2023年浙教版数学九年级上册2.4 概率的简单应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·太原模拟）一个机器人在一条直线上移动，每次只能向左或向右移动一个单位长度，移动2次后它回到出发位置的概率等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·钦州模拟），甲，乙两辆汽车即将经过该丁字路口，它们各自可能向左转或向右转，且两种情况的可能性相等，则它们经过丁字路口时，都向右转的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022九上·交城期末）小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
4．（2022·鄞州模拟）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
5．（2022·无棣模拟）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
A． B． C． D．
6．（2022·历城模拟）一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有个，黄、白色小球的数目相同、为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀…多次试验发现摸到红球的频率是，则估计黄色小球的数目是（ ）
A．2个 B．20个 C．40个 D．48个
7．（2021九上·山阴期末）如图，在学习完概率后，同学们要确定如图1所示的图钉顶尖触地的概率．他们采用分组的方法，在相同的情况下，抛掷图钉，根据抛掷的次数和顶尖触地的频率绘制了图2的频率统计图，根据频率统计图可知，下列说法中，正确的是（ ）
A．由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，因此抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率是0.5
B．抛掷3次，一定有1次顶尖触地
C．抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46
D．抛掷100次，顶尖触地的次数一定是46次
8．（2021·开江模拟）有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
10．（2021九上·凌海期中）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023·金山模拟）一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为．从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为 ．
12．（2023·青岛模拟）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个．
13．（2022九上·中山期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，其中黑球有5个．将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系如图所示，经分析可以推断盒子里白球有 .
14．（2022九上·五华期中）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ．
15．（2020九上·越城月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位．
三、解答题（共9题，共70分）
16．某商场为了吸引更多的顾客，安排了一个抽奖活动，并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次抽奖的机会.抽奖规则如下：在抽奖箱内，有100个牌子，分别写有1，2，3，…，100共100个数字，抽到末位数是5的可获20元购物券，抽到数字是88的可获200元购物券，抽到66或99的可获100元购物券.某顾客购物用了130元，他获得购物券的概率是多少 他获得20元、100元、200元购物券的概率分别是多少
17．抢30游戏:抢30游戏的规则是:第一个先说“1”或“1,2”,第二个人要接着往下说一个或两个数,然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数,这样两人反复轮流,每人每次说一个或两个数,但不可以不说或说三个数,谁先抢说到30,谁就获胜!该游戏公平吗 说说你的理由.
18．（2023·福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
19．（2023九上·西安期末）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢.
（1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果.
（2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平.
20．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
21．某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满188元者，有两种奖励方案供选择：第一种方案是直接获得18元的礼金券，第二种方案是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）
某种品牌化妆品 球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 12 24 12
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
22．如图，两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等分和3等分，并在每份内均标有数字．小花为甲、乙两人设计了一个游戏规则如下：同时自由转动转盘A、B；两个转盘停止后，（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），将两个指针所指份内的两个数字相乘，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，则乙胜．但小强认为这样的规则是不公平的．
（1）请你用一种合适的方法（例如画树状图、列表）帮忙小强说明理由；
（2）请你设计一个公平的规则，并说明理由．
23．小莉和哥哥玩扑克牌游戏，小莉有数字为1，2，3，5的四张牌，哥哥有数字为4，6，7，8的四张牌，按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉胜；如果和为奇数，则哥哥胜．
（1）请用数形图或列表法分别求出小莉胜和哥哥胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
24．（2021七下·城阳期末）提出问题：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？
建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？即最少需要摸出小球的个数是 ．
（2）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ；
（3）模型拓展二：在不透明口袋中装有n中颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ．
（4）问题解决：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出小球的个数是 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：机器人移动第一次后可能有2种位置，即在出发点的左侧一个单位长度或在出发点的右侧一个单位长度，
当第一次后，在出发点的左侧一个单位长度时，
第2次移动若向左移动一个单位长度到达离出发点的左侧2个单位长度，
第2次移动若向右移动一个单位长度回到出发位置；
当第一次后，在出发点的右侧一个单位长度时，
第2次移动若向右移动一个单位长度到达离出发点的右侧2个单位长度，
第2次移动若向左移动一个单位长度回到出发位置；
∴移动2次后它回到出发位置的概率等于．
故答案为：B
【分析】根据题意，找出规律求出移动2次后它回到出发位置的概率等于即可作答。
2．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：
可知共有4种等可能的结果，符合条件的只有1种，
故两辆汽车都向右转的概率为，
故答案为：A.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，表示出所有等可能出现的结果数，再从中找出都向右转的结果数，最后根据概率公式计算即可.
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为10cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上：=0.35，
解得：x=3.5，
∴不规则图案的面积大约为3.5cm2，
故答案为：B．
【分析】假设不规则图案的面积为x cm2，根据题意列出方程=0.35，再求出x=3.5即可。
4．【答案】A
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意；
取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；
取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；
取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意
故答案为：A．
【分析】根据题意共有：（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）种拿法，其中在直线y=x+4上的点有（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）四种，在直线y=-x+8上的有（1，7）、（2，6）、（3，5）三种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断A；16种取法中乘积不大于15的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）八种，乘积大于15的有（2，8）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）八种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断B；16种取法中乘积小于20的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）、（3，6）十种，种，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，根据各自的积分规则算出各自的积分，再比大小即可判断C；取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断D.
5．【答案】D
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；
而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种
∴田忌能赢得比赛的概率为，
故答案为：D.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设黄球的数目为x，则黄球和白球一共有2x个，
∵多次试验发现摸到红球的频率是，则摸出红色小球的概率为，
∴，
解得x=20，
则黄色小球的数目是20个．
故答案为：B．
【分析】设黄球的数目为x，则黄球和白球一共有2x个，根据题意列出方程求解即可。
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，但是顶尖触地和顶尖朝上的概率并不相同，故抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率不是0.5，此选项不符合题意；
B、抛掷3次，顶尖触地是个随机事件，不一定有1此顶尖触地，此选项说法不符合题意；
C、根据统计图可知，大量反复试验下，频率的稳定在0.46附近，即抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46，此选项符合题意；
D、抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46，并不意味着抛掷100次，顶尖触地的次数一定是46次，此说法不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据所给的频率统计图中的数据对每个选项一一判断即可。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率的简单应用
【解析】【解答】令△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0，
解得：a＞﹣1，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的数有0，1，2，3.
当二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象经过点（1，0）时，1﹣（a2+1）﹣a+2＝0，
解得：a1＝﹣2，a2＝1，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的数字为0，2，3，
∴该事件的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；再将（1，0）代入函数解析式求出a的值，由此可得到二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的数字有3个，然后利用概率公式可求解.
9．【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
10．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为 15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有： ＝0.4，
解得x＝6．
故答案为：A．
【分析】先求出长方形面积为 15m2，再求出 ＝0.4，最后计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】设红球、黄球和黑球的总个数为a，
∵红球、黄球、黑球的个数之比为，
∴红球的个数为：，
黄球的个数为：
黑球的个数为：，
∴摸到红球的概率为：P（摸到红球）=，
故答案为： .
【分析】利用概率公式求解即可。
12．【答案】24
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋中共有m个白球，则摸到红球的概率，
由题意得，，
解得，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
估计袋子中白球的数量是24个．
故答案为：24．
【分析】设袋中共有m个白球，则摸到红球的概率，再列出方程，最后求出m的值即可。
13．【答案】20个
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，摸出黑球的频率为0.2，
所以总的球数为： 个，
所以白球数量为： 个，
故答案为：20个．
【分析】先求出总球数，再求出白球的数量即可。
14．【答案】54000
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵经过大量重复试，点落入黑色部分的频率稳定在左右，
∴，
∴黑色部分的总面积，
故答案为：54000．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
15．【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 解：∵每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
∴ 要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要4位.
故答案为：4.
【分析】结合题意先求得当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率；当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率，再由题意即可得出答案.
16．【答案】解：顾客的消费额在100元到200元之间，因此可以获得一次抽奖的机会.在抽奖箱内，写有66，88，99的牌子各有1个，末位数字是5的牌子有10个.因此P(获得购物券)= ，P(获得20元购物券)= ，P(获得100元购物券)= ，P(获得200元购物券)=
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】先求出获得购物券的可能数：写有66，88，99的牌子各有1个，末位数字是5的牌子有10个，有13种可能，一共有100种结果数，利用概率公式可求出获得购物券的概率；获得20元购物券的有10种可能数，获得100元购物券的有2种可能数，获得200元购物券的有1种可能数，利用概率公式，分别求出获得20元、100元、200元购物券的概率。
17．【答案】解：不公平。只要能先抢说3的倍数就能先抢到30，因此选择第二个报数就能获胜，故不公平。
【知识点】游戏公平性
【解析】【分析】为了抢到30，则必须抢到27，那么不论对方说28还是29，你都能获胜. 以此类推，必须抢到24，21，18，，3. 因为每次说一个或两个数，但不可以不说或说三个数，所以选择第二个报数就能获胜. 游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的数与对方的和是3的倍数，即对方报n（1≤n≤2）个数字，你就报（3-n）个数. 抢数游戏，本质上是是否能被3整除的问题.
18．【答案】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）解：他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）由题意可得：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，其中摸到红球只有1种情况，然后利用概率公式进行计算；
（2）记往袋中加入的球为“新”，利用列表法列举出摸得的两球所有可能的结果，然后分加入的是红球、黄球，找出两球颜色相同的结果数，利用概率公式求出对应的概率，然后进行比较即可判断.
19．【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
（2）解：从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种，
所以小明获胜的概率为、小刚获胜的概率为，
故此游戏对两人是公平的.
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据列表法可得所有可能出现的结果；
（2）根据（1）的表格可得所有可能出现的情况数以及两次所掷数字的和为奇数、偶数的情况数，利用概率公式求出小明、小刚获胜的概率，然后进行比较即可判断.
20．【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
21．【答案】（1）解：树状图为：
∴一共有12种情况，摇出一红一白的情况共有8种，
∴摇出一红一白的概率= = ；
（2）解：∵两红的概率P= ，两白的概率P= ，一红一白的概率P= ，
∴摇奖的平均收益是： ×12+ ×24+ ×12=20元．
∵20＞18，
∴我选择摇奖.
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出树状图，求出所以可能的结果数及摇出一红一白的情况数，利用概率公式可解答。
（2）先分别求出两红、两白、一红一白的概率，再求出摇奖的平均收益，即可解答。
22．【答案】（1）解：列表如下： 因为P（积为奇数）= ，
P（积为偶数）= ，
所以甲获胜的机会大；
（2）解：公平的游戏规则不唯一，例如：如果自由转动两个转盘，转盘停止后，指针所指的两数之积为3的倍数时，甲获胜，否则乙获胜，
此时两人获胜的可能性均为 ．
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意，列表，求出所有可能的结果数，分别求出积为奇数和积为偶数的可能数，再分别求出奇数和积为偶数的概率，然后比较亮概率的大小，可得出结论。
（2）公平的游戏规则不唯一，只要甲获胜的概率和乙获胜的概率相等即可。
23．【答案】（1）解：画树状图得：一共有16种等可能结果，其中和为偶数的有6种，和为奇数的有10种，
所以小丽获胜的概率为 = 、哥哥获胜的概率为 = ；
（2）解：由（1）解答的结果可知：小莉获胜的概率为 ，哥哥去的概率为 ，
所以游戏不公平，对哥哥有利．
游戏规则改为：若和为偶数则小莉得，若和为奇数则哥哥得，则游戏是公平的．
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用已知条件，列出树状图，求出所有可能的结果数，再求出和为偶数的可能数及和为奇数的可能数，然后利用概率公式分别求出小丽获胜的概率和哥哥获胜的概率。
（1）比较（1）中的小丽获胜的概率和哥哥获胜的概率，判断游戏是否公平，然后再修改游戏规则，使两人获胜的概率相等即可。
24．【答案】（1）1+3（a-1）
（2）1+6=7；1+6×11=67；1+6（a-1）
（3）1+2n；1+n（a-1）
（4）145
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7．
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10；…
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？
即最少需要摸出小球的个数是1+3（a-1）．
故答案为：1+3（a-1）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、光、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6=7；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6×11=67；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+6（a-1）；
故答案为：1+6=7；1+6×11；1+6（a-1）；
模型拓展二：在不透明口袋中装有n种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是1+2n；
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+n（a-1）；
故答案为：1+2n；1+n（a-1）
问题解决：1+9×16=145．
故最少需摸出小球的个数是145．
故答案为：145．
【分析】（1）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（2）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（3）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（4）根据模型拓展得到的规律，列出算式计算即可求解。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册2.4 概率的简单应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·太原模拟）一个机器人在一条直线上移动，每次只能向左或向右移动一个单位长度，移动2次后它回到出发位置的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：机器人移动第一次后可能有2种位置，即在出发点的左侧一个单位长度或在出发点的右侧一个单位长度，
当第一次后，在出发点的左侧一个单位长度时，
第2次移动若向左移动一个单位长度到达离出发点的左侧2个单位长度，
第2次移动若向右移动一个单位长度回到出发位置；
当第一次后，在出发点的右侧一个单位长度时，
第2次移动若向右移动一个单位长度到达离出发点的右侧2个单位长度，
第2次移动若向左移动一个单位长度回到出发位置；
∴移动2次后它回到出发位置的概率等于．
故答案为：B
【分析】根据题意，找出规律求出移动2次后它回到出发位置的概率等于即可作答。
2．（2022·钦州模拟），甲，乙两辆汽车即将经过该丁字路口，它们各自可能向左转或向右转，且两种情况的可能性相等，则它们经过丁字路口时，都向右转的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意，画树状图如下：
可知共有4种等可能的结果，符合条件的只有1种，
故两辆汽车都向右转的概率为，
故答案为：A.
【分析】此题是抽取放回类型，根据题意画出树状图，表示出所有等可能出现的结果数，再从中找出都向右转的结果数，最后根据概率公式计算即可.
3．（2022九上·交城期末）小明为估计一个不规则图案的面积，采取了以下办法：首先用一个面积为10cm2的长方形将不规则图案围起来（如图①）；然后在一固定位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在边界线上或长方形区域外不计试验结果）；最后将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图．请估计不规则图案的面积大约为（ ）
A．4cm2 B．3.5 cm2 C．4.5 cm2 D．5 cm2
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：假设不规则图案的面积为x cm2，
由已知得：长方形面积为10cm2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，
综上：=0.35，
解得：x=3.5，
∴不规则图案的面积大约为3.5cm2，
故答案为：B．
【分析】假设不规则图案的面积为x cm2，根据题意列出方程=0.35，再求出x=3.5即可。
4．（2022·鄞州模拟）有2个信封，第一个信封内的四张卡片上分别写有1，2，3，4，第二个信封内的四张卡片上分别写有5，6，7，8，甲、乙两人商定了一个游戏，规则是：从这两个信封中各随机抽取一张卡片，得到两个数．为了使大量次游戏后对双方都公平，获胜规则不正确的是（ ）
A．第一个信封内取出的数作为横坐标，第二个信封内取出的数作为纵坐标，所确定的点在直线上甲获胜，所确定的点在直线上乙获胜
B．取出的两个数乘积不大于15甲获胜，否则乙获胜
C．取出的两个数乘积小于20时甲得3分，否则乙得5分，游戏结束后，累计得分高的人获胜
D．取出的两个数相加，如果得到的和为奇数，则甲获胜，否则乙获胜
【答案】A
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：在上的点有，，，四点；在上的点有，，三点，因此该游戏不公平，故A符合题意；
取出两个数的乘积不大于15的有5、6、7、8、10、12、14、15共8种情况，取出两个数的乘积大于15的有16、18、20、21、24、24、28、32共8种情况，因此该游戏公平，故B项不符合题意；
取出的两个数乘积小于20的情况数为10种，可得分，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，可得分，因此该游戏公平，故C项不符合题意；
取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，因此该游戏公平，故D项不符合题意
故答案为：A．
【分析】根据题意共有：（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）种拿法，其中在直线y=x+4上的点有（1，5）、（2，6）、（3，7）、（4，8）四种，在直线y=-x+8上的有（1，7）、（2，6）、（3，5）三种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断A；16种取法中乘积不大于15的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）八种，乘积大于15的有（2，8）、（3，6）、（3，7）、（3，8）、（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）八种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断B；16种取法中乘积小于20的有（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（3，5）、（3，6）十种，种，取出的两个数乘积不小于20的情况数为6种，根据各自的积分规则算出各自的积分，再比大小即可判断C；取出的两个数相加和为奇数有8种，和不为奇数的有8种，根据概率公式算出各自获胜的概率，再比较即可判断D.
5．（2022·无棣模拟）看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6则田忌能赢得比赛的概率为（ ）
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：齐王的三匹马出场顺序为10，8，6；
而田忌的三匹马出场顺序为5，7，9；5，9，7；7，5，9；7，9，5；9，5，7；9，7，5；共6种，田忌能赢得比赛的有5，9，7；一种
∴田忌能赢得比赛的概率为，
故答案为：D.
【分析】先求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
6．（2022·历城模拟）一个不透明的布袋中，装有红、黄、白三种只有颜色不同的小球，其中红色小球有个，黄、白色小球的数目相同、为估计袋中黄色小球的数目，每次将袋中小球搅匀后摸出一个小球记下颜色，再次搅匀…多次试验发现摸到红球的频率是，则估计黄色小球的数目是（ ）
A．2个 B．20个 C．40个 D．48个
【答案】B
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设黄球的数目为x，则黄球和白球一共有2x个，
∵多次试验发现摸到红球的频率是，则摸出红色小球的概率为，
∴，
解得x=20，
则黄色小球的数目是20个．
故答案为：B．
【分析】设黄球的数目为x，则黄球和白球一共有2x个，根据题意列出方程求解即可。
7．（2021九上·山阴期末）如图，在学习完概率后，同学们要确定如图1所示的图钉顶尖触地的概率．他们采用分组的方法，在相同的情况下，抛掷图钉，根据抛掷的次数和顶尖触地的频率绘制了图2的频率统计图，根据频率统计图可知，下列说法中，正确的是（ ）
A．由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，因此抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率是0.5
B．抛掷3次，一定有1次顶尖触地
C．抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46
D．抛掷100次，顶尖触地的次数一定是46次
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、由于图钉只能顶尖触地和顶尖朝上，但是顶尖触地和顶尖朝上的概率并不相同，故抛掷一枚图钉时，顶尖朝上的概率不是0.5，此选项不符合题意；
B、抛掷3次，顶尖触地是个随机事件，不一定有1此顶尖触地，此选项说法不符合题意；
C、根据统计图可知，大量反复试验下，频率的稳定在0.46附近，即抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46，此选项符合题意；
D、抛掷一枚图钉，顶尖触地的概率是0.46，并不意味着抛掷100次，顶尖触地的次数一定是46次，此说法不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据所给的频率统计图中的数据对每个选项一一判断即可。
8．（2021·开江模拟）有七张正面分别标有数字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率的简单应用
【解析】【解答】令△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0，
解得：a＞﹣1，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根的数有0，1，2，3.
当二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象经过点（1，0）时，1﹣（a2+1）﹣a+2＝0，
解得：a1＝﹣2，a2＝1，
∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的数字为0，2，3，
∴该事件的概率为 ，
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得到b2-4ac＞0，建立关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围；再将（1，0）代入函数解析式求出a的值，由此可得到二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的数字有3个，然后利用概率公式可求解.
9．（2018九上·绍兴月考）甲乙两人轮流在黑板上写下不超过 的正整数（每次只能写一个数），规定禁止在黑板上写已经写过的数的约数，最后不能写的为失败者，如果甲写第一个，那么，甲写数字（ ）时有必胜的策略．
A．10 B．9 C．8 D．6
【答案】D
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】对于选项A：当甲写10时，乙可以写3、4、6、7、8、9，如果乙写7，则乙必胜，因为无论甲写3，4，6，8，9这五个数中的6(连带3)或8(连带4)，乙可以写4或3，剩下2个数字；当甲写3或4时，乙可以写8(连带4)或6(连带3)，剩下偶数个数字甲最后不能写，乙必胜；
对于选项B：当甲写9后，乙可以写2、4、5、6、7、8、10，如果乙写6，则乙必胜，因为剩下4、5、7、8、10这5个数中，无论甲写8(连带4)或10(连带5)，乙可以写5或4；当甲写4或5时，乙可以写10(连带5)或8(连带4)，甲最后不能写，乙必胜；
对于选项C：当甲写8时，乙可以写3、5、6、7、9、10，当乙写6(或10)时，甲就必须写10(或6)，因为乙写6(或10)后，连带3(或5)也不能写了，这样才能保证剩下能写的数有偶数个，甲才可以获胜；
对于选项D： 甲先写6，由于6的约数有1，2，3，6，接下来乙可以写的数只有4、5、7、8、9、10，把这6个数分成三组：(4，7)、(5，8)、(9，10)，当然也可(4，5)、(8，10)、(7，9)或(4，9)、(5，7)、(8，10)等等，只要组内两数大数不是小数的倍数即可，这样，乙写某组数中的某个数时，甲就写同组中的另一数，从而甲一定写最后一个，甲必获胜，
综上可知，只有甲先写6，才能必胜，
故答案为：D.
【分析】根据游戏规则，分别将四个答案，一一分析，判断出最后一个能书写的是谁即可得出答案。
10．（2021九上·凌海期中）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为 15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有： ＝0.4，
解得x＝6．
故答案为：A．
【分析】先求出长方形面积为 15m2，再求出 ＝0.4，最后计算求解即可。
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023·金山模拟）一个不透明的袋中装有除颜色外大小形状都相同的三种球，其中红球、黄球、黑球的个数之比为．从袋子中任意摸出1个球，结果是红球的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】设红球、黄球和黑球的总个数为a，
∵红球、黄球、黑球的个数之比为，
∴红球的个数为：，
黄球的个数为：
黑球的个数为：，
∴摸到红球的概率为：P（摸到红球）=，
故答案为： .
【分析】利用概率公式求解即可。
12．（2023·青岛模拟）元旦期间，某游乐场发布一游戏规则：在一个装有6个红球和若干个白球的不透明袋子中，随机摸出一个球，摸到红球就可获得欢动世界通票一张．已知有300人参加这个游戏，游乐场为此发放欢动世界通票60张，请你估计袋子中白球的数量是 个．
【答案】24
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设袋中共有m个白球，则摸到红球的概率，
由题意得，，
解得，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
估计袋子中白球的数量是24个．
故答案为：24．
【分析】设袋中共有m个白球，则摸到红球的概率，再列出方程，最后求出m的值即可。
13．（2022九上·中山期末）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，其中黑球有5个．将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系如图所示，经分析可以推断盒子里白球有 .
【答案】20个
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：根据图象可知，摸出黑球的频率为0.2，
所以总的球数为： 个，
所以白球数量为： 个，
故答案为：20个．
【分析】先求出总球数，再求出白球的数量即可。
14．（2022九上·五华期中）如图是小明的健康绿码示意图，用黑白打印机打印于边长为的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 ．
【答案】54000
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵经过大量重复试，点落入黑色部分的频率稳定在左右，
∴，
∴黑色部分的总面积，
故答案为：54000．
【分析】根据题意先求出，再计算求解即可。
15．（2020九上·越城月考）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于 ，则密码的位数至少需要 位．
【答案】4
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】 解：∵每个数位上的数都是0到9的自然数，
∴当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率为：P=，
∴ 要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要4位.
故答案为：4.
【分析】结合题意先求得当密码为三位数时，一次就拨对密码的概率；当密码为四位数时，一次就拨对密码的概率，再由题意即可得出答案.
三、解答题（共9题，共70分）
16．某商场为了吸引更多的顾客，安排了一个抽奖活动，并规定：顾客每购买100元商品，就能获得一次抽奖的机会.抽奖规则如下：在抽奖箱内，有100个牌子，分别写有1，2，3，…，100共100个数字，抽到末位数是5的可获20元购物券，抽到数字是88的可获200元购物券，抽到66或99的可获100元购物券.某顾客购物用了130元，他获得购物券的概率是多少 他获得20元、100元、200元购物券的概率分别是多少
【答案】解：顾客的消费额在100元到200元之间，因此可以获得一次抽奖的机会.在抽奖箱内，写有66，88，99的牌子各有1个，末位数字是5的牌子有10个.因此P(获得购物券)= ，P(获得20元购物券)= ，P(获得100元购物券)= ，P(获得200元购物券)=
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】先求出获得购物券的可能数：写有66，88，99的牌子各有1个，末位数字是5的牌子有10个，有13种可能，一共有100种结果数，利用概率公式可求出获得购物券的概率；获得20元购物券的有10种可能数，获得100元购物券的有2种可能数，获得200元购物券的有1种可能数，利用概率公式，分别求出获得20元、100元、200元购物券的概率。
17．抢30游戏:抢30游戏的规则是:第一个先说“1”或“1,2”,第二个人要接着往下说一个或两个数,然后又轮到第一个人，再接着往下说一个或两个数,这样两人反复轮流,每人每次说一个或两个数,但不可以不说或说三个数,谁先抢说到30,谁就获胜!该游戏公平吗 说说你的理由.
【答案】解：不公平。只要能先抢说3的倍数就能先抢到30，因此选择第二个报数就能获胜，故不公平。
【知识点】游戏公平性
【解析】【分析】为了抢到30，则必须抢到27，那么不论对方说28还是29，你都能获胜. 以此类推，必须抢到24，21，18，，3. 因为每次说一个或两个数，但不可以不说或说三个数，所以选择第二个报数就能获胜. 游戏的关键是报数先后顺序，并且每次报的数与对方的和是3的倍数，即对方报n（1≤n≤2）个数字，你就报（3-n）个数. 抢数游戏，本质上是是否能被3整除的问题.
18．（2023·福建）为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会．
（1）求该顾客首次摸球中奖的概率；
（2）假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由
【答案】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果．
记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种，
所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为．
（2）解：他应往袋中加入黄球．
理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新
红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③
共有20种等可能结果．
（ⅰ）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
（ⅱ）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，此时该顾客获得精美礼品的概率；
因为，所以，所作他应往袋中加入黄球．
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）由题意可得：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果，其中摸到红球只有1种情况，然后利用概率公式进行计算；
（2）记往袋中加入的球为“新”，利用列表法列举出摸得的两球所有可能的结果，然后分加入的是红球、黄球，找出两球颜色相同的结果数，利用概率公式求出对应的概率，然后进行比较即可判断.
19．（2023九上·西安期末）在学校开展的数学活动课上，小明和小刚制作了一个正三棱锥（质量均匀，四个面完全相同），并在各个面上分别标记数字1，2，3，4，游戏规则如下：每人投掷三棱锥一次，并记录底面的数字，如果底面数字的和为奇数，那么小明赢；如果底面数字的和为偶数，那么小刚赢.
（1）请用列表或画树状图的方法表示上述游戏中的所有可能结果.
（2）请分别求出小明和小刚能赢的概率，并判断此游戏对双方是否公平.
【答案】（1）解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
（2）解：从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次所掷数字的和为奇数的情况有8种，和为偶数的有8种，
所以小明获胜的概率为、小刚获胜的概率为，
故此游戏对两人是公平的.
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据列表法可得所有可能出现的结果；
（2）根据（1）的表格可得所有可能出现的情况数以及两次所掷数字的和为奇数、偶数的情况数，利用概率公式求出小明、小刚获胜的概率，然后进行比较即可判断.
20．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为 ，向左转和直行的频率均为 .
（1）假设平均每天通过该路口的汽车为5000辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
（2）目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
【答案】（1）解：汽车在此左转的车辆数为5000× ＝1500(辆)，(2分)在此右转的车辆数为5000× ＝2000(辆)，(4分)在此直行的车辆数为5000× ＝1500(辆)．
（2）解：根据频率估计概率的知识，得P(汽车向左转)＝ ，P(汽车向右转)＝ ，P(汽车直行)＝ .(9分)∴可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)，右转绿灯亮的时间为90× ＝36(秒)，直行绿灯亮的时间为90× ＝27(秒)
【知识点】概率的简单应用
【解析】【分析】（1）分别用5000乘以汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
（2）由汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为30秒，据此可分别求出调整绿灯亮的时间，分别用90乘以 汽车在此十字路口向右转的频率、向左转和直行的频率，分别列式计算，就可求出答案。
21．某化妆品专卖店，为了吸引顾客，在“母亲节”当天举办了某种品牌化妆品有奖酬宾活动，凡购物满188元者，有两种奖励方案供选择：第一种方案是直接获得18元的礼金券，第二种方案是得到一次摇奖的机会．已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如表）
某种品牌化妆品 球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 12 24 12
（1）请你用列表法（或画树状图法）求一次连续摇出一红一白两球的概率．
（2）如果一名顾客当天在本店购物满188元，若只考虑获得最多的礼品券，请你帮助分析选择哪种方案较为实惠．
【答案】（1）解：树状图为：
∴一共有12种情况，摇出一红一白的情况共有8种，
∴摇出一红一白的概率= = ；
（2）解：∵两红的概率P= ，两白的概率P= ，一红一白的概率P= ，
∴摇奖的平均收益是： ×12+ ×24+ ×12=20元．
∵20＞18，
∴我选择摇奖.
【知识点】列表法与树状图法；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据题意列出树状图，求出所以可能的结果数及摇出一红一白的情况数，利用概率公式可解答。
（2）先分别求出两红、两白、一红一白的概率，再求出摇奖的平均收益，即可解答。
22．如图，两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等分和3等分，并在每份内均标有数字．小花为甲、乙两人设计了一个游戏规则如下：同时自由转动转盘A、B；两个转盘停止后，（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），将两个指针所指份内的两个数字相乘，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，则乙胜．但小强认为这样的规则是不公平的．
（1）请你用一种合适的方法（例如画树状图、列表）帮忙小强说明理由；
（2）请你设计一个公平的规则，并说明理由．
【答案】（1）解：列表如下： 因为P（积为奇数）= ，
P（积为偶数）= ，
所以甲获胜的机会大；
（2）解：公平的游戏规则不唯一，例如：如果自由转动两个转盘，转盘停止后，指针所指的两数之积为3的倍数时，甲获胜，否则乙获胜，
此时两人获胜的可能性均为 ．
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）根据题意，列表，求出所有可能的结果数，分别求出积为奇数和积为偶数的可能数，再分别求出奇数和积为偶数的概率，然后比较亮概率的大小，可得出结论。
（2）公平的游戏规则不唯一，只要甲获胜的概率和乙获胜的概率相等即可。
23．小莉和哥哥玩扑克牌游戏，小莉有数字为1，2，3，5的四张牌，哥哥有数字为4，6，7，8的四张牌，按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉胜；如果和为奇数，则哥哥胜．
（1）请用数形图或列表法分别求出小莉胜和哥哥胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【答案】（1）解：画树状图得：一共有16种等可能结果，其中和为偶数的有6种，和为奇数的有10种，
所以小丽获胜的概率为 = 、哥哥获胜的概率为 = ；
（2）解：由（1）解答的结果可知：小莉获胜的概率为 ，哥哥去的概率为 ，
所以游戏不公平，对哥哥有利．
游戏规则改为：若和为偶数则小莉得，若和为奇数则哥哥得，则游戏是公平的．
【知识点】列表法与树状图法；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先利用已知条件，列出树状图，求出所有可能的结果数，再求出和为偶数的可能数及和为奇数的可能数，然后利用概率公式分别求出小丽获胜的概率和哥哥获胜的概率。
（1）比较（1）中的小丽获胜的概率和哥哥获胜的概率，判断游戏是否公平，然后再修改游戏规则，使两人获胜的概率相等即可。
24．（2021七下·城阳期末）提出问题：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？
建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
（1）在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？即最少需要摸出小球的个数是 ．
（2）模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、黄、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是 ；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ；
（3）模型拓展二：在不透明口袋中装有n中颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a<50），则最少需摸出小球的个数是 ．
（4）问题解决：在不透明口袋中放入16种颜色的小球（小球除颜色外完全相同）各50个，现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有10个是同色的，则最少需摸出小球的个数是 ．
【答案】（1）1+3（a-1）
（2）1+6=7；1+6×11=67；1+6（a-1）
（3）1+2n；1+n（a-1）
（4）145
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：建立模型：为解决上面的“问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、蓝三种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在要确保从口袋中随机摸出的小球至少有4个是同色的，则最少需要摸出多少个小球？为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
①我们首先考虑最简单的情况：既要确保从口袋中摸出的小球至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是它们的颜色各不相同，那么只需要再从袋中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即最少需要摸出小数的个数是：1+3=4；
②若要确保从口袋中摸出的小球至少有3个是同色的呢？
我们只需要在①的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可以确保至少有3个小球同色，即最少需摸出小球的个数是：1+3×2=7．
③若要确保从口袋中摸出的小球至少有4个小球同色，即最少需要摸出小球的个数是：1+3×3=10；…
④若要确保从口袋中摸出的小球至少有a个是同色的呢？
即最少需要摸出小球的个数是1+3（a-1）．
故答案为：1+3（a-1）
模型拓展一：在不透明的口袋中装有红、光、蓝、白、绿、紫六种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现在从袋中随机摸球：
①若要确保摸出的小球至少有2个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6=7；
②若要确保摸出的小球至少有12个同色，则最少需摸出小球的个数是1+6×11=67；
③若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+6（a-1）；
故答案为：1+6=7；1+6×11；1+6（a-1）；
模型拓展二：在不透明口袋中装有n种颜色的小球各50个（除颜色外完全相同），现从袋中随机魔球：
①若要确保摸出的小球至少有3个同色，则最少需摸出小球的个数是1+2n；
②若要确保摸出的小球至少有a个同色（a＜50），则最少需摸出小球的个数是1+n（a-1）；
故答案为：1+2n；1+n（a-1）
问题解决：1+9×16=145．
故最少需摸出小球的个数是145．
故答案为：145．
【分析】（1）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（2）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（3）利用类比和转化的思想结合活动中获得的数学经验与知识解决实际问题；
（4）根据模型拓展得到的规律，列出算式计算即可求解。
1 / 1
