2023年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·哈尔滨期末）我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意可得：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性.
故答案为：A.
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答.
2．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，是角平分线，，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】角平分线上的点到角两边距离相等，P到AB的距离=PC=2
【分析】角平分线上的点到角两边距离相等.
3．（2022八上·易县期中）如图，A，B，C三个村庄围成了一个三角形，想在的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（ ）
A．三条高的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条边垂直平分线的交点处
D．三条中线的交点处
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线的判定可知：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
可知超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质求解即可。
4．（2023八上·永城期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴△ODM≌△CEN的依据是“”，
故答案为：B.
【分析】由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，从而可用SSS证明两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等得∠O＝∠NCB，最后根据同位角相等，两直线平行可得CN∥OA．
5．（2023七下·成华期末）如图，与 相交于点 O，，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在△ABO和△DCO中：
∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△ABO≌△DCO（SAS）
故答案为：B。
【分析】根据判定全等所用的方法选择即可。
6．（2023七下·天桥期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
故答案为：D。
【分析】观察被污染的三角形其它两角和它们的夹边都是完整的，所以根据ASA就可以画出一个 完全一样的三角形 。
7．（2023七下·罗湖期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠OCF=∠ODG=90°，∠COF=∠DOG，OF=OG，
∴△COF≌△DOG（AAS），
∴DG=FC=20cm，
∴小明离地面的高度是45+20=65cm.
故答案为：D.
【分析】利用AAS可证明△COF≌△DOG，得到DG=FC=20cm，据此不难求出小明离地面的高度.
8．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长是（ ）
A．6 B．5 C．4.5 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴EC＝AD＝9，BE＝DC，
∵DE＝5，
∴CD＝EC-DE＝4，
∴BE＝4.
故答案为：D.
【分析】由同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，利用AAS证明 △ACD≌△CBE， 得到EC＝AD＝9，BE＝DC， 由CD＝EC-DE求出CD，进而可得BE的值.
9．（2023七下·和平期末）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使ΔABC≌ΔDEC，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，，B不符合题意；
当时，，C不符合题意；
当时，，D不符合题意，
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
10．（2022八上·浦城期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事.
A．① B．② C．③ D．①③
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法"角边角”，可确定带③去.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023七下·深圳期末）把两个同样大小的含角的三角尺像如图所示那样放置，其中是AD与BC的交点，若，则点到的距离为 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAB=30°，∠CAB=60°，
∴∠CAM=∠CAB-∠DAB=30°，
∴∠DAB=∠CAM，
∵∠C=90°，
∴ 点到的距离=CM=4；
故答案为：4.
【分析】易求∠DAB=∠CAM=30°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答即可.
12．（2023七下·和平期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是 cm．
【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：17.
【分析】先利用垂直平分线的性质得到AD与BD相等，再通过AC、BC的长度计算的周长.
13．（2022八上·上思月考）如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝ °.
【答案】60
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：在与中，
，
∴≌（SSS），
∴，
∴.
故答案为：60.
【分析】利用SSS证出≌，得出，利用，即可得出.
14．（2023八上·余姚期末）如图，已知，若以“”判定，需添加的条件是
【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：添加条件，理由如下：
在和中，
，
∴，
故答案为：AB=DC.
【分析】由已知条件可知∠ABC=∠DCB，AC=AC，然后根据SAS进行解答.
15．（2022八上·如皋月考）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
【答案】ASA
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA.
故答案为：ASA.
【分析】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
16．（2023七下·礼泉期末）如图，在四边形ABEF中，AB=4，EF=6，点C是BE上一点，连接AC、CF，若AC=CF，∠B=∠E=∠ACF，则BE的长为 .
【答案】10
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=∠ACF ，
∴∠B+∠C=∠C+∠ACF，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-∠C-∠ACF=∠FCE，
∴∠BAC=∠FCE，
∵AC=CF，
则可证明（AAS)
∴AB=CE，BC=EF，
∵BE=BC+CE，
∴BE=10
故答案为：10.
【分析】根据AAS证明，从而得到AB=CE，BC=EF，即可得出BE的长，类似本题中求线段长的，可以先转化为求全等三角形，然后找到已知长度线段与未知长度线段的关系即可.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·鄱阳期中）如图，直线，相交于点，平分，已知：．求和的度数．
【答案】解：∵，相交于点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且平分，
∴．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先根据题意得到，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
18．（2022八上·长春期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E．已知的周长是24，的长是5．求的周长．
【答案】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∵
∴的周长为14．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再的周长公式及等量代换可得。
19．（2023七下·闵行期末）已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明与全等的理由．
【答案】解：在与中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法证明即可。
20．（2023七下·金溪期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，，求证：．
【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，先利用SAS求出，然后再根据全等三角形的对应角相等即可求出。
21．（2023八上·宁波期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，
求证：．
【答案】证明：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（ASA）
∴AB=AD
∵∠1=∠2
∴OB=OD
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用ASA证明△ABC≌△ADC，利用全等三角形的性质可证得AB=AD，利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
22．（2023七下·杨浦期末）如图，已知点是线段上一点，，．猜想、、之间的数量关系并证明．
【答案】解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 ，理由：根据AAS证明△ACD≌△BEC，可得AD=BCC，AC=BE，从而得出 ， 继而得解.
23．（2020七下·太原月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠1=∠2，∠C=∠E，求证：BC=DE。
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(AAS)
∴BC=DE
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理AAS进行判定，根据全等三角形的性质得出结论即可。
24．（2022八上·吉林期中）淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AC与BD相交于点O，且．已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ （m）．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】利用ASA证出 ，即可得出答案。
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·哈尔滨期末）我们常常把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短
C．三角形的内角和为180° D．垂线段最短
2．（2023七下·萧县期末）如图，在中，，是角平分线，，，则P到的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022八上·易县期中）如图，A，B，C三个村庄围成了一个三角形，想在的内部建一个超市，且超市到三个村庄的距离相等，则此超市应建在（ ）
A．三条高的交点处
B．三条角平分线的交点处
C．三条边垂直平分线的交点处
D．三条中线的交点处
4．（2023八上·永城期末）如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
5．（2023七下·成华期末）如图，与 相交于点 O，，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·天桥期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·罗湖期末）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·东阳期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.DE＝5，AD＝9，则BE的长是（ ）
A．6 B．5 C．4.5 D．4
9．（2023七下·和平期末）如图，已知，如果只添加一个条件（不加辅助线）使ΔABC≌ΔDEC，则添加的条件不能为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022八上·浦城期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事.
A．① B．② C．③ D．①③
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023七下·深圳期末）把两个同样大小的含角的三角尺像如图所示那样放置，其中是AD与BC的交点，若，则点到的距离为 ．
12．（2023七下·和平期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC=10cm，BC=7cm，则△BCD的周长是 cm．
13．（2022八上·上思月考）如图，OA＝OB，AC＝BC，∠ACO＝30°，则∠ACB＝ °.
14．（2023八上·余姚期末）如图，已知，若以“”判定，需添加的条件是
15．（2022八上·如皋月考）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
16．（2023七下·礼泉期末）如图，在四边形ABEF中，AB=4，EF=6，点C是BE上一点，连接AC、CF，若AC=CF，∠B=∠E=∠ACF，则BE的长为 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023七下·鄱阳期中）如图，直线，相交于点，平分，已知：．求和的度数．
18．（2022八上·长春期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点E．已知的周长是24，的长是5．求的周长．
19．（2023七下·闵行期末）已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明与全等的理由．
20．（2023七下·金溪期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，，求证：．
21．（2023八上·宁波期末）如图，四边形的对角线与相交于点，，
求证：．
22．（2023七下·杨浦期末）如图，已知点是线段上一点，，．猜想、、之间的数量关系并证明．
23．（2020七下·太原月考）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠1=∠2，∠C=∠E，求证：BC=DE。
24．（2022八上·吉林期中）淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AC与BD相交于点O，且．已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意可得：此手机能稳稳放在支架上利用的原理是三角形具有稳定性.
故答案为：A.
【分析】根据三角形具有稳定性进行解答.
2．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】角平分线上的点到角两边距离相等，P到AB的距离=PC=2
【分析】角平分线上的点到角两边距离相等.
3．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：根据线段垂直平分线的判定可知：和一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
可知超市应建在三条边的垂直平分线的交点处．
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质求解即可。
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴△ODM≌△CEN的依据是“”，
故答案为：B.
【分析】由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，从而可用SSS证明两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等得∠O＝∠NCB，最后根据同位角相等，两直线平行可得CN∥OA．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：在△ABO和△DCO中：
∵OA=OD，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△ABO≌△DCO（SAS）
故答案为：B。
【分析】根据判定全等所用的方法选择即可。
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】因为小明书上的三角形虽然被污染了，但是其它两角和它们的夹边却还是完整的，只需根据完整的两角和它们的夹边画出三角形即可，因为两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
故答案为：D。
【分析】观察被污染的三角形其它两角和它们的夹边都是完整的，所以根据ASA就可以画出一个 完全一样的三角形 。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠OCF=∠ODG=90°，∠COF=∠DOG，OF=OG，
∴△COF≌△DOG（AAS），
∴DG=FC=20cm，
∴小明离地面的高度是45+20=65cm.
故答案为：D.
【分析】利用AAS可证明△COF≌△DOG，得到DG=FC=20cm，据此不难求出小明离地面的高度.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴EC＝AD＝9，BE＝DC，
∵DE＝5，
∴CD＝EC-DE＝4，
∴BE＝4.
故答案为：D.
【分析】由同角的余角相等可得∠ACD＝∠CBE，利用AAS证明 △ACD≌△CBE， 得到EC＝AD＝9，BE＝DC， 由CD＝EC-DE求出CD，进而可得BE的值.
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，
，
当时，，B不符合题意；
当时，，C不符合题意；
当时，，D不符合题意，
故答案为：A.
【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
10．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的判定方法"角边角”，可确定带③去.
11．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAB=30°，∠CAB=60°，
∴∠CAM=∠CAB-∠DAB=30°，
∴∠DAB=∠CAM，
∵∠C=90°，
∴ 点到的距离=CM=4；
故答案为：4.
【分析】易求∠DAB=∠CAM=30°，根据角平分线上的点到角两边的距离相等进行解答即可.
12．【答案】17
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
故答案为：17.
【分析】先利用垂直平分线的性质得到AD与BD相等，再通过AC、BC的长度计算的周长.
13．【答案】60
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：在与中，
，
∴≌（SSS），
∴，
∴.
故答案为：60.
【分析】利用SSS证出≌，得出，利用，即可得出.
14．【答案】AB=DC
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：添加条件，理由如下：
在和中，
，
∴，
故答案为：AB=DC.
【分析】由已知条件可知∠ABC=∠DCB，AC=AC，然后根据SAS进行解答.
15．【答案】ASA
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
则能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是ASA.
故答案为：ASA.
【分析】由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
16．【答案】10
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵∠B=∠E=∠ACF ，
∴∠B+∠C=∠C+∠ACF，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-∠C-∠ACF=∠FCE，
∴∠BAC=∠FCE，
∵AC=CF，
则可证明（AAS)
∴AB=CE，BC=EF，
∵BE=BC+CE，
∴BE=10
故答案为：10.
【分析】根据AAS证明，从而得到AB=CE，BC=EF，即可得出BE的长，类似本题中求线段长的，可以先转化为求全等三角形，然后找到已知长度线段与未知长度线段的关系即可.
17．【答案】解：∵，相交于点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，且平分，
∴．
【知识点】角平分线的性质
【解析】【分析】先根据题意得到，进而根据角平分线的性质结合题意即可求解。
18．【答案】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵的周长为24，
∴，
∵
∴的周长为14．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得，，再的周长公式及等量代换可得。
19．【答案】解：在与中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】利用全等三角形的判定方法证明即可。
20．【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，先利用SAS求出，然后再根据全等三角形的对应角相等即可求出。
21．【答案】证明：在△ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC（ASA）
∴AB=AD
∵∠1=∠2
∴OB=OD
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用ASA证明△ABC≌△ADC，利用全等三角形的性质可证得AB=AD，利用等腰三角形三线合一的性质可证得结论.
22．【答案】解：，理由如下：
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即．
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】 ，理由：根据AAS证明△ACD≌△BEC，可得AD=BCC，AC=BE，从而得出 ， 继而得解.
23．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(AAS)
∴BC=DE
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用全等三角形的判定定理AAS进行判定，根据全等三角形的性质得出结论即可。
24．【答案】解：∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ （m）．
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【分析】利用ASA证出 ，即可得出答案。
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