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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形
4.7图形的位似
【知识重点】
知识点一：位似图形的概念：一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心.位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比.
注意：位似图形必须同时满足两个条件：
1.两个图形是相似图形；
2.两个相似图形的对应顶点的连线相交于同一点．
知识点二：1.两个位似图形的位似中心有且只有一个.
2.位似中心可能位于两个位似图形的同侧，可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似图形的内部或边上，还可以是顶点.
如图所示.
知识点三：位似图形的性质
1.位似图形的对应角相等，对应边成比例.
2.位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点，这个点就是位似中心.
3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上.
4.位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比.(仅适用于对应点到位似中心的距离不等于0的情况)
5.两个图形位似，则这两个图形一定相似，其相似比等于对应边的比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
知识点四：画位似图形
画位似图形的一般步骤：
1.确定位似中心(位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，或边上，也可以是顶点)，并找出原图形的关键点；
2.分别连接位似中心和原图形的关键点；
3.根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置；
4.顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.
知识点五：坐标原点为位似中心位似图形的性质
当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx,－ky）.
【经典例题】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是 .
【例3】如图， 与 是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长.
【例4】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
【例5】如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【基础训练】
1．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1
4．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
5．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．27
7．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
8．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
10．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点.若，则的长为 .
11．如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2，1)，B(4，3)，C(6，2)，D(3，-1). 试以原点为位似中心将此四边形缩小为原来的 。
12．在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点 为放映机的光源， 是胶片上面的画面， 为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是 ，放映的银幕规格是 ，光源 与胶片的距离是 ，则银幕应距离光源 多远时，放映的图象正好布满整个银幕？
13．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和关于点E成中心对称，
⑴在图中标出点E，且点E的坐标为 ；
⑵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点的坐标为（a－6，b+2），请画出上述平移后的，此时的坐标为 ，的坐标为 ；
⑶若和关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 .
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为；
（2）若图形变换后点、的对应点分别为点、，请直接写出点、点的坐标.
16．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
( 2 )以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
( 3 )的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
【培优训练】
17．在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点位似，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
18．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
19．如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
20．如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
21．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为 ．
24．如图，在中，O是的中点，以点O为位似中心，作的位似图形.若点A的对应点D是的重心，则与的位似比为 .
25．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上．
（1）若点 的坐标为 ，直接写出点 和点 的坐标；
（2）若正方形 的边长为 ，求点 的坐标．
26．如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.
（1）沿OA的方向放大为原图的2倍；
（2）沿AO的方向放大为原图的2倍．
27．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点在格点上，请使用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中，以点O为位似中心，作格点，使它与的位似比为2：1；
（2）在图2中，作格点（D与B不重合），使它与相似，且AC为公共边，∠A为公共角.
28．如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上．
（1）以点为位似中心，将放大2倍后得到，画出；
（2）找出的中点C，将绕点C旋转得到，画出．
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浙教版2023-2024学年数学九年级上册第4章相似三角形（解析版）
4.7图形的位似
【知识重点】
知识点一：位似图形的概念：一般地，如果两个图形满足以下两个条件：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫做位似图形，经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心.位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比.
注意：位似图形必须同时满足两个条件：
1.两个图形是相似图形；
2.两个相似图形的对应顶点的连线相交于同一点．
知识点二：1.两个位似图形的位似中心有且只有一个.
2.位似中心可能位于两个位似图形的同侧，可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似图形的内部或边上，还可以是顶点.
如图所示.
知识点三：位似图形的性质
1.位似图形的对应角相等，对应边成比例.
2.位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交于一点，这个点就是位似中心.
3.位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上.
4.位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于相似比.(仅适用于对应点到位似中心的距离不等于0的情况)
5.两个图形位似，则这两个图形一定相似，其相似比等于对应边的比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
知识点四：画位似图形
画位似图形的一般步骤：
1.确定位似中心(位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或图形内，或边上，也可以是顶点)，并找出原图形的关键点；
2.分别连接位似中心和原图形的关键点；
3.根据相似比，在位似中心与各关键点所确定的直线上取点，确定所画位似图形的关键点的位置；
4.顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.
知识点五：坐标原点为位似中心位似图形的性质
当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（x，y），位似图形与原图形的位似比为k，则位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx,－ky）.
【经典例题】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．
【答案】（3，1）
【解析】∵△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且，
∴位似比为3：1.
∵A（9，3），
∴A1（9÷3，3÷3），即为（3，1）.
故答案为：（3，1）.
【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(2，1)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是 .
【答案】（6，3）
【解析】∵原点O是位似中心
∴△ABC与△DEF位似
∴
∴DE=6
过点E做EG⊥x轴，过点E做EH⊥y轴
∵A（1,0）B（2,1）,D为OG的中点，OD=DG=3，且OD=OH，E的横坐标为6，纵坐标为3.
故答案为：(6,3).
【例3】如图， 与 是位似图形，点O是位似中心， ， ，求DE的长.
【答案】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA=AD，
∴位似比是OB：OE=1：2，
∵AB=5，
∴DE=10.
【例4】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF.若AD=OA，则△ABC与△DEF的周长之比为（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
【答案】D
【解析】∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，若AD=OA，
∴AB：DE=OA：OD=1：2，△ABC∽△DEF，
∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2
故答案为：D
【例5】如图，和是位似三角形，，的面积为2，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【解析】∵ 与 是位似图形，
∴ ，，
∴，
∴，
∴ ，
∵的面积为2，
∴的面积为18，
故答案为：D.
【基础训练】
1．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为1：2，C（3，2），
∴C′（3×2，2×2），即（6，4）.
故答案为：C.
2．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（1，2），D（3，4）代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
∵直线AD与直线BEx轴的交点坐标即为位似中心，
∴当y=0时，x=-1，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：A
3．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：1
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，
，
，
，，
，即，
故答案为：C.
4．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为1，则的面积是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【解析】∵与位似，
∴与相似，
∵，
∴，
又∵的面积为1，
∴.
故答案为：C.
5．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，点P的坐标为，
则点P的对应点的坐标为或，
即或，
故答案为：C．
6．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为2，则的面积为（ ）
A．6 B．9 C．18 D．27
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∵△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，
∴、，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：C.
7．如图，以点O为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．18
【答案】D
【解析】∵以点O为位似中心，作四边形的位似图形，，
∴，
则四边形面积为18．
故答案为：D．
8．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为 ．
【答案】
【解析】∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴和的周长之比为，
故答案为：
9．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．
【答案】
【解析】由题意可得，∵四边形OA'B'C'∽四边形OABC，S四边形OA'B'C'：S四边形OABC=4：1，
∴位似比为2：1.
∵点B'和点B是一对对应点，且点B'在第一象限，
∴xB'=xB×2=2×2=4，yB'=yB×2=3×2=6
故本题答案为：（4，6）.
10．如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点.若，则的长为 .
【答案】9
【解析】∵图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，
∴，∵，∴，故答案为：9.
11．如果四边形ABCD的四个顶点坐标分别是A(2，1)，B(4，3)，C(6，2)，D(3，-1). 试以原点为位似中心将此四边形缩小为原来的 。
【答案】解：如图所示：
四边形A′B′C′D′即为所求．
12．在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点 为放映机的光源， 是胶片上面的画面， 为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是 ，放映的银幕规格是 ，光源 与胶片的距离是 ，则银幕应距离光源 多远时，放映的图象正好布满整个银幕？
【答案】解：图中 是 的位似图形，
设银幕距离光源 为 时，放映的图象正好布满整个银幕，
则位似比 ，解得 ).
答：银幕应距离光源 为 时，放映的图象正好布满整个银幕．
13．在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，.与是以点P为位似中心的位似图形.
（ 1 ）请画出点P的位置，并写出点P的坐标是____；
（ 2 ）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使相似比为1：1.
【答案】解：（1）解：点P的位置如图所示：
（0，-2）
（2）解：如图所示：即为所求.
14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和关于点E成中心对称，
⑴在图中标出点E，且点E的坐标为 ▲ ；
⑵点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点的坐标为（a－6，b+2），请画出上述平移后的，此时的坐标为 ▲ ，的坐标为 ▲ ；
⑶若和关于点F成位似三角形，则点F的坐标为 ▲ .
【答案】解：⑴如图，连接，则的中点E即为所求；
；（0，－1）；
⑵∵点P（a，b）的对应点的坐标为（a－6，b+2），
∴△ABC先向左平移6个单位，再向上平移2个单位得到，
如图，即为所求；（－3，4）；（－2，2）；
⑶连接交于点F，点F即为所求；（－3，0）
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，.
（1）请以原点为位似中心，画出，使它与的相似比为；
（2）若图形变换后点、的对应点分别为点、，请直接写出点、点的坐标.
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：；
16．在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形．
( 1 )在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为 ．
( 2 )以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为2：1；
( 3 )的内部一点M的坐标为，直接写出点M在中的对应点的坐标为 ．
【答案】解：⑴如图，点P为所作；
故答案为：；
⑵如图，为所作；
⑶．
【解析】（3）点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
【培优训练】
17．在平面直角坐标系中，已知点，.若与关于点位似，且，则点的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】∵与关于点O位似，且，
∴与的相似比为，
∵点E的坐标为，
∴点的坐标为或，
即或，
故答案为：C.
18．如图，在正方形网格中，与位似，则下列说法正确的是（ ）
A．位似中心是点 B．位似中心是点
C．位似比为 D．位似比为
【答案】C
【解析】
如下图所示，作出与的位似中心为H，位似比为4：2=2：1，
∴选项ABD都不符合题意，选项C符合题意，
故答案为：C。
19．如图，小明在边长均为1的正方形网格中，分别作了和，其中三个顶点坐标分别为，，，若和是以原点为位似中心的位似图形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵和是以原点为位似中心的位似图形，
∴，
故答案为：B
20．如图，与位似，位似中心为点.若的周长与的周长比为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，∴△ABC∽△DEF，AB：DE=OA：DO，△ABC的周长与△DEF的周长比为，∴AB：DE=4：9，∴AO：DO=4：9.
故选：D.
21．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（ ）
A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转
【答案】C
【解析】、平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意；
、对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意；
、位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意；
、旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意；
故答案为：．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点B的对应点的坐标是 ．
【答案】 或
【解析】∵，以原点O为位似中心，相似比为，
∴点B的对应点的坐标是 或 ，
故答案为： 或 .
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为．与是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，则点C的坐标为 ．
【答案】/
【解析】∵与是以原点为位似中心的位似图形，位似比为1：3，
又∵点B与点C位于位似中心的异侧，，
∴．
故答案为：．
24．如图，在中，O是的中点，以点O为位似中心，作的位似图形.若点A的对应点D是的重心，则与的位似比为 .
【答案】3：1
【解析】∵D是的重心，
∴，
∴，
∴与的位似比为，
故答案为：.
25．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点 ， ， 在 轴上．
（1）若点 的坐标为 ，直接写出点 和点 的坐标；
（2）若正方形 的边长为 ，求点 的坐标．
【答案】（1）解：C点坐标为 ， 点坐标为
（2）解：∵正方形 与正方形 是以原点 为位似中心的位似图形，
∴正方形 的边长为 ，则正方形 的边长为 ， ，
∴ ： ，解得 ，
∴点 的坐标为
26．如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.
（1）沿OA的方向放大为原图的2倍；
（2）沿AO的方向放大为原图的2倍．
【答案】（1）解：如图所示：四边形A″B″C″D″符合题意
（2）解：如图所示：四边形A′B′C′D′符合题意.
27．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点在格点上，请使用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中，以点O为位似中心，作格点，使它与的位似比为2：1；
（2）在图2中，作格点（D与B不重合），使它与相似，且AC为公共边，∠A为公共角.
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
，
，
.
28．如图，在正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上．
（1）以点为位似中心，将放大2倍后得到，画出；
（2）找出的中点C，将绕点C旋转得到，画出．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
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