1.3 二次函数的性质分层作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
1.3二次函数的性质 同步分层作业
基础过关
1．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
2．关于二次函数y＝（x﹣3）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣3，2）
C．该函数有最大值，最大值是2 D．当x＞3时，y随x的增大而增大
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … 3 ﹣1 ﹣3 ﹣1 …
下列各选项中，错误的是（　　）
A．这个函数的图象开口向上 B．当x＝4时，y＞0
C．这个函数的最小值为﹣3 D．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，点（﹣1，y1），（0，y2），（1.5，y3）在该二次函数图象上，则（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
5．抛物线的顶点坐标为 　 　．
6．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 　 　．
7．二次函数y＝﹣（x+5）2﹣4的最大值是 　 　．
8．已知某函数图象当x＞1时，y随x的增大而减小，请你写出一个满足条件的二次函数解析式 　 　．
9．一个二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同、开口方向相同，且顶点为（1，4），那么这个函数的解析式是 　 　．
10．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
该二次函数的解析式是 　 　．
12.已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象；
（5）说明其图象与抛物线y＝2x2的关系；
（6）当x取何值时，函数y由最值？其最值是多少？
（7）求函数图象与两坐标轴的交点所组成的三角形的面积．
13.已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围．
能力提升
11．抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5
12．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（　　）
A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8
13．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象，过不同的五点A（﹣2，n）、B（6，n）、C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
14．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，则m的值是 　　．
15．已知二次函数y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1（a，b为常数且a＞0），当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，则ab的最大值为 　　．
16．若二次函数，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　　．
17.已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是 　　．
18.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
培优拔尖
19．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确有（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 　 ．
21．已知二次函数y＝x2﹣2ax+1的顶点坐标是（h，k）．
（1）当时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，当1≤x≤3时，求该二次函数的最大值；
（3）当1≤x≤3时，函数的最大值与最小值的差为2，求h和k的值．
22.已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
23．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）；
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出该函数图象的顶点坐标；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q；若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
24.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
25.已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
答案与解析
基础过关
1．若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（　　）
A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【点拨】根据二次函数的顶点式求解析式．
【解析】解：设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣h）2+k
∵二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
∴二次函数的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
把（0，3）代入得a＝1，
所以y＝（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
【点睛】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：y＝a（x﹣h）2+k．
2．关于二次函数y＝（x﹣3）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是（﹣3，2）
C．该函数有最大值，最大值是2 D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【点拨】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及增减性即可求解．
【解析】解：y＝（x﹣3）2+2中，
x2的系数为1，1＞0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是（3，2），B错误；
函数图象开口向上，有最小值为2，C错误；
函数图象的对称轴为x＝3，x＜3时y随x的增大而减小；x＞3时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 3 …
y … 3 ﹣1 ﹣3 ﹣1 …
下列各选项中，错误的是（　　）
A．这个函数的图象开口向上 B．当x＝4时，y＞0
C．这个函数的最小值为﹣3 D．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
【点拨】通过待定系数法求出函数解析式，从而可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解析】解：将（0，﹣1），（3，﹣1），（1，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2﹣3x﹣1，
∴抛物线开口向上，选项A正确，
将x＝4代入y＝x2﹣3x﹣1得y＝3，
∴B正确．
∵抛物线经过（3，﹣1），（1，﹣3），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
将x＝代入y＝x2﹣3x﹣1得y＝﹣，
∴函数最小值为﹣，选项C错误，
∵抛物线对称轴为直线x＝，
∴x＜1时，y随x增大而减小，选项D正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，点（﹣1，y1），（0，y2），（1.5，y3）在该二次函数图象上，则（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【点拨】由图象可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，
∵点（1.5，y3）关于直线x＝1的对称点是（0.5，y3），
∵﹣1＜0＜0.5，
∴y1＜y2＜y3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
5．抛物线的顶点坐标为 　（﹣5，8）　．
【点拨】利用二次函数顶点坐标公式即可得出顶点坐标．
【解析】解：由题可知抛物线，
当二次函数的解析式为顶点式y＝a（x﹣h）2+k时，抛物线的顶点坐标公式为（h，k），
∴抛物线的顶点坐标为（﹣5，8）．
故答案为：（﹣5，8）．
【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的顶点式，本题难度较小，明确二次函数的顶点式求顶点坐标即可．
6．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 　x＜﹣1　．
【点拨】首先求出二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴x＝﹣1，然后再根据数的性质可得出答案．
【解析】解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴为：，
又∵a＝﹣2＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＜﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是理解对于二次函数y＝ax2+bx+c，对称轴为x＝﹣b/2a，①若a＞0，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；②若a＜0，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小．
7．二次函数y＝﹣（x+5）2﹣4的最大值是 　﹣4　．
【点拨】找到该函数的顶点坐标，根据a＝﹣1＜0，即可找到该函数的最大值．
【解析】解：∵y＝﹣（x+5）2﹣4，
∴顶点坐标为（﹣5，﹣4），
∵a＝﹣1＜0，函数存在最大值，
∴当x＝﹣5时，最大值为﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练形如y＝a（x﹣h）2+k的函数性质是解题关键．
8．已知某函数图象当x＞1时，y随x的增大而减小，请你写出一个满足条件的二次函数解析式 　y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一）　．
【点拨】分析题意可得，在直线x＝1的左边，y随x的增大而减小，则二次函数开口向下，且对称轴在直线x＝1的右边，或与直线x＝1重合，据此写出符合条件的二次函数解析式即可．
【解析】解：根据题意可得，在直线x＝1的左边，y随x的增大而减小，则二次函数开口向下，且对称轴在直线x＝1的右边，或与直线x＝1重合，
∴满足条件的一个二次函数解析式为：y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一）．
故答案为：y＝﹣（x﹣1）2（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握a＞0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a＜0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
9．一个二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同、开口方向相同，且顶点为（1，4），那么这个函数的解析式是 　y＝3（x﹣1）2+4　．
【点拨】根据二次函数性质形状及开口方向相同即a的值一样，设出解析式y＝3（x﹣h）2+k，根据顶点为（1，4），即可得到答案．
【解析】解：∵二次函数的图象与抛物线y＝3x2的形状相同、开口方向相同，
∴a＝3，
设二次函数的解析式为y＝3（x﹣h）2+k，
∵顶点为（1，4），
∴h＝1，k＝4，
∴这个函数的解析式是y＝3（x﹣1）2+4，
故答案为：y＝3（x﹣1）2+4．
【点睛】本题考查二次函数图象性质及顶点式，解题的关键是知道二次函数图形形状及开口方向相同即a的值一样．
10．小聪在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y与x的对应值：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
该二次函数的解析式是 　y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）　．
【点拨】根据待定系数法即可求得．
【解析】解：由表格数据结合二次函数图象对称性可得图象顶点为（3，﹣4），
设二次函数的表达式为y＝a（x﹣3）2﹣4（a≠0），
将（1，0）代入得4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣3）2﹣4（或y＝x2﹣6x+5）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
12.已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；
（4）画出函数图象；
（5）说明其图象与抛物线y＝2x2的关系；
（6）当x取何值时，函数y由最值？其最值是多少？
（7）求函数图象与两坐标轴的交点所组成的三角形的面积．
【点拨】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
（2）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标及对称轴．
（3）分别把x＝0和y＝0代入函数的解析式中即可求解；
（4）根据顶点坐标和交点坐标画出函数图象；
（5）根据二次函数的a的值即可得到图象与抛物线y＝2x2的关系；
（6）根据二次函数的性质和顶点坐标求得；
（7）根据交点坐标得出三角形底边和高，根据三角形面积求得．
【解析】解：（1）y＝2x2+4x﹣6，
y＝2（x2+2x）﹣6，
y＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6，
y＝2（x+1）2﹣8．
（2）∵a＝2＞0，图象开口向上；
∵y＝2（x+1）2﹣8．
∵对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣8）．
（3）当x＝0时，y＝﹣6，
当y＝0时，2x2+4x﹣6＝0，
则x＝﹣3或x＝1，
则与坐标轴交于点（1、0），（﹣3、0），（0，﹣6）；
（4）画出函数图象如图：
（5）∵二次项系数相同，
∴图象与抛物线y＝2x2的图象开口大小相同，方向相同；
（6）当x＝﹣1时，有最小值y＝﹣8；
（7）∵与坐标轴交于点（1、0），（﹣3、0），（0，﹣6），
∴函数图象与两坐标轴的交点所组成的三角形的面积：×（1+3）×6＝12．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线；对称轴为直线x＝﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当a＞0时，抛物线开口向上，当x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，x＜＝﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
13.已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（3）当﹣1≤x≤2时，直接写出函数y的取值范围．
【点拨】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由二次函数顶点式求解．
（3）根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．
【解析】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8；
（2）∵y＝2（x﹣1）2﹣8，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣8）．
（3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣8）．
∴x＝1时函数最小值为﹣8
将x＝﹣1代入y＝2x2﹣4x﹣6得y＝2+4﹣6＝0，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围﹣8≤y≤0．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
能力提升
11．抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5
C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5
【点拨】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y＝a（x﹣3）2﹣5，再利用所求抛物线与y＝x2的图象开口大小相同可确定a的值，从而得到这条抛物线解析式．
【解析】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2﹣5，
因为所求抛物线与y＝x2的图象开口大小相同，
而y的最大值为﹣5，
所以a＝﹣，
所以这条抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．
故选：B．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
12．已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（　　）
A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8
【点拨】根据y＝ax2+2ax+1可得出对称轴x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0两种情况讨论计算．
【解析】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，
∴二次函数对称轴为x＝﹣1．
①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．
∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．
②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，
∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．
综上分析，a的值为﹣8或1．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数最值问题，确定对称轴，分类讨论最值情况是作出本题的关键技巧．
13．若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象，过不同的五点A（﹣2，n）、B（6，n）、C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y3＞y2 D．y2＞y1＞y3
【点拨】由A（﹣2，n）、B（6，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝2，再由C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3）与对称轴的距离，即可判断y2＞y3＞y1．
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过A（﹣2，n）、B（6，n），
∴开口向下，对称轴为直线x＝＝2，
∵C（0，y1）、D（，y2）、E（3，y3）与对称轴的距离C最远，D最近，
∴y2＞y3＞y1；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
14．已知二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，则m的值是 　6或﹣2　．
【点拨】根据二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，可知该函数顶点的纵坐标为0，即＝0，然后求解即可．
【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣（m﹣2）x+4的图象的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得m1＝6，m2＝﹣2，
故答案为：6或﹣2．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象顶点在x轴上时，顶点的纵坐标都是0．
15．已知二次函数y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1（a，b为常数且a＞0），当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，则ab的最大值为 　　．
【点拨】由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，由y随x的增大而增大的取值范围可得a与b的数量关系，进而求解．
【解析】解：∵y＝ax2﹣2（b﹣1）x+1（a，b为常数且a＞0），
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝，
∵当﹣2≤x≤﹣1时，y随x的增大而增大，
∴＝﹣2，
∴b﹣1＝﹣2a，即b＝1﹣2a，
∴ab＝a（1﹣2a）＝﹣2a2+a＝﹣2（a﹣）2+，
∴ab最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握通过配方法求代数式的最值．
16．若二次函数，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m≤﹣1　．
【点拨】根据二次函数的性质构建不等式即可解决问题．
【解析】解：∵二次函数y＝（x﹣m）2+1＝x2﹣mx+m2+1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤﹣1，
∴m≤﹣1，
故答案为：m≤﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
17.已知实数a，b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣15的最小值是 　5　．
【点拨】由a﹣b2＝4得，b2＝a﹣4，代入a2﹣3b2+a﹣15中，化简后配方，即可求出最小值．
【解析】解：∵a﹣b2＝4，
∴b2＝a﹣4，
∴a2﹣3b2+a﹣15
＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣15
＝a2﹣2a﹣3
＝（a﹣1）2﹣4，
∵a＝b +4，
∴a≥4，
∴当a＝4时，
∴a2﹣3b2+a﹣15的最小值是（4﹣1） ﹣4＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数求最值，熟练掌握配方法是解题关键．
18.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【点拨】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．
【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
培优拔尖
19．已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，则下列结论正确有（　　）
①当x＞2时，y随x的增大而减小；
②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；
③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；
④若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m≤．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解析】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），
∴y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，
又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故①正确；
若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，
∵a＜0，1＜m＜2，
∴﹣1＜a＜﹣，故②错误；
又∵对称轴为直线x＝，1＜m＜2，
∴0＜＜，
∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则y1＜y2，故③正确；
若图象上两点（，y1），（+n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2，
∴该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0），
∴0＜≤，
解得1＜m≤，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．如图，已知平面直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中任意三个点，当a的值最大时，二次函数的解析式为 　y＝x2﹣x+2　．
【点拨】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向和大小，开口向下时，a＜0，只需把开口向上，开口较小的二次函数解析式求出即可．
【解析】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0，
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
∵A、B、D组成的二次函数的图象的开口小于A、B、C组成的二次函数的开口大小．
∴A、B、D组成的二次函数的图象中，a的值最大，
当抛物线y＝ax2+bx+c过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数的解析式为y＝x2﹣x+2，
故答案为：y＝x2﹣x+2．
【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，解本题的关键要熟练掌握二次函数的性质和待定系数法求函数的解析式．
21．已知二次函数y＝x2﹣2ax+1的顶点坐标是（h，k）．
（1）当时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，当1≤x≤3时，求该二次函数的最大值；
（3）当1≤x≤3时，函数的最大值与最小值的差为2，求h和k的值．
【点拨】（1）根据对称轴公式求解；
（2）根据函数的增减性求解；
（3）分类讨论，列方程求解．
【解析】解：（1）当时，即：﹣＝，
解得：a＝，
所以二次函数的表达式为：y＝x2﹣x+1；
（2）∵1≤x≤3在对称轴x＝的右边，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y取最大值，为32﹣3+1＝7；
所以在（1）的条件下，当1≤x≤3时，求该二次函数的最大值为7；
（3）∵y＝x2﹣2ax+1＝（x﹣a）2+1﹣a2，
∵当x＝a时，y的最小值为：1﹣a2，
当x＝1时，y＝2﹣2a，
当x＝3时，y＝10﹣6a，
当1≤a≤3，且a﹣1＞3﹣a，即2＜a≤3时，2﹣2a﹣（1﹣a2）＝2，
解得：a＝1+或a＝1﹣（不合题意，舍去），
此时：h＝a＝1+，k＝1﹣（1+）2＝﹣2﹣2，
当1≤a≤3，且a﹣1＜3﹣a，即1≤a＜2时，10﹣6a﹣（1﹣a2）＝2，
解得：a＝3+（不合题意，舍去），或a＝3﹣，
此时：h＝a＝3﹣，k＝1﹣（3﹣）2＝6﹣10，
当a＞3时，2﹣2a﹣（10﹣6a）＝2，
解得：a＝2.5（不合题意，舍去），
当a＜1时，（10﹣6a）﹣（2﹣2a）＝2，
解得：a＝1.5（不合题意，舍去），
h＝1+，k＝﹣2﹣2或h＝3﹣，k＝6﹣10．
【点睛】本题考查了待定系数法的应用，分类讨论思想是解题的关键．
22.已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a，b是实数，a≠0）．
（1）若该函数图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求该二次函数表达式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是抛物线上的点，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若该二次函数满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，且过点（1，3），当a＜b时，求4a+b的取值范围．
【点拨】（1）①由题意，将已知两点代入表达式分别求出a和b即可得解．
②依据题意，把A，B两点代入①所求解析式，然后两式相减，再适当变形可得x1+x2的值，再代入①的表达式式即可求出t．
（2）由题意可得a＜0，，再由过点（1，3）可得b＝2a+3≤0，可得≤a＜0，又4a+b＝6a+3，故可得解．
【解析】解：（1）①由题意，∵图象经过点（1，﹣4），（0，﹣3），
∴．
∴．
∴所求二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
②由题意，∵A、B在抛物线上，
∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．
上述两式相减得，
﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．
∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．
显然A、B是两个点，
∴x1≠x2．
∴x1﹣x2≠0．
∴x1+x2＝2．
∴s＝2．
又C（s，t）是抛物线上的点，
∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．
即t＝﹣3．
（2）由题意，
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a满足当x≥0时，总有y随x的增大而减小，
∴a＜0，．
∴b≤0．
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3a过点（1，3），
∴b＝2a+3≤0．
∴a≤．
又a＜b，
∴a＜2a+3．
∴a＞﹣3．
∵a≤，
∴﹣3＜a≤．
又4a+b＝6a+3，
∴﹣15＜6a+3≤﹣6．
∴﹣15＜4a+b≤﹣6．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，需要熟练掌握并灵活运用．
23．在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）；
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出该函数图象的顶点坐标；
（2）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q；若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【点拨】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
【解析】解：（1）由题意，得，
解得，
∴该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．
所以 P+Q＞6．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，第（2）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
24.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4）．
（1）求a，b满足的关系式．
（2）当自变量x的值满足﹣1≤x≤2时，y随x的增大而增大，求a的取值范围．
（3）若函数图象与x轴无交点，求a2+b2的取值范围．
【点拨】（1）把点A（﹣1，1）和B（2，4）代入解析式得到，两式相减即可得到结论；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，代入b＝1﹣a，解得a≤，即可得到a的取值范围是0＜a≤；
（3）由b＝1﹣a得到a2+b2＝2（a﹣）2+，即可根据二次函数的性质得到a2+b2的最值．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣1，1）和B（2，4），
∴，
②﹣①得，3a+3b＝3，即a+b＝1，
∴b＝1﹣a；
（2）由题意可知﹣≤﹣1，
∵b＝1﹣a，
∴﹣≤﹣1，
∴a＞0，
∴1﹣a≥2a，
∴a≤，
∴a的取值范围是0＜a≤；
（3）∵函数图象与x轴无交点，
∴b2﹣4ac＜0，即（1﹣a）2﹣4a（2﹣2a）＜0，
∴（1﹣a）（1﹣9a）＜0，
解得＜a＜1，
∵b＝1﹣a，
∴a2+b2
＝a2+（1﹣a）2
＝a2+a2﹣2a+1
＝2a2﹣2a+1
＝2（a﹣）2+，
∴当a＝时，a2+b2的最小值为，
当a＝1时，a2+b2的最大值为1，
∴≤a2+b2＜1．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25.已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0．
（1）若二次函数的图象经过（1，4），求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向上，当﹣1≤x≤2时，二次函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为6，求点M和点N的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围．
【点拨】（1）把（1，4）点的坐标代入函数解析式中求出m即可；
（2）根据抛物线开口向上得m＞0，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出m的值，即可求出M点和N点的坐标；
（3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性讨论a的取值范围．
【解析】解：（1）把（1，4）代入函数解析式得，m﹣2m+3＝4，
∴m＝﹣1，
∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵抛物线开口方向向上，
∴m＞0，
∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∴抛物线的顶点为（1，3﹣m），
∴当x＜1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
∴最低点N（1，3﹣m），
∵当x＝﹣1时，y＝3m+3，
当x＝2时，y＝3，
且m＞0，
∴3m+3＞3，
∴最高点M（﹣1，3m+3），
∴3m+3＝6，
∴m＝1，
代入M点和N点坐标得：M（﹣1，6），N（1，2）；
（3）①当m＞0时，
则有当x≤1时y随x增大而减小，
当x≥1时，y随x增大而增大，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a+2≤1，
∴a≤﹣1，
②当m＜0时，
则有当x≤1时y随x增大而增大，
当x≥1时，y随x增大而减小，
又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，
此时a≥1，
综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)