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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.5相似三角形的性质及其应用（1）
【知识重点】
知识点一：相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
知识点二：重心的概念：
重心的定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心的性质：三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
【经典例题】
【例1】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【例2】三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
【例3】如图△ABC中，G为重心，若AG=2，则AD= 。
【例4】如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为 .
【例5】如图，已知，且，连接AC，BD相交于点于点于点，求证：.
【基础训练】
1．如图，△ABC中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则GF：AG等于（ ）
A．1：2 B．3：5 C．2：3 D．1：3
2．如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么（ ）
A． B． C． D．
3．中，斜边，其重心与外心之间的距离为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
4．如图，已知AM和DN分别为和的中线，在一条直线上，，若BC=6，则MN的长为
5．如图，ΔABC中，点E在AD上，且点E是ΔABC的重心，若＝18，则等于 。
6．三角形的三条 线交于一点，这点称为三角形的重心．
7．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，交于点E，若，那么 ．
8．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
9．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ．
10．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
【培优训练】
11．如图，点G是的重心，于点H，若，，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
12．如图，已知在中，点是三角形的重心，过点作，交于点，交于点，若，则的值为( )
A．9 B．10.5 C．12 D．14
13．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36，边cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（ ）cm
A．8 B．6 C．4 D．3
14．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )
A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2
15．如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
16．如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝ ．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，CD是斜边AB上的中线，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH= .
19．如图，正方形EFGH内接于 ，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．则正方形EFGH的边长是 ．
20．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且．
（1）求证：；
（2）点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：．
21．数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．
如图①，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是线段上一点，的延长线交于点．若，求的值．
（1）【尝试探究】
在图①中，过点E作交于点，则的值为 ，的值为 ，的值为 ．
（2）【类比延伸】
如图②，在原题的条件下，若，则的值为 （用含的代数式表示）．
（3）【拓展迁移】
如图③，若点F在线段的延长线上，的延长线交的延长线于点，，则的值为 （用含n的代数式表示）．
22．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的中线，且交于点O（O是△ABC的重心），G为BO的中点，H为OC的中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若OA=5，OB=3，OC=4，求△ABC的面积；
（3）若四边形EFGH为菱形，求证：AB2+AC2=5BC2．
【直击中考】
23．如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.5相似三角形的性质及其应用（1）
【知识重点】
知识点一：相似三角形对应高的比等于相似比.相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
知识点二：重心的概念：
重心的定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心的性质：三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段.
【经典例题】
【例1】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】C
【解析】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等可知得到的三角形是直角三角形．
故选：C．
【例2】三角形的重心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点
B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点
D．三角形三条内角平行线的交点
【答案】A
【解析】三角形的重心是三条中线的交点，
故答案为：A．
【例3】如图△ABC中，G为重心，若AG=2，则AD= 。
【答案】3
【解析】∵G为△ABC的重心，
∴，
∴AD=AG=×2=3.
【例4】如图，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为 .
【答案】20
【解析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x，
∵四边EFGH是正方形，
∴∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN=90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN=EH=x，
∵△AEF∽△ABC，
∴
∵BC=120，AD=60，
∴AN=60-x，
∴
解得：x=40，
∴AN=60-x=60-40=20.
故答案为：20.
【例5】如图，已知，且，连接AC，BD相交于点于点于点，求证：.
【答案】证明： ，
.
与 的相似比为 ，
于点 于点
.
【基础训练】
1．如图，△ABC中线AD，BE交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则GF：AG等于（ ）
A．1：2 B．3：5 C．2：3 D．1：3
【答案】D
【解析】∵△ABC中线AD，BE交于点F，EG∥BC，
∴AF=2DF，BD=DC=2GE，
∴FD=2GF，
∴AF=4GF，
又∵AF=AG+GF，∴AG=3GF，∴GF：AG=1：3.
故答案为：D.
2．如图，在中，是边上的中线，点G是的重心，过点G作交于点F，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵AE是BC边上的中线，
∴，
∵点G是△ABC的重心，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
故答案为：A．
3．中，斜边，其重心与外心之间的距离为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．0
【答案】C
【解析】如图，
∵直角三角形的外心是斜边的中点，
∴，
∵O是的重心，
∴；
故答案为：C.
4．如图，已知AM和DN分别为和的中线，在一条直线上，，若BC=6，则MN的长为
【答案】4.5
【解析】∵AB∥CD，AC∥DE，
∴∠B=∠DCE，∠E=∠ACB，
∴△ABC∽△DCE，
∵AM和DN分别是△ABC和△DCE的中线，
∴，CM=BC=3，CN=CE∴，
∴CE=3，∴CN=1.5，∴MN=CM+CN=3+1.5=4.5.
故答案为：4.5
5．如图，ΔABC中，点E在AD上，且点E是ΔABC的重心，若＝18，则等于 。
【答案】3
【解析】∵点E是ΔABC的重心，
∴AD是中线，AE：ED=2：1，
∴DE：AD=1：3，
∴S△ADC=S△ABC=×18=9，
∴S△DEC=S△ADC=×9=3；
故答案为：3
6．三角形的三条 线交于一点，这点称为三角形的重心．
【答案】中
【解析】三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
故答案为：中
7．如图，点G是的重心，连接并延长交于点D，交于点E，若，那么 ．
【答案】2
【解析】∵点G是的重心，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
故答案为：2．
8．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
【答案】解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴ ， ，∴ ，
在△ABC和△A'B'C'中
∵ ，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
9．三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是 的重心．求证： ．
【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，
∵AD是△ABC的中线，∴点D是BC的中点，∴DH是△BCE的中位线，∴BE=2DH，DH∥AB，
∵CE是△BCE的中线，∴AE=BE，∴AE=2DH，
∵DH∥AB，∴△AEG∽△DHG，∴ ，∴AG=2GD，
即AD=3GD.
10．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】解：∵四边形是正方形，
∴，∴，
∵AD⊥BC∴设正方形的边长为，则，
∴，整理得：，
解得．
答：这个正方形零件的边长为．
【培优训练】
11．如图，点G是的重心，于点H，若，，则△ABC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】连接并延长交于点D，过A点作于点E，
由重心性质可得：，
∵，
∴，
∴
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：B.
12．如图，已知在中，点是三角形的重心，过点作，交于点，交于点，若，则的值为( )
A．9 B．10.5 C．12 D．14
【答案】B
【解析】连接CF，延长CF交AB于点H，GH，
∵点F是△ABC的重心，
∴点H和点G分别是AB，BC的中点，
∴GH是△ABC的中位线，
∴GH∥AC，AC=2GH，
∴△GHF∽△ACF，
∴即，
∵DE∥BC，
∴△ADF∽△ABG，△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
解之：BC=10.5.
故答案为：B
13．如图，有一块三角形余料ABC，它的面积为36，边cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则加工成的正方形零件的边长为（ ）cm
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】C
【解析】作AH⊥BC，交BC于H，交EF于D.
设正方形的边长为xcm，则EF=DH= xcm，
∵△AB的面积为36，边cm，
∴AH=36×2÷12=6.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x=4.
故答案为：C.
14．如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8 cm，底边BC长10 cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为( )
A．40 cm2 B．20 cm2 C．25 cm2 D．10 cm2
【答案】B
【解析】如图所示：
设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，
∵矩形的对边DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得DG= （8-x），
四边形DEFG的面积= （8-x）x=- （x2-8x+16）+20=- （x-4）2+20，
所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．
故答案为：B．
15．如图，G是△ABC的重心，延长BG交AC于点D，延长CG交AB于点E，P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，BC长为12，则PQ的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【解析】连接EP，延长EP交BC于点F，连接DE，
∵点G是△ABC的重心，∴BE，CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×12=6，
∵P，Q分别是△BCE和△BCD的重心，
∴EP和DQ 的延长线相交于点F，且点F在BC上，∴即
∵∠PFQ=∠DFE，∴△PFQ△DFE，
∴
解之：PQ=2
故答案为：A
16．如图，G为的重心，点D在延长线上，且，过D、G的直线交于点E，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接CG并延长，交AB于F，连接AG并延长，交BC于H，连接FH交DE于N，
∵G为△ABC的重心，
∴是△ABC的中位线，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴ ，即，
∴ ，
∴
故答案为：D.
17．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AF平分∠BAC，交DE于点G，交BC于点F．若∠AED＝∠B，且AG：GF＝3：2，则DE：BC＝ ．
【答案】3：5
【解析】∵∠DAE＝∠CAB，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∵GA，FA分别是△ADE，△ABC的角平分线，
∴＝（相似三角形的对应角平分线的比等于相似比），
AG：FG＝3：2，
∴AG：AF＝3：5，
∴DE：BC＝3：5.
故答案为：3：5.
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，CD是斜边AB上的中线，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH= .
【答案】1.6
【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
，
CD是斜边AB上的中线，
，
G是△ABC的重心，
过点C作CF⊥AB于F，
GH⊥AB
故答案为：1.6
19．如图，正方形EFGH内接于 ，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．则正方形EFGH的边长是 ．
【答案】
【解析】 ∵四边形EFGH是正方形
∴EH∥BC，EH=EF，
∴△AEH∽△ABC
∴ ，即
解得：EH=
∴EFGH的边长为
20．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点E，且．
（1）求证：；
（2）点F是边上一点，连接，与相交于点G，且，求证：．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
21．数学思想方法作为数学学科的一般原理，在数学学习中至关重要．我们经常运用类比，转化，从特殊到一般等思想方法来解决一些数学问题．
如图①，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是线段上一点，的延长线交于点．若，求的值．
（1）【尝试探究】
在图①中，过点E作交于点，则的值为 ，的值为 ，的值为 ．
（2）【类比延伸】
如图②，在原题的条件下，若，则的值为 （用含的代数式表示）．
（3）【拓展迁移】
如图③，若点F在线段的延长线上，的延长线交的延长线于点，，则的值为 （用含n的代数式表示）．
【答案】（1）5；2；
（2）
（3）
【解析】（1）如图①，过点E作交于点H，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵点E是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）如图②，过点E作交于点H，
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
又∵点E是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）如图③，过点E作交于点H，
∵，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
又∵点E是边的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
22．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的中线，且交于点O（O是△ABC的重心），G为BO的中点，H为OC的中点．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）若OA=5，OB=3，OC=4，求△ABC的面积；
（3）若四边形EFGH为菱形，求证：AB2+AC2=5BC2．
【答案】（1）证明：∵BE、CF为中线，
∴AF=BF，AE=CE，
∴EF∥BC，EF=BC，
∵G，H分别是OB，OC的中点，
∵OG=BG，OH=CH，
∴GH∥BC，GH=BC，
∴FE∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
（2）解：∵E为AC的中点，H为OC的中点，
∴EH=OA=，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴OE=OG=OB=，OF=OH，
∵OC=4，
∴OH=OC=2，
∵OE2+OH2=（） 2+22＝，EH2=，
∴OE2+OH2=EH2，
∴∠EOH=90°，
∴S△EOC=OE OC=××4=3，
∵AE=CE，
∴S△AOC=2S△EOC=6，
∴S△BOC=OB OC=×3×4=6，
∵OF=OH，OH=OC，
∴OC=2OF，
∴S△BOF=3，
∴S△AOB=6，
∴S△ABC=S△AOC+S△AOB+S△BCO=6+6+6=18；
（3）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥FH，
∴∠EOC=∠BOF=∠BOC=90°，
∴OE2+OC2=CE2=（AC） 2＝AC2，OF2+OB2=BF2=AB2，OB2+OC2=BC2，
∴OE2+OC2+OB2+OF2= （AC2+AB2），
即BC2+BF2= （AC2+AB2），
∴BC2+（BC） 2= （AC2+AB2），
∴AB2+AC2=5BC2．
【直击中考】
23．如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
∴AC==5，
∴△ABC的周长为3+4+5=12.
∵BD平分△ABC的周长，
∴AB+AD=BC+CD=6，
∴AD=3，CD=2.
作DE⊥BC于点E，
∴AB∥DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE=，CE=，
∴BE=，
∴BD==.
故答案为：C.
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