1.4.1 二次函数的应用分层作业（含解析）

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1.4二次函数的应用（1） 同步分层作业
基础过关
1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
2．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　）
A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2
3．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OP的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离x（m）与水流喷出的高度y（m）之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．5.5m B．5m C．4.5m D．4m
4．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　　m．
5．如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　48　m2．
6．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面3.6米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 　　米．
7．如图所示，一位运动员在离篮下4米水平距离处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5米时，球达到最大高度3.5米．已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，问球出手时离地面　　米时才能投中．
8．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝　　；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．
9.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
能力提升
10．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）
A． B．5m C． D．6m
11．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（　　）
A．米 B．10米 C．米 D．米
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
13．如图所示，矩形的窗户分成上、下两部分，用9米长的塑钢制作这个窗户的窗框（包括中间档），设窗宽x（米），则窗的面积y（平方米）用x表示的函数关系式为 　　；要使制作的窗户面积最大，那么窗户的高是 　　米，窗户的最大面积是 　　平方米．
14．对于竖直上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中h（m）是上升高度，v0（m/s）是初速度，g（m/s2）是重力加速度，t（s）是物体抛出后经过的时间．当t＝0或6时，h＝0；当t＝3时，h＝45．
（1）v0＝　　m/s，g＝　　m/s2；
（2）　　s后，物体在离抛出点25m高的地方．
15．祁门红茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元．经调查发现：其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设口利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并说明日利润W随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；
（3）若公司想获得不低于2000元日利润，请直接写出售价范围．
16.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强．
x y＝﹣0.1x2+2.6x+43
0 43
5 53.5
h k
20 55
30 31
（1）点（h，k）是二次函数的顶点，则h＝　　，k＝　　；
（2）用光滑的曲线在所给的坐标系中画出二次函数的图象；
（3）根据图象，当0≤x≤13内，学生的接受能力逐步 　　（填“增强”，“不变”或“降低”）；13＜x≤30，学生的接受能力逐步 　　（填“增强”，“不变”或“降低”）；
（4）某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是多少分钟？
培优拔尖
19．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+2.6．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（　　）
A．球运行的最大高度是2.43m B．
C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网并会出界
20．利用长为12m的墙和40m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（　　）
A．168m2，102m2 B．200m2，102m2 C．200m2，168m2 D．160m2，102m2
21.某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
22．某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设AB＝x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．

（1）分别写出y1，y2与x的函数关系式；
（2）小红说：“y1的最大值为384，y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．
23.某公司生产的一种产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润y1（元）与国外销售量x（万件）之间的函数关系如图所示．若在国内销售，平均每件产品的利润为y2＝84元，设该公司每年在国内和国外销售的总利润为w万元．
（1）求y1与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．
（2）该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？
（3）该公司计划以国外销售的每件产品中捐出2m（1≤m≤4）元给希望工程，从国内销售的每件产品中捐出m元给希望工程，且国内销售量不低于4万件，若这时国内外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．
答案与解析
基础过关
1．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t（秒）是（　　）
A．5 B．10 C．1 D．2
【点拨】根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，
解得：t＝0或t＝2，
∴那么球弹起后又回到地面所花的时间是2秒；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3m，水面宽6m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（　　）
A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2
【点拨】设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）代入坐标求得a．
【解析】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0），
由图象可知该图象经过（﹣3，﹣3）点，
故﹣3＝9a，
a＝﹣，
故y＝﹣x2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
3．某市公园欲修建一个圆型喷泉池，在水池中垂直于地面安装一个柱子OP，安置在柱子顶端P处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OP的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图所示），水平距离x（m）与水流喷出的高度y（m）之间的关系式为，则水流喷出的最大高度是（　　）
A．5.5m B．5m C．4.5m D．4m
【点拨】把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求最值．
【解析】解：y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣3）2+4，
∵﹣＜0，
∴当x＝3时，y有最大值，最大值为4，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是把抛物线解析式化为顶点式．
4．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　10　m．
【点拨】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
【解析】解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．
5．如图，有长为24m的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃ABCD的面积最大为 　48　m2．
【点拨】设篱笆的宽为x，长为（24﹣3x），列出面积S与x的函数关系式，求出最值．
【解析】解：设篱笆的宽为x米，长为（24﹣3x）米，
∴S＝x（24﹣3x）＝﹣3x +24x＝﹣3（x﹣4） +48，
∵墙长不限，
当x＝4时，24﹣3x＝12，S值最大，此时S＝48．
故答案为：48．
【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数的综合运用，考查学生根据图形信息列出二次函数，本题难度适中，经常在考卷中出现，解决问题的关键是弄清题意，根据公式列出面积与x的关系．
6．掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平距离为4米时达到最高点，此时离地面3.6米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是 　10　米．
【点拨】已知抛物线的顶点（4，3.6），抛物线与y轴的交点（0，2），可设抛物线的顶点式，并求出解析式；要得到实心球的成绩，即求出与x轴交点对应的x的值即可．
【解析】解：抛物线的顶点（4，3.6），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+3.6
把（0，2）代入解析式可求得，
抛物线的解析式为：
当y＝0时，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝10，
即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米；
故答案是：10．
【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
7．如图所示，一位运动员在离篮下4米水平距离处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5米时，球达到最大高度3.5米．已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，问球出手时离地面　2.25　米时才能投中．
【点拨】根据图象，求得图象上点的坐标，设出函数解析式，代入点求出，进一步求得问题的解．
【解析】解：如图，
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y＝ax2+3.5，
代入B点得a＝﹣0.2，
因此函数解析式为：y＝﹣0.2x2+3.5，
把x＝﹣2.5代入解析式得y＝2.25；
答：球出手时离地面2.25米时才能投中．
故答案为2.25．
【点睛】此题主要考查根据函数的特点，用待定系数法求函数解析式，再进一步利用解析式解决问题．
8．某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣x2+c且过顶点C（0，5）．（长度单位：m）
（1）直接写出c＝　5　；
（2）求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
（3）该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由．
【点拨】（1）直接利用顶点C（0，5），进而求出c的值；
（2）直接求出图象与x轴的交点进而得出AB的值；
（3）利用x＝3时，求出y的值，进而得出答案．
【解析】解：（1）∵顶点C（0，5）
∴c＝5，
故答案为：5．
（2）由题意可得：0＝﹣x2+5，
解得：x1＝5，x2＝﹣5，
故AB＝2×5＝10米；
（3）把x＝3代入得y＝﹣x2+5＝4.1＞4，
故能安全通过．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据数形结合得出函数关系式是解题关键．
9.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
（1）求每次下降的百分率．
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
（3）在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
【点拨】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，可列出方程，求解即可；
（2）根据总盈利＝每千克盈余×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果；
（3）根据题意列出二次函数解析式，然后求出二次函数的最大值即可得到结果．
【解析】解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元；
（3）设商场每天的盈利为y元，由（2）可知：
y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000，
∵﹣20＜0，
∴当x＝﹣＝7.5时，y取最大值，
∴当x＝7.5时，y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元），
答：应涨价7.5元，每天的盈利达到最大值，为6125元．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程或函数解析式．
能力提升
10．为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）
A． B．5m C． D．6m
【点拨】根据点A到点O的距离为4，得到A（4，0），把A（4，0）代入求得根据二次函数的解析式是解题的关键．
【解析】解：点A到点O的距离为4，
∴A（4，0），
把A（4，0）代入得16a+＝0，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x，
∵y＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）＝﹣（x﹣2）2+，
∴水流喷出的最大高度为，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键．
11．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座下方为抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是（　　）
A．米 B．10米 C．米 D．米
【点拨】已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y＝8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长．
【解析】解：由于两盏警示灯E、F距离水面都是8米，因而两盏警示灯之间的水平距离就是直线y＝8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即x2＝80，
解得，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：（米）．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，注意利用函数对称的性质来解决问题．
12．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
【点拨】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时t＝﹣，进而得出答案．
【解析】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣＝﹣＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
13．如图所示，矩形的窗户分成上、下两部分，用9米长的塑钢制作这个窗户的窗框（包括中间档），设窗宽x（米），则窗的面积y（平方米）用x表示的函数关系式为 　y＝﹣x2+x，（0＜x＜3）　；要使制作的窗户面积最大，那么窗户的高是 　　米，窗户的最大面积是 　　平方米．
【点拨】本题考查二次函数最大（小）值的求法，用公式法比较简单．
【解析】解：∵设窗宽x（米），则高为，
∴y＝x，即用x表示的函数关系式为y＝﹣x2+x （0＜x＜3）；
要使制作的窗户面积最大x＝﹣＝﹣＝，高为＝＝，
窗户的最大面积是＝＝．
【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．
14．对于竖直上抛物体，在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中h（m）是上升高度，v0（m/s）是初速度，g（m/s2）是重力加速度，t（s）是物体抛出后经过的时间．当t＝0或6时，h＝0；当t＝3时，h＝45．
（1）v0＝　30　m/s，g＝　10　m/s2；
（2）　1或5　s后，物体在离抛出点25m高的地方．
【点拨】（1）已知h＝v0t﹣gt2经过的坐标，把坐标代入解析式可解出v0，g；
（2）令h＝25，代入函数关系式h＝30t﹣5t2，解方程即可．
【解析】解：（1）由图可知，h＝v0t﹣gt2的图象经过（6，0）、（0，0）点，
则，
解这个方程组，得v0＝30，g＝10，
∴v0＝30（米/秒），g＝10（米/秒2），
故答案为：30；10；
（2）由（1）得，函数关系式是h＝30t﹣5t2，
当h＝25时，则30t﹣5t2＝25，
解这个方程，得t1＝1，t2＝5，
∴经过1秒或5秒的物体在离抛出点25米高的地方．
故答案为：1或5．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，关键是掌握利用待定系数法求出解析式．
15．祁门红茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元．经调查发现：其日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设口利润为W（元），求W与x之间的函数表达式，并说明日利润W随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；
（3）若公司想获得不低于2000元日利润，请直接写出售价范围．
【点拨】（1）待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
（3）根据题意列出不等式﹣2（x﹣90）2+1800≥1350，利用二次函数的性质求解可得x的范围．
【解析】解：（1）设y＝kx+b，
将（60，120）、（80，80）代入，得：，
解得：，
∴y＝﹣2x+240；
（2）w＝（x﹣50）（﹣2x+240）
＝﹣2x2+340x﹣12000
＝﹣2（x﹣85）2+2450，
∴当x＝85时，w最大值＝2450，
答：w与x之间的函数表达式为w＝﹣2x2+340x﹣12000，售价为85元时获得最大利润，最大利润是2450元；
（3）﹣2（x﹣85）2+2500≥2450，
解得：75≤x≤105，
∵售价≤100，
∴售价范围为75≤x≤100，
答：售价x（元/千克）的范围为75≤x≤100．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
16.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越强．
x y＝﹣0.1x2+2.6x+43
0 43
5 53.5
h k
20 55
30 31
（1）点（h，k）是二次函数的顶点，则h＝　13　，k＝　59.9　；
（2）用光滑的曲线在所给的坐标系中画出二次函数的图象；
（3）根据图象，当0≤x≤13内，学生的接受能力逐步 　增强　（填“增强”，“不变”或“降低”）；13＜x≤30，学生的接受能力逐步 　降低　（填“增强”，“不变”或“降低”）；
（4）某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是多少分钟？
【点拨】（1）将函数关系式化为顶点式，求出h和k；
（2）根据点的坐标，画出光滑的曲线；
（3）根据二次函数图象的性质，求出对称轴，观察y随x的变化情况，得出结论；
（4）令y＝59，求出x的值．
【解析】解：（1）∵y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），
化为顶点式：y＝﹣0.1（x﹣13） +59.9，
∴顶点坐标为（13，59.9），
故答案为：13；59.9．
（2）如图，抛物线y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）即为所求，
（3）y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），对称轴为：x＝13，
根据图象：当0≤x≤13时，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤13内，学生的接受能力逐步增强；
当13＜x≤30时，y随x的增大而减小，
∴13＜x≤30，学生的接受能力逐步降低．
故答案为：增强；降低．
（4）令y＝59，
59＝﹣0.1x2+2.6x+43，
解得：x＝16，x＝10．
答：某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是16分或10分．
【点睛】本题以应用题为背景考查了二次函数的实际应用，考查学生对二次函数图象的性质的灵活运用．本题难度适中常作为考试题出现，解决问题的关键是明确题意，利用描点法画出图象．
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19．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+2.6．已知球网与点O的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距点O的水平距离为18m．下列判断正确的是（　　）
A．球运行的最大高度是2.43m B．
C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网并会出界
【点拨】根据顶点式的特征即可判断A选项；将点（0，2）代入函数解析式中即可求得a的值，即可判断B选项；分别求出x＝9和x＝18的函数值，再分别和2.43、0比较大小，即可判断C、D选项．
【解析】解：∵球的运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+2.6，
∴当x＝6时，y取得最大值2.6，
∴求运行的最大高度时2.6m，故A错误；
∵球从点O正上方2m的A处发出，
∴y＝a（x﹣6）2+2.6的图象经过点（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝，故B错误；
当x＝9时，y＝＝2.45，
∵2.45＞2.43，
∴球会过球网，
当x＝18时，y＝＝0.2，
∵0.2＞0，
∴球会出界，故C选项错误，D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题关键是熟练掌握用待定系数求二次函数解析式，以及将实际问题转化为二次函数问题的能力．
20．利用长为12m的墙和40m长的篱笆来围成一个矩形苗圃园，若平行于墙的一边长不小于6m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（　　）
A．168m2，102m2 B．200m2，102m2 C．200m2，168m2 D．160m2，102m2
【点拨】设垂直于墙一边的长度为xm，平行于墙的一边长度为（40﹣2x）m，由题意知6≤40﹣2x≤12，解之求出14≤x≤17，令苗圃的面积为y，得y＝x（40﹣2x）＝﹣2（x﹣10）2+200，再根据二次函数的性质求解即可．
【解析】解：设垂直于墙一边的长度为xm，则平行于墙的一边长度为（40﹣2x）m，
由题意知6≤40﹣2x≤12，
解得14≤x≤17，
令苗圃的面积为y，
则y＝x（40﹣2x）
＝﹣2x2+40x
＝﹣2（x2﹣20x+100﹣100）
＝﹣2（x﹣10）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＞10时，y随x的增大而减小，
当x＝14时，y取得最大值，最大值为168m2，
当x＝17时，y取得最小值，最小值为102m2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，建立二次函数模型，并熟练掌握二次函数的性质．
21.某商品每件进价20元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于45元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
【点拨】（1）设y＝kx+b，分两种情况用待定系数法可得答案；
（2）设销售利润为w元，根据总利润等于每件利润乘以销售量，分两种情况列函数关系式，求出w的最大值，即可得到答案；
（3）结合（2）可得﹣4（x﹣37.5）2+1225≥1200，即可解得x的范围．
【解析】解：（1）设y＝kx+b，
当20≤x≤30时，把（20，200），（30，100）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣10x+400；
当30＜x≤45时，把（30，100），（45，40）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣4x+220；
综上所述，y＝；
（2）设销售利润为w元，
当20≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣10x+400）＝﹣10x2+600x﹣8000＝﹣10（x﹣30）2+1000，
∴当x＝30时，w最大为1000元；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣4x+220）＝﹣4x2+300x﹣4400＝﹣4（x﹣37.5）2+1225，
∵x为整数，
∴x＝37或x＝38时，w取最大值﹣4×+1225＝1224（元）；
综上所述，当日销售单价为37元或38元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润是1224元；
（3）由（2）知，当20≤x≤30时，该商品每天的销售利润最大为1000元；
∴只有在30＜x≤45时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∴﹣4（x﹣37.5）2+1225≥1200，
解得35≤x≤40，
∴销售单价x的取值范围是35≤x≤40．
【点睛】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22．某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门．现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设AB＝x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．

（1）分别写出y1，y2与x的函数关系式；
（2）小红说：“y1的最大值为384，y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．
【点拨】（1）设AB＝x米，在图纸1和2中由铁栅栏的长度结合图形分别表示出AD的长，再根据长方形的面积公式关系式即可；
（2）利用配方法把两个二次函数解析式进行配方，找到最大值，并检验x的值是否满足题意，从而作出判断．
【解析】解：（1）在图纸1中，设AB＝x米，
则，
∴，
在图纸2中，设AB＝x米，
则AD＝76+1﹣（3x﹣1）＝78﹣3x，
∴；
（2）不同意小红的说法，理由：
＝
＝
＝
＝，
∵，
∴y1有最大值，
当x＝16时，y1有最大值，是384，
＝﹣3（x2﹣26x）
＝﹣3（x2﹣26x+169﹣169）
＝﹣3[（x﹣13）2﹣169]
＝﹣3（x﹣13）2+507
∵﹣3＜0，
∴y2有最大值，
当x＝13时，y2有最大值，是507，
当x＝13时，AD＝78﹣3x＝78﹣39＝39＞18，不符合题意，
∴y2最大值不能是507，
∴不同意小红的说法．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，关键是用x表示AD的长，同时熟练掌握配方法求二次函数的最值．
23.某公司生产的一种产品在市场上很受欢迎，该公司每年的产量为6万件，可在国内和国外两个市场全部销售．若在国外销售，平均每件产品的利润y1（元）与国外销售量x（万件）之间的函数关系如图所示．若在国内销售，平均每件产品的利润为y2＝84元，设该公司每年在国内和国外销售的总利润为w万元．
（1）求y1与x之间的函数关系式，并求x的取值范围．
（2）该公司每年在国内国外销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值是多少？
（3）该公司计划以国外销售的每件产品中捐出2m（1≤m≤4）元给希望工程，从国内销售的每件产品中捐出m元给希望工程，且国内销售量不低于4万件，若这时国内外销售的总利润的最大值为520万元，求m的值．
【点拨】（1）分两种情况，用待定系数法可得答案；
（2）结合（1）分别计算分段利润函数的最大值，最后得出最大值即可；
（3）该公司计划在国内销售不低于4万件，即6﹣x≥4，则x≤2，于是得到该公司每年在国外销售的件数x的范围为：0≤x≤2．根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）当0＜x≤2时，y1＝100，
当2＜x≤6时，设y1＝kx+b，将（2，100），（6，92）代入得：
，解得，
∴此时y1＝﹣2x+104，
综上所述，y1＝；
（2）w＝y1 x+84（6﹣x）．
①当0＜x≤2时，w＝100x+84（6﹣x）＝16x+504；
∵k＝16＞0，
∴当x＝2时，w＝16x+504的最大值为536；
当2＜x≤6时，w＝x（﹣2x+104）+84（6﹣x）＝﹣2x2+20x+504＝﹣2（x﹣5）2+554，
∵a＝﹣2＜0，
∴当x＝5时，w取最大值554，
∵554＞536，
∴当x＝5时，w取最大值554，
答：当该公司每年的国外销售量为5万件，国内销售量为1万件时，可使公司每年的总利润最大，最大值是554万元；
（3）∵该公司计划在国内销售不低于4万件，即6﹣x≥4，则x≤2，
∴该公司每年在国外销售的件数x的范围为：0≤x≤2．
则总利润w′＝（100﹣2m）x+（84﹣m）（6﹣x）＝（16﹣m）x+504﹣6m．
∵1≤m≤4，
∴16﹣m＞0，
则当x＝2时，w′取得最大值．
依题意得：2（16﹣m）+504﹣6m＝536﹣8m＝520，
解得：m＝2．
【点睛】本题考查了二次函数在成本利润问题中的应用，前两问相对比较简单，第三问由于含有两个变量，分析难度较大，总体来说，本题中等难度略大．
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