1.4.2 二次函数的应用分层作业（含解析）
文档属性
| 名称 | 1.4.2 二次函数的应用分层作业（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 793.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-16 11:19:05 | ||
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文档简介
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1.4二次函数的应用（2） 同步分层作业
基础过关
1．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 …
y … 0 n ﹣3 m ﹣3 …
根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5
C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7
4．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
5．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
6．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．和a的大小有关
7．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 ．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
x … 0 10 30 …
y … 2 ﹣3 2 …
则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解是 ．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 7 9 …
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10如图，抛物线与直线y2＝mx+n相交于点A（3，0）和B（0，3），抛物线还经过C（1，0）．
（1）求：抛物线和直线的解析式；
（2）若y1＞y2，则x的取值范围是 ．
11.已知二次函数y＝mx2+nx﹣（m+n）（m，n是常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，判断该二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图象经过A（﹣2，6），B（0，﹣1），C（1，2）三个点中的两个点，求该二次函数的表达式．
12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c+k＝0有两个不相等的实数根，写出k的取值范围．
13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（3，0）（2，2），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c≤0的解集；
（3）若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
能力提升
14．小李同学在求一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．分类讨论思想
15．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
16．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y2＝mx+c经过点B．以下结论中错误的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．关于x的方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6
C．若y1≤c，则0≤x≤4 D．关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是0＜x＜6
E．由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是x＜0或x＞6，故D符合题意．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx＝﹣3的根是（ ）
x … 0 8 …
y … 4 1 4 …
A．0或8 B．或8﹣ C．或4+ D．1或7
18．已知二次函数y＝a（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（﹣2，0），Q（4，0），二次函数y＝a（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），则b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或1 D．﹣7或﹣1
19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，若方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＞m+n B．m＜n＜x1＜x2 C．x1＜m＜n＜x2 D．m＜x1＜x2＜n
20．已知直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和﹣，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．1＜x＜2 B．x＜﹣或x＞1 C．﹣＜x＜2 D．﹣1＜x＜2
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（m，0），（m＜0）B（n，0），e，f是方程ax2+（b+1）x+c＝0的两个根，且e＜f，则下列不等式正确的是（ ）
A．e＜f＜m＜n B．e＜m＜n＜f C．m＜n＜e＜f D．e＜m＜f＜n
22.已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
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23.如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2≤y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
24．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，且p＜q，则p，q，m，n的大小关系是（ ）
A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n
25．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①m＜﹣2；
②x1＝1，x2＝3；
③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
26．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，其中a，b是正实数，且b2＝2a，设y1，y2的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1
C．M＝N或M＝N+2 D．M＝N或M＝N+1或M＝N+2
27．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4，上述五个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．
28．若函数y＝（m+1）x2﹣3x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
29.已知函数y＝mx2+（2+m）x+m+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
答案与解析
基础过关
1．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【点拨】根据抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，可得直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点A1（3，y1），B1（﹣1，y2）两点，根据图象即可得到答案．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，
图象如图所示，
当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
【点睛】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【点拨】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0.02，再看对应的x的值即可得．
【解析】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y＝0.02，即这个数是ax2+bx+c＝0.02的一个根．
ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26．
故选：D．
【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的是解题关键．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 …
y … 0 n ﹣3 m ﹣3 …
根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5
C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7
【点拨】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则x＝﹣2或x＝7时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2+bx+c＝0的解．
【解析】解：∵x＝1时，y＝﹣3；x＝4时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵x＝﹣2时，y＝0，
∴x＝7时，y＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝7．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
4．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
【点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
5．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
【点拨】根据一元二次方程判别式判断抛物线与x轴交点个数，注意m﹣1≠0．
【解析】解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，
则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，
当4m+5≥0时，即m≥﹣时图象与x轴有交点，
∵m﹣1≠0，
∴m≥﹣且m≠1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点的个数的判断方法．
6．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．和a的大小有关
【点拨】令ax2﹣2ax﹣3＝0，则m，n为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根，由一元二次方程的根与系数的关系求解．
【解析】解：令ax2﹣2ax﹣3＝0，
则m，n为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝﹣＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系．
7．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 ﹣1≤x≤5 ．
【点拨】根据解析式，得抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），结合图形即可求解．
【解析】解：∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
则（﹣1，0）关于x＝2对称的点为（5，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（5，0），
所以y≤0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
x … 0 10 30 …
y … 2 ﹣3 2 …
则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解是 x1＝10，x2＝20 ．
【点拨】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x＝10和x＝20时对应的函数值都是﹣3，再将x＝10，y＝﹣13代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+5＝0，从而可以得到该方程的解．
【解析】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝15，
则x＝10和x＝20对应的函数值都是﹣3，
当x＝0时，y＝2，即c＝2，
当x＝10时，y＝﹣3，即﹣3＝ax2+bx+2，
整理，得ax2+bx+5＝0，
则方程ax2+bx+5＝0的解是x1＝10，x2＝20，
故答案为：x1＝10，x2＝20．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 7 9 …
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 x＝ ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ﹣1＜x＜8 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【点拨】①先根据表中数据求出函数解析式，再化为顶点式，从而求出对称轴；
②令①中的y＝0，解方程求出方程的解，从而得出抛物线与x轴的交点坐标，由函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
③根据抛物线的开口方向和最高点，得出k的取值范围．
【解析】解：①把x＝﹣1，y＝0；x＝0，y＝4，x＝1，y＝7代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故答案为：x＝；
②令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝8，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（8，0），
∵抛物线开口向下，
∴ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜8，
故答案为：﹣1＜x＜8；
③由①知，抛物线的顶点为（，），
∵方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝k有两个交点，
∴k的取值范围是k＜，
故答案为：k＜．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10如图，抛物线与直线y2＝mx+n相交于点A（3，0）和B（0，3），抛物线还经过C（1，0）．
（1）求：抛物线和直线的解析式；
（2）若y1＞y2，则x的取值范围是 x＞3或x＜0 ．
【点拨】（1）先设抛物线的交点式，再列方程求解；
（2）先求出D的坐标，再根据图象求解．
【解析】解：（1）由题意设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝ax2﹣4ax+3a，
∵抛物线的图象过B（0，3），
∴3＝3a，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
∵y2＝mx+n过点A（3，0）和B（0，3），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3；
（2）由图象得：当x＞3或x＜0时，y1＞y2，
故答案为：x＞3或x＜0．
【点睛】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
11.已知二次函数y＝mx2+nx﹣（m+n）（m，n是常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，判断该二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图象经过A（﹣2，6），B（0，﹣1），C（1，2）三个点中的两个点，求该二次函数的表达式．
【点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）当x＝1时，y＝0，所以抛物线不过点C，过点A、B，再用待定系数法求函数解析式即可．
【解析】解：（1）若m＝1，则y＝x2+nx﹣（1+n），
设y＝0，
∴0＝x2+nx﹣（1+n），
∵Δ＝n2﹣4×1×[﹣（1+n）]＝n2+4n+4＝（n+2）2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根，
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
（2）当x＝1时，y＝m+n﹣（m+n）＝0，
∴抛物线不经过点C，
把点A（﹣2，6），B（0，﹣1）分别代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数与x轴交点的判断，关键是用判别式判断抛物线与x轴交点的个数．
12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c+k＝0有两个不相等的实数根，写出k的取值范围．
【点拨】（1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可；
（2）看x轴上方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；
（3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；
（4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）∵由图象可知1＜x＜3时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2；
（4）∵由图象可知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（2，2），
当直线y＝﹣k在（2，2）的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点，
∴当﹣k＜2，即k＞﹣2时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（3，0）（2，2），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c≤0的解集；
（3）若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【点拨】（1）根据抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）观察图象可知，不等式ax2+bx+c≤0的解集，就是抛物线的图象不在x轴的上方部分；
（3）结合函数图象，利用直线y＝k与抛物线有2个交点得到k的范围；
【解析】解：（1）∵抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）观察图象可知，不等式ax2+bx+c≤0的解集是x≤1或x≥3．
（3）将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移一个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为（2，2），
∴函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c的顶点为（3，2）
∵抛物线的顶点的纵坐标为2，
∴抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与直线y＝2只有一个公共点，
∴当k＜2时，抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与直线y＝k有两个公共点，
即方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝k有两个不相等的实数根，
∴满足条件的k的范围为k＜2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的解的问题．也考查了二次函数的性质．
能力提升
14．小李同学在求一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．分类讨论思想
【点拨】根据图象解答题目，属于数形结合的数学思想的利用．
【解析】解：根据函数解析式得到函数图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，属于数形结合的数学思想．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确利用图象法进行求解，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，也可以令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标是解题关键．
15．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【点拨】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【解析】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
16．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y2＝mx+c经过点B．以下结论中错误的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．关于x的方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6
C．若y1≤c，则0≤x≤4 D．关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是0＜x＜6
E．由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是x＜0或x＞6，故D符合题意．
【点拨】根据二次函数的性质求出Δ，与一次函数的交点坐标，根据图象即可得到答案D是符合题意的．
【解析】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0．故A不合题意．
抛物线与直线交于点（0，c）和点（6，0），
∴方程ax2+bx+c＝mx+c的解为x1＝0，x2＝6，
即方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6，故B不合题意．
直线y＝c与抛物线交与（0，c）和点（4，c），
∴y1≤c，则0≤x≤4，故C不合题意．
由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是x＜0或x＞6，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉性质是解题关键．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx＝﹣3的根是（ ）
x … 0 8 …
y … 4 1 4 …
A．0或8 B．或8﹣ C．或4+ D．1或7
【点拨】利用抛物线经过点（0，4）得到c＝4，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝4，抛物线经过点（，1），由于方程ax2+bx＝﹣3变形为ax2+bx+4＝1，则方程ax2+bx＝﹣3的根理解为函数值为1所对应的自变量的值．
【解析】解：由抛物线经过点（0，4）得到c＝4，
∵抛物线经过点（0，4）、（8，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝4，
∵抛物线经过点（，1），
∴抛物线经过点（8﹣，1），
∴二次函数解析式为y＝ax2+bx+4，
∴方程ax2+bx＝﹣3变形为ax2+bx+4＝1的根理解为函数值为1所对应的自变量的值，
∴方程ax2+bx＝﹣3的根为x1＝，x2＝8﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18．已知二次函数y＝a（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（﹣2，0），Q（4，0），二次函数y＝a（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），则b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或1 D．﹣7或﹣1
【点拨】根据交点坐标即可得到P（﹣2，0）向右平移7个单位得到点（5，0），Q（4，0）向右平移1个单位得到点（5，0），而二次函数y＝a（x+h）2+k的图象向右平移﹣b个单位得到二次函数y＝a（x+h+b）2+k，从而求得b的值为﹣7或﹣1．
【解析】解：∵二次函数y＝a（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（﹣2，0），Q（4，0），
∵二次函数y＝a（x+h）2+k的图象向右平移﹣b个单位得到二次函数y＝a（x+h+b）2+k，
∵二次函数y＝a（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），
∴P（﹣2，0）向右平移7个单位得到点（5，0），Q（4，0）向右平移1个单位得到点（5，0），
∴b的值为﹣7或﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，根据交点坐标得出平移的规律是解题的关键．
19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，若方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＞m+n B．m＜n＜x1＜x2 C．x1＜m＜n＜x2 D．m＜x1＜x2＜n
【点拨】由方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），可知：当y＝a时，该直线与抛物线的交点的横坐标分别为m、n，分两种情况画图可得结论．
【解析】解：分两种情况：
①当a＞0时，抛物线开口向上，如图1，
∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），
ax2+bx+c＝a，
即当y＝a时，该直线与抛物线的交点的横坐标分别为m、n，
由图形得：m＜x1＜x2＜n；
②当a＜0，抛物线开口向下，如图2，
由图形得：m＜x1＜x2＜n；
综上所述，m＜x1＜x2＜n；
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及一元二次方程的关系，利用数形结合的思想解决问题，注意理解“方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n”，结合图象得出结论．
20．已知直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和﹣，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．1＜x＜2 B．x＜﹣或x＞1 C．﹣＜x＜2 D．﹣1＜x＜2
【点拨】直接根据二次函数的图象与一次函数的交点即可得出结论．
【解析】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＜0；当x＞1时，mx+n＜ax2+bx+c，
∴不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据函数图象求出不等式组的解集是解答此题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（m，0），（m＜0）B（n，0），e，f是方程ax2+（b+1）x+c＝0的两个根，且e＜f，则下列不等式正确的是（ ）
A．e＜f＜m＜n B．e＜m＜n＜f C．m＜n＜e＜f D．e＜m＜f＜n
【点拨】根据二次函数与一元二次方程的关系，方程ax2+（b+1）x+c＝0化为ax2+bx+c＝﹣x，即二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝﹣x的交点横坐标分别为e，f，数形结合即可解答．
【解析】解：ax2+（b+1）x+c＝0，
可化为ax2+bx+c＝﹣x，
∵e，f是方程ax2+（b+1）x+c＝0的两个根，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝﹣x的交点横坐标分别为e，f，如图：
C的横坐标为e，A的横坐标为m，D的横坐标为f，B的横坐标为n，
∴e＜m＜f＜n．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质及与方程的关系，熟练掌握性质是解题关键．
22.已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
【点拨】（1）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可．
（2）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答．
【解析】（1）证明：令y＝0，
则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，
∴该二次函数图象与x轴有两个交点．
（2）解：函数与x轴相交，交点的纵坐标为0，
当y＝0时，根据求根公式可得方程的解为：x1＝＝1+，x2＝1，
若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数，
则方程函数（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解都是正整数．
∴：1+为正整数，即是正整数，
∴m﹣1＝1或2，解得m＝2或3，
∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键．
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23.如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2≤y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
【点拨】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解析】解：①∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点B（4，0），
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），故③错误；
④从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），
∴抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y＝3有且只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤错误；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
24．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，且p＜q，则p，q，m，n的大小关系是（ ）
A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n
【点拨】令y＝（x﹣p）（x﹣q），根据抛物线与直线y＝1及x轴的交点坐标，结合图象求解．
【解析】解：令y＝（x﹣p）（x﹣q），则（p，0），（q，0）为抛物线与x轴交点，
∵m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，
∴抛物线与直线y＝1的交点坐标为（m，1），（n，1），
如图：
可得m＜p＜q＜n，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
25．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①m＜﹣2；
②x1＝1，x2＝3；
③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】根据题目中的方程和求根公式可以判断①；根据题意和方程的知识，可以判断②；根据函数和方程的关系，可以判断③．
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，
∴一元二次方程x2﹣4x+3﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣m）＞0，
解得m＞﹣1，故①错误，不符合题意；
当m＝0时，x1＝1，x2＝3，当m≠0时，x1的值不是1，x2的值不是3，故②错误，不符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m，
∴当y＝0时，0＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m，
0＝x2﹣4x+3﹣m+m，
解得x3＝1，x4＝3，
即二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0），故③正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用方程和函数的知识解答．
26．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，其中a，b是正实数，且b2＝2a，设y1，y2的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1
C．M＝N或M＝N+2 D．M＝N或M＝N+1或M＝N+2
【点拨】利用判别式Δ的值，分类讨论，可得结论．
【解析】解：对于y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，
∵Δ1＝a2﹣4，Δ2＝b2﹣8，
∵b2＝2a，
∴Δ2＝2a﹣8，
当Δ2＝0时，a＝4，此时Δ1＞0，
∴M＝2，N＝1，即M＝N+1，
当a＞4时，Δ1＞0，Δ2＞0，此时M＝N＝2，
当a＜4时，Δ2＜0，Δ1可能为0，可能大于0，可能小于0，此时M＝N＝0或M＝0，N＝1或M＝0，N＝2，
即M＝N或M＝N+1或M＝N+2．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4，上述五个结论中，其中正确的结论是 ①⑤ （填写序号即可）．
【点拨】利用抛物线的对称轴方程得到﹣＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；结合函数图象可对⑤进行判断．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵当1＜x＜4时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．所以⑤正确．
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
28．若函数y＝（m+1）x2﹣3x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ﹣1或 ．
【点拨】本题要分类讨论：①若函数是一次函数，与x轴只有一个交点，则m+1＝0，m＝﹣1；②若函数是二次函数，与x轴只有一个交点，则Δ＝0，即可解出m＝．
【解析】解：有两种情况：
①若函数是一次函数，与x轴只有一个交点，
则m+1＝0，m＝﹣1；
②若函数是二次函数，与x轴只有一个交点，
则Δ＝0，
∴（﹣3）2﹣4×（m+1）×2＝0，
解得m＝．
故答案为﹣1或．
【点睛】本题综合考查了函数的性质，解题过程中容易忽略一次函数的情况
29.已知函数y＝mx2+（2+m）x+m+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 0或﹣1或 ．
【点拨】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分二次函数和一次函数两种情况，当为二次函数时，分函数图象过原点和函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点，分别计算即可．
【解析】解：当二次函数的图象过原点时，函数y＝mx2+（2+m）x+m+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
当二次函数的图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足Δ＝（2+m）2﹣4m（m+1）＝0，
解得：，
当m＝0时，函数为y＝2x+1与坐标轴有两个公共点；
综上可得，m＝0或﹣1或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点，
故答案为：0或﹣1或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
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1.4二次函数的应用（2） 同步分层作业
基础过关
1．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 …
y … 0 n ﹣3 m ﹣3 …
根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5
C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7
4．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
5．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
6．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．和a的大小有关
7．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 ．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
x … 0 10 30 …
y … 2 ﹣3 2 …
则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解是 ．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 7 9 …
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
10如图，抛物线与直线y2＝mx+n相交于点A（3，0）和B（0，3），抛物线还经过C（1，0）．
（1）求：抛物线和直线的解析式；
（2）若y1＞y2，则x的取值范围是 ．
11.已知二次函数y＝mx2+nx﹣（m+n）（m，n是常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，判断该二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图象经过A（﹣2，6），B（0，﹣1），C（1，2）三个点中的两个点，求该二次函数的表达式．
12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c+k＝0有两个不相等的实数根，写出k的取值范围．
13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（3，0）（2，2），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c≤0的解集；
（3）若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
能力提升
14．小李同学在求一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．分类讨论思想
15．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
16．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y2＝mx+c经过点B．以下结论中错误的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．关于x的方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6
C．若y1≤c，则0≤x≤4 D．关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是0＜x＜6
E．由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是x＜0或x＞6，故D符合题意．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx＝﹣3的根是（ ）
x … 0 8 …
y … 4 1 4 …
A．0或8 B．或8﹣ C．或4+ D．1或7
18．已知二次函数y＝a（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（﹣2，0），Q（4，0），二次函数y＝a（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），则b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或1 D．﹣7或﹣1
19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，若方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＞m+n B．m＜n＜x1＜x2 C．x1＜m＜n＜x2 D．m＜x1＜x2＜n
20．已知直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和﹣，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．1＜x＜2 B．x＜﹣或x＞1 C．﹣＜x＜2 D．﹣1＜x＜2
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（m，0），（m＜0）B（n，0），e，f是方程ax2+（b+1）x+c＝0的两个根，且e＜f，则下列不等式正确的是（ ）
A．e＜f＜m＜n B．e＜m＜n＜f C．m＜n＜e＜f D．e＜m＜f＜n
22.已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
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23.如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2≤y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
24．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，且p＜q，则p，q，m，n的大小关系是（ ）
A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n
25．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①m＜﹣2；
②x1＝1，x2＝3；
③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
26．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，其中a，b是正实数，且b2＝2a，设y1，y2的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1
C．M＝N或M＝N+2 D．M＝N或M＝N+1或M＝N+2
27．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4，上述五个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．
28．若函数y＝（m+1）x2﹣3x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
29.已知函数y＝mx2+（2+m）x+m+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 ．
答案与解析
基础过关
1．如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（ ）
A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3
【点拨】根据抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，可得直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点A1（3，y1），B1（﹣1，y2）两点，根据图象即可得到答案．
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，
图象如图所示，
当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m，
∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3，
故选：D．
【点睛】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的y与x的部分对应值如表：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y ﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09
判断方程ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围是（ ）
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【点拨】仔细看表，可发现y的值﹣0.03和0.09最接近0.02，再看对应的x的值即可得．
【解析】解：由表可以看出，当x取3.25与3.26之间的某个数时，y＝0.02，即这个数是ax2+bx+c＝0.02的一个根．
ax2+bx+c＝0.02的一个解x的取值范围为3.25＜x＜3.26．
故选：D．
【点睛】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的是解题关键．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分y与x的值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 4 …
y … 0 n ﹣3 m ﹣3 …
根据表格可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝﹣2，x2＝5.5
C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝﹣2，x2＝7
【点拨】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则x＝﹣2或x＝7时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2+bx+c＝0的解．
【解析】解：∵x＝1时，y＝﹣3；x＝4时，y＝﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵x＝﹣2时，y＝0，
∴x＝7时，y＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝7．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
4．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象过点（3，0），方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1
【点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．
【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．
5．已知二次函数y＝（m﹣1）x2+3x﹣1与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A．m B．m C．m且m≠1 D．m且m≠1
【点拨】根据一元二次方程判别式判断抛物线与x轴交点个数，注意m﹣1≠0．
【解析】解：令（m﹣1）x2+3x﹣1＝0，
则Δ＝32+4（m﹣1）＝4m+5，
当4m+5≥0时，即m≥﹣时图象与x轴有交点，
∵m﹣1≠0，
∴m≥﹣且m≠1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与x轴交点的个数的判断方法．
6．抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3与x轴交于两点，分别是（m，0），（n，0），则m+n的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．和a的大小有关
【点拨】令ax2﹣2ax﹣3＝0，则m，n为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根，由一元二次方程的根与系数的关系求解．
【解析】解：令ax2﹣2ax﹣3＝0，
则m，n为方程ax2﹣2ax﹣3＝0的两个根，
∴m+n＝﹣＝2，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系．
7．已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 ﹣1≤x≤5 ．
【点拨】根据解析式，得抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），结合图形即可求解．
【解析】解：∵y＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的对称轴为x＝2，开口向上，抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
则（﹣1，0）关于x＝2对称的点为（5，0），
即抛物线与x轴另一个交点为（5，0），
所以y≤0时，x的取值范围是﹣1≤x≤5．
故答案为：﹣1≤x≤5．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如表：
x … 0 10 30 …
y … 2 ﹣3 2 …
则关于x的方程ax2+bx+5＝0的解是 x1＝10，x2＝20 ．
【点拨】根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和c的值，从而可以得到x＝10和x＝20时对应的函数值都是﹣3，再将x＝10，y＝﹣13代入函数解析式，整理可以得到方程ax2+bx+5＝0，从而可以得到该方程的解．
【解析】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝＝15，
则x＝10和x＝20对应的函数值都是﹣3，
当x＝0时，y＝2，即c＝2，
当x＝10时，y＝﹣3，即﹣3＝ax2+bx+2，
整理，得ax2+bx+5＝0，
则方程ax2+bx+5＝0的解是x1＝10，x2＝20，
故答案为：x1＝10，x2＝20．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 7 9 …
回答下列问题：
①抛物线的对称轴是 x＝ ．
②不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ﹣1＜x＜8 ．
③若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＜ ．
【点拨】①先根据表中数据求出函数解析式，再化为顶点式，从而求出对称轴；
②令①中的y＝0，解方程求出方程的解，从而得出抛物线与x轴的交点坐标，由函数的图象得出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
③根据抛物线的开口方向和最高点，得出k的取值范围．
【解析】解：①把x＝﹣1，y＝0；x＝0，y＝4，x＝1，y＝7代入y＝ax2+bx+c，
得，
解得，
∴y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故答案为：x＝；
②令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝8，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（8，0），
∵抛物线开口向下，
∴ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜8，
故答案为：﹣1＜x＜8；
③由①知，抛物线的顶点为（，），
∵方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝k有两个交点，
∴k的取值范围是k＜，
故答案为：k＜．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
10如图，抛物线与直线y2＝mx+n相交于点A（3，0）和B（0，3），抛物线还经过C（1，0）．
（1）求：抛物线和直线的解析式；
（2）若y1＞y2，则x的取值范围是 x＞3或x＜0 ．
【点拨】（1）先设抛物线的交点式，再列方程求解；
（2）先求出D的坐标，再根据图象求解．
【解析】解：（1）由题意设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝ax2﹣4ax+3a，
∵抛物线的图象过B（0，3），
∴3＝3a，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
∵y2＝mx+n过点A（3，0）和B（0，3），
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3；
（2）由图象得：当x＞3或x＜0时，y1＞y2，
故答案为：x＞3或x＜0．
【点睛】本题考查了二次函数和不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．
11.已知二次函数y＝mx2+nx﹣（m+n）（m，n是常数，m≠0）．
（1）当m＝1时，判断该二次函数的图象与x轴交点的个数，并说明理由；
（2）若该二次函数的图象经过A（﹣2，6），B（0，﹣1），C（1，2）三个点中的两个点，求该二次函数的表达式．
【点拨】（1）利用一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）当x＝1时，y＝0，所以抛物线不过点C，过点A、B，再用待定系数法求函数解析式即可．
【解析】解：（1）若m＝1，则y＝x2+nx﹣（1+n），
设y＝0，
∴0＝x2+nx﹣（1+n），
∵Δ＝n2﹣4×1×[﹣（1+n）]＝n2+4n+4＝（n+2）2≥0，
∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根，
∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
（2）当x＝1时，y＝m+n﹣（m+n）＝0，
∴抛物线不经过点C，
把点A（﹣2，6），B（0，﹣1）分别代入得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣1．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数与x轴交点的判断，关键是用判别式判断抛物线与x轴交点的个数．
12.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c+k＝0有两个不相等的实数根，写出k的取值范围．
【点拨】（1）看二次函数与x轴交点的横坐标即可；
（2）看x轴上方的二次函数的图象相对应的x的范围即可；
（3）在对称轴的右侧即为y随x的增大而减小；
（4）得到相对应的函数看是怎么平移得到的即可．
【解析】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）∵由图象可知1＜x＜3时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象在x轴上方，
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为1＜x＜3；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝2，开口向下，
∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥2；
（4）∵由图象可知二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（2，2），
当直线y＝﹣k在（2，2）的下方时，一定与抛物线有两个不同的交点，
∴当﹣k＜2，即k＞﹣2时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
13.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，0），（3，0）（2，2），根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出不等式ax2+bx+c≤0的解集；
（3）若方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
【点拨】（1）根据抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）观察图象可知，不等式ax2+bx+c≤0的解集，就是抛物线的图象不在x轴的上方部分；
（3）结合函数图象，利用直线y＝k与抛物线有2个交点得到k的范围；
【解析】解：（1）∵抛物线与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝1，x2＝3；
（2）观察图象可知，不等式ax2+bx+c≤0的解集是x≤1或x≥3．
（3）将二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移一个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点为（2，2），
∴函数y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c的顶点为（3，2）
∵抛物线的顶点的纵坐标为2，
∴抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与直线y＝2只有一个公共点，
∴当k＜2时，抛物线y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c与直线y＝k有两个公共点，
即方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝k有两个不相等的实数根，
∴满足条件的k的范围为k＜2．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的解的问题．也考查了二次函数的性质．
能力提升
14．小李同学在求一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数y＝x2﹣3x﹣1的图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）
A．类比思想 B．数形结合思想 C．整体思想 D．分类讨论思想
【点拨】根据图象解答题目，属于数形结合的数学思想的利用．
【解析】解：根据函数解析式得到函数图象，利用图象得到方程x2﹣3x﹣1＝0的近似根为x1≈﹣0.3，x2≈3.3，属于数形结合的数学思想．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，正确利用图象法进行求解，求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，也可以令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标是解题关键．
15．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（ ）
A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2
C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2
【点拨】画出抛物线y＝x2+2x﹣3，直线y＝m，直线y＝n，根据一元二次方程与二次函数的关系，观察图象可得答案．
【解析】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
16．如图，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，直线y2＝mx+c经过点B．以下结论中错误的是（ ）
A．b2﹣4ac＞0 B．关于x的方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6
C．若y1≤c，则0≤x≤4 D．关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是0＜x＜6
E．由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是x＜0或x＞6，故D符合题意．
【点拨】根据二次函数的性质求出Δ，与一次函数的交点坐标，根据图象即可得到答案D是符合题意的．
【解析】解：由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0．故A不合题意．
抛物线与直线交于点（0，c）和点（6，0），
∴方程ax2+bx+c＝mx+c的解为x1＝0，x2＝6，
即方程ax2+bx＝mx有两个解是x1＝0，x2＝6，故B不合题意．
直线y＝c与抛物线交与（0，c）和点（4，c），
∴y1≤c，则0≤x≤4，故C不合题意．
由图象可知，关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+c的解集是x＜0或x＞6，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟悉性质是解题关键．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如表所示，则方程ax2+bx＝﹣3的根是（ ）
x … 0 8 …
y … 4 1 4 …
A．0或8 B．或8﹣ C．或4+ D．1或7
【点拨】利用抛物线经过点（0，4）得到c＝4，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝4，抛物线经过点（，1），由于方程ax2+bx＝﹣3变形为ax2+bx+4＝1，则方程ax2+bx＝﹣3的根理解为函数值为1所对应的自变量的值．
【解析】解：由抛物线经过点（0，4）得到c＝4，
∵抛物线经过点（0，4）、（8，4），
∴抛物线的对称轴为直线x＝4，
∵抛物线经过点（，1），
∴抛物线经过点（8﹣，1），
∴二次函数解析式为y＝ax2+bx+4，
∴方程ax2+bx＝﹣3变形为ax2+bx+4＝1的根理解为函数值为1所对应的自变量的值，
∴方程ax2+bx＝﹣3的根为x1＝，x2＝8﹣．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18．已知二次函数y＝a（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（﹣2，0），Q（4，0），二次函数y＝a（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），则b的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或1 D．﹣7或﹣1
【点拨】根据交点坐标即可得到P（﹣2，0）向右平移7个单位得到点（5，0），Q（4，0）向右平移1个单位得到点（5，0），而二次函数y＝a（x+h）2+k的图象向右平移﹣b个单位得到二次函数y＝a（x+h+b）2+k，从而求得b的值为﹣7或﹣1．
【解析】解：∵二次函数y＝a（x+h）2+k的图象与x轴有两个交点，分别是P（﹣2，0），Q（4，0），
∵二次函数y＝a（x+h）2+k的图象向右平移﹣b个单位得到二次函数y＝a（x+h+b）2+k，
∵二次函数y＝a（x+h+b）2+k的图象与x轴的一个交点是（5，0），
∴P（﹣2，0）向右平移7个单位得到点（5，0），Q（4，0）向右平移1个单位得到点（5，0），
∴b的值为﹣7或﹣1，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点，根据交点坐标得出平移的规律是解题的关键．
19．已知，二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，若方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），则下列说法正确的是（ ）
A．x1+x2＞m+n B．m＜n＜x1＜x2 C．x1＜m＜n＜x2 D．m＜x1＜x2＜n
【点拨】由方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），可知：当y＝a时，该直线与抛物线的交点的横坐标分别为m、n，分两种情况画图可得结论．
【解析】解：分两种情况：
①当a＞0时，抛物线开口向上，如图1，
∵方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），
ax2+bx+c＝a，
即当y＝a时，该直线与抛物线的交点的横坐标分别为m、n，
由图形得：m＜x1＜x2＜n；
②当a＜0，抛物线开口向下，如图2，
由图形得：m＜x1＜x2＜n；
综上所述，m＜x1＜x2＜n；
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及一元二次方程的关系，利用数形结合的思想解决问题，注意理解“方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n”，结合图象得出结论．
20．已知直线y＝mx+n和抛物线y＝ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（﹣1，0）、（2，0），抛物线与直线交点的横坐标为1和﹣，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．1＜x＜2 B．x＜﹣或x＞1 C．﹣＜x＜2 D．﹣1＜x＜2
【点拨】直接根据二次函数的图象与一次函数的交点即可得出结论．
【解析】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＜0；当x＞1时，mx+n＜ax2+bx+c，
∴不等式mx+n＜ax2+bx+c＜0的解集是1＜x＜2．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据函数图象求出不等式组的解集是解答此题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（m，0），（m＜0）B（n，0），e，f是方程ax2+（b+1）x+c＝0的两个根，且e＜f，则下列不等式正确的是（ ）
A．e＜f＜m＜n B．e＜m＜n＜f C．m＜n＜e＜f D．e＜m＜f＜n
【点拨】根据二次函数与一元二次方程的关系，方程ax2+（b+1）x+c＝0化为ax2+bx+c＝﹣x，即二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝﹣x的交点横坐标分别为e，f，数形结合即可解答．
【解析】解：ax2+（b+1）x+c＝0，
可化为ax2+bx+c＝﹣x，
∵e，f是方程ax2+（b+1）x+c＝0的两个根，
∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝﹣x的交点横坐标分别为e，f，如图：
C的横坐标为e，A的横坐标为m，D的横坐标为f，B的横坐标为n，
∴e＜m＜f＜n．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质及与方程的关系，熟练掌握性质是解题关键．
22.已知二次函数y＝（m﹣1）x2﹣2mx+m+1．
（1）求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
（2）当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
【点拨】（1）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可．
（2）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答．
【解析】（1）证明：令y＝0，
则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）＝4＞0，
∴该二次函数图象与x轴有两个交点．
（2）解：函数与x轴相交，交点的纵坐标为0，
当y＝0时，根据求根公式可得方程的解为：x1＝＝1+，x2＝1，
若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数，
则方程函数（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0的解都是正整数．
∴：1+为正整数，即是正整数，
∴m﹣1＝1或2，解得m＝2或3，
∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键．
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23.如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A、B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；⑤当1＜x＜4时，有y2≤y1，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
【点拨】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解析】解：①∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点B（4，0），
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），故③错误；
④从图象可以知道，抛物线顶点为（1，3），
∴抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y＝3有且只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当1＜x＜4时，y1＞y2，故⑤错误；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合．
24．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，且p＜q，则p，q，m，n的大小关系是（ ）
A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n
【点拨】令y＝（x﹣p）（x﹣q），根据抛物线与直线y＝1及x轴的交点坐标，结合图象求解．
【解析】解：令y＝（x﹣p）（x﹣q），则（p，0），（q，0）为抛物线与x轴交点，
∵m，n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣p）（x﹣q）＝0的两个根，
∴抛物线与直线y＝1的交点坐标为（m，1），（n，1），
如图：
可得m＜p＜q＜n，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
25．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①m＜﹣2；
②x1＝1，x2＝3；
③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【点拨】根据题目中的方程和求根公式可以判断①；根据题意和方程的知识，可以判断②；根据函数和方程的关系，可以判断③．
【解析】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，
∴一元二次方程x2﹣4x+3﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（3﹣m）＞0，
解得m＞﹣1，故①错误，不符合题意；
当m＝0时，x1＝1，x2＝3，当m≠0时，x1的值不是1，x2的值不是3，故②错误，不符合题意；
∵二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m，
∴当y＝0时，0＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m，
0＝x2﹣4x+3﹣m+m，
解得x3＝1，x4＝3，
即二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（1，0）和（3，0），故③正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用方程和函数的知识解答．
26．在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，其中a，b是正实数，且b2＝2a，设y1，y2的图象与x轴交点个数分别是M，N，则（ ）
A．M＝N﹣1或M＝N或M＝N+1 B．M＝N或M＝N+1
C．M＝N或M＝N+2 D．M＝N或M＝N+1或M＝N+2
【点拨】利用判别式Δ的值，分类讨论，可得结论．
【解析】解：对于y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，
∵Δ1＝a2﹣4，Δ2＝b2﹣8，
∵b2＝2a，
∴Δ2＝2a﹣8，
当Δ2＝0时，a＝4，此时Δ1＞0，
∴M＝2，N＝1，即M＝N+1，
当a＞4时，Δ1＞0，Δ2＞0，此时M＝N＝2，
当a＜4时，Δ2＜0，Δ1可能为0，可能大于0，可能小于0，此时M＝N＝0或M＝0，N＝1或M＝0，N＝2，
即M＝N或M＝N+1或M＝N+2．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
27．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标为A（1，﹣3），与x轴的一个交点为B（4，0），点A和点B均在直线y2＝mx+n（m≠0）上．①2a+b＝0；②abc＜0；③抛物线与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；④方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根；⑤不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4，上述五个结论中，其中正确的结论是 ①⑤ （填写序号即可）．
【点拨】利用抛物线的对称轴方程得到﹣＝1，则可对①进行判断；由抛物线开口向上得到a＞0，则b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），则可对③进行判断；利用抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点可对④进行判断；结合函数图象可对⑤进行判断．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为B（4，0），
∴抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），所以③错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣3），
∴抛物线与直线y＝﹣3只有一个交点，
∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个相等的实数根，所以④错误；
∵当1＜x＜4时，y2＞y1，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为1＜x＜4．所以⑤正确．
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题．
28．若函数y＝（m+1）x2﹣3x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ﹣1或 ．
【点拨】本题要分类讨论：①若函数是一次函数，与x轴只有一个交点，则m+1＝0，m＝﹣1；②若函数是二次函数，与x轴只有一个交点，则Δ＝0，即可解出m＝．
【解析】解：有两种情况：
①若函数是一次函数，与x轴只有一个交点，
则m+1＝0，m＝﹣1；
②若函数是二次函数，与x轴只有一个交点，
则Δ＝0，
∴（﹣3）2﹣4×（m+1）×2＝0，
解得m＝．
故答案为﹣1或．
【点睛】本题综合考查了函数的性质，解题过程中容易忽略一次函数的情况
29.已知函数y＝mx2+（2+m）x+m+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为 0或﹣1或 ．
【点拨】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分二次函数和一次函数两种情况，当为二次函数时，分函数图象过原点和函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点，分别计算即可．
【解析】解：当二次函数的图象过原点时，函数y＝mx2+（2+m）x+m+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足m+1＝0，
解得：m＝﹣1，
当二次函数的图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足Δ＝（2+m）2﹣4m（m+1）＝0，
解得：，
当m＝0时，函数为y＝2x+1与坐标轴有两个公共点；
综上可得，m＝0或﹣1或时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点，
故答案为：0或﹣1或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
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