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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.1 比例线段（1）
【知识重点】
知识点一：成比例
如果a与b的比等于c与d的比，即 ，就说这四个数成比例。其中b，c称作内项，a，d称作外项。
知识点二：比例的性质
（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果 如果
（本教材中约定比例式中的字母不为0）
【经典例题】
【例1】已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】已知，则的值是( )
A．1 B． C． D．
【例3】已知m：n＝3：2，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【例4】已知，则＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【例5】若 ，a＋b＋c＝18，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【例6】若 则一次函数y=tx+t2的图象一定经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
【例7】已知x，y，z满足，且，则 ．
【例8】若k＝ ＝ ＝ ，且a＋b＋c≠0，则k＝ .
【例9】已知x：y＝2：3，求：
（1） 的值；
（2）
若x+y＝15，求x，y的值.
【例10】已知，求的值．
【基础训练】
1．若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数中成比例的是（ ）
A．2， 3， 4， 1 B．1.5，2.5，6.5，4.5
C．1.1，2.2，3.3，4.4 D．1，2，2，4
3．已知ab=mn，改写成比例式错误的是（ ）
A．a：n=b：m B．m：a=b：n C．b：m=n：a D．a：m=n：b
4．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
5．若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．9
6．已知 ，有结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
7．已知，则 .
8．已知，且，则 ．
9．a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
10．已知，且，求的值。
11．已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
【培优训练】
12．若 ，则 等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
13．若 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．无法确定
14．若 ，则 ＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
15．已知abc≠0，且 ＝ ＝ ＝k，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1
16．已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
17．若，则 .
18．已知，则＝ ．
19．已知：，则k＝ ．
20．已知，若，则 ．
21．已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
22．已知：a，b，c三个数满足关系式．
（1）填空： ：4： ．
（2）若，试求出的值．
（3）在（2）的基础上，若点是反比例函数的图像上的任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，请直接写出的面积．
【直击中考】
23．若，则（ ）
A．6 B． C．1 D．
24．若 ，则 ．
25．已知 ，则
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.1 比例线段（1）
【知识重点】
知识点一：成比例
如果a与b的比等于c与d的比，即 ，就说这四个数成比例。其中b，c称作内项，a，d称作外项。
知识点二：比例的性质
（1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积）
（2）合比性质：如果 如果
（本教材中约定比例式中的字母不为0）
【经典例题】
【例1】已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【例2】已知，则的值是( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
∴可设a=3k，b=4k，
∴.
故答案为：D.
【例3】已知m：n＝3：2，则的值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解析】∵m：n＝3：2，
∴设m＝3k，n＝2k，
∴＝＝＝5.
故答案为：B．
【例4】已知，则＝（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【答案】A
【解析】∵，
∴a=-2b，c=-2d，e=-2f，
∴= ，
故答案为：A．
【例5】若 ，a＋b＋c＝18，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得： .
故答案为：C.
【例6】若 则一次函数y=tx+t2的图象一定经过的象限是（ ）
A．第一、二象限 B．第三、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
【答案】A
【解析】∵∴，∴a+b+c=2t（a+b+c）
当a+b+c≠0时∴，
∴，
∴此函数图象经过第一、二、三象限，∴当a+b+c=0时，a+b=-c ∴t=-1
∴此函数解析式为y=-x+1，此函数图象经过第一、二、四象限.
∴ 一次函数y=tx+t2的图象一定经过的象限 是第一、二象限.
故答案为：A.
【例7】已知x，y，z满足，且，则 ．
【答案】14
【解析】设，
则，，，
代入得：
解得：，
.
故答案为：14.
【例8】若k＝ ＝ ＝ ，且a＋b＋c≠0，则k＝ .
【答案】-1
【解析】等比性质 (a＋b＋c≠0)
故答案为-1
【例9】已知x：y＝2：3，求：
（1） 的值；
（2）
若x+y＝15，求x，y的值.
【答案】（1）解： ＝ ＝﹣2
（2）解：∵x+y＝15，
∴2k+3k＝15，
解得：k＝3，
∴x＝6，y＝9
【例10】已知，求的值．
【答案】解：设＝k，
则，
解得．
所以
【基础训练】
1．若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
2．下列各组数中成比例的是（ ）
A．2， 3， 4， 1 B．1.5，2.5，6.5，4.5
C．1.1，2.2，3.3，4.4 D．1，2，2，4
【答案】D
【解析】【解答】A. ，A不符合题意；
B. ，B不符合题意；
C. ，C不符合题意；
D. ，D符合题意.
故答案为：D.
3．已知ab=mn，改写成比例式错误的是（ ）
A．a：n=b：m B．m：a=b：n C．b：m=n：a D．a：m=n：b
【答案】A
【解析】A、a：n=b：m am=bn，故A错误；
B、m：a=b：n ab=mn，故B正确；
C、b：m=n：a ab=mn，故C正确；
D、a：m=n：b ab=mn，故D正确．
故选A．
4．下列结论中，不正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若（b﹣d≠0），则
D．若，则a＝3，b＝4
【答案】D
【解析】A、若，则，而，，不合题意；
B、若，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则，不合题意；
C、若（b﹣d≠0），则，则，不合题意；
D、若，设，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，符合题意．
故答案为：D．
5．若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．9
【答案】C
【解析】设，
则a=2k，b=3k，c=4k，
∴原式，
故答案为：C.
6．已知 ，有结论：① ；② ；③ ；④ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】A
【解析】∵ ，
∴设x=2k，y=3k，
，①正确；
，②正确；
，③正确；
，④错误
故答案为：A.
7．已知，则 .
【答案】7
【解析】∵ ，
∴3x+3y=4x-4y，
∴x=7y，
∴.
故答案为：7
8．已知，且，则 ．
【答案】15
【解析】，
，，，
，
，
，
故答案为：15．
9．a，b，c为的三边长，且，，求的面积．
【答案】解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
∴
∴是直角三角形
∴
10．已知，且，求的值。
【答案】解：∵==，
∴3a=2b，4a=2c，
∵2a-b+c=10，
∴2a-1.5a+2a=10，
解得：a=4，
∴b=6，c=8，
∴a+2b-3c=4+2×6-3×8=-8.
11．已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【培优训练】
12．若 ，则 等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】设 ，
则a=2k，b=3k，c=4k，
即 ，
故答案为：C．
13．若 ，则 的值是（ ）
A．1 B． C．3 D．无法确定
【答案】C
【解析】 ，
， ， ，
．
故答案为：C．
14．若 ，则 ＝（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】 ＝k（k≠0）
则x＝2k，y＝3k，z＝4k，
所以 ＝ ＝0．
故答案为：A．
15．已知abc≠0，且 ＝ ＝ ＝k，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C．2或﹣1 D．2或1
【答案】C
【解析】∵ ，
∴a+b=ck，b+c=ak，c+a=bk，
∴2（a+b+c）=k（a+b+c），
∴当a+b+c≠0时，得k=2；
当a+b+c=0时，
则a+b=-c，k=-1；
∴k的值为2 或-1；
故答案为：C．
16．已知abc 0，而且 ，那么直线y=px+p一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】B
【解析】由条件得：①a+b=pc，②b+c=pa，③a+c=pb，
三式相加得2（a+b+c）=p（a+b+c）．
∴有p=2或a+b+c=0．
当p=2时，y=2x+2．则直线通过第一、二、三象限．
当a+b+c=0时，不妨取a+b=-c，于是p= =-1，（c≠0），
∴y=-x-1，
∴直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．
答案为：B．
17．若，则 .
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
18．已知，则＝ ．
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴.
故答案为：
19．已知：，则k＝ ．
【答案】2或﹣1
【解析】此题要分情况考虑：
当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k＝＝2；
当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，
故答案为：2或﹣1．
20．已知，若，则 ．
【答案】12
【解析】，
由等比性质，得，
所以．
故答案为：12.
21．已知：.
（1）求代数式的值；
（2）如果，求的值.
【答案】（1）解：∵
∴设a=2k，b=3k，c=5k，
（2）解：∵
∴6k-3k+5k=24，
∴k=3，
∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.
22．已知：a，b，c三个数满足关系式．
（1）填空： ：4： ．
（2）若，试求出的值．
（3）在（2）的基础上，若点是反比例函数的图像上的任意一点，过点向轴引垂线，垂足为，请直接写出的面积．
【答案】（1）6；3
（2）解：由（1）的结论，设，，，
∴，
∴．
（3）解：3
【解析】【解答】（1）解：根据题意，设，
∴，，，
∴，，
∴，
∴答案是：6，3．
（3）解：根据题意得，如图所示，
当点在第一象限时，且在反比例函数上，设，
∴，，
∴；
同理，当点在第三象限时，且在反比例函数上，设，且，
∴，，
∴，
综上所述，的面积为3．
【直击中考】
23．若，则（ ）
A．6 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】 ∵，
∴ab=2×3=6；
故答案为：A.
24．若 ，则 ．
【答案】
【解析】【解答】由 可得 ， ，
代入 ．
故答案为 ．
25．已知 ，则
【答案】
【解析】设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
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