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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.1 比例线段（3）
【知识重点】
知识点一：如果a:b= b:c ,那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项。
知识点二：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
【经典例题】
【例1】已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=（ ）
A．±3 B．3 C．4.5 D．5
【例2】点P是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为( )cm．
A．-1 B．2-2 C．5-5 D．10-10
【例4】已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例5】如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
【例6】如图，点是线段的黄金分割点，，和均是等边三角形．若表示的面积，表示的面积，则的值为 ；与的大小关系为 ．
【例7】
（1）已知 ，求x的值．
（2）已知线段a= +1，求这两线段的比例中项．
【例8】（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
【基础训练】
1．若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（ ）cm
A． B． C． D．
3．已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
4．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．4和9的比例中项是（ ）
A．6 B． C． D．
6．已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
7．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为 .（结果保留根号）
8．已知线段a，b的比例中项线段，线段，求线段b．
9．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
10．
（1）已知，且，求a值．
（2）已知线段cm，线段cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【培优训练】
11．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）．（精确到，参考数据：黄金分割比为）
A．5 B．8 C．10 D．12
12．已知线段，点是的黄金分割点，则（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
13．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
14．某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）米.
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
15．“双减”期间，某校音乐社团购买了一种乐器，如图.乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则 之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
16．黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
17．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
18．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=，则以PA为边长的正方形的面积是
19．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即是与的比例中项），求= .
20．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感。在如图所示的五角星中，，且C，D两点都是的黄金分割点，则的长为 ．
21．如图，点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，求 ： 的值．
22．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA【直击中考】
23．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
24．矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b= +2 B．a=4，b= ﹣2
C．a=2，b= +1 D．a=2，b= ﹣1
25．如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2，若 =0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为 °．（精确到0.1）
26．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 S2．（填“＞”“=”或“＜”）
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.1 比例线段（3）
【知识重点】
知识点一：如果a:b= b:c ,那么b2=ac，b叫做a、c的比例中项。
知识点二：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值).
【经典例题】
【例1】已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=（ ）
A．±3 B．3 C．4.5 D．5
【答案】B
【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积.
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以.
故答案为：B.
【例2】点P是线段的黄金分割点，且，则下列等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵点P是线段的黄金分割点，且
∴
∴
∴A、B、C等式成立，D等式不成立
故答案为：D．
【例3】校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄、金分割点(AP>PB)，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为( )cm．
A．-1 B．2-2 C．5-5 D．10-10
【答案】C
【解析】【解答】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB＝×10＝5-5（cm），
故答案为：C
【例4】已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设AB=1，AP=x，则PB=1－x，
∵线段是和的比例中项，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴，，，，
故答案为：C．
【例5】如图，线段，在线段AB上找一点C，C把分为和两段，其中，若，则点C就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
∵，
∴，
整理，得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【例6】如图，点是线段的黄金分割点，，和均是等边三角形．若表示的面积，表示的面积，则的值为 ；与的大小关系为 ．
【答案】；
【解析】∵是线段的黄金分割点，且，则
∴，
∵若表示的面积，表示的面积，
∴，
∴．
故答案为：，．
【例7】
（1）已知 ，求x的值．
（2）已知线段a= +1，求这两线段的比例中项．
【答案】（1）解：方程两边同乘以x（x+1）得：
（x﹣1）（x+1）=x（x﹣3），
∴x2﹣1=x2﹣3x，
∴﹣3x=﹣1，
解得：x= ，
检验：当x= 时，x（x+1）≠0，故x= 是原分式方程的解．
∴x的值为 。
（2）解：∵线段a= +1，
∴这两线段的比例中项为： = = = ．
∴这两线段的比例中项为 。
【例7】（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
【答案】（1）解：∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，
∴，
∴；
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴．
【基础训练】
1．若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
2．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为14cm，则它的长为（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】一本书的宽与长之比为黄金比，
这本书的长，
故答案为：A．
3．已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【解析】设a、b的比例中项为c（c＞0），则c2=ab，
∵ a=3，b=12 ，
∴c2=36，
∴c=6.
故答案为：C.
4．如果，且是和的比例中项，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，b是a和c的比例中项，
即，
∴．
故答案为：D．
5．4和9的比例中项是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】设4和9的比例中项为x，
∴，
∴，
故答案为：B．
6．已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
【答案】
【解析】∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
7．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为，则它的宽为 .（结果保留根号）
【答案】
【解析】∵书的宽与长之比为黄金比，长为，
∴它的宽（）.
故答案为：.
8．已知线段a，b的比例中项线段，线段，求线段b．
【答案】解：∵c是线段a、b的比例中项，
∴，
∴，
∴.
9．已知线段a、b、c满足a：b：c=3：2：6，且a+2b+c=26．
（1）求a、b、c的值；
（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：∵a：b：c=3：2：6，
∴设a=3k，b=2k，c=6k，
又∵a+2b+c=26，
∴3k+2×2k+6k=26，解得k=2，
∴a=6，b=4，c=12
（2）解：∵x是a、b的比例中项，
∴x2=ab，
∴x2=4×6，
∴x=2 或x=﹣2 （舍去），
即x的值为2
10．
（1）已知，且，求a值．
（2）已知线段cm，线段cm，线段c是线段a，b的比例中项，求线段c的长．
【答案】（1）解：设
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为12；
（2）解：∵线段是线段，的比例中项，
∴，
∵，，，
∴，
故线段的长为6cm．
【培优训练】
11．一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好．如图，是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（ ）．（精确到，参考数据：黄金分割比为）
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】设她应该穿高的鞋子，根据题意，得：．
解得：x≈10，
故答案为：C．
12．已知线段，点是的黄金分割点，则（ ）
A． B．
C．或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】分两种情况讨论：
当AC是较长线段时，
由黄金分割线的概念得：，
当AC是较短线段时，，
，
综上或，
故答案为：C.
13．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数（约为0.618），就称这个矩形为黄金矩形．若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD＝﹣1，则长AB为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解析】黄金矩形的宽与长的比等于黄金数，
，
．
故答案为：C．
14．某品牌汽车将汽车倒车镜设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若车头与倒车镜的水平距离为1.58米，倒车镜到车尾部分的水平距离较长，则该车车身总长约为（ ）米.
A．4.14 B．2.56 C．6.70 D．3.82
【答案】A
【解析】设车身总厂为x米，则
即
∴
即车身总长约为4.14米.
故答案为：A.
15．“双减”期间，某校音乐社团购买了一种乐器，如图.乐器上的一根弦 ，两个端点 固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则 之间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
，
，
故答案为：D.
16．黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为160cm，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加10cm，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为 cm．（结果保留根号）
【答案】
【解析】设该演员的上半身长为xm，根据题意得
解之：，
经检验是方程的根，
故答案为：
17．宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形．古希腊很多矩形建筑中宽与长的比都等于黄金比，如图，矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，以AB为边在矩形ABCD内部作正方形ABEF，若AD＝1，则DF＝ ．
【答案】
【解析】∵矩形ABCD为黄金矩形，AB＜AD，
∴
∴，
∵正方形ABEF，
∴，
∴.
故答案为：
18．已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=，则以PA为边长的正方形的面积是
【答案】4
【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA＝AB，
∵AB=+1，
∴PA＝2，
∴以PA为边的正方形面积=2×2=4.
故答案为：4．
19．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即是与的比例中项），求= .
【答案】
【解析】∵点C是靠近点B的黄金分割点，
∴，
故答案为：.
20．符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感。在如图所示的五角星中，，且C，D两点都是的黄金分割点，则的长为 ．
【答案】1
【解析】∵ 点C，D两点都是AB的黄金分割点 ，
∴，
∴
∴，
∵
∴
∴
解之：CD=1.
故答案为：1
21．如图，点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ， 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，求 ： 的值．
【答案】解：如图，设 ，
点E是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 ＞ ，
＞
，
正方形 ,正方形
，
： ：
：
．
22．定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【直击中考】
23．生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【答案】A
【解析】由题意可知，a：b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24.
故答案为：A
24．矩形的两边长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）
A．a=4，b= +2 B．a=4，b= ﹣2
C．a=2，b= +1 D．a=2，b= ﹣1
【答案】D
【解析】∵宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，
∴ = ，
∴a=2，b= ﹣1，
故选D．
25．如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2，若 =0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为 °．（精确到0.1）
【答案】137.5
【解析】设“黄金扇形的”的圆心角是n°，扇形的半径为r，
则 =0.618，
解得：n≈137.5，
故答案为：137.5．
26．如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 S2．（填“＞”“=”或“＜”）
【答案】=
【解析】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2，S2=PB AB，
∴S1=S2．
故答案为：=．
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