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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.1 比例线段（2）
【知识重点】
知识点一：两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
知识点二：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
【经典例题】
【例1】若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝4cm，c＝2cm，d＝8cm，则线段a的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．8cm D．16cm
【例2】在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
【例3】如果点C是线段AB延长线上的—点，且 ，那么 等于（ ）
A．5：2 B．1：2 C．3：2 D．2：3
【例4】如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比．
【基础训练】
1．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
2．下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，4，8 D．1，2，3，9
3．已知线段a、b、c满足，其中a=4cm、b=12cm，则c的长度为( )
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
4．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（ ）．
A．5． 3米 B．4.8米 C．4.0米 D．2.7米
5．四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为 ．
6．甲、乙两城间的图上距离约为5cm，在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两城间的实际距离约为 cm.
7．已知点C在线段AB上，且AC＝5CB，则CB：AB＝ ．
8．已知三条线段长为1，2， ，请你添上一条线段使它们构成一组成比例线段，则这条线段是 .（只填一个）
9．已知 四条线段依次成比例，其中 ， ， ， ．求 的值．
10．同学们，现在有四条线段： ，请你判断一下，它们是不是比例线段，你能试着写出五组比例线段吗？
【培优训练】
11．已知 ，则 的第四比例项是（ ）
A．5cm B． cm C． cm D． cm
12．如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
13．如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（ ）
A． ：1 B．1： C． ：1 D．1：
14．将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为，，，.则，，，成比例的概率为 .
15．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且，，，则AE的长为 ．
16．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.5m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为1m，又测得地面的影长为1.5m，请你帮她算一下，树高为 .
17．若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上， ，且 ，求PQ的长．
18．在Rt △ABC中，斜边AB＝205， ，试求AC，BC的值。
19．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
20．如图，在 中， ，BD是AC边上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求：
（1）
（2）
（3）再找两条线段和AB、BC构成比例线段．
【直击中考】
21．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 km．
22．湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.1 比例线段（2）
【知识重点】
知识点一：两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
知识点二：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。
【经典例题】
【例1】若四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝4cm，c＝2cm，d＝8cm，则线段a的长为（ ）
A．1cm B．4cm C．8cm D．16cm
【答案】A
【解析】∵四条线段a，b，c，d成比例，
∴a：b=c：d即a：4=2：8，
解之：a=1.
故答案为：A
【例2】在比例尺为1：100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm，它的实际长度约为（ ）
A．100km B．2000m C．10km D．20km
【答案】B
【解析】设实际长度为xcm，
∴比例尺=，
∴x=200000cm=2000m，
∴它的实际长度约为2000m，
故答案为：B.
【例3】如果点C是线段AB延长线上的—点，且 ，那么 等于（ ）
A．5：2 B．1：2 C．3：2 D．2：3
【答案】C
【解析】根据题意可画出下图：
，设 ，则 ，
，
．
故答案为：C．
【例4】如图，一个矩形剪去一个以宽为边长的正方形后，剩下的矩形长与宽的比与原矩形长与宽的比相等，求原矩形的长与宽的比．
【答案】解：设原矩形的长是a，宽是b，则DE＝CF＝a－b，已知 ＝ ，即 ＝ ，整理，得a2－ab－b2＝0，两边同除以b2，得( )2－ －1＝0，解得 ＝ 或 (舍去)．∴长与宽的比为 .
【基础训练】
1．下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
【答案】C
【解析】A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
2．下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，4，8 D．1，2，3，9
【答案】D
【解析】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D.
3．已知线段a、b、c满足，其中a=4cm、b=12cm，则c的长度为( )
A．9cm B．18cm C．24cm D．36cm
【答案】D
【解析】∵，a＝4cm，b＝12cm，
∴，
∴c＝36cm，
故答案为：D．
4．某同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，与他相邻的一棵树的影长为3.6米，则这棵树的高度为（ ）．
A．5． 3米 B．4.8米 C．4.0米 D．2.7米
【答案】B
【解析】根据同一时刻物体的高度和物体的影长成比例可得：1.6：1.2=树高：3.6，则可解得树高为4.8m.
故答案为：B
5．四条线股a、b、c、d成比例，其中cm，cm，cm，则b的长为 ．
【答案】4cm或16cm或cm
【解析】∵四条线段a、b、c、d成比例，
∴，或，或，
∴，或，或，
∵，，，
∴，或，或，
解得：，或，或．
故答案为：4cm或16cm或cm．
6．甲、乙两城间的图上距离约为5cm，在比例尺为1：5000的地图上，甲、乙两城间的实际距离约为 cm.
【答案】25000
【解析】设甲、乙两城间的实际距离为xcm，则：
，
解得：x=25000.
经检验x=25000是原方程的解.
故答案为：25000.
7．已知点C在线段AB上，且AC＝5CB，则CB：AB＝ ．
【答案】1：6
【解析】如图所示，
∵AC=5BC，
∴AB=AC+NC=6BC，
∴CB：AB=1：6，
故答案为：1：6．
8．已知三条线段长为1，2， ，请你添上一条线段使它们构成一组成比例线段，则这条线段是 .（只填一个）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由题意可得1×2÷ ＝ ，或1× ÷2＝ ，或2× ÷1＝2 .
所以所求的线段的长度为： 或 或2 .
故答案为：2（答案不唯一）.
9．已知 四条线段依次成比例，其中 ， ， ， ．求 的值．
【答案】解：∵ 四条线段依次成比例，∴ ．∵ ， ， ， ，∴ ，∴ ．故 的值为 ．
10．同学们，现在有四条线段： ，请你判断一下，它们是不是比例线段，你能试着写出五组比例线段吗？
【答案】解：因为5 60=15 20，即a：c=b：d，
所以这四条线段是比例线段，
a=2cm，b=4cm，c=8cm，d=16cm，
a=5m，b=20m，c=40m，d=160m，
a=1cm，b=2cm，c=3cm，d=6cm，
a=3m，b=9m，c=12m，d=36m，
a=7cm，b=8cm，c=14cm，d=16cm，
以上五组都是比例线段.
【培优训练】
11．已知 ，则 的第四比例项是（ ）
A．5cm B． cm C． cm D． cm
【答案】D
【解析】a+b=2+3=5cm，
设第四比例项是x，则 ，
解得：x= cm，
故答案为：D.
12．如图，一电线杆AB的影子分别落在地上和墙上，某一时刻，小明竖起1m高的直杆，量得其影长为0.5m，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3m，落在墙上的影子CD的高为2m，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为（ ）
A．5m B．6m C．7m D．8m
【答案】D
【解析】如图：假设没有墙CD，则影子落在点E，
∵身高与影长成正比例，
∴CD：DE=1：0.5，
∴DE=1米，
∴AB：BE=1：0.5，
∵BE=BD+DE=4，
，
∴AB=8米.
故答案为：D.
13．如图所示，一张矩形纸片ABCD的长AB=acm，宽BC=bcm，E、F分别为AB、CD的中点，这张纸片沿直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b等于（ ）
A． ：1 B．1： C． ：1 D．1：
【答案】A
【解析】∵b： =a：b，
∴a2=2b2，∴a= b，
则a：b= ：1．
故答案为：A
14．将2，3，4，6这四个数随机排列，排列结果记为，，，.则，，，成比例的概率为 .
【答案】
【解析】四个数随机排列，第一个数有4种情况，第二个数有3种情况，第三个数有2种情况，第四个数有一种情况，一共有：种不同的排列方法，
能够成比例的有：2、3、4、6；2、4、3、6；6、3、4、2；6、4、3、2；3、2、6、4；3、6、2、4；4、6、2、3；4、2、3、6；一共8种情况；
∴，
故答案为：.
15．如图，线段AB的长为1，C在AB上，D在AC上，且，，，则AE的长为 ．
【答案】
【解析】设AC=x，则BC=AB-AC=1-x，
∵AC2=BC AB，
∴x2=1-x，
解得：（不合题意，舍去），
∴AC= ，
∵AD2=CD AC，
∴同理可得AD= ，
∵AE2=DE AD，
∴同理可得AE=；
故答案为：．
16．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.5m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），她先测得留在墙壁上的影高为1m，又测得地面的影长为1.5m，请你帮她算一下，树高为 .
【答案】4m
【解析】如图所示：过点D作DC⊥AB于点C，连接AE，
由题意可得：DE=BC=1m，BE=1.5m，
∵一根长为1m的竹竿的影长是0.5m，
∴AC=2CD=3m，
故AB=3+1=4（m）.
故答案为：4m.
17．若P在线段AB上，点Q在AB的延长线上， ，且 ，求PQ的长．
【答案】解：设AP＝3x，BP＝2x，∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10，∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4.∵ ，∴可设BQ＝y，则AQ＝AB＋BQ＝10＋y，∴ ，解得y＝20，∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24.
18．在Rt △ABC中，斜边AB＝205， ，试求AC，BC的值。
【答案】解：设AC=9x，BC=40x，
根据勾股定理可得 ，即 ，
解得x=5.
∴AC=45，BC=200.
19．在△ABC中，AB＝12，点E在AC上，点D在AB上，若AE＝6，EC＝4， 。
（1）求AD的长；
（2）试问 能成立吗？请说明理由。
【答案】（1）解：设AD=x，则BD=AB-AD=（12-x）cm，
x：12-x=6：4，
解得x=7.2，
∴AD=7.2
（2）解：能，
由AB＝12，AD＝ ，
故DB＝ .
于是 ，
又 ，
故 .
20．如图，在 中， ，BD是AC边上的高，已知BC=5厘米，AC=13厘米．求：
（1）（2）（3）再找两条线段和AB、BC构成比例线段．
【答案】（1）解：在 中， ，BC=5厘米，AC=13厘米， 厘米．
（2）解：在 中， ：
（3）解：∵AB：AC=BD：BC
∴和AB、BC构成比例线段的两条线段是AC，BD
【直击中考】
21．在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm，则该道路的实际长度是 km．
【答案】2.8
【解析】设这条道路的实际长度为x，则： ，
解得x=280000cm=2.8km．
∴这条道路的实际长度为2.8km．
故答案为：2.8
22．湖南地图出版社首发的竖版《中华人民共和国地图》，将南海诸岛与中国大陆按同比例尺1：6700000表示出来，使读者能够全面、直观地认识我国版图，若在这种地图上量得我国南北的图上距离是82.09厘米，则我国南北的实际距离大约是 千米（结果精确到1千米）
【答案】5500
【解析】【解答】我国南北的实际距离大约是82.09×67000000=550003000（cm）≈5500（km），
故答案为：5500．
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