RQM+∠RQN=∠BMQ+∠QND，同理可得∠MPN=∠MPL+∠NPL=∠BMP+∠PND，结合已知即可求出结论.
18．（2022七下·萝北期末）如图①，ABCD，M为平面内一点，若BM⊥MC，则易证∠ABM与∠DCM互余．
（1）如图②，ABCD．点M在射线EA上运动，猜想点M在点A和D之间时，∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系，并证明．
（2）在（1）的条件下，当点M在射线EA的其它位置上时（不与点E，A，D重合）请直接写出∠BMC与∠ABM、∠DCM之间的数量关系．
【答案】（1）解：∠ABM+∠DCM=∠BMC，理由如下：
如图，过M作MFAB，交BC于F，则∠ABM=∠BMF，
又∵ABCD，
∴MFCD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠ABM+∠DCM=∠BMF+∠CMF=∠BMC；
（2）解：当点M在E、A两点之间时，如图3，∠BMC=∠DCM-∠ABM；
过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，
又∵ABCD，
∴MFCD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠BMC=∠CMF-∠BMF=∠DCM-∠ABM；
当点M在AD的延长线上时，如图4，∠BMC=∠ABM-∠DCM．
过M作MFAB，交EC于F，则∠ABM=∠BMF，
又∵ABCD，
∴MFCD，
∴∠DCM=∠FMC，
∴∠BMC=∠BMF-∠CMF=∠ABM-∠DCM．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定与性质证明求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，利用平行线的判定与性质计算求解即可。
19．（2022七下·丰台期末）阅读下列材料：
如图1，，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．用等式表示，与的数量关系．
小刚通过观察，实验，提出猜想：．
接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：
过点作，由，可得，根据平行线的性质，可得，，从而证得．
请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题．
已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，．
（1）如图2，若，，则的度数为 ；
（2）如图3，与的平分线交于点，用等式表示与的数量关系，并证明；
（3）如图4，与的平分线交于点，直接用等式表示与的数量关系．
【答案】（1）解145°
（2）解：由（1）同理可得：
与的平分线交于点，
（3）解：由（1）同理可得：
与的平分线交于点，
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：如图，过点作，
，，
，
，
．
，，
【分析】（1）由已知结论∠EPF=∠AEP+∠CFP，可求出答案；
（2）由已知结论得到∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，又因为EQ，FQ分别平分∠AEP，∠CFP，可得∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，所以∠EPF=2∠EQF；
（3）由已知结论和四边形内角和得到∠EPF与∠EQF的数量关系。
20．（2017八上·乌审旗期中）将下列推证过程补充完整．
（1）如图1，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高．
①BE= = ；
②∠BAD= = ；
③∠AFB= =90°；
④S△ABC= ．
（2）如图2，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°，
∵AB∥CD
∴∠1+45°+∠2+45°= ．
∴∠1+∠2= ．
∴∠E= ．
【答案】（1）CE；BC；∠CAD；∠BAC；∠AFC； BC AF
（2）180°；90°；90°
【知识点】平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）①BE=CE= BC；
②∠BAD=∠CAD= ∠BAC；
③∠AFB=∠AFC=90°；
④S△ABC= BC AF；（2）∵AB∥CD，
∴∠1+45°+∠2+45°=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠E=90°．
故答案为：（1）CE，BC；∠CAD，∠BAC；∠AFC； BC AF；（2）180°，90°，90°．
【分析】（1）根据三角形的中线的定义，角平分线的定义，高线的定义以及三角形的面积公式分别求解即可；（2）根据两直线平行，同旁内角互补以及三角形的内角和等于180°分别填空即可．
21．（2021七上·瑶海期中）我们常用以下的方法判断一个数字能否被三整除：例如一个三位数M，百位数字、十位数字、个位数字依次是a、b、c，如果a、b、c的和可以被三整除，那么就可以判断M可以被三整除．小明同学在学习过代数式的相关知识后，解释了这样判断的依据，请完成下面的说理过程：
（1）这个三位数M可以表示为 ；
（2）设k表示任意一个整数， 则a＋b＋c＝ （用含k的代数式表示）；
（3）完成说理过程：
因为M＝a＋b＋c＋（ ） ＝ （ ） ＋3（ ）＝ 3（ ），而a、b、k都是整数，所以M可以被三整除．
【答案】（1）100a+10b+c
（2）3k
（3）99a+9b；3k；33a+3b；k+33a+3b
【知识点】列式表示数量关系；整式的加减运算
【解析】【解答】解：（1）M=100a+10b+c，
故答案为：100a+10b+c；
（2）设k表示任意一个整数，a、b、c的和可以被三整除，
∴a＋b＋c＝3k，
故答案为：3k；
（3）M=100a+10b+c，
= a＋b＋c＋(99a＋9b)，
=3k+3(33a＋3b)，
=3(k+33a+3b)，
∵而a、b、k都是整数，
∴M可以被三整除，
故答案为99a＋9b；3k，33a＋3b；k+33a+3b．
【分析】（1）根据三位数的表示方法进行求解即可求出结果；
（2）由a、b、c的和可以被三整除，可知a＋b＋c＝3k；
（3）将M变成为3(k+33a+3b)，而a、b、k都是整数，即可得出M可以被三整除。
22．（2021七上·西城期末）（阅读与理解）小天同学看到如下的阅读材料：
对于一个数A，以下给出了判断数A是否为19的倍数的一种方法：
每次划掉该数的最后一位数字，将划掉这个数字的两倍与剩下的数相加得到一个和，称为一次操作，依此类推，直到数变为20以内的数为止．若最后得到的数为19.则最初的数A就是19的倍数，否则，数A就不是19的倍数．
以为例，经过第一次操作得到55，经过第二次操作得到15，，．所以436不是19的倍数．
当数A的位数更多时，这种方法依然适用．
（1）（操作与说理）
当时，请你帮小天写出判断过程；
（2）小天尝试说明方法的道理，他发现解决问题的关键是每次判断过程的第一次操作，后续的操作道理都与第一次相同，于是他列出了如下表格进行分析．请你补全小天列出的表格：
说明：表示，其中，a，b，c均为整数．
A A的表达式 第一次操作得到的和，记为M（A）
436 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6
532 532＝ M（532）＝
863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3
…… …… ……
＝ M（）＝
（3）利用以上信息说明：当M（）是19的倍数时，也是19的倍数．
【答案】（1）解：，经过第一次操作得到57，经过第二次操作得到19，，所以532是19的倍数；
（2）解：补表如下：
说明：表示，其中，a，b，c均为整数．
A A的表达式 第一次操作得到的和，记为M（A）
436 436＝10×43＋6 M（436）＝43＋2×6
532 532＝ M（532）＝
863 863＝10×86＋3 M（863）＝86＋2×3
…… …… ……
＝ M（）＝
（3）解： ，，
，
当M（）是19的倍数时，也是19的倍数，即是19的倍数，此时也是19的倍数．
【知识点】用字母表示数；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据 ， 计算求解即可；
（2）根据 表示， 计算求解即可；
（3）先求出 ， 再求解即可。
23．（2020七下·西华期末）若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系.
（1）如图1，∠A与∠B的关系是 ；如图2，∠A与∠B的关系是 ；
（2）若∠A与∠B的两边分别平行，试探索这两个角的等量关系，画图并证明你的结论.
【答案】（1）∠A=∠B；∠A+∠B=180°
（2）解：如图3，∠A=∠B，
∵AD∥BF，∴∠A=∠1，
∵AE∥BG，∴∠1=∠B，
∴∠A=∠B；
如图4，∠A+∠B=180°，
∵AD∥BG，
∴∠A=∠2，
∵AE∥BF，
∴∠2+∠B=180°，
∴∠A+∠B=180°.
【知识点】垂线；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）如图1，∠A=∠B，
∵∠ADE=∠BCE=90°，∠AED=∠BEC，
∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED，
∠B=180°﹣∠BCE﹣∠BEC，
∴∠A=∠B，
如图2，∠A+∠B=180°；
∴∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°.
∴∠A与∠B的等量关系是互补；
故答案为：∠A=∠B，∠A+∠B=180°；
【分析】（1）根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，所以∠A=∠B，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，所以∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°.所以如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补；
（2）分图3与图4两种情况，根据平行线的性质得到同位角相等，同旁内角互补即可得到结论.
24．（2020七上·汽开区期末）探究：如图①， ，试说明 ．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．
解： ∵ ．(已知)
∴ ．（ ）
同理可证， ．
∵ ，
∴ ．（ ）
应用：如图②， ，点F在 之间， 与 交于点M， 与 交于点N．若 ， ，则 的大小为 度．
拓展：如图③，直线 在直线 之间，且 ，点 分别在直线 上，点Q是直线 上的一个动点，且不在直线 上，连结 ．若 ，则 = 度．
【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；60；70或290
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：探究：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），
同理可证，∠F＝∠2，
∵∠BCF＝∠1＋∠2，
∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换．
应用：由探究可知：∠EFG＝∠AMF＋∠CNF，
∵∠EFG＝115°，∠AMF＝∠EMB＝55°，
∴∠DNG＝∠CNF＝∠EFG－∠AMF＝115° 55°＝60°，
故答案为：60；
拓展：如图，
当点Q在直线GH的右侧时，
∠AGQ＋∠EHQ，
＝180°－∠BGQ＋180°－∠FHQ，
＝360°－（∠BGQ+∠FHQ），
＝360°－∠GQH，
＝360° 70°，
＝290°，
当点Q′在直线GH的左侧时，∠AGQ′＋∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°，
故答案为：70或290．
【分析】探究：利用平行线的性质解决问题即可；应用：利用探究中的结论解决问题即可；拓展：分两种情形，画出图形分别求解即可．
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