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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.3相似三角形
【知识重点】
知识点一：相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
相似三角形对应边的比叫做相似比。
即：在和中，若
则与相似，记作∽. k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
知识点二：相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
【经典例题】
【例1】如图所示，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
解得.
故答案为：D.
【例2】已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
【答案】D
【解析】∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，可得，即解得AE＝；
当△AED∽△ABC，得，
即
解得AE=3，
综上AE的长为：3或.
故答案为：D.
【例3】如图，、交于点，且，，，当 时，与相似.
【答案】54或37.5
【解析】当△AOC∽△BOD时，
∴
当△AOC∽△DOB时，
∴
综上得：OA=54或37.5
故答案为：54或37.5.
【例4】如图，，，，则 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【例5】如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
【答案】或2或6
【解析】∵∠B=90°，
∵AD∥BC，
∴∠A=180°-∠B=90°，
∴∠PAD=∠PBC=90°，
AB=8，AD=3，BC=4，
设AP的长为x，则BP长为8-x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8-x）=3：4，
解得x=；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8-x），
解得x=2或x=6．
所以AP=或AP=2或AP=6．
故答案是：或2或6．
【例6】如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
（1）如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为.
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为： .
【答案】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，，
所画三角形与原三角形的相似比为，则所画三角形的各边长分别为、、，如下图所示
（2）解：所画三角形的各边长为，2，，如下图所示：
；
【解析】【解答】（2）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为2，，，
有一个边为公共边，假设公共边为2，并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为边相对应，此时相似比为，
故答案为：.
【例7】如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，∴，．
【基础训练】
1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设另一个三角形的最长边长为x
根据题意得：
解得
故答案为：C．
2．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：1，AC＝6，则DF为（ ）
A．18 B．2 C．54 D．
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=AC：DF，
∵AB：DE＝3：1，AC＝6，
∴3：1＝6：DF，
解得：DF＝2.
故答案为：B.
3．已知与相似，又，，那么不可能是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】D
【解析】∵中，，
∴∠C=180°－∠A－∠B=80°
∵与相似
∴∠D=∠A=40°或∠D=∠B=60°或∠D=∠C=80°
∴不可能是100°
故答案为：D．
4．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】∵△ABO∽△CDO，BO＝8，DO＝4，CD＝3，
∴，即，
∴AB=6．
故答案为：D．
5．如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度 和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
【答案】C
【解析】由题意：△ABC∽△A′B′C′，
∴∠ =∠ ＝40°，
，即 ，
∴解得 ，
经检验 符合意义，是原方程的解.
故答案为：C.
6．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
【答案】A
【解析】∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故答案为：A.
7．已知与相似，且点A与点是对应点，点与点是对应点，如果，，那么 ．
【答案】70°
【解析】【解答】如图，，
∴，，
∴．
故答案为：70°．
8．如图，，已知，则 ．
【答案】26
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，解得，
故答案为：26
9．已知的三边长分别为6，8，10，和相似的的最长边长为30，求的周长.
【答案】解：∵与相似，
∴，
∴
10．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
即的长度为5.
11．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
【答案】解：∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，
∴15：（15+3）＝12：DE，
解得DE＝ ．
【培优训练】
12．如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】，∠ABC=90°，
，
.，，，
设AP的长为x，则BP长为8-x.
若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：
①若，则，
即，解得；
②若，则，
即，解得或.
满足条件的点的个数是3个，
故答案为：C.
13．在相似的两个三角形中，已知其中一个三角形三边的长是3，4，5，另一个三角形有一边长是2，则另一个三角形的周长是 .
【答案】8或6或
【解析】∵一个三角形三边的长是3，4，5，
∴此三角形的周长为：3+4+5=12，
∵在相似的两个三角形中，另一个三角形有一边长是2，
∴若2与3对应，则另一个三角形的周长是：；
若2与4对应，则另一个三角形的周长是：；
若2与5对应，则另一个三角形的周长是：.
故答案为： 8或6或 .
14．如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是 .
【答案】4或
【解析】当△ADE∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝；
当△AED∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝4，
综上所述，AD的长为4或.
故答案为：4或.
15．如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 .
【答案】6或
【解析】依题意， ，
若 ，则 ，即 ，解得： ；
若 ，则 ，即 ，解得： ，
故答案为：6或 .
16．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交边于点，若，则 度．
【答案】30
【解析】由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD=∠B，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°，
故答案为：30．
17．如图，在中，.点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过 秒后，与相似.
【答案】或
【解析】①设经过x秒后，
，
，
解得；
②设经过秒后，
，
，
解得；
经过秒或秒，与相似.
故答案为：或.
18．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，沿所在的直线折叠，使点C的对应点D恰好落在边上．若和相似，则的长为 ．
【答案】或
【解析】①如图（1），当时，，
∴，
连接CD，由折叠可得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由三角形面积公式可得：，
∴，
∴；
②如图（2），当时，，
连接CD交EF于点P，
由折叠可得：，
∴，
又∵
∴，
∴，
即，
∴，
同理，
∴；
综上所述，AD的长为 或．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝ 时，△ADP与△BCP相似．
【答案】2或5或8
【解析】∵四边形ABCD是矩形
∴BC=AD=4，CD=AB=10
当△ADP∽△PCB时，，即
∴DP(10 DP)=16
即
解得：DP=2或DP=8
当△ADP∽△BCP时，
∴DP=PC
∵DP+PC=10
∴DP=5
综上所述，当DP的长为2或5或8时，△ADP与△BCP相似．
故答案为：2或5或8
20．一块三角形纸片（△ABC）按如图所示方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕是EF，以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，已知AB=AC=4，BC=3，则BF的长是 ．
【答案】或
【解析】∵
∴以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，则和
∵折叠，
∴
∵AB=AC=4，BC=3，
设，则
①当时，
即
解得
②当时
则
即
解得
综上所述，的长为：或
故答案为：或
21．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点D，使CD＝AC；
（2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．
【答案】（1）解：如图1，点D即为所求；
（2）解：如图2，△CEF即为所求．
22．如图，已知AD＝3cm，AC＝6cm，BC＝9cm，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC.
（1）求AB的长；
（2）求∠BAD的大小.
【答案】（1）解：△ABC∽△DAC
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°
AB：AD＝AC：CD＝BC：AC，
又AD＝3，AC＝6，BC＝9，
∴AB＝4.5cm
（2）解：∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝36°+117°＝153°
23．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
（1）任务：
请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
【答案】（1）证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E，
∵，
∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E，
∵∠1＝∠2，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴．
（2）解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴，即，
∴，
∴，
∴△ABD的周长．
【直击中考】
24．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∵的长度为6，
∴DE=9，
故答案为：B
25．已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】A
【解析】∵ ，
∴ ，即 ，
解得 ．
故答案为：A.
26．在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时同地测得一栋楼的影长为 ，则这栋楼的高度为 ．
【答案】54
【解析】设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，
∴ ，
解得h=54（m）．
故答案为：54．
27．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】113°或92°
【解析】∵△BCD∽△BAC，
∴∠BCD=∠A=46°，
∵△ACD是等腰三角形，∵∠ADC＞∠BCD，
∴∠ADC＞∠A，即AC≠CD，①当AC=AD时，∠ACD=∠ADC= （180°﹣46°）=67°，
∴∠ACB=67°+46°=113°，②当DA=DC时，∠ACD=∠A=46°，
∴∠ACB=46°+46°=92°，
故答案为113°或92°．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.3相似三角形
【知识重点】
知识点一：相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
相似三角形对应边的比叫做相似比。
即：在和中，若
则与相似，记作∽. k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”
注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；
知识点二：相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。
【经典例题】
【例1】如图所示，，，，则的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【例2】已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
【例3】如图，、交于点，且，，，当 时，与相似.
【例4】如图，，，，则 .
【例5】如图所示，已知AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP= ．
【例6】如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
（1）如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为.
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为： .
【例7】如图，分别是、上的点，，，，，，求的长和的度数．
【基础训练】
1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为，则它的最长边为（ ）
A． B． C． D．
2．已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：1，AC＝6，则DF为（ ）
A．18 B．2 C．54 D．
3．已知与相似，又，，那么不可能是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
4．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝8，DO＝4，CD＝3，则AB的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度 和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
6．已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
7．已知与相似，且点A与点是对应点，点与点是对应点，如果，，那么 ．
8．如图，，已知，则 ．
9．已知的三边长分别为6，8，10，和相似的的最长边长为30，求的周长.
10．如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
11．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．
【培优训练】
12．如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．在相似的两个三角形中，已知其中一个三角形三边的长是3，4，5，另一个三角形有一边长是2，则另一个三角形的周长是 .
14．如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是 .
15．如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 .
16．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交边于点，若，则 度．
17．如图，在中，.点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过 秒后，与相似.
18．如图，在中，，，，点E，F分别在边，上，沿所在的直线折叠，使点C的对应点D恰好落在边上．若和相似，则的长为 ．
19．如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝ 时，△ADP与△BCP相似．
20．一块三角形纸片（△ABC）按如图所示方式折叠，使点B落在AC边上的点B′处，折痕是EF，以点B′、F、C为顶点构成的三角形与△ABC相似，已知AB=AC=4，BC=3，则BF的长是 ．
21．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上（△ABC称为格点三角形，即格点△ABC），用无刻度直尺作图．
（1）在图1中的线段AC上找一个点D，使CD＝AC；
（2）在图2中作一个格点△CEF，使△CEF与△ABC相似．
22．如图，已知AD＝3cm，AC＝6cm，BC＝9cm，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC.
（1）求AB的长；
（2）求∠BAD的大小.
23．请阅读以下材料，并完成相应的问题：
角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．…
（1）任务：
请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长．
【直击中考】
24．如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）
A．4 B．9 C．12 D．
25．已知 ， ，若 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
26．在某一时刻，测得一根高为 的竹竿的影长为 ，同时同地测得一栋楼的影长为 ，则这栋楼的高度为 ．
27．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
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