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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.4两个三角形相似的判定（2）
【知识重点】
知识点：相似三角形的判定2
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
【经典例题】
【例1】如图，点 、 分别在 的边 、 上，且 与 不平行．下列条件中，能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 与 中，
∵ ，且 ，
∴ ．
故答案为：A．
【例2】如图，在中，为上一点，则下列四个条件中
（1）；（2）；（3）；（4），
其中能满足和相似的条件有 ．
【答案】（1）（1）（2）（3）
【解析】：∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△APC，所以（1）正确；
当∠APC＝∠ACB时，△ACP∽△APC，所以（2）正确；
当＝，即AC2＝AP AB时，△ACP∽△APC，所以（3）正确，（4）错误．
故答案为（1）（2）（3）.
【例3】如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
【答案】证明：∵，，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴
【例4】如图，将绕点A顺时针旋转得到（为锐角），点D与点B对应，连接，.求证：.
【答案】解：绕点旋转得到，
，，，
，
.
【基础训练】
1．如图，能使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；
A、B、D均不能判定，故不符合题意；
故答案为：C.
2．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】C
【解析】：①利用三边对应比相等的两个三角形相似即可得到“任意两个等边三角形相似，”一定相似；
②两三角形的顶角相等，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得底角一定相等，则根据两个角对应相等的三角形相似，可得“ 顶角对应相等的两个等腰三角形相 ”正确；
③若直角三角形两直角边的比值等于一个直角三角形的直角边与另一个直角三角形的斜边的比，则两三角形不相似，可得③错误.
故答案为：C.
3．如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】：∵，，
∴，
故A选项不符合题意；
∵∠，，
∴，
∴∠DBF＝∠ECF，
∵，
∴，
故B选项不符合题意；
∵，不能推出，
∴C选项符合题意；
∵，
∴，，
∴，
故D选项不符合题意；
故答案为：C．
4．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A、三角形各角的度数都是60°，
B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：D．
5．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE
C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD
【答案】C
【解析】：A、∵∠ADC=∠ADB，∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故A选项正确；
B、∵AD=DE，∴ ，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，∴故B选项正确；
C、∵CD AB=AC BD，∴CD：AC=BD条：AB，但∠ACD=∠ABD不是对应夹角，故C选项错误；
D、∵AD2=BD CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故D选项正确，
故答案为：C．
6．如图，在中，的平分线交于点F．点D，E分别在，上，连接交于点G．若，，则 ．
【答案】2：3
【解析】：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠EAG.
∵∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABF，
∴.
∵AG：GF=2：1，
∴，
∴.
∵∠DAE=∠CAB，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴.
故答案为：2：3.
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
【答案】证明：∵四边形是正方形
∴，
∵
∴
∵是的中点
∴
∵，
∴
∵
∴．
8．如图，在中，为边上一点，．求证：.
【答案】证明：∵
∴，，
∴，
又∵
∴
9．如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
【答案】证明：，，
，
，
，
即，
．
10．如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠ABD=∠ECA，
又∵，
∴，
∴△ABD∽△ECA．
【培优训练】
11．如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】：A、∵，， ∴，
∴，∴，不符合题意；
B、∵，∴，∵，∴，∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，∴，∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
12．下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
【答案】B
【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．
B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．
故答案为：A．
13．如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】：∵是等边三角形，
∴，，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：B.
14．如图，已知 ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB＝ BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BHD∽△BDG.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【解析】：∵∠DBC＝45°，DE⊥BC
∴∠BDE＝45°，
∴BE＝DE
由勾股定理得，DB＝ BE，
∵DE⊥BC，BF⊥CD
∴∠BEH＝∠DEC＝90°
∵∠BHE＝∠DHF
∴∠EBH＝∠CDE
∴△BEH≌△DEC
∴∠BHE＝∠C，BH＝CD
∵ ABCD中
∴∠C＝∠A，AB＝CD
∴∠A＝∠BHE，AB＝BH
∴正确的有①②③
对于④无法证明.
故答案为：B.
15．如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为( )
A．12 B．12 C．12 D．10
【答案】B
【解析】：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK，
在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE，
∴△AEK∽△ADE，∴ ，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK，
当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ，
∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ，
故答案为：B。
16．如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
【答案】；
【解析】：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
17．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB.
【答案】（1，0）或（﹣1，0）
【解析】：∵△BOC∽△AOB，
∴ = ，
∴ ＝ ，
∴OC＝1，
∵点C在x轴上，
∴点C的坐标为（1，0）或（﹣1，0）.
故答案为（1，0）或（﹣1，0）.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，C（0，﹣2），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝ 上，且y轴平分∠ACB，若则k＝ ．
【答案】
【解析】【解答】
过A作AE⊥x轴，垂足为E，
∵C（0，﹣2），
∴OC＝2，
∵AC＝3AD，
∴
∵∠AED＝∠COD＝90°，∠ADE＝∠CDO
∴△ADE∽△CDO，
∴AE＝1；
又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，
∴BO＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠OCD＝∠DAE＝∠ABE，
∴△ABE～△COD，
∴
设DE＝n，则BO＝OD＝2n，BE＝5n，
∴
∴n=
∴OE＝3n＝ ，
∴A（ ，1）
∴k＝ ×1＝ ．
故答案： ．
19．如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
【答案】
【解析】：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由轴对称性质知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。
故第1空答案为：4.5.
20．如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．
【答案】
【解析】：连接AD，过D作DG⊥AC于点G，
∵将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，
∴AC=CD，∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AG=CG=AC.
设AB=AC=2a，则AC=AD=CD=2a，AG=CG=a，
∴DG==a.
∵∠BAE=∠DGE=90°，∠AEB=∠GED，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴，
∴AE=GE.
∵AE+GE=AG=a，
∴GE+GE=a，
∴GE=(-3)a，
∴AE=(4-)a.
∵DE2=DG2+EG2，
∴DE=，
∴==.
故答案为：.
21．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
【答案】
【解析】：由勾股定理得，
∵，
∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，
∴△CBA∽△EDA，
∴，
∴，
∵∠EAD=∠CAB，
∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，
即∠EAC=∠DAB，
∴△ECA∽△DBA，
∴，
故答案为：
22．如图，在等腰中，，，D为边的中点，过点C作于点E，交于点F，则线段的长为 .
【答案】
【解析】：过B作交延长线于G，
，
，
，
，
，，
，
，
是的中点，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
.
故答案为：.
23．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ＝ ，求 的值．
【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
∴△AED∽△ABC，
∴∠ADF＝∠C，
又∵ ，
∴△ADF∽△ACG
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴ ，
∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ．
24．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长.
【答案】（1）证明：证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，
∵AE＝ED，
∴
∵DF＝ DC，
∴
∴
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴
又∵DF＝ DC，正方形的边长为4，
∴ED＝2，CG＝6，
∴BG＝BC+CG＝10.
25.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE CE＝DE EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE BD＝EF AF，求证：AB＝AC．
【答案】（1）解：∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠F，
∵AE CE＝DE EF，
∴ ，
又∵∠AEF＝∠DEC，
∴△AEF∽△DEC，
∴∠F＝∠C，
∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD．
（2）解：∵AE BD＝EF AF，
∴ ，
∵AD＝AF，
∴ ，
∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，
∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，
∴∠F＝∠B，
∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC．
26．如图，在等腰直角三角形△ABC，∠ABC=90°，AB=6，P是射线AB上一个动点，连接CP，以CP为斜边构造等腰直角△CDP（C、D、P按逆时针方向），M为CP的中点，连接AD，MB.
（1）当点P在线段AB上运动时，求证：△CDA∽△CMB；
（2）设 ，△ADP的面积为y.
①当 时，求y关于x的函数表达式；
②记D关于直线AC的对称点为 ，若 在△APC的内部，求y的取值范围.
【答案】（1）证明：∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 和 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵M是CP的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：①∵M是CP中点，
∴ ，
若 ，如图，过点D作 于点E，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
若 ，如图，过点D作 于点E，
， ，
，
，
，
∴ ，
综上： ；
②当点 在 内部时， ，点P越往右，点 离AC越近，当点 在PC上时，过点P作 于点N，
∴ ，
∴CP为 的角平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，点 在 内部，
则根据 ，求出
【直击中考】
27．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
28．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
【答案】C
【解析】：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当 时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当 时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选C．
29．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 ．
【答案】3≤AP＜4
【解析】：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，
则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；
如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，
则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；
如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，
∴CP=1，AP=3，
∴此时，3≤AP＜4；
综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故答案为：3≤AP＜4．
30．在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
【答案】 或
【解析】：当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时AE= = = ；
当 = 时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时AE= = = ；
故答案为： 或 ．
31．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，又∵M为BC中点，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∴∠ABC+∠MAB=90°，∵AC⊥BD，在Rt△CBE中，∴∠ACB+∠EBC=90°，∴∠MAB=∠EBC，又∵MB=MN，AM⊥BC，∴△NBM为等腰直角三角形，∴∠MBN=∠MNB=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∵∠MAB=∠EBC，∴∠NBE=∠ABN，∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2，
∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2a= .
（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN，
由（1）知∠MAB=∠EBC，
∴∠FMN=∠EBC，
又∵ ，
∴△MFN∽△BDC.
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.4两个三角形相似的判定（2）
【知识重点】
知识点：相似三角形的判定2
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
【经典例题】
【例1】如图，点 、 分别在 的边 、 上，且 与 不平行．下列条件中，能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，在中，为上一点，则下列四个条件中
（1）；（2）；（3）；（4），
其中能满足和相似的条件有 ．
【例3】如图，点D为边上一点，连接，，，.
求证：.
【例4】如图，将绕点A顺时针旋转得到（为锐角），点D与点B对应，连接，.求证：.
【基础训练】
1．如图，能使成立的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．给出下列结论：
①任意两个等边三角形相似，②顶角对应相等的两个等腰三角形相似，③两条边对应成比例的两个直角三角形相似，其中正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
3．如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，AB是⊙O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△BDA相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是( )
A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD·AB＝CD·BD D．AD2＝BD·CD
6．如图，在中，的平分线交于点F．点D，E分别在，上，连接交于点G．若，，则 ．
7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP．
8．如图，在中，为边上一点，．求证：.
9．如图，E是的边BC上的点，已知，，，．求证：．
10．如图，是等边三角形，D、E在BC所在的直线上，且．求证：．
【培优训练】
11．如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
12．下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
13．如图，等边中，点E是的中点，点D在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，已知 ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G，下面结论：①DB＝ BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④△BHD∽△BDG.其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
15．如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为( )
A．12 B．12 C．12 D．10
16．如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
17．如图，在平面直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合）当点C的坐标为 时，使得△BOC∽△AOB.
18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，C（0，﹣2），AC＝3AD，点A在反比例函数y＝ 上，且y轴平分∠ACB，若则k＝ ．
19．如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
20．如图，在中，，，将绕着点C按顺时针旋转得到，连接BD交于在E，则 ．
21．如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为 ．
22．如图，在等腰中，，，D为边的中点，过点C作于点E，交于点F，则线段的长为 .
23．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 ＝ ．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若 ＝ ，求 的值．
24．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长.
25．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE CE＝DE EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE BD＝EF AF，求证：AB＝AC．
26．如图，在等腰直角三角形△ABC，∠ABC=90°，AB=6，P是射线AB上一个动点，连接CP，以CP为斜边构造等腰直角△CDP（C、D、P按逆时针方向），M为CP的中点，连接AD，MB.
（1）当点P在线段AB上运动时，求证：△CDA∽△CMB；
（2）设 ，△ADP的面积为y.
①当 时，求y关于x的函数表达式；
②记D关于直线AC的对称点为 ，若 在△APC的内部，求y的取值范围.
【直击中考】
27．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
28．如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
29．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 ．
30．在△ABC在，AB=6，AC=5，点D在边AB上，且AD=2，点E在边AC上，当AE= 时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
31．如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
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