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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.6相似多边形
【知识重点】
知识点一：相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
知识点二：相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
注意：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：
（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；
（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；
（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.
知识点三：相似：由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似。
【经典例题】
【例1】如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知，，，则FG的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【例3】下列与相似有关的命题中，正确的是（ ）
①所有的等腰三角形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的正六边形都相似.
A．①②③ B．① C．② D．③
【例4】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 .
【例5】如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足= ．
【例6】如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
【例7】学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
【基础训练】
1．如图，已知四边形四边形，，，则的长是（ ）．
A．6 B． C． D．4
2．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
3．如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．21cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
4．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
5．一个六边形六边长分别为，，，，，，另一个与它相似的六边形的最短边为，则其周长为 ．
6．如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 .
7．如图，四边形四边形，若，，，则FG的长为 ．
8．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
9．如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
10．如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
11．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【培优训练】
12．将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
13．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
14．如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD.若知道S1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．6
16．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为 ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
18．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
19．如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
20．如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
21．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
（1）（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 .所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
（2）（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.
已知：四边形 和四边形 中， ， .
求证：四边形 四边形 .证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是 .（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽.
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
23．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【直击中考】
24．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.6相似多边形
【知识重点】
知识点一：相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.
知识点二：相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
知识点三：相似：由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可以改变），这样的图形改变叫做图形的相似。
【经典例题】
【例1】如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为两个图形相似：
解得：，x=2，
A、C选项正确，不符合题意；B选项错误，符合题意；
，
D选项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【例2】如图，矩形ABCD∽矩形EFGH，已知，，，则FG的长为（ ）
A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm
【答案】B
【解析】∵矩形ABCD∽矩形EFGH，
∴即
解之：FG=10.
故答案为：B
【例3】下列与相似有关的命题中，正确的是（ ）
①所有的等腰三角形都相似；②所有的矩形都相似；③所有的正六边形都相似.
A．①②③ B．① C．② D．③
【答案】D
【解析】①所有的等腰三角形都不一定相似，故原说法错误，不符合题意；
②所有的矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不都相似，故原命题错误，不符合题意；
③所有的正六边形都相似，正确，符合题意，
故答案为：D.
【例4】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为 .
【答案】1
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，
∵四边形EFDC是矩形，
∴EF＝CD＝2，CE＝DF，
∵余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，
∴，
即＝，
∴CE＝1，
故答案为：1.
【例5】如图，把一个长方形划分成三个全等的小长方形，若要使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方形应满足= ．
【答案】
【解析】如图，
∵把一个长方形划分成三个全等的小长方形，∴AB=3AE，
设AD=y，AE=x，则AB=CD=3x，
∵每一个小长方形与原长方形相似，∴矩形ABCD∽矩形ADFE，
∴即，解之：
∴即AD：CD=
故答案为：
【例6】如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∠A＝80°，∠B＝75°，∠C＝125°，求x，∠D1.
【答案】解：∵，
∴.
∵四边形 四边形，
∴，，
即.
∴.
【例7】学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
【答案】解：∵AB＝130，AD＝400，
∴ ，
∵内外两个矩形相似，
∴ ，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的 ，
∴ ，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40.
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm.
【基础训练】
1．如图，已知四边形四边形，，，则的长是（ ）．
A．6 B． C． D．4
【答案】C
【解析】∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：C．
2．矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【解析】矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
3．如图所示，已知矩形的边长为8cm，边长为6cm，从中截去一个矩形（图中阴影部分），如果所截矩形与原矩形相似，那么所截矩形的面积是（ ）
A．21cm2 B．24cm2 C．27cm2 D．30cm2
【答案】C
【解析】∵矩形与矩形相似，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积．
故答案为：C．
4．一个四边形的各边之比为1∶2∶3∶4，和它相似的另一个四边形的最小边长为，则它的最大边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设它的最大边长为，
∵两个四边形相似，
∴，
解得，
即该四边形的最大边长为．
故答案为：C．
5．一个六边形六边长分别为，，，，，，另一个与它相似的六边形的最短边为，则其周长为 ．
【答案】66
【解析】∵一个六边形的最短边长为3，另一个与它相似的六边形的最短边为6，
∴相似比为3：6=1：2，
∵六边形的周长为3+4+5+6+7+8=33，∴与它相似的六边形的周长为33×2=66.
故答案为：66.
6．如图，把一个大长方形划分成三个全等的小长方形，若每一个小长方形均与大长方形相似，则的值为 .
【答案】
【解析】如图：
由题意得：
，矩形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
7．如图，四边形四边形，若，，，则FG的长为 ．
【答案】6
【解析】∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴即
解之：FG=6.
故答案为：6
8．下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
【答案】②⑤
【解析】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
9．如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
【答案】1.5
【解析】当 ＝ 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
故答案为：1.5.
10．如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
【答案】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，
∴ 或 ，代入数据，
∴ 或 ，
解得： ， (舍去)，或 不存在，
∴BE的长为 ，
故答案为 ．
11．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，∴ ，∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.
【培优训练】
12．将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【解析】如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
13．一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
则 ，
依题意得：
，
矩形 矩形 ，
，
，
整理得 ，
这个大矩形的面积为：
故答案为：D.
14．如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，设，
∵，
∴，即，
∴，∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
15．ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD.若知道S1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（ ）.
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【解析】如图，
由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，
设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y.
∵AB：AD=AL：AE=KB：FD
∴（kx+LK+kz）：（x+y+y：y=k，
∴LK=ky.
只需知道S1，S3，S5，便可由
x2：y2：z2= S1：S3：S5
得到x：y：z=，
于是SABCD= S1·=.
故答案为：B.
16．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形 沿 对开后，再把矩形 沿 对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么 的值为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，
由相似图形的性质得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ，
故答案为： ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
【答案】5或 .
【解析】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
18．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， ∴DM BC=AB MN，即BC2=4，
∴BC=2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴
∵AB=CD=2，BC=4，∴DF==1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2．
19．如图：矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20．
（1）如图（1）若沿矩形ABCD四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由；
（2）如图（2），x为多少时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似？
【答案】解：（1）不相似，
AB=30，A′B′=28，BC=20，B′C′=18，
而≠；
（2）矩形ABCD与A′B′C′D′相似，则
则：
解得x=1.5，
或
解得x=9．
20．如图，中，的平分线交于点，的平分线交于点.
（1）求证：是菱形：
（2）若，则的值为 .
【答案】（1）证明：∵的平分线交于点，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴.
∴.
∴.
∴.
同理，.
∴.
∵
∴四边形是平行四边形.
∵，
∴四边形是菱形.
（2）
【解析】（2）由（1）知，四边形是菱形，
又四边形是平行四边形，
，
设，，则有：
，即，
整理得，
解得，
，
，
故答案为：.
21．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
（1）（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例 .所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
（2）（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.
已知：四边形 和四边形 中， ， .
求证：四边形 四边形 .证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是 .（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
【答案】（1）菱形和正方形
（2）证明：连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
综上，四边形 四边形 .
（3）③
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边.
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”.若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形 和四边形 中， ， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：∵ ， ， ，
∴ .
连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上，四边形 四边形 .
【解析】（1）解： 正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（3）解：①如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交 延长线于点 ，则 ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
②如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交过点 且和 平行的直线相交于点 ，过 作 交 于点 ，则 ，四边形 为平行四边形.则 ，即 ， ， ，
但四边形 不与四边形 相似.
③已知：如图，四边形 和四边形 中， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：连接 ， .
，且 ，
△ ，
， ， ，
，
，
，
，
△ ，
， ， ，
， ， ， ， ，
四边形 与四边形 相似；
④如图，四边形 四边形 ，以 为圆心， 为半径作圆交 于点 ，在 左侧作 ，则 ， ， ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
故答案为：③；
22．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形 是矩形ABCD的“减半”矩形.请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽.
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)= ，
解得：x1= ，x2= ；
∴ “减半”矩形的长为 ，宽为 ；
（2）解：不存在.
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 时，面积比必定是 ，
所以正方形不存在“减半”正方形.
23．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【直击中考】
24．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是 ．
【答案】4 +
【解析】∵在长为2 、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，
∴要使所剪得的两个小矩形纸片周长之和最大，则这两个小矩形纸片长与宽的和最大．
∵矩形的长与宽之比为2 ：1，
∴剪得的两个小矩形中，一个矩形的长为1，宽为 = ，
∴另外一个矩形的长为2 ﹣ = ，宽为 = ，
∴所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是2（1+ + + ）=4 + ．
故答案为：4 + ．
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