2023年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·余姚期中）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·温州期末）如图，小亮进行以下操作：以点A为圆心，适当长为半径作圆弧分别交AB， AC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠BAC内一点F，作射线AF．若∠BDF=50°，∠EFD-∠BAC=24°，则∠BAC等于（ ）
A．26° B．31° C．37° D．38°
3．（2023八上·温州期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
4．（2022八上·上城期中）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·青田月考）如图所示，AB∥CD，AD∥BC，BE＝DF，则图中全等三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．1
6．（2022八上·义乌月考）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，BC＝5，按下列方案用剪刀沿着箭头的方向剪开该纸片，得不到全等三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022八上·长兴月考）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=13，则CF=（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
8．（2022八上·温州期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022八上·吴兴期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022八上·温州期中）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八上·青田期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .
12．（2022八上·余姚期中）如图，点D是等腰的边BC上的一点，过点B作于点E，连接CE，若，则的值是 ．
13．（2023八上·武义期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为 .
14．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求 .
15．（2022八上·杭州期中）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，////，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，垂足为D.已知米.请根据上述信息求标语AB的长度 .
16．（2019八上·长兴月考）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)．你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块。依据 。
三、解答题（共8题，共66分）
17．根据要求回答下列问题：
（1）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是 ；
（2）下列图形具有稳定性的有 个：
正方形、长方形、直角三角形、平行四边形
（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是： ；
（4）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，如果要使一个n边形木架不变形，至少需要加 根
18．（2022八上·青田期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度数.
19．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF.
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数.
20．（2023八上·余姚期末）如图，在四边形中，P为边上的一点，.、分别是、的角平分线.
（1）若，则的度数为 ，的度数为 ；
（2）求证：；
（3）设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
21．（2022八上·义乌月考）如图：
（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．
求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为21，求△ACF与△BDE的面积之和．
22．（2021八上·鹿城期中）问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；
（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；
（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为 .
23．（2021八上·绍兴开学考）已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．
（1）
求证：BF＝CD+DE；
（2）
求证：∠FBE＝∠BAC
（3）
若∠C＝45°．求证：BD＝BG．
24．（2022八上·东阳期末）以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α.CD与BE相交于O，连接AO，如图①所示.
（1）求证：BE＝CD；
（2）判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由.
（3）在EB上取使F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、此图形不具有三角形的稳定性，故A不符合题意；
B、此图形具有三角形的稳定性，故B符合题意；
C、此图形不具有三角形的稳定性，故C不符合题意；
D、此图形不具有三角形的稳定性，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各个选项中的图形，可得到利用了三角形的稳定性的选项.
2．【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作图过程可知：AE=AD，EF=DF，又AF=AF，
∴△AEF≌△ADF，
∴∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，
∵ ∠BDF=50° ，
∴∠DAF+∠DFA=50°，
∴∠EAF+∠FAD+∠EFA+∠DFA=∠BAC+∠EFD=100°①，
又∵ ∠EFD-∠BAC=24° ②，
∴①-②得∠BAC=38°.
故答案为：D.
【分析】先利用SSS判断出△AEF≌△ADF，得∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，进而根据三角形外角性质得∠DAF+∠DFA=50°，推出∠BAC+∠EFD=100°①，结合∠EFD-∠BAC=24° ②，求解即可得出∠BAC的度数.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等，理由如下：
如图：连接DF，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DF=ED，
∴ 支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等.
故答案为：C.
【分析】连接DF，根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而利用SAS判断△AED≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等得出DF=ED，据此即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠E，根据ASA证明△ABC≌△EFD，可得AC=DE=6，根据AE=AC+DE-CD=10即可求解.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，
∵BE=DF，
∴BF=DE，
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（ASA）
∴AD=BC，AB=CD；
在△BCF和△DAE中
∴△BCF≌△DAE（SAS）
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴图中全等三角形共有3对.
故答案为：B
【分析】利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，由BE=DF可证得BF=DE；利用ASA证明△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性质可证得AD=BC，AB=CD；再利用SAS分别证明△BCF≌△DAE，△ABE≌△CDF，由此可得答案.
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、如图1，
∵∠B＝∠C＝x°，
∴∠BED+∠BDE＝180°-x°，∠BDE+∠CDF＝180°-x°，
∴∠BED＝∠CDF，
即BD和CF是对应边，BE和CD是对应边，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项符合题意；
D、由选项C可知：∠BED＝∠CDF，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS可判断出A、B选项中的两个三角形全等；C选项中，△BDE中给出的三个条件是两角及夹边，而△CDF中给出的三个条件是两角及其中一个角的对边，故不能判断两个三角形全等；D选项中可以根据ASA判断出两个三角形全等.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：延长FE交AD的延长线于点H，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠HAE，
∵FH∥AB，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠H＝∠HAE，
∴EA＝EH＝EF，设CF＝x，则EF＝EA＝EH＝x＋3，
∵∠H＝∠BAD，∠HDC＝∠ADB，DC＝DB，
∴△HDC≌△ADB（AAS），
∴AB＝CH=13，
∴x＋3＋3＝13，
∴x＝7，
∴CF=7.
故答案为：C.
【分析】延长FE交AD的延长线于点H，根据角平分线的定义及平行线的性质得∠H＝∠HAE，根据等角对等边得EA＝EH＝EF，设CF＝x，则EF＝EA＝EH＝x＋3，利用AAS判断出△HDC≌△ADB，根据全等三角形对应边相等得AB＝CH=13，从而根据CH的长度建立方程，求解可得x的值，从而即可得出CF的长.
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥AB于H ，如图，
平分 ， ， ，
，
点E是边AB上一动点，
.
故答案为：D.
【分析】过P点作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PD=6，进而根据垂线段最短即可得出PE的取值范围.
9．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：直线MN垂直平分线段BC，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
设∠B=∠BCD=x，
∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=2x，
∴∠ACD=180°-4x，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=180°-4x+x=180°-3x
又∵∠A=50°，
∴x=25°，
∴∠ACB=180°-3×25°=105°.
故答案为：C.
【分析】由题意得直线MN垂直平分线段BC，可得BD=CD，从而得∠B=∠BCD，设∠B=∠BCD=x，再利用外角性质可得到∠ACB=180°-3x，求得x=25°，代入即可求解.
10．【答案】B
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：
连接A'B'，
是，的中点，
，，
又与是对顶角，
，
在和中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
，
只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准.
故答案为：B.
【分析】利用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，根据全等三角形的对应边相等可得A'B'=AB，据此即可得出答案.
11．【答案】2＜AD＜8
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴10-6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8.
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），可得BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得AB-BE＜AE=2AD＜AB+BE，据此即可求解.
12．【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作于点F，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，根据同角的余角相等得∠CAF=∠ABE，用AAS判断△AEB≌△CFA，根据全等三角形的对应边相等得CF=AE=2，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
13．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
是边上的高，平分，交于点，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得DE=EF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
， ，
的周长为16，
，
，
，
， ，
，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AG=CG，根据三角形周长计算方法及等量代换可得BE+EG+CG=16，进而根据线段的和差即可得出答案.
15．【答案】16
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP= ，
∴∠ABP= ，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD=PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD=AB=16米.
故答案为：16
【分析】根据ASA证明△ABP≌△CDP，可得CD=AB=16米.
16．【答案】2；ASA
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵第二块有完整的两角和夹边，可以利用角边角定理找到和和原来三角形全等的三角形，符合题意，其他几块都没有三角形全等完整的的三要素.
故答案为：2，ASA.
【分析】根据三角形全等的判定定理进行分析，三角形全等有边角边、角角边、角边角和边边边等定理，逐一对照分析即可判断.
17．【答案】（1）三角形的稳定性
（2）一
（3）方法一
（4）（n﹣3）
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：（1）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是三角形的稳定性；
（2）下列图形具有稳定性的有直角三角形一个：
正方形、长方形、直角三角形、平行四边形
（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是：方法一；
（4）过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n﹣3）根木条固定．
故答案为：三角形的稳定性；一；方法一；（n﹣3）．
【分析】（1）利用三角形的稳定性进行解答；
（2）只有三角形具有稳定性，其他图形不具有稳定性；
（3）根据三角形的稳定性进行判断即可；
（4）根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
18．【答案】（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）解：∵∠BFD＝130°，∠BFD+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝50°，
由（1）知，△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACB＝50°.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）由BF＝EC可得BF+FC＝EC+FC，即得BC＝EF，根据SSS证明△ABC≌△DEF ；
（2）由邻补角可求出∠DFE＝50°，再利用全等三角形的对应角相等可得∠ACB＝∠DFE=50°.
19．【答案】（1）证明：∵在△AED和△CEF中
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°.
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得AE=CE，由对顶角的性质可得∠AED=∠CEF，由已知条件可知DE=EF，利用SAS证明△AED≌△CEF，得到∠A＝∠ACF，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠ACB＝∠ACF，由（1）可知∠A＝∠ACF，则∠A＝∠ACB，然后结合内角和定理进行计算.
20．【答案】（1）55°；90°
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55°，90°
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M.
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，则∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由内角和定理可得∠APB=90°，然后根据∠ABP=90°-∠BAP进行计算；
（2）延长BP交AD的延长线于点G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA证明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行线的性质可得∠CBP=∠DGP，证明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，据此解答；
（3）①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线与点F，则BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，据此求解；②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，由角平分线性质定理可得PM=PN，根据等面积法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根据AE=AN+EN进行解答.
21．【答案】（1）证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）证明：∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
同理：∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵CD＝2BD，∴BC＝3BD，
∵S△ABC BC×AH，S△ABD BD×AH，
∴S△ABD S△ABC 21＝7
由（2）知，△ABE≌△CAF，
∴S△ABE＝S△CAF，
∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝7，
即：△ACF与△BDE的面积之和等于7．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BDA=∠AFC=90°，根据等角的余角相等，得出∠ABD=∠ACF，利用AAS即可证出本题结论；
（2）根据题意先证出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，再利用ASA即可证出本题结论；
（3）过点A作AH⊥BC于H，利用三角形面积公式，根据CD与BD的数量关系，可得S△ABDS△ABC，再利用（2）中结论可得△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即可求出△ACF与△BDE的面积之和.
22．【答案】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）证明：如图③，
∵∠1＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∵∠2＝∠FCA+∠CAF，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF（ASA）
（3）1
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）如图④，∵△ABC的面积为3，CD＝2BD，
∴△ABD的面积＝ ×3＝1，
由（2）可得△ABE≌△CAF，
即：S△ACF＝S△ABE，
∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝1
即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积1.
故答案为：1.
【分析】（1）由垂直的概念可得∠BDA＝∠AFC＝90°，根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠CAF，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由外角的性质可得∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FCA+∠CAF，由角的和差关系可得∠BAC＝∠BAE+∠CAF，结合已知条件可得∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（3）由题意可得△ABD的面积＝1，由全等三角形的性质可得S△ACF＝S△ABE，则S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD，据此解答.
23．【答案】（1）证明：∵BF∥AC，∴∠BFO＝∠CAO，∠FBO＝∠ACO，
又∵AO为△ABC的中线，∴BO＝CO，
在△BOF与△COA中， ，
∴△BOF≌△COA（AAS），
∴BF＝CA＝CD+AD，
∵AD＝DE，
∴BF＝CD+DE
（2）证明：∵BD垂直平分AE，
∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，
又∵BF∥AC，
∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC
（3）证明：在△BAC与△EBF中， ，
∴△BAC≌△EBF（SAS），
∴∠BFE＝∠C＝45°，
∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠FEC＝45°
又∵∠BGE＝∠C+∠FEC＝90°＝∠BDE，
在△BEG与△BED中，
，
∴△BEG≌△BED（AAS），
∴BG＝BD．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据中线的定义得出BO＝CO，再利用AAS证明△BOF≌△COA ，得出BF=CA，结合AD＝DE，利用线段间的和差关系，即可解答；
(2)由题意得出BD垂直平分AE，则得BA=BE，可知∠BAC＝∠BEA，再结合平行线的性质，即可解答；
(3)利用SAS证明△BAC≌△EBF，结合∠C=45°，推出∠BGE=∠BDE=90°，再利用AAS证明△BEG≌△BED ，则可得出BG=BD.
24．【答案】（1）证明：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
∵AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=CD，
（2）解：∠AOD=∠AOE，理由如下，
过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如图，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ABE＝∠ADC，
又∵AD＝AB，
∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM＝AN，
∵AM⊥OD，AN⊥OE，
∴AO平分∠AOE，
∴∠AOD＝∠AOE，
（3）2∠AFO=180° α
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，
又∵EF＝CO，
∴△AEF≌△ACO（SAS），
∴∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，
∴结合（2）的结论有：∠AFO＝∠AOF＝∠AOD.
∵∠ADC=∠ABE，∠DAB＝α，
∴∠DAB＝∠DOB＝α，
∴2∠AFO＝2∠AOF=∠AOF+∠AOD=180°-∠DOB，
∴2∠AFO=180° α.
【分析】（1）根据∠DAB=∠CAE结合角的和差关系可得∠DAC=∠BAE，由已知条件可知AD=AB，AC=AE，利用SAS证明△DAC≌△BAE，据此可得结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，由垂直的概念可得∠AMD=∠ANB=90°，由全等三角形的性质可得∠ABE＝∠ADC，证明△ADM≌△ABN，得到AM＝AN，推出AO平分∠AOE，然后根据角平分线的概念进行解答；
（3）根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，证明△AEF≌△ACO，得到∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，结合（2）的结论有：∠AFO＝∠AOF＝∠AOD，则2∠AFO=2∠AOF=∠AOF+∠AOD=180°-∠DOB，据此解答.
1 / 12023年浙教版数学八年级上册1.5 三角形全等的判定 同步测试（提高版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022八上·余姚期中）下列生活实例中，利用了“三角形稳定性”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：A、此图形不具有三角形的稳定性，故A不符合题意；
B、此图形具有三角形的稳定性，故B符合题意；
C、此图形不具有三角形的稳定性，故C不符合题意；
D、此图形不具有三角形的稳定性，故D不符合题意；
故答案为：B
【分析】观察各个选项中的图形，可得到利用了三角形的稳定性的选项.
2．（2023八上·温州期末）如图，小亮进行以下操作：以点A为圆心，适当长为半径作圆弧分别交AB， AC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于DE长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠BAC内一点F，作射线AF．若∠BDF=50°，∠EFD-∠BAC=24°，则∠BAC等于（ ）
A．26° B．31° C．37° D．38°
【答案】D
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：由作图过程可知：AE=AD，EF=DF，又AF=AF，
∴△AEF≌△ADF，
∴∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，
∵ ∠BDF=50° ，
∴∠DAF+∠DFA=50°，
∴∠EAF+∠FAD+∠EFA+∠DFA=∠BAC+∠EFD=100°①，
又∵ ∠EFD-∠BAC=24° ②，
∴①-②得∠BAC=38°.
故答案为：D.
【分析】先利用SSS判断出△AEF≌△ADF，得∠EAF=∠DAF，∠EFA=∠DFA，进而根据三角形外角性质得∠DAF+∠DFA=50°，推出∠BAC+∠EFD=100°①，结合∠EFD-∠BAC=24° ②，求解即可得出∠BAC的度数.
3．（2023八上·温州期末）如图是某纸伞截面示意图，伞柄AP平分两条伞骨所成的角∠BAC．若支杆DF需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ）
A．BE B．AE C．DE D．DP
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等，理由如下：
如图：连接DF，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠BAD=∠CAD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴DF=ED，
∴ 支杆DF需要更换，则所换长度应与ED的长度相等.
故答案为：C.
【分析】连接DF，根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，从而利用SAS判断△AED≌△AFD，根据全等三角形的对应边相等得出DF=ED，据此即可得出答案.
4．（2022八上·上城期中）如图，点A、D、C、E在同一条直线上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠E，根据ASA证明△ABC≌△EFD，可得AC=DE=6，根据AE=AC+DE-CD=10即可求解.
5．（2022八上·青田月考）如图所示，AB∥CD，AD∥BC，BE＝DF，则图中全等三角形共有（ ）对．
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，
∵BE=DF，
∴BF=DE，
在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB（ASA）
∴AD=BC，AB=CD；
在△BCF和△DAE中
∴△BCF≌△DAE（SAS）
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF（SAS）
∴图中全等三角形共有3对.
故答案为：B
【分析】利用平行线的性质可证得∠ABF=∠CDE，∠ADE=∠CBF，由BE=DF可证得BF=DE；利用ASA证明△ABD≌△CDB，利用全等三角形的性质可证得AD=BC，AB=CD；再利用SAS分别证明△BCF≌△DAE，△ABE≌△CDF，由此可得答案.
6．（2022八上·义乌月考）有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，BC＝5，按下列方案用剪刀沿着箭头的方向剪开该纸片，得不到全等三角形纸片的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：A、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
C、如图1，
∵∠B＝∠C＝x°，
∴∠BED+∠BDE＝180°-x°，∠BDE+∠CDF＝180°-x°，
∴∠BED＝∠CDF，
即BD和CF是对应边，BE和CD是对应边，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项符合题意；
D、由选项C可知：∠BED＝∠CDF，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理SAS可判断出A、B选项中的两个三角形全等；C选项中，△BDE中给出的三个条件是两角及夹边，而△CDF中给出的三个条件是两角及其中一个角的对边，故不能判断两个三角形全等；D选项中可以根据ASA判断出两个三角形全等.
7．（2022八上·长兴月考）如图，在△ABC中，点D为BC的中点，△AEF的边EF过点C，且AE=EF，AB∥EF，AD平分∠BAE，CE=3，AB=13，则CF=（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图：延长FE交AD的延长线于点H，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠HAE，
∵FH∥AB，
∴∠H＝∠BAD，
∴∠H＝∠HAE，
∴EA＝EH＝EF，设CF＝x，则EF＝EA＝EH＝x＋3，
∵∠H＝∠BAD，∠HDC＝∠ADB，DC＝DB，
∴△HDC≌△ADB（AAS），
∴AB＝CH=13，
∴x＋3＋3＝13，
∴x＝7，
∴CF=7.
故答案为：C.
【分析】延长FE交AD的延长线于点H，根据角平分线的定义及平行线的性质得∠H＝∠HAE，根据等角对等边得EA＝EH＝EF，设CF＝x，则EF＝EA＝EH＝x＋3，利用AAS判断出△HDC≌△ADB，根据全等三角形对应边相等得AB＝CH=13，从而根据CH的长度建立方程，求解可得x的值，从而即可得出CF的长.
8．（2022八上·温州期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥AB于H ，如图，
平分 ， ， ，
，
点E是边AB上一动点，
.
故答案为：D.
【分析】过P点作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PD=6，进而根据垂线段最短即可得出PE的取值范围.
9．（2022八上·吴兴期中）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由题意可知：直线MN垂直平分线段BC，
∴BD=CD，
∴∠B=∠BCD，
设∠B=∠BCD=x，
∵CD=AC，
∴∠A=∠CDA=2x，
∴∠ACD=180°-4x，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=180°-4x+x=180°-3x
又∵∠A=50°，
∴x=25°，
∴∠ACB=180°-3×25°=105°.
故答案为：C.
【分析】由题意得直线MN垂直平分线段BC，可得BD=CD，从而得∠B=∠BCD，设∠B=∠BCD=x，再利用外角性质可得到∠ACB=180°-3x，求得x=25°，代入即可求解.
10．（2022八上·温州期中）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的卡钳，卡钳的工作原理是全等三角形的判定定理，其依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：卡钳的工作原理利用了三角形全等判定定理SAS，理由如下：
连接A'B'，
是，的中点，
，，
又与是对顶角，
，
在和中，
，
∴△AOB≌△A'OB'（SAS），
，
只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准.
故答案为：B.
【分析】利用SAS判断出△AOB≌△A'OB'，根据全等三角形的对应边相等可得A'B'=AB，据此即可得出答案.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2022八上·青田期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，则BC边上的中线AD的取值范围是 .
【答案】2＜AD＜8
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴10-6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案为2＜AD＜8.
【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，证明△BDE≌△CDA（SAS），可得BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三边关系得AB-BE＜AE=2AD＜AB+BE，据此即可求解.
12．（2022八上·余姚期中）如图，点D是等腰的边BC上的一点，过点B作于点E，连接CE，若，则的值是 ．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点C作于点F，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】过点C作CF⊥AD于点F，根据同角的余角相等得∠CAF=∠ABE，用AAS判断△AEB≌△CFA，根据全等三角形的对应边相等得CF=AE=2，进而根据三角形面积计算公式即可算出答案.
13．（2023八上·武义期末）如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，若的面积为9，则的长为 .
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过作于，
是边上的高，平分，交于点，
，
，
，
，
故答案为：3.
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质可得DE=EF，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14．（2022八上·海曙期中）在中，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，若，，且的周长为16，求 .
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： ∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
， ，
的周长为16，
，
，
，
， ，
，
故答案为：4.
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=BE，AG=CG，根据三角形周长计算方法及等量代换可得BE+EG+CG=16，进而根据线段的和差即可得出答案.
15．（2022八上·杭州期中）沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，////，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于P，垂足为D.已知米.请根据上述信息求标语AB的长度 .
【答案】16
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠CDP，
∵PD⊥CD，
∴∠CDP= ，
∴∠ABP= ，即PB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴PD=PB，
在△ABP与△CDP中，
，
∴△ABP≌△CDP（ASA），
∴CD=AB=16米.
故答案为：16
【分析】根据ASA证明△ABP≌△CDP，可得CD=AB=16米.
16．（2019八上·长兴月考）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有1、2、3、4的四块)．你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块。依据 。
【答案】2；ASA
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：∵第二块有完整的两角和夹边，可以利用角边角定理找到和和原来三角形全等的三角形，符合题意，其他几块都没有三角形全等完整的的三要素.
故答案为：2，ASA.
【分析】根据三角形全等的判定定理进行分析，三角形全等有边角边、角角边、角边角和边边边等定理，逐一对照分析即可判断.
三、解答题（共8题，共66分）
17．根据要求回答下列问题：
（1）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是 ；
（2）下列图形具有稳定性的有 个：
正方形、长方形、直角三角形、平行四边形
（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是： ；
（4）要使四边形木架（用4根木条钉成）不变形，至少需要加1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，如果要使一个n边形木架不变形，至少需要加 根
【答案】（1）三角形的稳定性
（2）一
（3）方法一
（4）（n﹣3）
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：（1）工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶的钢架，输电线的支架等，这里运用的三角形的性质是三角形的稳定性；
（2）下列图形具有稳定性的有直角三角形一个：
正方形、长方形、直角三角形、平行四边形
（3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，工人准备再钉上两根木条，如图的两种钉法中正确的是：方法一；
（4）过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，把多边形分成（n﹣2）个三角形，
所以，要使一个n边形木架不变形，至少需要（n﹣3）根木条固定．
故答案为：三角形的稳定性；一；方法一；（n﹣3）．
【分析】（1）利用三角形的稳定性进行解答；
（2）只有三角形具有稳定性，其他图形不具有稳定性；
（3）根据三角形的稳定性进行判断即可；
（4）根据三角形具有稳定性，需要的木条数等于过多边形的一个顶点的对角线的条数．
18．（2022八上·青田期中）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝130°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）解：∵∠BFD＝130°，∠BFD+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝50°，
由（1）知，△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACB＝50°.
【知识点】三角形全等的判定（SSS）
【解析】【分析】（1）由BF＝EC可得BF+FC＝EC+FC，即得BC＝EF，根据SSS证明△ABC≌△DEF ；
（2）由邻补角可求出∠DFE＝50°，再利用全等三角形的对应角相等可得∠ACB＝∠DFE=50°.
19．（2022八上·杭州期中）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝ED，连CF.
（1）求证：CF∥AB
（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数.
【答案】（1）证明：∵在△AED和△CEF中
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴∠A＝∠ACF，
∴CF∥AB；
（2）解：∵AC平分∠BCF，
∴∠ACB＝∠ACF，
∵∠A＝∠ACF，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝50°，
∴2∠A＝130°，
∴∠A＝65°.
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等的判定（SAS）；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据中点的概念可得AE=CE，由对顶角的性质可得∠AED=∠CEF，由已知条件可知DE=EF，利用SAS证明△AED≌△CEF，得到∠A＝∠ACF，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）根据角平分线的概念可得∠ACB＝∠ACF，由（1）可知∠A＝∠ACF，则∠A＝∠ACB，然后结合内角和定理进行计算.
20．（2023八上·余姚期末）如图，在四边形中，P为边上的一点，.、分别是、的角平分线.
（1）若，则的度数为 ，的度数为 ；
（2）求证：；
（3）设，，过点P作一条直线，分别与，所在直线交于点E、F，若，直接写出的长（用含a的代数式表示）
【答案】（1）55°；90°
（2）证明：如图1，延长交的延长线于点，
由（1）得，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
∴
（3）解：或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵、分别是、的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：55°，90°
（3）解：或，
分两种情况讨论，
①将沿向右平移到，且经过点P，交于点E，交的延长线与点F，则，
由（2）的证明过程，同理可证，
∴，
∴，
∵，，，
∴在中，，
解得，，
由（2）可知，，
∴；
②如图3，若点F在上，，过点P作与点N，与点M.
由角平分线性质定理可得，
在中，，
∴，
则，
在和
∵，，，
由勾股定理可得出，，
∴.
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，根据角平分线的概念可得∠ABP=∠ABC，∠BAP=∠BAD=35°，则∠ABP+∠BAP=(∠ABC+∠BAD)=90°，由内角和定理可得∠APB=90°，然后根据∠ABP=90°-∠BAP进行计算；
（2）延长BP交AD的延长线于点G，由（1）得∠APB=90°，利用ASA证明△ABP≌△AGP，得到BA=GA，BP=GP，由平行线的性质可得∠CBP=∠DGP，证明△BCP≌△GDP，得到BC=GD，据此解答；
（3）①将AB沿AD向右平移到EF，且经过点P，交AD于点E，交BC的延长线与点F，则BF=AE，由（2）可得AE=BF=EG，由勾股定理可得AB=5a，由（2）可知AG=AB=5a，据此求解；②若点F在BC上，EF=AB，过点P作PN⊥AD与点N，PM⊥AB与点M，由角平分线性质定理可得PM=PN，根据等面积法可得PM，由勾股定理可得AN、EN，然后根据AE=AN+EN进行解答.
21．（2022八上·义乌月考）如图：
（1）如图1，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF；
（2）如图2，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F都在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，且∠1＝∠2＝∠BAC．
求证：△ABE≌△CAF；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为21，求△ACF与△BDE的面积之和．
【答案】（1）证明：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）证明：∵∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
同理：∠BAE＝∠ACF，在△ABE和△CAF中，
，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；
（3）解：如图，过点A作AH⊥BC于H，
∵CD＝2BD，∴BC＝3BD，
∵S△ABC BC×AH，S△ABD BD×AH，
∴S△ABD S△ABC 21＝7
由（2）知，△ABE≌△CAF，
∴S△ABE＝S△CAF，
∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝7，
即：△ACF与△BDE的面积之和等于7．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠BDA=∠AFC=90°，根据等角的余角相等，得出∠ABD=∠ACF，利用AAS即可证出本题结论；
（2）根据题意先证出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，再利用ASA即可证出本题结论；
（3）过点A作AH⊥BC于H，利用三角形面积公式，根据CD与BD的数量关系，可得S△ABDS△ABC，再利用（2）中结论可得△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即可求出△ACF与△BDE的面积之和.
22．（2021八上·鹿城期中）问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
（1）特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；
（2）归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；
（3）拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为3，则△ACF与△BDE的面积之和为 .
【答案】（1）证明：如图②，∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌△CAF（AAS）；
（2）证明：如图③，
∵∠1＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，
∵∠2＝∠FCA+∠CAF，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠FCA，
在△ABE和△CAF中， ，
∴△ABE≌△CAF（ASA）
（3）1
【知识点】三角形的面积；三角形的外角性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：（3）如图④，∵△ABC的面积为3，CD＝2BD，
∴△ABD的面积＝ ×3＝1，
由（2）可得△ABE≌△CAF，
即：S△ACF＝S△ABE，
∴S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD＝1
即△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积1.
故答案为：1.
【分析】（1）由垂直的概念可得∠BDA＝∠AFC＝90°，根据同角的余角相等可得∠ABD＝∠CAF，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由外角的性质可得∠1＝∠BAE+∠ABE，∠2＝∠FCA+∠CAF，由角的和差关系可得∠BAC＝∠BAE+∠CAF，结合已知条件可得∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
（3）由题意可得△ABD的面积＝1，由全等三角形的性质可得S△ACF＝S△ABE，则S△ACF+S△BDE＝S△ABE+S△BDE＝S△ABD，据此解答.
23．（2021八上·绍兴开学考）已知：在△ABC中，BD是边AC的高，BE为∠CBD的角平分线，且AD＝DE．AO为△ABC的中线，延长AO到点F．使得BF∥AC．连接EF．EF交BC于点G．AF交BE于点H．
（1）
求证：BF＝CD+DE；
（2）
求证：∠FBE＝∠BAC
（3）
若∠C＝45°．求证：BD＝BG．
【答案】（1）证明：∵BF∥AC，∴∠BFO＝∠CAO，∠FBO＝∠ACO，
又∵AO为△ABC的中线，∴BO＝CO，
在△BOF与△COA中， ，
∴△BOF≌△COA（AAS），
∴BF＝CA＝CD+AD，
∵AD＝DE，
∴BF＝CD+DE
（2）证明：∵BD垂直平分AE，
∴BA＝BE，∠BAC＝∠BEA，
又∵BF∥AC，
∴∠BEA＝∠EBF＝∠BAC
（3）证明：在△BAC与△EBF中， ，
∴△BAC≌△EBF（SAS），
∴∠BFE＝∠C＝45°，
∵BF∥AC，∴∠BFE＝∠FEC＝45°
又∵∠BGE＝∠C+∠FEC＝90°＝∠BDE，
在△BEG与△BED中，
，
∴△BEG≌△BED（AAS），
∴BG＝BD．
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据中线的定义得出BO＝CO，再利用AAS证明△BOF≌△COA ，得出BF=CA，结合AD＝DE，利用线段间的和差关系，即可解答；
(2)由题意得出BD垂直平分AE，则得BA=BE，可知∠BAC＝∠BEA，再结合平行线的性质，即可解答；
(3)利用SAS证明△BAC≌△EBF，结合∠C=45°，推出∠BGE=∠BDE=90°，再利用AAS证明△BEG≌△BED ，则可得出BG=BD.
24．（2022八上·东阳期末）以△ABC的AB，AC为边作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝α.CD与BE相交于O，连接AO，如图①所示.
（1）求证：BE＝CD；
（2）判断∠AOD与∠AOE的大小，并说明理由.
（3）在EB上取使F，使EF＝OC，如图②，请直接写出∠AFO与α的数量关系.
【答案】（1）证明：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
∵AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE(SAS)，
∴BE=CD，
（2）解：∠AOD=∠AOE，理由如下，
过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，如图，
∵AM⊥CD，AN⊥BE，
∴∠AMD=∠ANB=90°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ABE＝∠ADC，
又∵AD＝AB，
∴△ADM≌△ABN（AAS），
∴AM＝AN，
∵AM⊥OD，AN⊥OE，
∴AO平分∠AOE，
∴∠AOD＝∠AOE，
（3）2∠AFO=180° α
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（3）∵△DAC≌△BAE，
∴∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，
又∵EF＝CO，
∴△AEF≌△ACO（SAS），
∴∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，
∴结合（2）的结论有：∠AFO＝∠AOF＝∠AOD.
∵∠ADC=∠ABE，∠DAB＝α，
∴∠DAB＝∠DOB＝α，
∴2∠AFO＝2∠AOF=∠AOF+∠AOD=180°-∠DOB，
∴2∠AFO=180° α.
【分析】（1）根据∠DAB=∠CAE结合角的和差关系可得∠DAC=∠BAE，由已知条件可知AD=AB，AC=AE，利用SAS证明△DAC≌△BAE，据此可得结论；
（2）过点A作AM⊥CD于点M，作AN⊥BE于点N，由垂直的概念可得∠AMD=∠ANB=90°，由全等三角形的性质可得∠ABE＝∠ADC，证明△ADM≌△ABN，得到AM＝AN，推出AO平分∠AOE，然后根据角平分线的概念进行解答；
（3）根据全等三角形的性质可得∠AEF＝∠ACO，AE＝AC，证明△AEF≌△ACO，得到∠AFE＝∠AOC，AF＝AO，结合（2）的结论有：∠AFO＝∠AOF＝∠AOD，则2∠AFO=2∠AOF=∠AOF+∠AOD=180°-∠DOB，据此解答.
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