1.1 二次函数分层作业（含解析）
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1.1二次函数 同步分层作业
基础过关
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
2．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x
3．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
4．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
5．二次函数y＝3x﹣的二次项系数是 ．
6．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．
（1）y＝3﹣2x2；
（2）y＝x（x﹣1）+1；
（3）y＝2x（1﹣x）+2x2；
（4）y＝（x+3）（3﹣x）．
8．二次函数y＝ax2﹣2x+c中的x，y满足如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …
（1）求抛物线的解析式；
（2）求m的值．
9．学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
能力提升
10．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
11．若函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≥1 C．a≤﹣1 D．a≠﹣1
12．若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
13．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确
14．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2
C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，则这个二次函数的解析式为 ．
16.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为 ，其中自变量x的取值范围是 ．
17.已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
18.已知y＝y1+y2，而y1与x+1成正比例，y2与x2成正比例，并且x＝1时，y＝2；x＝0时，y＝2，求y与x的函数关系式．
培优拔尖
19．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y≥3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
20．已知函数y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过第 象限．
21．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为 ．
22．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，墙长为18米，设矩形ABCD菜园的面积为S（单位：米2），AB的长为x（单位：米），则S关于x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
23．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这个函数是二次函数吗？为什么？
（3）求自变量的取值范围．
24．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
答案与解析
基础过关
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【点拨】利用二次函数的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．
【解析】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．
2．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x
【点拨】已知抛物线经过（0，0），（3，0），可设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣3）（a≠0），然后将点（1，﹣4）代入求得a，即可求出该函数的解析式．
【解析】解：设这个二次函数的解析式是y＝ax（x﹣3）（a≠0），
把（1，﹣4）代入得﹣4＝﹣2a，
解得a＝2；
所以该函数的解析式为：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．
故选：C．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
3．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
【点拨】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可直接得到答案．
【解析】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．
4．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
【点拨】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解析】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝hx，h一定，是一次函数，错误
D、y＝x2，是二次函数，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义．
5．二次函数y＝3x﹣的二次项系数是 ﹣ ．
【点拨】首先根据题意将二次函数化为一般式；再根据二次函数的系数定义即可得到a的值．
【解析】解：∵二次函数y＝3x﹣x2＝﹣x2+3x，
∴二次项系数是﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数系数的确定方法是解题的关键．
6．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．
（1）y＝3﹣2x2；
（2）y＝x（x﹣1）+1；
（3）y＝2x（1﹣x）+2x2；
（4）y＝（x+3）（3﹣x）．
【点拨】首先将原方程化简，再根据二次函数的定义解答问题；接下来根据a是二次项系数，b是一次项系数和c是常数项来回答即可．
【解析】解：（1）y＝3﹣2x2，是二次函数，其中a＝﹣2，b＝0，c＝3；
（2）整理为y＝x2﹣x+1，是二次函数，其中a＝1，b＝﹣1，c＝1；
（3）整理为y＝2x，不是二次函数；
（4）整理为y＝﹣x2+9，是二次函数，其中a＝﹣1，b＝0，c＝9．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
8．二次函数y＝ax2﹣2x+c中的x，y满足如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …
（1）求抛物线的解析式；
（2）求m的值．
【点拨】（1）取两组对应值代入y＝ax2﹣2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把x＝3代入二次函数的解析式求解即可．
【解析】解：（1）由题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），
∴，
解得：，
所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把x＝3代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝9﹣6﹣3＝0，
所以m＝0．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
9．学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
【点拨】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）将y＝72代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．
【解析】解：（1）由题意可得，
y＝（20+x）（14+x）﹣20×14
化简，得
y＝x2+34x，
即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x；
（2）将y＝72代入y＝x2+34x，得
72＝x2+34x，
解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2，
即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
能力提升
10．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【点拨】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
11．若函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≥1 C．a≤﹣1 D．a≠﹣1
【点拨】根据二次函数的定义列不等式求解即可．
【解析】解：∵函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，
∴a+1≠0，
解得a≠﹣1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
12．若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
【点拨】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．
【解析】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a＝3．
故选：D．
【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义
13．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确
【点拨】根据正比例函数性质表示出y，即可作出判断．
【解析】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，一次函数定义，以及正比例函数定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
14．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2
C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2
【点拨】根据两次降价后的价格等于原价乘以（1﹣每次降价的百分率）2，列出函数关系式，即可求解．
【解析】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y＝4000（1﹣x）2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，则这个二次函数的解析式为 y＝2x2﹣3x+1 ．
【点拨】将x与y的三对值代入二次函数解析式即可列出关于a、b和c的方程组；解方程组即可得到a、b和c的值，从而得到二次函数的表达式，据此即可得解．
【解析】解：将x＝0，y＝1，x＝﹣1，y＝6，x＝1，y＝0，代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解得．
所以二次函数的表达式为：y＝2x2﹣3x+1．
故答案为：y＝2x2﹣3x+1．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的表达式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为 y＝16π﹣πx2 ，其中自变量x的取值范围是 0＜x＜4 ．
【点拨】根据圆环的面积＝半径为4cm的圆的面积﹣半径为x的圆的面积＝16π﹣πx2，x是线段，应大于0，不能超过外圆的半径，可得自变量的取值范围．
【解析】解：半径为4cm的圆的面积为16π，半径为x的圆的面积为：πx2，则函数解析式是：y＝16π﹣πx2，且0＜x＜4．
【点睛】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．
17.已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
【点拨】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
【解析】解：（1）依题意得：，
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．
18.已知y＝y1+y2，而y1与x+1成正比例，y2与x2成正比例，并且x＝1时，y＝2；x＝0时，y＝2，求y与x的函数关系式．
【点拨】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解．
【解析】解：∵y1与x+1成正比例，y2与x2成正比例
设y1＝a（x+1），y2＝bx2，
∴y＝a（x+1）+bx2，
，
解得，
∴y＝﹣2x2+2x+2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式．解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的．
培优拔尖
19．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y≥3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【点拨】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【解析】解：A．y≥3x，是不等式，故该选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x＝x2+3x﹣x2＝3x，是一次函数，故该选项不符合题意；
C．y＝（x﹣1）2，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D．y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
20．已知函数y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过第 二 象限．
【点拨】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），可得|m|+1＝2且m+1≠0，从而可得m＝±1且m≠﹣1，进而可得m＝1，然后利用一次函数的性质即可解答．
【解析】解：由题意得：
|m|+1＝2且m+1≠0，
∴m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1，
∴一次函数y＝x﹣1的图象不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
21．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为 2 ．
【点拨】根据当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，代入y1+y2＝﹣x2﹣8x+4即可求出m的值．
【解析】解：∵当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，
∴y1+y2＝﹣m2﹣8m+4＝﹣8+（﹣8）＝﹣16，
∵当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，
∴y1+y2＝﹣m2+8m+4＝8+8＝16，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的有关知识．能够据题意得出相关等式（方程）是解决问题的关键．
22．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，墙长为18米，设矩形ABCD菜园的面积为S（单位：米2），AB的长为x（单位：米），则S关于x的函数关系式是 S＝x（60﹣2x） ，自变量x的取值范围是 21≤x＜30 ．
【点拨】根据各边之间的关系，可得出BC的长为（60﹣2x）米，利用矩形的面积计算公式，可找出S关于x的函数关系式，由AB，BC均为正值，且BC的长不超过墙的长，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可求出自变量x的取值范围．
【解析】解：∵篱笆的总长为60米，AB的长为x米，
∴BC的长为（60﹣2x）米，
∴矩形ABCD菜园的面积S＝x（60﹣2x）（平方米）．
∵AB，BC均为正值，且BC的长不超过墙的长，
∴，
∴21≤x＜30．
∴S关于x的函数关系式是S＝x（60﹣2x），自变量x的取值范围是21≤x＜30．
故答案为：S＝x（60﹣2x）；21≤x＜30．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及解一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，找出S关于x的函数关系式是解题的关键．
23．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这个函数是二次函数吗？为什么？
（3）求自变量的取值范围．
【点拨】（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式；
（2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断；
（3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围．
【解析】解：（1）∵矩形的长为4cm，宽为3cm，
∴矩形的面积＝4×3＝12（cm2）．
∵矩形的长与宽都增加xcm，
∴增加后矩形的面积＝（4+x）（3+x）cm2，
∴y＝（4+x）（3+x）﹣12，即y＝x2+7x，
故y与x之间的函数关系式为y＝x2+7x．
（2）∵一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，
∴y＝x2+7x是二次函数；
（3）∵x为矩形增加的长与宽，
∴自变量x的取值范围为x≥0．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
24．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【点拨】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x＜140，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，
【解析】解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．
则y＝；
（2）由题意可得，
W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），
W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．
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1.1二次函数 同步分层作业
基础过关
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
2．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x
3．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
4．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
5．二次函数y＝3x﹣的二次项系数是 ．
6．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．
（1）y＝3﹣2x2；
（2）y＝x（x﹣1）+1；
（3）y＝2x（1﹣x）+2x2；
（4）y＝（x+3）（3﹣x）．
8．二次函数y＝ax2﹣2x+c中的x，y满足如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …
（1）求抛物线的解析式；
（2）求m的值．
9．学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
能力提升
10．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
11．若函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≥1 C．a≤﹣1 D．a≠﹣1
12．若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
13．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确
14．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2
C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，则这个二次函数的解析式为 ．
16.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为 ，其中自变量x的取值范围是 ．
17.已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
18.已知y＝y1+y2，而y1与x+1成正比例，y2与x2成正比例，并且x＝1时，y＝2；x＝0时，y＝2，求y与x的函数关系式．
培优拔尖
19．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y≥3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
20．已知函数y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过第 象限．
21．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为 ．
22．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，墙长为18米，设矩形ABCD菜园的面积为S（单位：米2），AB的长为x（单位：米），则S关于x的函数关系式是 ，自变量x的取值范围是 ．
23．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这个函数是二次函数吗？为什么？
（3）求自变量的取值范围．
24．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
答案与解析
基础过关
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝
【点拨】利用二次函数的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），进而判断得出即可．
【解析】解：A、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
B、该函数不符合二次函数的定义，故本选项不符合题意；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项符合题意；
D、该函数的右边不是整式，它不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是关键．
2．已知二次函数的图象经过（0，0），（3，0），（1，﹣4）三点，则该函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣3x B．y＝2x2﹣3x C．y＝2x2﹣6x D．y＝x2﹣6x
【点拨】已知抛物线经过（0，0），（3，0），可设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣3）（a≠0），然后将点（1，﹣4）代入求得a，即可求出该函数的解析式．
【解析】解：设这个二次函数的解析式是y＝ax（x﹣3）（a≠0），
把（1，﹣4）代入得﹣4＝﹣2a，
解得a＝2；
所以该函数的解析式为：y＝2x（x﹣3）＝2x2﹣6x．
故选：C．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
3．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对
【点拨】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可直接得到答案．
【解析】解：圆的面积公式S＝πr2中，S和r之间的关系是二次函数关系，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的形式．
4．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
【点拨】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解析】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；
B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝hx，h一定，是一次函数，错误
D、y＝x2，是二次函数，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的定义．
5．二次函数y＝3x﹣的二次项系数是 ﹣ ．
【点拨】首先根据题意将二次函数化为一般式；再根据二次函数的系数定义即可得到a的值．
【解析】解：∵二次函数y＝3x﹣x2＝﹣x2+3x，
∴二次项系数是﹣．
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数系数的确定方法是解题的关键．
6．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值．
（1）y＝3﹣2x2；
（2）y＝x（x﹣1）+1；
（3）y＝2x（1﹣x）+2x2；
（4）y＝（x+3）（3﹣x）．
【点拨】首先将原方程化简，再根据二次函数的定义解答问题；接下来根据a是二次项系数，b是一次项系数和c是常数项来回答即可．
【解析】解：（1）y＝3﹣2x2，是二次函数，其中a＝﹣2，b＝0，c＝3；
（2）整理为y＝x2﹣x+1，是二次函数，其中a＝1，b＝﹣1，c＝1；
（3）整理为y＝2x，不是二次函数；
（4）整理为y＝﹣x2+9，是二次函数，其中a＝﹣1，b＝0，c＝9．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
8．二次函数y＝ax2﹣2x+c中的x，y满足如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …
（1）求抛物线的解析式；
（2）求m的值．
【点拨】（1）取两组对应值代入y＝ax2﹣2x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可；
（2）把x＝3代入二次函数的解析式求解即可．
【解析】解：（1）由题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），
∴，
解得：，
所以抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）把x＝3代入y＝x2﹣2x﹣3，可得y＝9﹣6﹣3＝0，
所以m＝0．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
9．学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．
（1）求x与y之间的函数关系式．
（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？
【点拨】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式；
（2）将y＝72代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．
【解析】解：（1）由题意可得，
y＝（20+x）（14+x）﹣20×14
化简，得
y＝x2+34x，
即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x；
（2）将y＝72代入y＝x2+34x，得
72＝x2+34x，
解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2，
即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
能力提升
10．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【点拨】根据二次函数的定义逐个判断即可．
【解析】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
11．若函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≥1 C．a≤﹣1 D．a≠﹣1
【点拨】根据二次函数的定义列不等式求解即可．
【解析】解：∵函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，
∴a+1≠0，
解得a≠﹣1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
12．若y＝（a2+a）是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
【点拨】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．
【解析】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a＝3．
故选：D．
【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义
13．设y＝y1﹣y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．以上均不正确
【点拨】根据正比例函数性质表示出y，即可作出判断．
【解析】解：设y1＝k1x，y2＝k2x2，
则y＝k1x﹣k2x2，
所以y是关于x的二次函数，
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，一次函数定义，以及正比例函数定义，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
14．一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（ ）
A．y＝4000（1﹣x） B．y＝4000（1﹣x）2
C．y＝8000（1﹣x） D．y＝8000（1﹣x）2
【点拨】根据两次降价后的价格等于原价乘以（1﹣每次降价的百分率）2，列出函数关系式，即可求解．
【解析】解：∵每次降价的百分率都是x，
∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y＝4000（1﹣x）2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝0时，y＝1；当x＝﹣1时，y＝6；当x＝1时，y＝0，则这个二次函数的解析式为 y＝2x2﹣3x+1 ．
【点拨】将x与y的三对值代入二次函数解析式即可列出关于a、b和c的方程组；解方程组即可得到a、b和c的值，从而得到二次函数的表达式，据此即可得解．
【解析】解：将x＝0，y＝1，x＝﹣1，y＝6，x＝1，y＝0，代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解得．
所以二次函数的表达式为：y＝2x2﹣3x+1．
故答案为：y＝2x2﹣3x+1．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的表达式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16.在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为x（cm）的圆面，剩下一个圆环的面积为y（cm2），则y与x的函数关系式为 y＝16π﹣πx2 ，其中自变量x的取值范围是 0＜x＜4 ．
【点拨】根据圆环的面积＝半径为4cm的圆的面积﹣半径为x的圆的面积＝16π﹣πx2，x是线段，应大于0，不能超过外圆的半径，可得自变量的取值范围．
【解析】解：半径为4cm的圆的面积为16π，半径为x的圆的面积为：πx2，则函数解析式是：y＝16π﹣πx2，且0＜x＜4．
【点睛】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．
17.已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
【点拨】（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
【解析】解：（1）依题意得：，
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．
18.已知y＝y1+y2，而y1与x+1成正比例，y2与x2成正比例，并且x＝1时，y＝2；x＝0时，y＝2，求y与x的函数关系式．
【点拨】根据正比例与反比例的定义设出y与x之间的函数关系式，然后利用待定系数法求函数解析式计算即可得解．
【解析】解：∵y1与x+1成正比例，y2与x2成正比例
设y1＝a（x+1），y2＝bx2，
∴y＝a（x+1）+bx2，
，
解得，
∴y＝﹣2x2+2x+2．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式．解决本题的关键是得到y与x的函数关系式，需注意两个函数的比例系数是不同的．
培优拔尖
19．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y≥3x B．y＝x2+（3﹣x）x C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【点拨】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
【解析】解：A．y≥3x，是不等式，故该选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x＝x2+3x﹣x2＝3x，是一次函数，故该选项不符合题意；
C．y＝（x﹣1）2，是二次函数，故该选项正确，符合题意；
D．y＝ax2+bx+c，当a＝0时，不是二次函数，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
20．已知函数y＝（m+1）x|m|+1+4x﹣5是关于x的二次函数，则一次函数y＝mx﹣m的图象不经过第 二 象限．
【点拨】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），可得|m|+1＝2且m+1≠0，从而可得m＝±1且m≠﹣1，进而可得m＝1，然后利用一次函数的性质即可解答．
【解析】解：由题意得：
|m|+1＝2且m+1≠0，
∴m＝±1且m≠﹣1，
∴m＝1，
∴一次函数y＝x﹣1的图象不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
21．设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为 2 ．
【点拨】根据当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，代入y1+y2＝﹣x2﹣8x+4即可求出m的值．
【解析】解：∵当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，
∴y1+y2＝﹣m2﹣8m+4＝﹣8+（﹣8）＝﹣16，
∵当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，
∴y1+y2＝﹣m2+8m+4＝8+8＝16，
解得m＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次函数的有关知识．能够据题意得出相关等式（方程）是解决问题的关键．
22．如图，用一段长为60米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，墙长为18米，设矩形ABCD菜园的面积为S（单位：米2），AB的长为x（单位：米），则S关于x的函数关系式是 S＝x（60﹣2x） ，自变量x的取值范围是 21≤x＜30 ．
【点拨】根据各边之间的关系，可得出BC的长为（60﹣2x）米，利用矩形的面积计算公式，可找出S关于x的函数关系式，由AB，BC均为正值，且BC的长不超过墙的长，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可求出自变量x的取值范围．
【解析】解：∵篱笆的总长为60米，AB的长为x米，
∴BC的长为（60﹣2x）米，
∴矩形ABCD菜园的面积S＝x（60﹣2x）（平方米）．
∵AB，BC均为正值，且BC的长不超过墙的长，
∴，
∴21≤x＜30．
∴S关于x的函数关系式是S＝x（60﹣2x），自变量x的取值范围是21≤x＜30．
故答案为：S＝x（60﹣2x）；21≤x＜30．
【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及解一元一次不等式组，根据各数量之间的关系，找出S关于x的函数关系式是解题的关键．
23．如图所示，一个矩形的长为4cm，宽为3cm，如果将这个矩形的长与宽都增加xcm，那么这个矩形的面积增加ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这个函数是二次函数吗？为什么？
（3）求自变量的取值范围．
【点拨】（1）根据题意，算出原来矩形的面积，再算边长增加后的面积，然后列出y与x的函数关系式；
（2）结合（1）得到的函数关系式，根据所学过的函数表达式即可判断；
（3）因为边长的增加量是非负数，即可写出x的取值范围．
【解析】解：（1）∵矩形的长为4cm，宽为3cm，
∴矩形的面积＝4×3＝12（cm2）．
∵矩形的长与宽都增加xcm，
∴增加后矩形的面积＝（4+x）（3+x）cm2，
∴y＝（4+x）（3+x）﹣12，即y＝x2+7x，
故y与x之间的函数关系式为y＝x2+7x．
（2）∵一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，
∴y＝x2+7x是二次函数；
（3）∵x为矩形增加的长与宽，
∴自变量x的取值范围为x≥0．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．
24．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．
【点拨】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x＜140，
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，
【解析】解：（1）当50＜x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，
当80＜x＜140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．
则y＝；
（2）由题意可得，
W＝﹣x2+300x﹣10400（50＜x≤80），
W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．
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