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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.5相似三角形的性质及其应用（2）
【知识重点】
知识点：相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【经典例题】
【例1】如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．7 B．4 C．8 D．6
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【例2】如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【例3】如图所示，点，分别在的边，上，．若，四边形的面积为，试求的面积．
【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴．即的面积为27．
【例4】如图，D、E分别是 ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若 ＝1：3，求 的值．
【答案】解：∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴ ，
∴S△DOE：S△AOC= ．
【基础训练】
1．如图，在中，点D、E分别是、的中点，则下列四个结论，其中错误的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DEBC，DE＝BC，
∴；故A正确；
∵DE BC，∴△DEO∽△CBO，∴ ，，
∴，故B、C正确；
∵△DOE和△DOB同高，所以面积之比等于底之比，
∴，故D错误；
故答案为：D.
2．如图，在四边形中，与相交于点O，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B.
3．若两个相似三角形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
【答案】D
【解析】∵两个相似三角形的周长之比为1：4，
∴这两个三角形的相似比为1：4，
∴它们的面积之比为1：16.
故答案为：D.
4．在中，，，绕点A旋转后能与重合，那么与的周长之比是 .
【答案】3：4
【解析】如图，
由旋转的性质可知，
，，旋转角，
所以，，相似比，
根据相似三角形的周长比等于相似比可知，
与的周长之比为3：4，
故答案为：3：4.
5．已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点．求的值．
【答案】解：如图，过作 交于
为的中点，
6．如图，已知AM和DN分别为和的中线，在一条直线上，，若BC=6，则MN的长为
【答案】4.5
【解析】∵AB∥CD，AC∥DE，
∴∠B=∠DCE，∠E=∠ACB，
∴△ABC∽△DCE，
∵AM和DN分别是△ABC和△DCE的中线，
∴，CM=BC=3，CN=CE
∴，
∴CE=3，
∴CN=1.5，
∴MN=CM+CN=3+1.5=4.5.
故答案为：4.5
7．如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
【答案】
【解析】过D作交于G，如图所示：
根据题意可知，
根据对称性可知，，
，
，
，
，
，
，即，解得，
，
故答案为：．
得CD=4cm，证明，根据相似三角形的性质求出BC，即得AB的长。
8．如图，已知△和四边形的面积相等，点E在边上，交于点F，，，则的长是 .
【答案】7
【解析】∵△和四边形的面积相等，
∴与的面积相等，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
∴
∴
∴.
故答案为：7.
9．如图，在锐角 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到 连接 ， 若 的面积为4，求 的面积.
【答案】解：由旋转的性质，可得： ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∵ .
∵ .
10．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
【答案】解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴ ， ，
∴ ，
在△ABC和△A'B'C'中
∵ ，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
11．在 与 中，若 ，且 的周长为 ，求 的周长.
【答案】解： ，
，
的周长与 的周长之比为 ，
的周长等于18cm，
的周长为 cm，
【培优训练】
12．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．18
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为三等分点且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
13．如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积；
∴四边形A2A1B1B2的面积=的面积- 的面积
…
∴第n个四边形的面积
∴
故答案为：C.
14．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
【答案】A
【解析】设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
15．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，.若的面积为，则平行四边形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，∴∴，
∵，，∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
16．如图，为的重心，过点作交于点，交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【解析】连接AG并延长，交BC于点D，连接BG，
∵为的重心，
∴是的中线，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是，
故答案为：C.
17．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于A，B两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结AC，CP，记的面积为，的面积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】和的底分别为和，高为h，
则，
∴求的最小值，即为求最小值，也就是求的最大值，
作轴，交的延长线于点F，
设，则点F的纵坐标为，
对于，
令，则，解得，
令，则，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴有最大值为，
∴有最小值为.
故答案为：C.
18．如图，在四边形中，，，E，F分别是，的中点，连接，，，点P为边上一点，过点P作，交于点Q，若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】连接，，
，，
，
，分别是，的中点，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
的长为1，
故答案为：B．
19．如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形.如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 .
【答案】5
【解析】由图可知，，
，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，可如图所示作出， ，
，，
∴
∴
同理可得，，
且
∴
∴
综上所述：
故答案为：5.
20．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
【答案】或
【解析】∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
∴，
①当在线段上时，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，
设中，边上的高为，则，
∴
∵，
即当时，
∴
解得：（负值舍去）
∴；
②当在的延长线上时，如图
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴
∴
∴
∵，
∴，
∴
∵的面积为，
∴四边形的面积为，
即
即
解得：或（，不合题意舍去）
∴，
故答案为：或.
21．已知如图，是的中位线，点是的中点，的延长线交于点A，那么= ．
【答案】1：8
【解析】连接AP并延长交BC于点F，
∵DE△ABC的中位线，
∴E是AC的中点，
∴S△CPE＝S△AEP，
∵点P是DE的中点，
∴S△AEP＝S△ADP，
∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，
∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：4，
∴S△CPE：S△ABC＝1：8．
22．如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，于点G，若，则的周长为 ．
【答案】16
【解析】∵在中，，，的平分线交BC于点E，
∴，，
∴，
∴，
∴，同理，
∴；
∵，
∴ ，
在中，，，，
在中，，
∴，
∴的周长等于，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴ 即相似比为，
∴的周长为16，
故答案为：16．
23．如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O.
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴.
24．如图，平行四边形中，，，边上的高，E为边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线的垂线，垂足为F，与的延长线相交于点G，连接，.
（1）求证：.
（2）设，的面积为y，请你求出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：过C作交延长线于一点H，
∵，是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴当时，y有最大值，最大值是.
25．已知，分别以、为直角边作和，且.
（1）如图1，若，，求线段的长度；
（2）如图2，点关于的对称点是点，若在射线上，且，求；
（3）如图3，连接、，若的面积比的面积大10，且，求的面积.
【答案】（1）解：，，
，
，
，
∴CQ=6，
；
（2）解：点Q关于AC的对称点是点R，
延长QC，过点R，连接AR.
则，，
，即.
由（1）可知：，
，
，
，
，
设，，
，
，，
；
（3）解：过点C作CM⊥AP于点M，过点B作BN⊥AQ于点N，
，
，
，
，
，
，
.
①
②
①－②，得：，
又，
，
.
26．如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连接交于G，
∵，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴且，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
27．如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H.
（1）求的度数.
（2）如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形.
②求的值.
（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式.
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
（2）解：①∵P是的中点，是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
②∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴.
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，∴，，
∵
∴.
【直击中考】
28．如图，点P是的重心，点D是边AC的中点，交BC于点E，交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
【答案】C
【解析】延长DF与AB交于点H，延长EF交AB于点G，连接BD.
∵D为AC的中点，DH∥BC，GE∥AC，P为△ABC的重心，
∴DH为△ABC的中位线，△ADH∽△ABC，BP=BD，S△ABD=S△BCD，
∴BC=2DH，
∴，
设S△ABC=x，则S△ADH=S△ABC=x，S△ABD=S△BCD=.
∵DH∥BC，GE∥AC，
∴△DFP∽△BEP，△BEP∽△BCD，
∴△DFP∽△BCD，
∴，，
∴S△DPF=S△BCD=x，S△BEP=4S△DPF=x，
∴S四边形CDPE=S△BCD-S△BEP=-x=x.
∵四边形CDFE的面积为6，
∴S四边形CDFE=S△DPF+S四边形CDPE=x+x=6，
解得x=18.
故答案为：C.
29．如图，在中，，，以点为圆心，以AB的长为半径作弧交于点D，连接BD，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，点P在线段BD的垂直平分线上
，点A在线段BD的垂直平分线上
AP为线段BD的垂直平分线
点E在AP上，BE=DE，故A不符合题意；
，，
且
为等边三角形且
，
平分
，
，
垂直平分，故B不符合题意；
，，
，
，
，故C符合题意；
，
，
，故D不符合题意
故答案为：C．
30．如图， ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且 ，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B． ADE与 ABC的面积比为1：3
C． ADE与 ABC的周长比为1：2
D．DE BC
【答案】D
【解析】∵ ，
∴AD：AB=AE：AC=1：3，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=1：3，故A错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴△ADE与△ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC.故D正确.
故答案为：D.
31．如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
【答案】
【解析】∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.5相似三角形的性质及其应用（2）
【知识重点】
知识点：相似三角形的周长比等于相似比;相似三角形的面积比等于相似比的平方。
【经典例题】
【例1】如图，在中，，，若，则等于（ ）
A．7 B．4 C．8 D．6
【例2】如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【例3】如图所示，点，分别在的边，上，．若，四边形的面积为，试求的面积．
【例4】如图，D、E分别是 ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若 ＝1：3，求 的值．
【基础训练】
1．如图，在中，点D、E分别是、的中点，则下列四个结论，其中错误的结论是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，与相交于点O，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若两个相似三角形的周长之比为1：4，则它们的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
4．在中，，，绕点A旋转后能与重合，那么与的周长之比是 .
5．已知：中，为上的中线，点在上，且，射线交于点．求的值．
6．如图，已知AM和DN分别为和的中线，在一条直线上，，若BC=6，则MN的长为
7．如图1是液体沙漏的立体图形，图2，图3分别是液体沙漏某一时刻沙漏上半部分液体长度与液面距离水平面高度的平面示意图，则图3中AB＝ cm．
8．如图，已知△和四边形的面积相等，点E在边上，交于点F，，，则的长是 .
9．如图，在锐角 中， ， ，将 绕点B按逆时针方向旋转，得到 连接 ， 若 的面积为4，求 的面积.
10．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
11．在 与 中，若 ，且 的周长为 ，求 的周长.
【培优训练】
12．如图，在中，对角线，交于点，为三等分点且，连接交于点，若的面积为1，则的面积为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．18
13．如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…利用这一图形，能直观地计算出（ ）
A．1 B． C． D．
14．如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（ ）
A．矩形和矩形的面积之差 B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差 D．矩形和矩形的面积之差
15．如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，.若的面积为，则平行四边形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
16．如图，为的重心，过点作交于点，交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．1.5 C．2 D．3
17．如图，在平面直角坐标系中，与轴交于A，B两点（在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结AC，CP，记的面积为，的面积为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
18．如图，在四边形中，，，E，F分别是，的中点，连接，，，点P为边上一点，过点P作，交于点Q，若，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
19．如图，在小正方形边长均为1的的网格中，是一个格点三角形.如果，是该网格中与相似的格点三角形，且的面积最大；的面积最小，那么的值等于 .
20．如图，矩形中，，，是射线上一动点，连结交对角线于点，当把分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是面积的，则的长为 .
21．已知如图，是的中位线，点是的中点，的延长线交于点A，那么= ．
22．如图，在平行四边形ABCD中，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，于点G，若，则的周长为 ．
23．如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O.
（1）求证：；
（2）若，，的面积为9，求的面积.
24．如图，平行四边形中，，，边上的高，E为边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线的垂线，垂足为F，与的延长线相交于点G，连接，.
（1）求证：.
（2）设，的面积为y，请你求出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
25．已知，分别以、为直角边作和，且.
（1）如图1，若，，求线段的长度；
（2）如图2，点关于的对称点是点，若在射线上，且，求；
（3）如图3，连接、，若的面积比的面积大10，且，求的面积.
26．如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
27．如图1，C、D是以为直径的上的点，且满足，点P在上，交于点M，交于点G，交于点N，交于点H.
（1）求的度数.
（2）如图2，当点P是的中点时，
①求证：是等腰三角形.
②求的值.
（3）如图1，设，与的面积差为y，求y关于x的函数表达式.
【直击中考】
28．如图，点P是的重心，点D是边AC的中点，交BC于点E，交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则的面积为（ ）
A．12 B．14 C．18 D．24
29．如图，在中，，，以点为圆心，以AB的长为半径作弧交于点D，连接BD，再分别以点，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．垂直平分线段
C． D．
30．如图， ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且 ，下列结论正确的是（ ）
A．DE：BC＝1：2
B． ADE与 ABC的面积比为1：3
C． ADE与 ABC的周长比为1：2
D．DE BC
31．如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
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