2023年浙教版数学八年级上册1.4 全等三角形 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学八年级上册1.4 全等三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·逊克期末）下列说法错误的是（　　）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关；
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形；
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2．（2021八上·兰陵期中）如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①③④
3．（2020八上·禹州期中）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
4．（2019八上·新乐期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023八下·义乌开学考）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形.图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形，这样的三角形共有（　　）个（△ABC除外）.
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022八上·龙华期中）在长方形中，，，延长至点E，使，连接，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，设点Q的运动时间为t秒.当t为何值时，和全等.（　　）
A．1 B．1或3 C．1或 D．3或
7．（2021八上·林州期末）如图，点D，E，F分别在的边，，上（不与顶点重合），设，.若，则，满足的关系是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
9．（2020八上·秦淮月考）如图，锐角△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB' ， 且C'D∥EB'∥BC ， BE 、CD 交于点 F ，若∠BAC = α， ∠BFC = β，则（　　）
A．2α+β= 180° B．2β-α= 145°
C．α+β= 135° D．β-α= 60°
10．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021八上·灌云月考）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出　 　个.
12．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，P，Q，M的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后与哪个图形”的对应关系填空：A与　 　对应；B与　 　对应；C与　 　对应；D与　 　对应．
13．（2023八上·扶沟期末）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为　 　.
14．（2022八上·覃塘期中）如图，已知，，E，F分别是线段和射线上的动点，且，点G在射线上，连接，若与全等，则线段的长为　 　．
15．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
16．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为　 　.
三、作图题（共9分）
17．（2020八上·温岭期末）如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）.
四、解答题（共5题，共57分）
18．（2021八上·仙桃月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE＝90°.如果AC＝5cm，CE＝6cm；点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动.过P、Q分别作BD的垂线，垂足为M、N.设运动时间为ts，当以P、C、M为顶点的三角形与△QCN全等时，求t的值.
19．（2022八上·义乌月考）如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
（1）如图，当　 　时，的面积等于面积的一半
（2）如图，在中，，，，A.在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好使，求点的运动速度．
20．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）
（2）当 时，求t的值；
（3）当 时，直接写出所有满足条件的 值.
21．（2019八上·灌南月考）如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm.如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
（1）CP的长为　 　cm（用含t的代数式表示）；
（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值.
（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动.则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由.若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
22．（2018八上·南召期中）如图，已知 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点.如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点运动.同时，点 在线段 上由 点以 厘米/秒的速度向 点运动.设运动的时间为 秒.
（1）直接写出：
①BD＝　 　厘米；②BP＝　 　厘米；
③CP＝　 　厘米；④CQ＝　 　厘米；
（可用含 、a的代数式表示）
（2）若以 ， ， 为顶点的三角形和以 ， ， 为顶点的三角形全等，试求 、t的值；
（3）若点 以（ ）中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，都逆时针沿 三边运动.设运动的时间为 秒；直接写出t=秒时点 与点 第一次相遇.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全等图形；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，不符合题意；
B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，不符合题意；
C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形，符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的性质和判定、全等三角形的性质逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，
带②③④去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；
所以最省事的方法是带①去．
故答案为：A．
【分析】根据全等图形的定义，结合所给的图形求解即可。
3．【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③.
故答案为：B.
【分析】根据全等图形的概念进行判断.
4．【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故答案为：B．
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图1所示：
方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5个.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的三条边对应相等画出与△ABC全等的三角形，据此解答.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
当时，，
此时，
解得，
当时，，
此时，即，
解得.
∴当或时，和全等.
故答案为：C.
【分析】当△ABQ≌△DCE时，BQ=CE=2，此时2t=2，求解可得t的值；当△BAQ≌△DCE时，AQ=CE=2，此时BC+CD+DQ=BC+CD+(DA-AQ)=11，此时2t=11，求解可得t的值.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC，
∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，，
∴，
∵在△EFC中，，
∴，即，
∴.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形性质得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，由三角形内角和求出，根据平角的定义得，即得，在△EFC中，，从而得出，继而得出结论.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：延长C'D 交 AC 于 M ，如图，
∵ △ADC≌△ADC' ， △AEB≌△AEB'
∴ ∠C' = ∠ACD ， ∠C'AD = ∠CAD = ∠B'AE = a
∴ ∠C'MC = ∠C' + ∠C'AM = ∠C' + 2a
∵ C'D∥B'E
∴ ∠AEB' = ∠C'MC
∵ ∠AEB' = 180° - ∠B'- ∠B'AE = 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + 2a= 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + ∠B' = 180° - 3a，
b= ∠BFC
= ∠BDF + ∠DBF
= ∠DAC + ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠C' + ∠B'
= a+ 180° - 3a
= 180° - 2a
∴ 2a+ b= 180°，
故答案为：A.
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=α，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°-∠B′-α，则∠C′+2α=180°-∠B′-α，所以∠C′+∠B′=180°-3α，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=α+∠C′+∠B′，所以∠BFC=β=180°-2α，进一步变形后即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为；
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，
∴x+y+z=
∵y+z＞x
∴可得，
所以，
故选Ａ．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论。
11．【答案】6
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等.
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等.
所以可画出6个.
故答案为：6.
【分析】分别以BC为公共边、以AB为公共边画出与原三角形全等的格点三角形，即可得出答案.
12．【答案】M；N；Q；P
【知识点】全等图形
【解析】【解答】由全等形的概念可知：
A是三个三角形，与M对应；
B是一个三角形和两个直角梯形，与N对应；
C是一个三角形和两个四边形，与Q对应；
D是两个三角形和一个四边形，与P对应
故分别填入M，N，Q，P
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形，按照剪开前后各个基本图形是重合的原则，进行逐个验证，即可解答。
13．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图形可得：，
∵三个三角形全等，
∴，
又∵，
∴，
∴的度数是180°.
故答案为：.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠1+∠2+∠α+∠3+∠4+∠β+∠5+∠6+∠γ=540°，由全等三角形的性质结合内角和定理可得∠1+∠3+∠5=180°，根据内角和定理可得∠2+∠4+∠6=180°，据此求解.
14．【答案】2或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①如图：
当△GAE≌△EBF时：AG=BE，AE=BF
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当△GAE≌△FBE时，AE=BE，AG=BF
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：2或6．
【分析】此题分①当△GAE≌△EBF时：AG=BE，AE=BF，②当△GAE≌△FBE时，AE=BE，AG=BF，两种情况，根据全等三角形的对应边相等结合AB=AE+BE=6建立方程，求解即可.
15．【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
16．【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
17．【答案】解：如图所示：
.
【知识点】全等图形
【解析】【分析】直接利用旋转图形是全等图形的性质来构造图形.
18．【答案】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝6 3t，
∴t＝1；
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝3t 6，
∴t＝ ；
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t 5＝18 3t，
∴t＝ ；
综上所述：t的值为1或 或 .
【知识点】三角形全等及其性质；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】分三种情况讨论： 当点P在AC上，点Q在CE上时， 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时， 当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时， 分别根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.
19．【答案】（1） 或
（2）解：△APQ≌△DEF，即对应顶点为A与D，P与E，Q与F，
①当点P在AC上，如图②﹣1所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3） cm/s，
②当点P在AB上，如图②﹣2所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3） cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，
点Q的运动速为 cm/s或 cm/s．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①-1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则CP=BC=cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP=12+=cm，
∴移动的时间为：÷3=s，
②当点P在BA上时，如图①-2，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则PD=BC=cm，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+BC+BP=12+9+=cm，
∴移动的时间为：÷3=s，
故答案为：s或s；
【分析】（1）分两情况讨论：①当点P在BC上时，当点P在BA上时，分别求出点P移动的路程，再求出t的值即可；
（2）分两种情况讨论：①当点P在AC上，②当点P在AB上，分别求出点Q移动的路程，再求出t的值即可.
20．【答案】（1）解：∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当 时，点F是从B向C运动，当 ，F是从C向B运动，
∴当 时， ，当 时， ；
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 ， 解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
∴当 ， ；
（3）所有满足条件的 值是 或4
【知识点】三角形全等及其性质；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）∵ ，
∴AE=CF，
∵当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 ， 解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴当 时， 或 .
【分析】（1）由题意可得：当0（2）由题意得：AE=2tcm，然后分当 及当 时两种情况，根据AE=BF进行求解；
（3）由全等三角形的性质可得AE=CF，当021．【答案】（1）10-4t
（2）解：当△BEP≌△CPQ时有BE=CP，BP=CQ，∴6=10-4t，4t=at，∴t=1,a=4，
当△BEP≌△CQP时有BP=CP，BE=CQ，∴10-4t=4t，6=at，∴t=1.25，a=4.8，
∴a的值为4或4.8
（3）解：当a=4时，P、Q的运动速度相同且运动方向一致，∴P，Q不会相遇，
当a=4.8时，设经过x秒后，P，Q第一次相遇，
4.8x-4x=30，
x=37.5，
∴经过37.5秒，P，Q第一次在正方形的A点相遇
【知识点】三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）PC=BC-BP=10-4t ；
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出BP=4t，故根据线段的和差得出PC=BC-BP=10-4t ；
（2）需要分类讨论： 当△BEP≌△CPQ时有BE=CP，BP=CQ ； 当△BEP≌△CQP时有BP=CP，BE=CQ ，从而分别列出方程，求解即可；
（3）分类讨论： 当a=4时，P、Q的运动速度相同且运动方向一致，所以P，Q不会相遇； 当a=4.8时，设经过x秒后，P，Q第一次相遇 ，根据相遇问题的等量关系。点P所走的路程+AB+AD+CD=点Q所走的路程，从而列出方程，求解即可得出答案.
22．【答案】（1）12；4t；；
（2）解： ， ， ， ，
①若 ，
则
②若 ，
则
（3）解：
①若 时， ， 不能相遇，
②若 时，只需 比 多走 ，
， ，
【知识点】三角形全等及其性质；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）①根据线段中点的定义得出BD的长；②根据路程等于速度乘以时间得出BP=4t；③线段的和差得出CP=16-4t, ④根据路程等于速度乘以时间得出CQ=at;
（2）分类讨论： ①若 ， 则BD=QC,BP=CP，从而列出方程组，求解得出a,t的值； ②若 ， 则BD=PC，BP=CQ，从而列出方程组，求解得出a,t的值；
（3） ①若 时，根据匀速运动的特点得出 ， 不能相遇； ②若 时 ，根据追击问题的等量关系，由点Q所走的路-点P所走的路=它们之间逆时针之间的距离，列出方程，求解即可.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.4 全等三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021八上·逊克期末）下列说法错误的是（　　）
A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同；
B．图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关；
C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形；
D．全等三角形的对应边相等，对应角相等.
【答案】C
【知识点】全等图形；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：A、如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，不符合题意；
B、图形全等，只与形状，大小有关，而与它们的位置无关，不符合题意；
C、全等图形的面积相等，但面积相等的两个图形不一定是全等图形，符合题意；
D、全等三角形的对应边相等，对应角相等，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据全等图形的性质和判定、全等三角形的性质逐项判断即可。
2．（2021八上·兰陵期中）如图，某人不小心将一块正五边形玻璃打碎成四块，若想到玻璃店配一块与原来一样大小的五边形玻璃，那么最省事的方法应该带玻璃碎片（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①③④
【答案】A
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：带①去，能够测量出此正五边形的内角的度数，以及边长，所以可以配一块完全一样的玻璃，
带②③④去，只能够测量出正五边形的内角的度数，不能够量出边长的长度，所以不可以配一块完全一样的玻璃；
所以最省事的方法是带①去．
故答案为：A．
【分析】根据全等图形的定义，结合所给的图形求解即可。
3．（2020八上·禹州期中）下列四个图形中，有两个全等的图形，它们是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④
【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：①和③可以完全重合，因此全等的图形是①和③.
故答案为：B.
【分析】根据全等图形的概念进行判断.
4．（2019八上·新乐期中）下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示：
故答案为：B．
【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案．
5．（2023八下·义乌开学考）如图，在正方形方格中，各正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形.图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形，这样的三角形共有（　　）个（△ABC除外）.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图1所示：
方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形有△FAO，△HOA，△EAD，△AEF，△ACH，共5个.
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的三条边对应相等画出与△ABC全等的三角形，据此解答.
6．（2022八上·龙华期中）在长方形中，，，延长至点E，使，连接，动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，设点Q的运动时间为t秒.当t为何值时，和全等.（　　）
A．1 B．1或3 C．1或 D．3或
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴或，
当时，，
此时，
解得，
当时，，
此时，即，
解得.
∴当或时，和全等.
故答案为：C.
【分析】当△ABQ≌△DCE时，BQ=CE=2，此时2t=2，求解可得t的值；当△BAQ≌△DCE时，AQ=CE=2，此时BC+CD+DQ=BC+CD+(DA-AQ)=11，此时2t=11，求解可得t的值.
7．（2021八上·林州期末）如图，点D，E，F分别在的边，，上（不与顶点重合），设，.若，则，满足的关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠B=∠C，∠BED=∠EFC，
∵，，在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，
∴，，
∴，
∵在△EFC中，，
∴，即，
∴.
故答案为：B.
【分析】由全等三角形性质得∠B=∠C，∠BED=∠EFC，由三角形内角和求出，根据平角的定义得，即得，在△EFC中，，从而得出，继而得出结论.
8．（2021八上·铁锋期末）如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（　　）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
9．（2020八上·秦淮月考）如图，锐角△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 边上的点，△ADC≌△ADC'，△AEB≌△AEB' ， 且C'D∥EB'∥BC ， BE 、CD 交于点 F ，若∠BAC = α， ∠BFC = β，则（　　）
A．2α+β= 180° B．2β-α= 145°
C．α+β= 135° D．β-α= 60°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：延长C'D 交 AC 于 M ，如图，
∵ △ADC≌△ADC' ， △AEB≌△AEB'
∴ ∠C' = ∠ACD ， ∠C'AD = ∠CAD = ∠B'AE = a
∴ ∠C'MC = ∠C' + ∠C'AM = ∠C' + 2a
∵ C'D∥B'E
∴ ∠AEB' = ∠C'MC
∵ ∠AEB' = 180° - ∠B'- ∠B'AE = 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + 2a= 180° - ∠B' -a
∴ ∠C' + ∠B' = 180° - 3a，
b= ∠BFC
= ∠BDF + ∠DBF
= ∠DAC + ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠ACD + ∠B'
= a+ ∠C' + ∠B'
= a+ 180° - 3a
= 180° - 2a
∴ 2a+ b= 180°，
故答案为：A.
【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=α，再利用三角形外角性质得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′=180°-∠B′-α，则∠C′+2α=180°-∠B′-α，所以∠C′+∠B′=180°-3α，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=α+∠C′+∠B′，所以∠BFC=β=180°-2α，进一步变形后即可得到答案.
10．长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；三角形全等及其性质
【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为；
∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等，
∴x+y+z=
∵y+z＞x
∴可得，
所以，
故选Ａ．
【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021八上·灌云月考）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形.画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出　 　个.
【答案】6
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：
以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等.
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等.
所以可画出6个.
故答案为：6.
【分析】分别以BC为公共边、以AB为公共边画出与原三角形全等的格点三角形，即可得出答案.
12．如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为N，P，Q，M的四个图形，试按照“哪个正方形剪开后与哪个图形”的对应关系填空：A与　 　对应；B与　 　对应；C与　 　对应；D与　 　对应．
【答案】M；N；Q；P
【知识点】全等图形
【解析】【解答】由全等形的概念可知：
A是三个三角形，与M对应；
B是一个三角形和两个直角梯形，与N对应；
C是一个三角形和两个四边形，与Q对应；
D是两个三角形和一个四边形，与P对应
故分别填入M，N，Q，P
【分析】根据能够完全重合的两个图形是全等形，按照剪开前后各个基本图形是重合的原则，进行逐个验证，即可解答。
13．（2023八上·扶沟期末）三个全等三角形摆成如图所示的形式，则的度数为　 　.
【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由图形可得：，
∵三个三角形全等，
∴，
又∵，
∴，
∴的度数是180°.
故答案为：.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念可得∠1+∠2+∠α+∠3+∠4+∠β+∠5+∠6+∠γ=540°，由全等三角形的性质结合内角和定理可得∠1+∠3+∠5=180°，根据内角和定理可得∠2+∠4+∠6=180°，据此求解.
14．（2022八上·覃塘期中）如图，已知，，E，F分别是线段和射线上的动点，且，点G在射线上，连接，若与全等，则线段的长为　 　．
【答案】2或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：①如图：
当△GAE≌△EBF时：AG=BE，AE=BF
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当△GAE≌△FBE时，AE=BE，AG=BF
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：2或6．
【分析】此题分①当△GAE≌△EBF时：AG=BE，AE=BF，②当△GAE≌△FBE时，AE=BE，AG=BF，两种情况，根据全等三角形的对应边相等结合AB=AE+BE=6建立方程，求解即可.
15．（2020八上·昌黎期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，∠B=∠C ,BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【答案】4或6
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设点Q的速度为x，则运动t秒时，CQ=xt，P点的速度为4，则BC=16
∴BP=4t，PPC=（16-4t）
又∵AB=AC=24，点D为AB的中点
∴BD=AB=12
∵∠B=∠C
∴运动t秒时，△BPD与△CQP全等共有两种情况
①当△BPD≌△CQP时，
则有BD=CP，BP=CQ
即12=16-4t，4t=xt
即t=1
∴由4t=xt可知，x=4
②当△BPD≌△CPQ时，
则有BD=CQ，BP=CP
即12=xt，4t=16-4t
∴t=2，x=6
【分析】根据题意，设Q点的运动速度为x，根据其运动情况表示出线段的数量关系，根据三角形全等的性质计算得到答案即可。
16．（2020八上·麻城期中）如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝60，E，F 分别为线段 AB 和射线 BD 上的一点，若点 E 从点 B 出发向点 A 运动，同时点 F 从点 B 出发向点 D 运动，二者速度之比为 3：7，运动到某时刻同时停止，在射线 AC 上取一点 G，使△AEG 与△BEF 全等，则 AG 的长为　 　.
【答案】18或70
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：
情况一：当BE=AG，BF=AE时，
∵BF=AE，AB=60，
∴7t=60-3t，
解得：t=6，
∴AG=BE=3t=3×6=18；
情况二：当BE=AE，BF=AG时，
∵BE=AE，AB=60，
∴3t=60-3t，
解得：t=10，
∴AG=BF=7t=7×10=70，
综上所述，AG=18或AG=70.
故答案为：18或70.
【分析】设BE=3t，则BF=7t，因为∠A=∠B=90°，使△AEG与△BEF全等，可分两种情况：①当BE=AG，BF=AE时，②当BE=AE，BF=AG时，据此分别建立方程进行解答即可.
三、作图题（共9分）
17．（2020八上·温岭期末）如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）.
【答案】解：如图所示：
.
【知识点】全等图形
【解析】【分析】直接利用旋转图形是全等图形的性质来构造图形.
四、解答题（共5题，共57分）
18．（2021八上·仙桃月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE＝90°.如果AC＝5cm，CE＝6cm；点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动.过P、Q分别作BD的垂线，垂足为M、N.设运动时间为ts，当以P、C、M为顶点的三角形与△QCN全等时，求t的值.
【答案】解：当点P在AC上，点Q在CE上时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝6 3t，
∴t＝1；
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5 2t＝3t 6，
∴t＝ ；
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t 5＝18 3t，
∴t＝ ；
综上所述：t的值为1或 或 .
【知识点】三角形全等及其性质；利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【分析】分三种情况讨论： 当点P在AC上，点Q在CE上时， 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时， 当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时， 分别根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.
19．（2022八上·义乌月考）如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
（1）如图，当　 　时，的面积等于面积的一半
（2）如图，在中，，，，A.在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好使，求点的运动速度．
【答案】（1） 或
（2）解：△APQ≌△DEF，即对应顶点为A与D，P与E，Q与F，
①当点P在AC上，如图②﹣1所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3） cm/s，
②当点P在AB上，如图②﹣2所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3） cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，
点Q的运动速为 cm/s或 cm/s．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①-1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则CP=BC=cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP=12+=cm，
∴移动的时间为：÷3=s，
②当点P在BA上时，如图①-2，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则PD=BC=cm，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+BC+BP=12+9+=cm，
∴移动的时间为：÷3=s，
故答案为：s或s；
【分析】（1）分两情况讨论：①当点P在BC上时，当点P在BA上时，分别求出点P移动的路程，再求出t的值即可；
（2）分两种情况讨论：①当点P在AC上，②当点P在AB上，分别求出点Q移动的路程，再求出t的值即可.
20．（2021八上·沭阳月考）如图，在 中， cm， ， cm，点F从点B出发，沿线段 以4cm/s的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以2cm/s的速度运动至点G，E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运动时间为t（秒）
（1）分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）
（2）当 时，求t的值；
（3）当 时，直接写出所有满足条件的 值.
【答案】（1）解：∵BC=8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，
∴当 时，点F是从B向C运动，当 ，F是从C向B运动，
∴当 时， ，当 时， ；
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴当 ， 解得 不符合题意；
当 时， ，解得 ，
∴当 ， ；
（3）所有满足条件的 值是 或4
【知识点】三角形全等及其性质；用字母表示数；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（3）∵ ，
∴AE=CF，
∵当 时， ，当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ，
∴当 ， 解得 ；
当 时， ，解得 ，
∴当 时， 或 .
【分析】（1）由题意可得：当0（2）由题意得：AE=2tcm，然后分当 及当 时两种情况，根据AE=BF进行求解；
（3）由全等三角形的性质可得AE=CF，当021．（2019八上·灌南月考）如图，已知正方形ABCD中，边长为10cm，点E在AB边上，BE＝6cm.如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动，设运动的时间为t秒，
（1）CP的长为　 　cm（用含t的代数式表示）；
（2）若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等，求a的值.
（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿正方形ABCD四边运动.则点P与点Q会不会相遇？若不相遇，请说明理由.若相遇，求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇？
【答案】（1）10-4t
（2）解：当△BEP≌△CPQ时有BE=CP，BP=CQ，∴6=10-4t，4t=at，∴t=1,a=4，
当△BEP≌△CQP时有BP=CP，BE=CQ，∴10-4t=4t，6=at，∴t=1.25，a=4.8，
∴a的值为4或4.8
（3）解：当a=4时，P、Q的运动速度相同且运动方向一致，∴P，Q不会相遇，
当a=4.8时，设经过x秒后，P，Q第一次相遇，
4.8x-4x=30，
x=37.5，
∴经过37.5秒，P，Q第一次在正方形的A点相遇
【知识点】三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）PC=BC-BP=10-4t ；
【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间得出BP=4t，故根据线段的和差得出PC=BC-BP=10-4t ；
（2）需要分类讨论： 当△BEP≌△CPQ时有BE=CP，BP=CQ ； 当△BEP≌△CQP时有BP=CP，BE=CQ ，从而分别列出方程，求解即可；
（3）分类讨论： 当a=4时，P、Q的运动速度相同且运动方向一致，所以P，Q不会相遇； 当a=4.8时，设经过x秒后，P，Q第一次相遇 ，根据相遇问题的等量关系。点P所走的路程+AB+AD+CD=点Q所走的路程，从而列出方程，求解即可得出答案.
22．（2018八上·南召期中）如图，已知 中， 厘米， ， 厘米，点 为 的中点.如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点运动.同时，点 在线段 上由 点以 厘米/秒的速度向 点运动.设运动的时间为 秒.
（1）直接写出：
①BD＝　 　厘米；②BP＝　 　厘米；
③CP＝　 　厘米；④CQ＝　 　厘米；
（可用含 、a的代数式表示）
（2）若以 ， ， 为顶点的三角形和以 ， ， 为顶点的三角形全等，试求 、t的值；
（3）若点 以（ ）中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时出发，都逆时针沿 三边运动.设运动的时间为 秒；直接写出t=秒时点 与点 第一次相遇.
【答案】（1）12；4t；；
（2）解： ， ， ， ，
①若 ，
则
②若 ，
则
（3）解：
①若 时， ， 不能相遇，
②若 时，只需 比 多走 ，
， ，
【知识点】三角形全等及其性质；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）①根据线段中点的定义得出BD的长；②根据路程等于速度乘以时间得出BP=4t；③线段的和差得出CP=16-4t, ④根据路程等于速度乘以时间得出CQ=at;
（2）分类讨论： ①若 ， 则BD=QC,BP=CP，从而列出方程组，求解得出a,t的值； ②若 ， 则BD=PC，BP=CQ，从而列出方程组，求解得出a,t的值；
（3） ①若 时，根据匀速运动的特点得出 ， 不能相遇； ②若 时 ，根据追击问题的等量关系，由点Q所走的路-点P所走的路=它们之间逆时针之间的距离，列出方程，求解即可.
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