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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.2由平行线截得的比例线段
【知识重点】
知识点一：平行线截线段成比例
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，
则比例式 成立.
A型 X型
注意：上图的变式图形：分A型和X型；
知识点二：把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法：1）以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2）连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
【经典例题】
【例1】如图，，直线与，，分别交于点和点，若，，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
【例2】如图，在中，D，E分别是上的点.且.若，，则的长是（ ）.
A． B． C． D．
【例3】如图是一架梯子的示意图，其中，且AB=BC=CD，为了使其更加稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1），量得AE=0.4m，则AD1的长为（ ）
A．1.2m B．1m C．0.8m D．0.6m
【例4】已知线段a、b、c，作线段x，使 ，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【例5】如图，已知，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．9 D．10
【例6】如图，在 中，D在AC边上， ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 （ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【例7】已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则 ．
【例8】如图，在△ABC中，EF∥CD ，DE∥BC ．求证：AF：FD=AD：DB ．
【基础训练】
1．如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB＝3，DE＝4，EF＝8，则AC的长是（ ）
A．9 B． C． D．7
3．如图，与相交于点G，且，则＝（ ）
A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：3
4．如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则BC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在中，，且，，，则线段
6．如图，已知，若，，，则的长为 .
7．如图，直线，直线交，，于点A，C，E，直线交，，于点B，D，F.若，，则的长为 .
8．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长？
9．如图，在中，点D为边上一点，连接，点H为中点，延长交边于点E，求证：．
10．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE//AC、AE//DF，BD：AD=3：2，BF=6，求EF和FC的长．
【培优训练】
11．如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC 的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
12．如图，△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC边上，且有DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，则（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE// BC，若AE： EC=1： 4，那么的值为（ ）
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
14．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝ AD，BE的延长线交AC于F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知 ， （ ， ），反比例函数 的图象与线段 交于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A． B．4 C．3 D．
16．如图，已知，则
17．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且线段CD与AD之比为1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F，那么线段EF与EB之比等于 。
18．如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为 ．
19．如图，在 中， 是 边上的一点， 为 的中点，联结 并延长交 于点 ，则
20．如图所示是小明设计带矩形、菱形、正方形图案的一块具有轴对称美的瓷砖作品. 若 ， ，则矩形 的周长是 .
21．在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
22．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
23．如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且 ＝4， ＝ .
（1）求 的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长.
24．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
25． 综合题
（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD=DE=EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．（不写作法，保留作图痕迹）
【直击中考】
26．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
27．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
28．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m.
29．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.2由平行线截得的比例线段
【知识重点】
知识点一：平行线截线段成比例
两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例
已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，
则比例式 成立.
A型 X型
注意：上图的变式图形：分A型和X型；
知识点二：把已知线段AB五等分.
已知线段AB，请利用尺规作图把线段AB五等分.
作法：1）以A为端点作一条射线，并在射线上依次截取线段AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5.
2）连结A5B，并过点A1，A2，A3，A4分别作A5B的平行线，依次交AB于点B1，B2，B3，B4.则点B1，B2，B3，B4就是所求作的把线段AB五等分的点.
依据：实际上，过点A作l∥A5B，根据平行线分线段成比例的基本事实，就可以得到如下关系式
∵ AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5，∴ AB1=B1B2=B2B3=B3B4=B4B,
点B1，B2，B3，B4把线段AB五等分.
【经典例题】
【例1】如图，，直线与，，分别交于点和点，若，，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：.
【例2】如图，在中，D，E分别是上的点.且.若，，则的长是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：D.
【例3】如图是一架梯子的示意图，其中，且AB=BC=CD，为了使其更加稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1），量得AE=0.4m，则AD1的长为（ ）
A．1.2m B．1m C．0.8m D．0.6m
【答案】A
【解析】∵ AB=BC=CD ，
∴设AB=BC=CD =x，则AD=3x，
∵AA1∥BB1∥CC1∥DD1，
∴AB∶AD=AE∶AD1，即x∶3x=0.4∶AD1，
∴AD1=1.2.
故答案为：A.
【例4】已知线段a、b、c，作线段x，使 ，则正确的作法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、根据平行线的性质得a：b=x：c，故此选项不符合题意；
B、根据平行线的性质得a：b=c：x，故此选项符合题意；
C、根据平行线的性质得x：b=a：c，故此选项不符合题意；
D、根据平行线的性质得a：b=x：c，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【例5】如图，已知，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．9 D．10
【答案】B
【解析】∵，
∴；
∵
∴
∴
故答案为：B.
【例6】如图，在 中，D在AC边上， ，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则 （ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
【答案】B
【解析】如图，过O作 ，交AC于G，
∵O是BD的中点，
∴G是DC的中点．
又 ，
设 ，又 ，
，
故答案为：B．
【例7】已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则 ．
【答案】
【解析】如图，
∵AD∥BE∥CF，
∴即，
解之：.
故答案为：
【例8】如图，在△ABC中，EF∥CD ，DE∥BC ．求证：AF：FD=AD：DB ．
【答案】证明：∵EF∥CD，
∴AF：FD=AE：EC，
∵DE∥BC，
∴AD：DB=AE：EC，
∴ AF：FD=AD：DB .
【基础训练】
1．如图，，相交于点O，且．如果，，那么的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵，，∴，
解得：，故B符合题意．
故答案为：B．
2．如图，两条直线被三条平行线所截，已知AB＝3，DE＝4，EF＝8，则AC的长是（ ）
A．9 B． C． D．7
【答案】A
【解析】由题意：，则 ，
AC=AB+BC=6+3=9，
故答案为：A.
3．如图，与相交于点G，且，则＝（ ）
A．5：3 B．1：3 C．3：5 D．2：3
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：A．
4．如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则BC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】 ，
，，，
经检验符合题意.
故答案为：C
5．如图，在中，，且，，，则线段
【答案】7.5
【解析】∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：7.5．
6．如图，已知，若，，，则的长为 .
【答案】4
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
故答案为：4
7．如图，直线，直线交，，于点A，C，E，直线交，，于点B，D，F.若，，则的长为 .
【答案】12
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：.
8．如图，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5．求BC、BE的长？
【答案】解：∵l1∥l2∥l3，∴ = = ，即 = = ，∴BC=6，BF= BE，∴ BE+BE=7.5，∴BE=5
9．如图，在中，点D为边上一点，连接，点H为中点，延长交边于点E，求证：．
【答案】证明：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵点H为中点，
∴AH=HD，
∵DF∥BE，
∴，
∴AE=EF，
∵DF∥BE，
∴，
∴．
10．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE//AC、AE//DF，BD：AD=3：2，BF=6，求EF和FC的长．
【答案】解：，
，即，
，
，
，
，即，
，
．
【培优训练】
11．如图，点A，B都在格点上（网格小正方形的边长为1），点C是线段AB与网格线的交点，则AC 的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】如图：，
∴，
在中，，
则：，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
12．如图，△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC边上，且有DE∥BC，EF∥AB，AD＝2BD，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵AD=2BD，
∴BD：AB=1：3，
∵DE∥BC，
∴CE：AC=BD：AB=1：3，
∵EF∥AB，
∴CF：CB=CE：AC=1：3．
故答案为：B．
13．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且DE// BC，若AE： EC=1： 4，那么的值为（ ）
A．1∶16 B．1∶18 C．1∶20 D．1∶24
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴S△BDE=4S△ADE，
又∵S△BDE=S△ABE-S△ADE，
∴4S△ADE=S△EBC-S△ADE，
∴，
故答案为：C．
14．AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE＝ AD，BE的延长线交AC于F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作DH∥BF交AC于H，
∵AD是△ABC的中线，
∴FH＝HC，
∵DH∥BF，AE＝ AD，
∴ ，
∴AF：FC＝1：6，
∴ 的值为 .
故答案为：D．
15．如图，已知 ， （ ， ），反比例函数 的图象与线段 交于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A． B．4 C．3 D．
【答案】A
【解析】过点D作DE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
如图所示：
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
设直线PQ的解析式为 ，
∵点P（m，0）在直线PQ上，∴ ，解得： ，
即直线PQ的解析式为 ，
令 ，即 ，
则 ，
解得： ，
故答案为：A.
16．如图，已知，则
【答案】
【解析】∵，
∴，
∵，
∴
∴，
将，代入得：.
故答案为.
17．如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且线段CD与AD之比为1：2，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE，交AB于点F，那么线段EF与EB之比等于 。
【答案】2：3
【解析】【解答】∵DE∥BC，∴=2，
∴AE=2BE，BE=
又DF∥CE，
∴，
AF=2EF，又AF+EF=AE，
∴EF=
∴=。
故答案为：2：3。
18．如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为 ．
【答案】14
【解析】如图所示，过D点作DH∥CF交AB于点H，
∵EF∥DH，AF＝2，ED＝3AE，
∴AF：FH＝AE：ED＝ 1：3，
∴FH＝3AF＝3×2＝6，
∵AD为中线，
∴BD＝CD，
∵DH∥CF，
∴BH=HF，
∴BH＝FH＝6，
∴AB＝AF+FH+HB＝2+6+6＝14．
故答案为：14．
19．如图，在 中， 是 边上的一点， 为 的中点，联结 并延长交 于点 ，则
【答案】1：9
【解析】【解答】过D做DM∥AC，
∴∠EAG=∠MDG，∠AEG=∠DMG
∵G为AD的中点
∴AG=DG
∴△AEG≌△D MG
∴EG=MG，
∵BD:DC=4:1
∴BM:EM=BD:DC=4:1
∴BM=4EM=8EG
∴BG=9EG
∴EG: BG =1:9
故答案是1:9
20．如图所示是小明设计带矩形、菱形、正方形图案的一块具有轴对称美的瓷砖作品. 若 ， ，则矩形 的周长是 .
【答案】
【解析】【解答】如图，作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，连接KT，作RQ⊥KT于Q，交EW于O.
由若S乙=2S甲，可得EM=2EN，设EN=x，则AN=EM=2x，则有x2+（2x）2=102，
∴EN=2 AN=EM=4 ，
设OE=OQ=y，
∵WE∥KT，
,
,
,
∴四边形ABCD的周长= ,
故答案是： .
21．在四边形ABCD中， ， ， ， ， 的平分线分别交AD、AC于点E、F，求 的值．
【答案】解：作FG⊥AB于点G，
∵∠DAB=90°，
∴EA∥FG，
∴ = ，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
又BE是∠ABC的平分线，
∴FG=FC，
在 中，
，
，
∴CB=GB，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴AB= BC，
∴ = = =( －1)．
22．如图．在△ABC中，E是AB的中点，D是AC上的一点，且AD：DC=2：3，BD与CE交于F，S△ABC=40，求SAEFD．
【答案】解：取AD的中点G，并连接EG在△ABD中，E是AB的中点，由题知EG∥BD．又CD：DG=3：1，∴在△CEG中，CF：FE=CD：DG=3：1，∴S△DFC：S△DFE=3：1．设S△DEF=x，则S△DFC=3x，S△DEC=4x．由于AD：DC=2：3，∴S△EAD：S△ECD=2：3，∴S△EAD= S△DEC= x，S△ACE= x+4x= x，又因为E是AB中点，所以S△ACE= S△ABC=20，∴ x=20，解得x=3，即S△DEF=3，∴S△ADE= x=8，∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
23．如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且 ＝4， ＝ .
（1）求 的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长.
【答案】（1）解：过点D作DF∥BE交AC于点F，
∴ ，∴AE=4EF.
∵DF∥BE，∴ ，∴CF EF，∴CE EF，∴ ；
（2）解：∵ ，∴ ，
解得：AE=8，∴AC=AE+CE=8+5=13（cm）.
24．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
【答案】（1）证明；如图2，过C作．交BA的延长线于E，
∵，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴．
（2）解；如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，即，
∴，
∴，
∴△ABD的周长
25． 综合题
（1）如图（1），已知射线OP与线段OH，在射线OP上取点D、E、F，且OD=DE=EF，用尺规作出OH的三等分点M、N；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）请用尺规在图（2）中∠BAC的内部作出一点O，使点O到AB的距离等于点O到AC的距离的2倍．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图1，点M、N为所作；
（2）解：如图2，点O为所作．
【直击中考】
26．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴=，
故答案为：A
27．如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．
【答案】
【解析】∵，
又∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
28．如图是一架梯子的示意图，其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD.为使其更稳固，在A，D1间加绑一条安全绳（线段AD1）量得AE＝0.4m，则AD1＝ m.
【答案】1.2
【解析】∵BB1∥CC1，
∴ ＝ ，
∵AB＝BC，
∴AE＝EF，
同理可得：AE＝EF＝FD1，
∵AE＝0.4m，
∴AD1＝0.4×＝1.2（m），
故答案为：1.2.
29．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 ．
【答案】
【解析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．
平分，，，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
设，则，
，
，
，
的周长，
故答案为：．
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