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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.4两个三角形相似的判定（3）
【知识重点】
知识点：相似三角形的判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
【经典例题】
【例1】如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2 ．求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明：∵ = = ， = =
∴ = ，
又∵∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
【例2】如图，已O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点.求证：△ABC∽△DEF.
【答案】解：∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，
∴DE＝ AB，EF＝ BC，DF= AC，
即 ＝ = ，
∴ABC∽△DEF.
【例3】如图，已知 ，求证：△ABD∽△ACE
【答案】证明：∵
【例4】下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】的三边长分别为：，
，，
∵，
∴为直角三角形，B，C选项不符合题意，排除；
A选项中三边长度分别为：2，4，，
∴，
A选项符合题意，
D选项中三边长度分别为：，，，
∴，
故答案为：A．
【基础训练】
1．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
【答案】B
【解析】根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为：，2，，
②号三角形的三边长分别为：，，3，
③号三角形的三边长分别为：2，，，
④号三角形的三边长分别为：，3，，
，
①与③相似，故B符合题意；其他选项不符合题意
故答案为：B．
2．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
【答案】A
【解析】将直角三角形的三边同时扩大3倍，根据相似三角形的判定可知，得到的三角形和原三角形相似，得到的三角形还是直角三角形.
故答案为：A.
3．已知 的三边长分别为 ，9和 ， 的一边长为5，当 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8
【答案】C
【解析】∵ 的三边长分别为 ，9和 ，
∴三边的比为 ：9： ：6：7，
∵ 的一边长为5，
∴当 的另两边长分别为6、7时，这两个三角形相似.
故答案为：C.
4．下列条件中，不能判断△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A=45°，∠C=26°，∠A′=45°，∠B′=109°
B．AB=1，AC= ，BC=2，A′B′=6，A′C′=9，B′C′=12
C．AB=1.5，AC= ，∠A=36°，A′B′=2.1，A′C′=1.5，∠A′=36°
D．AB=2，BC=1，∠C=90°，A′B′= ，B′C′= ，∠B′=90°
【答案】D
【解析】A中对应角相等，所以可判断其相似，A不符合题意；
B中三边对应成比例，即三角形的形状相同，所以相似，大小没有限制，比例常数是没有限制的，所以B不符合题意；
C中∠A相等，边长比确定，即形状确定，所以C也相似，不符合题意；
D中对应角不相等，当A′C′= 时，才会相似，所以D符合题意．
故答案为：D．
5．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由勾股定理得:AC ，BC=2，AB ，∴AC:BC:AB=1: .
A.三边之比为1: :2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B.三边之比:1: ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C.三边之比为 :3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D.三边之比为2: ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似.
故答案为：B.
6．△ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和 ，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC∽△A1B1C1.
【答案】
【解析】设第三边长为x，
∵ ，∴这两个三角形相似比为 ，
∴ = ，解得x= .
故答案为
7．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 .
【答案】△APB∽△CPA
【解析】∵AP＝ ，PB＝1，PC＝5，
∴ ， ，
∵∠APB＝∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA
8．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
【答案】解：∵ ， ， ，
∴这两个三角形相似
9．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
【答案】解：△ABC和△DEF相似．理由如下：
由勾股定理，得AB=2，AC=2 ，BC=2 ，DE= ，DF= ，EF=2，
∵ = ， = = ， = = ，
∴ = = ，
∴△ABC∽△DEF
10．如图，点D、E、F分别为△ABC的三边中点，试说明△ABC∽△EFD．
【答案】证明：∵点D、E、F分别为△ABC的三边中点，
∴DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，
∴DE= AC，DF= BC，EF= AB（中位线定理），
∴ ，
∴△ABC∽△EFD（三边对应成比例的两个三角形相似）
【培优训练】
11．已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】∵△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，
∴△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边.
∴这样的△A1B1C1有2个.
故答案为：C.
12．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】如图，
如图1∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
如图2∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
如图3∵
∴
∴
∴△ABC∽△DEF；
如图4
∵
∴
∴，
∴△ABC∽△DEF；
∴正确的画法有4个.
故答案为：D.
13．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【解析】如图，
∵△EFG是直角三角形，与E，G两点构成的三角形 中与△FEG相似，
∴ 与E，G两点构成的三角形是直角三角形，
∴排除点A，B，C
∵EF=2，FG=1，
∴;
∴
∵
∴
∴△EFG∽△DEG.
∴与E，G两点构成的三角形 中与△FEG相似的点是D.
故答案为：D.
14．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（ ）
A．△CDF B．△BEF
C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF
【答案】D
【解析】设BC＝4a，则BF＝a，AE＝BE＝2a，CF＝3a，
在Rt△AED中，DE＝ ＝2 a，
在Rt△BEF中，EF＝ ＝ a，
在Rt△DFC中，DF＝ ＝5a，
,
,
∴△AED∽△BFE，
同理可得△AED∽△EFD.
故答案为：D.
15．如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
【答案】③④⑤
【解析】②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
16．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
【答案】△DEB
【解析】∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
17．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
【答案】（1）解：∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵ ，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD
（2）解：△ABE与△ACD相似．
∵ = ，
∴ = ．
在△ABE与△ACD中，
∵ = ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD
18．我们定义：三边之比为1： ： 的三角形叫神奇三角形．
（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；
（2）请你在下列2×5的正方形网格中(图二)分别画出一个与(1)中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．
【答案】（1）由勾股定理得BC＝ 、AB＝2、AC＝ ，
∴BC：AB：AC＝ ：2： ＝1： ： ，
∴△ABC是神奇三角形，∠ABC＝135°；
（2）
【直击中考】
19．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， 和6，8， ，且这两个直角三角形不相似，则 的值为（ ）
A． 或 B．15
C． D．
【答案】A
【解析】在第一个直接三角形中，若m是直角边，则 ，
若m是斜边，则 ；
在第二个直接三角形中，若n是直角边，则 ，
若n是斜边，则 ；
又因为两个直角三角形不相似，故m=5和n=10不能同时取，
即当m=5， ， ，
当 ，n=10， ，
故答案为：A．
20．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】 ABC的三边之比为 ，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故答案为：C.
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4.4两个三角形相似的判定（3）
【知识重点】
知识点：相似三角形的判定3：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
【经典例题】
【例1】如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2 ．求证：△ACD∽△ABC．
【例2】如图，已O是△ABC内一点，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点.求证：△ABC∽△DEF.
【例3】如图，已知 ，求证：△ABD∽△ACE
【例4】下列格点三角形中，与右侧已知格点相似的是（ ）
A． B． C． D．
【基础训练】
1．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与② B．①与③ C．③与④ D．②与③
2．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能
3．已知 的三边长分别为 ，9和 ， 的一边长为5，当 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ）
A．4，5 B．5，6 C．6，7 D．7，8
4．下列条件中，不能判断△ABC与△A′B′C′相似的是（ ）
A．∠A=45°，∠C=26°，∠A′=45°，∠B′=109°
B．AB=1，AC= ，BC=2，A′B′=6，A′C′=9，B′C′=12
C．AB=1.5，AC= ，∠A=36°，A′B′=2.1，A′C′=1.5，∠A′=36°
D．AB=2，BC=1，∠C=90°，A′B′= ，B′C′= ，∠B′=90°
5．图中四个阴影的三角形中与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．△ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和 ，当△A1B1C1的第三边长为 时，△ABC∽△A1B1C1.
7．如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 .
8．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？
9．如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
10．如图，点D、E、F分别为△ABC的三边中点，试说明△ABC∽△EFD．
【培优训练】
11．已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，在4×4的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是( )
A．点A B．点B C．点C D．点D
14．如图，正方形ABCD中，E为AB中点，BC＝4BF，那么图中与△ADE相似的三角形有（ ）
A．△CDF B．△BEF
C．△BEF、△DCF D．△BEF，△EDF
15．如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
16．如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
17．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
18．我们定义：三边之比为1： ： 的三角形叫神奇三角形．
（1）如图一，△ABC是正方形网格中的格点三角形，假设每个小正方形的边长为1，请证明△ABC是神奇三角形，并直接写出∠ABC的度数；
（2）请你在下列2×5的正方形网格中(图二)分别画出一个与(1)中△ABC不全等的大小各不同的格点神奇三角形．
【直击中考】
19．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4， 和6，8， ，且这两个直角三角形不相似，则 的值为（ ）
A． 或 B．15
C． D．
20．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
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