【同步训练】浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用(3)(知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+直击中考)(含解析)

文档属性

名称 【同步训练】浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形4.5相似三角形的性质及其应用(3)(知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+直击中考)(含解析)
格式 zip
文件大小 5.1MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2023-08-15 21:35:10

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.5相似三角形的性质及其应用(3)
【知识重点】
1.测量高度:测量不能到达顶部的物体的高度,通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意:测量旗杆的高度的几种方法:
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离,常构造如下两种相似三角形求解。
1)如甲图所示,通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离(长度),根据相似三角形的性质,求出AB的长.
2)如乙图所示,可先测AC、DC及DE的长,再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意:1)太阳离我们非常遥远,因此可以把太阳光近似看成平行光线.在同一时刻,两物体影子之比等于其对应高的比;2)视点:观察事物的着眼点(一般指观察者眼睛的位置);3)仰(俯)角:观察者向上(下)看时,视线与水平方向的夹角.
3.相似三角形的性质
1)对应角相等,对应边的比相等;
2)拓展:对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比。
3)相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【经典例题】
【例1】如图,某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度,已知人的站位点,镜子,树底三点在同一水平线上,眼睛与地面的高度为1.6米,米,米,则树高为(  )米
A.4 B.5 C.6 D.7
【例2】为测量一棵大树的高度,设计的测量方案如图所示:标杆高度,人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上,标杆与大树的水平距离,人的眼睛与地面的高度,人与标杆的水平距离,B、D、N三点共线,,求大树的高度.
【例3】凸透镜成像的原理如图所示,.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为,则物体被缩小到原来的(  )
A. B. C. D.
【例4】如图,在中,点,分别在,上,,,且,,则的长为(  )
A. B.4 C.5 D.
【例5】如图,小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为,下午3时又测得该树的影长为,且这两次太阳光线刚好互相垂直,则树高为   .
【例6】如图,在等腰中,,,的平分线交边上的中线于点.
(1)求证:.
(2)若,求的长.
【例7】如图,在正五边形中,连结交于点F.
(1)求的度数.
(2)已知,求的长.
【例8】如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,,,.求证:.
【例9】如图,在等腰三角形中,,点是的中点,点,分别在线段,上,连结,交于点,.
(1)求证:;
(2)若,,求的值.
【例10】如图,菱形边长为4,对角线交于点,点为上一点,,过作交于点,交于点,取中点,连接并延长交于点.
(1)求的长度;
(2)求.
【基础训练】
1.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆高,测得.则建筑物的高是(  )
A. B. C. D.
2.如图,它是物理学中小孔成像的原理示意图,已知物体,根据图中尺寸,则的长应是(  )
A.15 B.30 C.20 D.10
3.大约在两千五百年前,如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端”.如图2所示的小孔成像实验中,若物距为10cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm,则蜡烛火焰的高度是(  )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
4.如图,某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF,量出DF的影子EF的长度为1米,再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米,则旗杆AC的高度是(  )
A.6米 B.7米 C.8.5米 D.9米
5.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为3cm,AC被分为6等份.若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长为(  )
A.1cm B.cm C.2cm D.cm
6.如图,树在路灯O的照射下形成投影,已知路灯高,树影,树与路灯O的水平距离,则树的高度长是   .
7.如图,在中,为边上的中线,点G为的重心.若,则的长为   .
8.如图,在平行四边形中,点E在边上,连接并延长,交对角线于点F、的延长线于点G.如果,则   
9.如图所示,已知∠ABC=∠ADB,点D是AC的中点,CD=1,则AB的长为    .
10.如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则AF:FD=   ,S△BFD:S△ABC=   .
11.雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度,他们的测量方案如下:当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时,笑笑在地面上找到一点G,使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上,并测得DG=2.8m;然后雯雯向前移动1.5m到达点F处,笑笑同样在地面上找到一点H,使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上,并测得GH=1.7m,已知图中的所有点均在同一平面内,AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,雯雯的身高CD=EF=1.6m.请你根据以上测量数据,求该校旗杆的高度AB.
12.杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”,某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上(点F,点G,点E,点C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得米,米,请你根据以上数据,计算雷峰塔的高度.
13.如图,在中,平分,.若,,,求的长.
【培优训练】
14.如图是一张矩形纸片,点E是中点,点F在上,把该纸片沿折叠,点A、B的对应点分别为、,与相交于点G,的延长线经过点C.若,则的值为(  )
A. B. C. D.
15.如图,在中,,,,以O为圆心,4为半径作圆O,交两边于点C,D,P为劣弧CD上一动点,则最小值为(  ).
A.13 B. C. D.
16.如图,若,,与交于点,且,,则等于(  )
A.3 B.6 C.7 D.12
17.如图,已知四边形两条对角线相交于点,,,,则的值为(  )
A.6 B.7 C.12 D.16
18.如图,已知点,,射线绕点逆时针旋转,与轴交于点,则过,,三点的二次函数中的值为(  )
A. B. C. D.
19.如图,在矩形中,过点作对角线的垂线并延长,与的延长线交于点,与交于点,垂足为点,连接,且,则下列结论正确的有(  )个:①;②;③;④
A.1 B.2 C.3 D.4
20.如图,矩形的对角线,相交于点,过点作,交于点,若,,则的长为   .
21.如图,线段是的直径,弦于点H,点是弧上任意一点(不与B,C重合),,.延长线段交的延长线于点E,直线交于点N,连结交于点F,则   ,   .
22.如图,在边长为4的正方形ABCD内有一动点P,且BP=.连接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ,则DQ+CQ的最小值为    .
23.如图是一边长为6的菱形纸片ABCD,将纸片沿EF折叠,使点D落在边BC上,点A,D的对应点分别为点G,H,GH交AB于点J.若AE=1.4,CF=2,则EJ的长是   
24.如图,已知抛物线y=x2﹣7x+6与x轴的相交于A,B两点(A在B的右侧),与y轴的相交于点C,点P,Q分别从A,O两点同时以1cm/秒的速度沿AB,OC向B,C方向移动,用t(秒)表示移动时间,连接PQ,当t为    值时,以O,P,Q为顶点的三角形与△OBC相似.
25.如图点A,B在反比例函数y=上,连接AB分别交x,y轴于点D、点C,将△DOA沿OA翻折点D刚好落在y轴上的点F处,AF与x轴交于点E,已知,S△DOB=2,则k=   .
26.定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.
如图,已知l1∥l2,l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上,点A在直线l2上,△ABC有一边的长是BC的倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,A'C所在直线交l2于点D,则CD=   .
27.如图:
(1)[基础巩固]:如图1,在△ABC中,∠ACB=90° ,AC= BC,D是AB边上一点,F是BC边上一点,∠CDF=45°.求证:AC. BF=AD. BD;
(2)[尝试应用]如图2,在四边形ABFC中,点D是AB边的中点,∠A=∠B=∠CDF=45°,若AC=9,BF=8,求线段CF的长.
(3)[拓展提高]如图3,在△ABC中,AB=4,∠B=45°.以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上,点E在AC上.若CE=2,求CD的长.
28.如图,内接于,,的外角的平分线交于点D,连接,,交于点F.
(1)求证:是等腰三角形.
(2)若.
①求证:.
②若的半径为5,,求的值.
29.如图,的半径为1,直径,的夹角,点是上一点,连接,分别交,于点,.
(1)若,求证:;
(2)当点在上运动时.
①猜想:线段与有怎样的数量关系,并给出证明;
②求证:.
30.如图:
(1)[基础巩固]如图1,在四边形中,对角线平分,求证:;
(2)[尝试应用]如图2,四边形为平行四边形,F在边上,,点E在延长线上,连接、、,若,求的长;
(3)[拓展提高]如图3,E是内部一点,F为边上一点,连接,已知,,求的值.
【直击中考】
31.如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为,同时量得小菲与镜子的水平距离为,镜子与旗杆的水平距离为,则旗杆高度为(  )
A. B. C. D.
32.如图,为等边三角形,点,分别在边,上,,若,,则的长为(  )
A. B. C. D.
33.如图,在正方形中,点E为边的中点,连接,过点B作于点F,连接交于点G,平分交于点H.则下列结论中,正确的个数为(  )
①②③当时,
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
34.如图,点在正方形的对角线上,于点,连接并延长,交边于点,交边的延长线于点.若,,则(  )
A. B. C. D.
35.如图,在正方形中,,延长至,使,连接,平分交于,连接,则的长为   .
36.如图,在中,,点D在上,点E在上,点B关于直线的轴对称点为点,连接,,分别与相交于F点,G点,若,则的长度为   .
37.如图,、是两个等腰直角三角形,.
(1)当时,求;
(2)求证:;
(3)求证:.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形(解析版)
4.5相似三角形的性质及其应用(3)
【知识重点】
1.测量高度:测量不能到达顶部的物体的高度,通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
注意:测量旗杆的高度的几种方法:
平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法
2.测量距离:测量不能直接到达的两点间的距离,常构造如下两种相似三角形求解。
1)如甲图所示,通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离(长度),根据相似三角形的性质,求出AB的长.
2)如乙图所示,可先测AC、DC及DE的长,再根据相似三角形的性质计算AB的长.
注意:1)太阳离我们非常遥远,因此可以把太阳光近似看成平行光线.在同一时刻,两物体影子之比等于其对应高的比;2)视点:观察事物的着眼点(一般指观察者眼睛的位置);3)仰(俯)角:观察者向上(下)看时,视线与水平方向的夹角.
3.相似三角形的性质
1)对应角相等,对应边的比相等;
2)拓展:对应高的比,对应中线的比,对应角平分线的比都等于相似比。
3)相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
【经典例题】
【例1】如图,某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度,已知人的站位点,镜子,树底三点在同一水平线上,眼睛与地面的高度为1.6米,米,米,则树高为(  )米
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】A
【解析】由题意得
∠COF=∠DOF,∠ACO=90°-∠COF,∠BOD=90°-∠DOF,
∴∠ACO=∠BOD,
∵∠OAC=∠OBD=90°,
∴△ACO∽△BDO,
∴即
解之:BD=4.
故答案为:A
【例2】为测量一棵大树的高度,设计的测量方案如图所示:标杆高度,人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上,标杆与大树的水平距离,人的眼睛与地面的高度,人与标杆的水平距离,B、D、N三点共线,,求大树的高度.
【答案】解:如图所示,过点A作于点F,交于点E,
依题意,B、D、N三点共线,
∴四边形是矩形,
∴,,,

∴,
∴,
∴,
∴,
解得:,
∴,
∴大树的高度为.
【例3】凸透镜成像的原理如图所示,.若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为,则物体被缩小到原来的(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵, , ,
∴四边形为矩形,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,即
∴物体被缩小到原来的.
故答案为:A.
【例4】如图,在中,点,分别在,上,,,且,,则的长为(  )
A. B.4 C.5 D.
【答案】C
【解析】∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,解得:,
∴.
故答案为:C.
【例5】如图,小明借助太阳光线测量树高.在早上8时小明测得树的影长为,下午3时又测得该树的影长为,且这两次太阳光线刚好互相垂直,则树高为   .
【答案】4
【解析】根据题意作图,,,,,
,,





故答案为:4.
【例6】如图,在等腰中,,,的平分线交边上的中线于点.
(1)求证:.
(2)若,求的长.
【答案】(1)证明:∵平分,
∴,
∵,,
∴,
∵是边上的中线,
∴,
∴,

(2)解:∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴.
【例7】如图,在正五边形中,连结交于点F.
(1)求的度数.
(2)已知,求的长.
【答案】(1)解:∵五边形是正五边形,
∴,,,,,.
∴四边形是菱形,
∴,
同理可求:,
∴;
(2)解:∵四边形是菱形,
∴.
∵,
同理,
∴,
∴,即,
设,则,
∴,即,
解得(舍去负值).
∴的长是.
【例8】如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,,,.求证:.
【答案】证明:作,连接.
∵,,
∴,
∴四点共圆,
∴,
又,
∴,
∵,,
∵,
∴,
又∵,
∴.
【例9】如图,在等腰三角形中,,点是的中点,点,分别在线段,上,连结,交于点,.
(1)求证:;
(2)若,,求的值.
【答案】(1)证明:∵,点是的中点,
∴.
∵,
∴.
又∵,

(2)解:如图,过点作,交于点.
∵点是的中点,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,即.
∵,
∴.
∴.
【例10】如图,菱形边长为4,对角线交于点,点为上一点,,过作交于点,交于点,取中点,连接并延长交于点.
(1)求的长度;
(2)求.
【答案】(1)解:连接FO并延长交AB于点P,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=DA=DC=4,AC⊥BD,OD=OB,CD∥AB,
∴∠FDO=∠PBO,∠DFO=∠BPO,
在△FDO和△PBO中
∴△FDO≌△PBO(AAS),
∴DF=BP
∵EF∥AC,
∴∠DEF=∠DAC,∠DFE=∠DCA,
∵∠DAC=∠DCA,
∴∠DEF=∠DFE,
∴DE=DF=BP=4-3=1,
∴DG⊥EF,EG=FG,
∵点H是OE的中点,
∴GH是△EFO的中位线,
∴GH∥FO,

∴,

∴,

(2)解:设GM交AC于点Q,
∵AP=AB-BP=4-1=3,
∴AE=AP,在△AOE和△AOP中
∴△AOE≌△AOP(SAS)
∴OE=OP,
设OE=OP=x,
∵QM∥OP,∴△AQM∽△AOP,
∴,∴,
∵∠OGE=90°,EG=OH,∴GH=HE=HO=OE=m,
∵∠HEG=∠HOQ,EH=OH,∠EHG=∠OHQ,∴△EHG≌△OHQ(ASA),
∴QH=GH=m,∴,

【基础训练】
1.如图,利用标杆BE测量建筑物的高度,已知标杆高,测得.则建筑物的高是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵,
∴,
∴,
∵高,,
∴,
∴,
故答案为:D.
2.如图,它是物理学中小孔成像的原理示意图,已知物体,根据图中尺寸,则的长应是(  )
A.15 B.30 C.20 D.10
【答案】D
【解析】依题意,


∴,
故答案为:D.
3.大约在两千五百年前,如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端”.如图2所示的小孔成像实验中,若物距为10cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是9cm,则蜡烛火焰的高度是(  )
A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm
【答案】A
【解析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得:蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值,设蜡烛火焰的高度为xcm,则
,解得:x=6,
即蜡烛火焰的高度为6cm,
故答案为:A.
4.如图,某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度,在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF,量出DF的影子EF的长度为1米,再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米,则旗杆AC的高度是(  )
A.6米 B.7米 C.8.5米 D.9米
【答案】D
【解析】由题意可知△DEF∽△ABC,
∴,
∴,
解之:AC=9.
故答案为:9
5.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为3cm,AC被分为6等份.若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长为(  )
A.1cm B.cm C.2cm D.cm
【答案】C
【解析】∵DE∥AB,
∴△CDE∽△CAB,
∴DE:AB=CD:AC,
∵AB的长为3cm,AC被分为6等份,小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处,
∴CD=4,AC=6,
∴DE:3=4:6,
∴DE=2cm,
∴小玻璃管口径DE是2cm.
故答案为:C.
6.如图,树在路灯O的照射下形成投影,已知路灯高,树影,树与路灯O的水平距离,则树的高度长是   .
【答案】
【解析】∵,
∴,
∴,∴,
∴,
答:树的高度AB长是,
故答案为:.
7.如图,在中,为边上的中线,点G为的重心.若,则的长为   .
【答案】
【解析】如图,连接,并延长交于点E,连接,
∵点G为的重心,
∴点E为的中点,
∵为边上的中线,
∴为的中位线,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
8.如图,在平行四边形中,点E在边上,连接并延长,交对角线于点F、的延长线于点G.如果,则   
【答案】
【解析】四边形是平行四边形,
,,
,,
,,,,,
,,.
9.如图所示,已知∠ABC=∠ADB,点D是AC的中点,CD=1,则AB的长为    .
【答案】
【解析】∵点D是AC的中点,
∴AC=2AD=2,AD=1
∵∠ABC=∠ADB,∠A=∠A,
∴△ADB∽△ABC,
∴即
解之:AB=(取正).
故答案为:
10.如图,在△ABC中,点D,E分别在BC,AC上,CD=2BD,CE=2AE,BE交AD于点F,则AF:FD=   ,S△BFD:S△ABC=   .
【答案】3:2;2:15
【解析】如图,连接DE,
∵ CD=2BD,CE=2AE ,
∴,
又∵∠DCE=∠BCA,
∴△CDE∽△CBA,
∴∠CDE=∠CBA,,
∴DE∥AB,
∴△DEF∽△ABF,
∴,即AF∶DF=3∶2;
∴,
∵,
∴.
故答案为:3:2;2:15.
11.雯雯和笑笑想利用皮尺和所学的几何知识测量学校操场上旗杆的高度,他们的测量方案如下:当雯雯站在旗杆正前方地面上的点D处时,笑笑在地面上找到一点G,使得点G、雯雯的头顶C以及旗杆的顶部A三点在同一直线上,并测得DG=2.8m;然后雯雯向前移动1.5m到达点F处,笑笑同样在地面上找到一点H,使得点H、雯雯的头顶E以及旗杆的顶部A三点在同一直线上,并测得GH=1.7m,已知图中的所有点均在同一平面内,AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,雯雯的身高CD=EF=1.6m.请你根据以上测量数据,求该校旗杆的高度AB.
【答案】解:由题意知,CD=EF=1.6m,DG=2.8m,DF=1.5m,GH=1.7m,
∴FH=2.8﹣1.5+1.7=3m,
∵AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,
∴△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,
∴,,
∴,即,
解得:BD=21m,
∴,
解得:AB=13.6m.
即该校旗杆的高度AB为13.6m.
12.杭州市西湖风景区的雷峰塔又名“皇妃塔”,某校社会实践小组为了测量雷峰塔的高度,在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆,这时地面上的点E,标杆的顶端点D,雷峰塔的塔尖点B正好在同一直线上,测得米,将标杆向后平移到点G处,这时地面上的点F,标杆的顶端点H,雷峰塔的塔尖点B正好又在同一直线上(点F,点G,点E,点C与塔底处的点A在同一直线上),这时测得米,米,请你根据以上数据,计算雷峰塔的高度.
【答案】解:根据题意得米,米,米,米,
∵,
∴,
∴,即①,
∵,
∴,
∴,即②,
由①②得,解得(米),
把代入①得,解得(米),
答:雷峰塔的高度为米.
13.如图,在中,平分,.若,,,求的长.
【答案】解:∵为的平分线,
∴.
∵,



∵,

∴,
∵,,,
∴,

∴.
【培优训练】
14.如图是一张矩形纸片,点E是中点,点F在上,把该纸片沿折叠,点A、B的对应点分别为、,与相交于点G,的延长线经过点C.若,则的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过点E作于点H,
∵四边形为矩形,
∴,,
∴四边形和四边形为矩形,
∴,,
∵,
∴令,,,则,,
∵为的中点,
∴,
由对折可得:,而,
∴,
∴,
∴,
∴,
由题意,得,
又为公共角,
∴,
∴,
则,
整理,得,
解得(舍去),,
∴,,,
在中,
则,
解得,(负根舍去),
∴,
∴.
故答案为:C.
15.如图,在中,,,,以O为圆心,4为半径作圆O,交两边于点C,D,P为劣弧CD上一动点,则最小值为(  ).
A.13 B. C. D.
【答案】B
【解析】连接,取的中点E,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
当在一条直线时值最小,

∴最小值为,
故答案为:B.
16.如图,若,,与交于点,且,,则等于(  )
A.3 B.6 C.7 D.12
【答案】C
【解析】如图所示,延长到,使,连结
又∵,


∵,

又∵,



故答案为:C.
17.如图,已知四边形两条对角线相交于点,,,,则的值为(  )
A.6 B.7 C.12 D.16
【答案】B
【解析】∵AB=AC=AD,
∴点D、C、B在以点A为圆心的圆周上运动,
∵AE=3,EC=1,
∴AC=AF=AE+CE=3+1=4,EF=AE+AF=3+4=7,
∵∠CBD=∠F,∠DEF=∠BEC,
∴△BEC∽△FED,

∴BE DE=CE EF=1×7=7,
故答案为:B.
18.如图,已知点,,射线绕点逆时针旋转,与轴交于点,则过,,三点的二次函数中的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图,过点作轴于点,
∵点,
∴,,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
即:

∴,
∴,
∵,
∴,
∴,∴,
把和代入二次函数中得:,
解得:,
故答案为:B.
19.如图,在矩形中,过点作对角线的垂线并延长,与的延长线交于点,与交于点,垂足为点,连接,且,则下列结论正确的有(  )个:①;②;③;④
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】①由题意可得:,,,,
∴,
∴,
∴,
∴,①符合题意;
②由题意可得:,
∴,
∴,即,
∴,即,②不符合题意;
③由题意可得:,
∴,
∴,即
又∵,
∴,③符合题意;
④过点作,交延长线于点,如下图:
由题意可得:,,
∴,,
∴,
∴,
由勾股定理可得:,
∵,
∴,
又∵,,
∴,
∴,
又∵,∴,即,④符合题意;
正确的个数为3,
故答案为:C
20.如图,矩形的对角线,相交于点,过点作,交于点,若,,则的长为   .
【答案】2
【解析】∵四边形是矩形,
∴,,,,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴即,
解得或(舍去),
故答案为2.
21.如图,线段是的直径,弦于点H,点是弧上任意一点(不与B,C重合),,.延长线段交的延长线于点E,直线交于点N,连结交于点F,则   ,   .
【答案】2.5;4
【解析】连接.
∵,
∴,
设,则,
在中,
∵,
∴,
∴,即;
连接.
∵是直径,
∴,




故答案为:2.5,4.
22.如图,在边长为4的正方形ABCD内有一动点P,且BP=.连接CP,将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.连接CQ、DQ,则DQ+CQ的最小值为    .
【答案】5
【解析】如图,连接AC、AQ,
∵四边形ABCD是正方形,PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ,
∴∠ACB=∠PCQ=45°,
∴∠BCP=∠ACQ,cos∠ACB=,cos∠PCQ=,
∴∠ACB=∠PCO,
∴△BCP∽△ACQ,

∵BP=,
∴AQ=2,
∴Q在以A为圆心,AQ为半径的圆上,
在AD上取AE=1,
∵,,∠QAE=∠DAQ,
∴△QAE∽△DAQ,
∴即EQ=QD,
∴DQ+CQ=EQ+CQ≥CE,
连接CE,
∴,
∴DQ+CQ的最小值为5.
故答案为:5.
23.如图是一边长为6的菱形纸片ABCD,将纸片沿EF折叠,使点D落在边BC上,点A,D的对应点分别为点G,H,GH交AB于点J.若AE=1.4,CF=2,则EJ的长是   
【答案】2.8
【解析】∵四边形ABCD是菱形,
∴∠A=∠C,∠B=∠D,
∵CF=2,CD=6,
∴DF=DC-CF=6-2=4,
由折叠得DF=FH=4,AE=GE=1.4,∠A=∠G,∠D=∠FHJ,
∴∠FHJ=∠B,∠G=∠C
∵∠FHC+∠FHJ+∠JHB=180°,∠JHB+∠B+∠BJH=180°,
∴∠FHC=∠BJH=∠EJG,
∴△CFH∽△GEJ,
∴,即,
∴EJ=2.8.
故答案为:2.8.
24.如图,已知抛物线y=x2﹣7x+6与x轴的相交于A,B两点(A在B的右侧),与y轴的相交于点C,点P,Q分别从A,O两点同时以1cm/秒的速度沿AB,OC向B,C方向移动,用t(秒)表示移动时间,连接PQ,当t为    值时,以O,P,Q为顶点的三角形与△OBC相似.
【答案】或秒
【解析】当x=0时,y=6,
∴C(0,6),
∴OC=6,
当y=0时,x2-7x+6=0,
解得x1=1,x2=6,
∴B(1,0),A(6,0),
∴OB=1,OA=6,
∴OQ=t,OP=6-t,
∵∠POQ=∠BOC,
∴当=时,△OPQ∽△OBC,
∴=,
整理,解得:t=;
当=时时,△OPQ∽△OCB,
∴=,
解得t=,
综上所述,当t=或秒时,以O,P,Q为顶点的三角形与△OBC相似.
故答案为:或秒.
25.如图点A,B在反比例函数y=上,连接AB分别交x,y轴于点D、点C,将△DOA沿OA翻折点D刚好落在y轴上的点F处,AF与x轴交于点E,已知,S△DOB=2,则k=   .
【答案】-6
【解析】过点A作AN⊥x轴于点N,过点B作BM⊥x轴于点M,
∴∠AEO=90°,
∵将△DOA沿OA翻折点D刚好落在y轴上的点F处,AF与x轴交于点E,
∴△AOD≌△AOF,
∴∠AOD=∠AOF,OD=OF,∠AOE=∠AOC=∠EAO=45°,
∴ON=AN,
设ON=AN=n,
∴点A(n,-n)
∴k=-n2,
∵AN∥y轴,
∴△ANE∽△FOE,

∴OF=OD=2n,
∵OC∥AN,
∴△DOC∽△DNA,
∴即
解之:,
∵BM∥OC,
∴△BMD∽△COD,
∴,
∵S△DOB=OD·BM=×2n·BM=2,
解之:

解之:,
∴OM=OD+DM=2n+,
∴点B

解之:n2=6,n2=-2(舍去)
∴k=-n2=-6.
故答案为:-6
26.定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”.
如图,已知l1∥l2,l1与l2之间的距离为2.“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上,点A在直线l2上,△ABC有一边的长是BC的倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,A'C所在直线交l2于点D,则CD=   .
【答案】 或2 或2
【解析】当时,
过点A作AE⊥BC于E,DF⊥AC于F,
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC,l1∥l2,l1与l2之间的距离为2,
∴BC=AE=2,,
∴BE=2,
∴EC=EB+BC=4,
∴,
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,
∴∠DCF=45°,
设DF=CF=x,
∵l1∥l2,
∴∠ACE=∠DAF,
∴△DAF∽△ACE,
∴,
∴AF=2x,
∴AC=3x=,
∴,.
如图,此时△ABC等腰直角三角形,
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴AC=AD,
∴;
当时,如图,此时△ABC是等腰直角三角形,
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C,
∴A'C⊥l1,
∴CD=AB=BC=2;
如图,作AE⊥BC于E,则AE=BC,
∴,
∴∠ACE=45°,
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°,得到△A'B'C时,点A'在直线l1上,
∴A'C∥l2,即直线A'C与l2无交点
∴CD的长为 或2 或2
故答案为: 或2 或2
27.如图:
(1)[基础巩固]:如图1,在△ABC中,∠ACB=90° ,AC= BC,D是AB边上一点,F是BC边上一点,∠CDF=45°.求证:AC. BF=AD. BD;
(2)[尝试应用]如图2,在四边形ABFC中,点D是AB边的中点,∠A=∠B=∠CDF=45°,若AC=9,BF=8,求线段CF的长.
(3)[拓展提高]如图3,在△ABC中,AB=4,∠B=45°.以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE,点D在BC上,点E在AC上.若CE=2,求CD的长.
【答案】(1)证明:∵∠ABC=90°,AC= BC,
∴∠A=∠B=45,
∵∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,∠A=∠CDF=45°,
∴∠ACD=∠BDF,
∴△ACD∽△BDF,

∴AC·BF =AD·BD.
(2)解:如图2中,延长AC交BF的延长线于点T.
∵∠A=∠CDF=∠B=45°,
∴∠T=90°,TA=TB,
∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDF+∠BDF,
∴∠ACD=∠BDF,
故△ACD∽△BDF,

∵AD=DB,

∴AD=6,
∴AB=2AD=12,
∴TA=TB=12,
∴CT=12-9=3,TF=12-8=4,
∴CF==5
(3)解:如图,过点E作EF与CD交于点F,使∠EFD=45°,
∵∠B=∠ADE=45°,
∴∠BAD=∠EDF ,
∴△ABD∽△DFE,

∵DE=AD,AB=4,
∴DF=AB=8,
∵∠EFD=45°,∠ADE=45°,
∴∠EFC=∠DEC= 135°,
∴△EFC∽△DEC ,

∴EC=2,
∴EC2= FC·CD= FC×(8+FC),
∴20= FC×(8+ FC),
∴FC=2,
∴CD=10.
28.如图,内接于,,的外角的平分线交于点D,连接,,交于点F.
(1)求证:是等腰三角形.
(2)若.
①求证:.
②若的半径为5,,求的值.
【答案】(1)证明:∵四边形内接于,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰三角形
(2)解:①∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴;
②连接交于G,
∵,
∴D、O都在中垂线上,即D、O、G共线,
∴且,
∵,
∴在中,,
∴,
∴在中,,
∵,
∴,
∴,
解得:,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
29.如图,的半径为1,直径,的夹角,点是上一点,连接,分别交,于点,.
(1)若,求证:;
(2)当点在上运动时.
①猜想:线段与有怎样的数量关系,并给出证明;
②求证:.
【答案】(1)证明:∵,,
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解:①猜想:.
如图,连结.
∵,,
∴是等边三角形.
∴,.
∵,,
∴,.
又∵,
∴.
∴.
②∵的半径为1,
∴.
∵,
∴.
又∵,
∴.
∴,即.
∵,,
∴.
∴,即.
∵,
∴,.

30.如图:
(1)[基础巩固]如图1,在四边形中,对角线平分,求证:;
(2)[尝试应用]如图2,四边形为平行四边形,F在边上,,点E在延长线上,连接、、,若,求的长;
(3)[拓展提高]如图3,E是内部一点,F为边上一点,连接,已知,,求的值.
【答案】(1)证明:∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴,

(2)解:∵四边形为平行四边形,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴;
(3)解:过点C作,交的延长线于点M,
∴,
∵,
∴;
∵,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∵,
∴,
∴.
【直击中考】
31.如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为,同时量得小菲与镜子的水平距离为,镜子与旗杆的水平距离为,则旗杆高度为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示:
由题意得∠ABC=∠EDC=90°,∠FCE=∠FCA,AB=1.2m,CB=2m,DC=10m,
∴∠BCA=∠DCE,
∴△CDE∽△CBA,
∴,
∴DE=8m,
故答案为:B
32.如图,为等边三角形,点,分别在边,上,,若,,则的长为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA,
∴∠CAD=∠EDB,
∴△BED∽△CDA,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:C
33.如图,在正方形中,点E为边的中点,连接,过点B作于点F,连接交于点G,平分交于点H.则下列结论中,正确的个数为(  )
①②③当时,
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAD=∠ADE=90°,AB=AD.
∵BF⊥AE,
∴∠ABF=90°-∠BAF=∠DAE,
∴cos∠ABF=cos∠EAD,
∴.
∵AB=AD,
∴AB2=BF·AE,故①正确;
设正方形的边长为a,
∵E为CD的中点,
∴DE=a,
∴tan∠ABF=tan∠EAD=.
∵AB==AF=a,
∴AF=a.
∵AE==a,
∴EF=AE-AF=a-a=a.
∵AB∥DE,
∴△GAB∽△GED,
∴=2,
∴GE=AE=a,
∴FG=AE-AF-GE=a-a-a=a,
∴=,
∴S△BGF:S△ABF=2:3,故②正确;
过H分别作BF、AE的垂线,垂足分别为M、N,则四边形FMHN为矩形.
∵FH为∠BFG的平分线,
∴HM=HN,
∴四边形FMHN为正方形,
∴FN=HM=HN,
∴BF=2AF=a,FG=a,
∴,
设MH=b,则BF=BM+FM=BM+MH=3b+b=4b,BH==b.
∵BF=a,
∴a=4b,
∴b=a,
∴BH=×a=a,
∴BD2-BD·HD=2a2-a×a=a1,故④正确.
故答案为:D.
34.如图,点在正方形的对角线上,于点,连接并延长,交边于点,交边的延长线于点.若,,则(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为FB=1,AF=2,所以AB=3,因为EF⊥AB,CB⊥AB,∴EF∥CB,∴△AEF∽△ACB,∴EF∶CB=AF∶AB,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA=3,∴EF∶3=2∶3,∴EF=2,∵EF∥AD,∴△GEF∽△GDA,∴GF∶GA=EF∶DA=2∶3,∴,∴,∴GA=3AF=6,所以GB=GA-BA=6-3=3,∴GB=DC,又∠DCB=∠GBM=90°,∠CMD=∠BMG,∴△BMG≌△CMD∴,在Rt△ADG中,,∴
故答案为:B。
35.如图,在正方形中,,延长至,使,连接,平分交于,连接,则的长为   .
【答案】
【解析】过F作FM⊥CE于点M,作FN⊥CD于点N,
∵四边形ABCD为正方形,AB=3,
∴∠ACB=90°,BC=AB=CD=3.
∵FM⊥CE,FN⊥CD,
∴∠ACB=∠B=90°,
∴四边形CMFN为矩形.
∵CF平分∠DCE,FM⊥CE,FN⊥CD,
∴FM=FN,
∴四边形CMFN为正方形,
∴FM=FN=CM=CN.
设CM=a,则FM=FN=CM=CN=a.
∵CE=2,
∴BE=BC+CE=5,EM=CE-CM=2-a.
∵∠B=90°,FM⊥CE,
∴FM∥AB,
∴△EFM∽△EAB,
∴FM:AB=EM;BE,
∴a:3=(2-a):5,
∴a=,
∴FN=CN=,
∴DN=CD-CN=,
∴DF==.
故答案为:.
36.如图,在中,,点D在上,点E在上,点B关于直线的轴对称点为点,连接,,分别与相交于F点,G点,若,则的长度为   .
【答案】
【解析】∵AC=BC,∴∠A=∠B,又由轴对称性质知:∠B'=∠B,∴∠A=∠B',∵∠AFD=∠B'FG,∴△AFD∽△B'FG,∴∵AF=8,DF=7,B'F=4,∴,∴GF=3.5,又AC=16,∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。
故第1空答案为:4.5.
37.如图,、是两个等腰直角三角形,.
(1)当时,求;
(2)求证:;
(3)求证:.
【答案】(1)解:∵,∴,
∵,,∴,∴,
∵、是两个等腰直角三角形,
∴,,
∴,∴,
∴等腰直角中,,
∴是线段的垂直平分线,∴,
∴,即是等边三角形,∴;
(2)证明:在(1)中有,,
∴,
又∵,
∴,
∴;
(3)证明:过H点作于点K,如图,
∵,,
∴,
∴,即是等腰,
∴,
∵,,,
∴,
∵是线段的垂直平分线,
∴,
在(1)中已证明,∴,
∵,
∴,
∵,
∴,∴,
∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 1