2.2 简单事件的概率分层作业（含解析）
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2.2简单事件的概率 同步分层作业
基础过关
1．关于“某地区刮刮乐彩票一等奖的中奖率为1%”下列说法正确的是（ ）
A．买100张刮刮乐必有1张一等奖 B．买100张刮刮乐必中一等奖
C．买100张刮刮乐可能都没有一等奖 D．买100张必定中奖
2．9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门同时都打开，则小松鼠从前面出来的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5．一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则m+n的值为 ．
6．现有长度分别为3cm和5cm的木棒，用5根长度为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ．
7．分别写有﹣1，﹣3，0，1，5的五张外观形状完全相同的卡片，从中任抽一张，那么抽到表示负数的卡片概率是 ．
8．有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是 ．
9．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为 ．
10．在一次科学课上，小明同学设计了如图电路图，随机闭合两个开关，能使其中1个灯泡发亮的概率为 ．
11. 为了锻炼学生的写作能力，某中学组织开展了一场作文比赛，老师将四个备选的写作主题分别编号为1，2，3，4，并将编号分别写在完全相同的4张卡片的正面，将洗匀后的卡片背面朝上，每位参赛同学随机抽取一张卡片，根据其正面编号确定自己的写作主题，然后卡片放回洗匀，待下一位参赛同学继续抽取．
（1）康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率．
12.现有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）若从中随机抽取一张，则抽到数字0的概率为 ；
（2）记下（1）中所抽到的数字后卡片不放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，请利用画树状图或列表的方法，求点A（m，n）在第一象限的概率．
13.已知一个布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，求下面各事件的概率：
（1）摸出红球的概率；
（2）摸出蓝球的概率；
（3）摸出不是白球的概率．
14.为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳，为了解学生最喜欢
哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目 A乒乓球 B排球 C篮球 D跳绳
人数 40 m 80 70
（1）本次调查的样本容量是 ，统计表中m＝ ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D跳绳”的学生人数约是多少？
（3）该校甲、乙两位同学都准备从学校开设的四种运动项目中选择一种项目作为自己的课后活动内容，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选择的项目相同的概率．
能力提升
15．下面说法正确的是（ ）
A．一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面只有黑球
B．某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中必有一次发生
C．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为
D．某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日
16．如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1，小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，则这三根绳子能连接成一根长绳的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在3×3的正方形网格中，有3个涂成黑色的小方格，若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
21．一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，15个黄球．
（1）从中随意摸出一个球，摸出 球的可能性小；
（2）若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是 ；
（3）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入 个红球；
（4）若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数．
22.2023年3月，某中学发起“劳动最光荣 加油好少年”主题活动，学校团委为了了解学生参与本次主题活动的情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校参加“洗碗”劳动的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、丁两人同时被抽中的概率，
培优拔尖
23．2022年是中国体育年，本年度，冬奥会、残奥会、杭州亚运会和成都大运会均成功举行．以下图标分别是冬奥会的吉祥物冰墩墩，残奥会吉祥物雪容融，杭州亚运会吉祥物——琮琮、宸宸、莲莲，成都大运会吉祥物蓉宝．某淘宝店主看到商机，将这六个吉祥物玩偶制成一套六个盲盒，每个盲盒中均有一个不同的吉祥物玩偶，小明购买了一套中的两个盲盒，则他恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
24．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
25．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
26．一个转盘如图，黄色扇形的圆心角是90°，绿色扇形的圆心角是270°．让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是多少？
27．某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成：E（75≤x＜80），D（80≤x＜85），C（85≤x＜90），B（90≤x＜95）A（95≤x≤100）五个组并绘制了如图1和图2所示的统计图，
请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）本次抽取测试的学生有 人，m＝ ；
（2）直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为 ；
（3）根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有 人．
（4）学校决定在A组4名学生（2男2女）中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一里一女的概率是多少．
答案与解析
基础过关
1．关于“某地区刮刮乐彩票一等奖的中奖率为1%”下列说法正确的是（ ）
A．买100张刮刮乐必有1张一等奖 B．买100张刮刮乐必中一等奖
C．买100张刮刮乐可能都没有一等奖 D．买100张必定中奖
【思路点拨】根据概率的意义解决此题．
【解析】解：根据概率的意义，某地区刮刮乐彩票一等奖的中奖率为1%表示有1%的可能性是1%，那么买100张刮刮乐有可能中奖，也有可能不中奖．
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的意义是解决本题的关键．
2．9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．
【解析】解：因为1到9共9个自然数，是奇数的有5个，
所以正面的数是偶数的概率为．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】直接利用概率公式计算得出答案．
【解析】解：从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，这2种可能，
∴抽到的无理数的概率是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法．
4．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门同时都打开，则小松鼠从前面出来的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】直接根据概率公式计算即可．
【解析】解：∵笼子总共有6个门，前门有2个，
∴小松鼠从前面出来的概率是＝．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则m+n的值为 6 ．
【思路点拨】直接利用概率公式列式求解即可．
【解析】解：根据题意得：＝，
解得：m+n＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是能够根据题意列出式子，难度不大．
6．现有长度分别为3cm和5cm的木棒，用5根长度为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ．
【思路点拨】根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
【解析】解：∵两根木棒的长分别是3cm和5cm，
∴第三根木棒的长度大于2cm，小于8cm，
∴能围成三角形的是：3cm、5cm、7cm的木棒，
∴能围成三角形的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．分别写有﹣1，﹣3，0，1，5的五张外观形状完全相同的卡片，从中任抽一张，那么抽到表示负数的卡片概率是 ．
【思路点拨】让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．
【解析】解：∵五张卡片分别标有﹣1，﹣3，0，1，5五个数，数字为负数的卡片有2张，
∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
8．有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是 ．
【思路点拨】用a≤0的个数除以总数即可求得概率．
【解析】解：由题意可知，
共有4张标有数字，0，2的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中a≤0的有3种，
所以随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
9．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为 ．
【思路点拨】首先由题意可得点C的位置共有16种等可能的结果，恰好能使得△ABC的面积为1的4种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵点C的位置共有16种等可能的结果，恰好能使得△ABC的面积为1的4种情况，
∴恰好能使得△ABC的面积为1的概率为：＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．在一次科学课上，小明同学设计了如图电路图，随机闭合两个开关，能使其中1个灯泡发亮的概率为 ．
【思路点拨】画树状图，共有6种等可能的结果，其中能使其中1个灯泡发亮的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把三个开关由上向下分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能使其中1个灯泡发亮的结果有4种，即AC、BC、CA、CB，
∴能使其中1个灯泡发亮的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11. 为了锻炼学生的写作能力，某中学组织开展了一场作文比赛，老师将四个备选的写作主题分别编号为1，2，3，4，并将编号分别写在完全相同的4张卡片的正面，将洗匀后的卡片背面朝上，每位参赛同学随机抽取一张卡片，根据其正面编号确定自己的写作主题，然后卡片放回洗匀，待下一位参赛同学继续抽取．
（1）康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率．
【思路点拨】（1）根据概率的定义进行计算即可；
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解析】解：（1）从写有1、2、3、4的4张卡片中随机抽取1张，共有4种等可能出现的结果，其中是4的只有1种，
所以康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是，
故答案为：；
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共用16种等可能出现的结果，其中李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的有4种，
所以李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率为＝．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
12.现有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）若从中随机抽取一张，则抽到数字0的概率为 ；
（2）记下（1）中所抽到的数字后卡片不放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，请利用画树状图或列表的方法，求点A（m，n）在第一象限的概率．
【思路点拨】（1）根据题意，直接利用概率公式求解即可；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【解析】解：（1）有四张分别标有数字﹣1，0，1，2的卡片，若从中随机抽取一张，则抽到0的概率是，
故答案为：
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，点P（m，n）在第一象限（横坐标、纵坐标均为正数）的结果有2种（1，2），（2，1）．
∴点P（m，n）在第一象限的概率为．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，画树状图法求概率，第一象限的点的坐标特征，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
13.已知一个布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，求下面各事件的概率：
（1）摸出红球的概率；
（2）摸出蓝球的概率；
（3）摸出不是白球的概率．
【思路点拨】（1）用红球的个数除以总球的个数即可；
（2）用蓝球的个数除以总球的个数即可；
（3）直接根据概率公式求解即可．
【解析】解：（1）∵布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，
∴摸出红球的概率是＝0；
（2）摸出蓝球的概率是＝；
（3）摸出的不是白球的概率是＝．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14.为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳，为了解学生最喜欢
哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目 A乒乓球 B排球 C篮球 D跳绳
人数 40 m 80 70
（1）本次调查的样本容量是 200 ，统计表中m＝ 10 ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D跳绳”的学生人数约是多少？
（3）该校甲、乙两位同学都准备从学校开设的四种运动项目中选择一种项目作为自己的课后活动内容，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选择的项目相同的概率．
【思路点拨】（1）根据选择C所占的百分比和人数，可以计算出样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据统计表中的数据，可以计算出该校最喜欢“D跳绳”的学生人数；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解析】解：（1）本次调查的样本容量是：80÷40%＝200，
统计表中m＝200﹣40﹣80﹣70＝10，
故答案为：200，10；
（2）2000×＝700（人），
答：估计该校最喜欢“D跳绳”的学生人数约是700；
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有16种等可能事件，其中这两位同学选择的项目相同的概率是＝．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
能力提升
15．下面说法正确的是（ ）
A．一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面只有黑球
B．某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中必有一次发生
C．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为
D．某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日
【思路点拨】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【解析】解：A、一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面黑球多，故A错误；
B、某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中可能发生两次，可能发生一次，可能不发生，故B错误；
C、随机掷一枚均匀的硬币两次，设正面为A，反面为B，则可能出现的情况为：AA、AB、BA、BB，即至少有一次正面朝上的概率为，故C错误；
D、某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日，故D正确；
故选：D．
【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．
16．如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】用所求情况数除以总情况数即可解答．
【解析】解：由题意可知，共有六种情况，而小灯泡不发光的情况只有S3、S4关闭时，
∴小灯泡发光的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
17．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图，共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
∴恰好有一车直行，另一车左拐的概率＝，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
18．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图得出所有等可能的结果数和随机闭合2个开关，小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机闭合2个开关，小灯泡发光的结果有：S1S2，S1S4，S2S1，S2S3，S3S2，S3S4，S4S1，S4S3，共8种，
∴随机闭合2个开关，小灯泡发光的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1，小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，则这三根绳子能连接成一根长绳的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出这三根绳子能连接成一根长绳的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中这三根绳子能连接成一根长绳的结果数为6，
所以这三根绳子能连接成一根长绳的概率＝＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．如图，在3×3的正方形网格中，有3个涂成黑色的小方格，若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
【思路点拨】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【解析】解：如图，∵可选4个方格，
∴完成的图案为轴对称图案的概率＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案和概率公式，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
21．一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，15个黄球．
（1）从中随意摸出一个球，摸出 红 球的可能性小；
（2）若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是 ；
（3）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入 25 个红球；
（4）若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数．
【思路点拨】（1）通过比较红球和黄球的个数进行判断；
（2）直接根据概率公式计算；
（3）设袋子中需再加入x个红球，利用概率公式得到＝，然后解方程即可；
（4）设放入口袋中红球为a个，黄球为（20﹣a）个，利用概率相等得到＝，然后解方程求出a，从而得到放入口袋中红球、黄球的个数．
【解析】解：（1）因为黄球比红球多，
所以从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性小；
故答案为：红；
（2）若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率＝＝；
故答案为：；
（3）设袋子中需再加入x个红球，
根据题意得＝，
解得x＝25，
经检验x＝25为原方程的解，
所以袋子中需再加入25个红球；
故答案为：25；
（4）设放入口袋中红球为a个，黄球为（20﹣a）个，
根据题意得＝，
解得a＝15，
当a＝15时，20﹣a＝5，
即放入口袋中红球15个、黄球5个．
【点睛】本题考查了概率公式：某事件的概率＝某事件所占的结果数与总的结果数的比．
22.2023年3月，某中学发起“劳动最光荣 加油好少年”主题活动，学校团委为了了解学生参与本次主题活动的情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 200 名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校参加“洗碗”劳动的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、丁两人同时被抽中的概率，
【思路点拨】（1）从两个统计图中可知，样本中参与“做饭”的有40人，占调查人数的20%，由频率＝可以求出调查人数，进而求出参与“扫地”的频数，补全条形统计图；
（2）用样本中参与“洗碗”的所占的百分比估计总体中参与“洗碗”的百分比，进而求出相应的人数；
（3）用列表法表示从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解析】解：（1）40÷20%＝200（名），200﹣40﹣50﹣30﹣20＝60（名），
故答案为：200，补全条形统计图如下：
（2）1200×＝180（名），
答：该校1200名学生中参与“洗碗”的学生约有180名；
（3）从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况如下：
第一人第二人 甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有12种可能出现的结果，其中甲、丁同时被抽中的有2种，
所以甲、丁同时被抽中的概率为＝．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
培优拔尖
23．2022年是中国体育年，本年度，冬奥会、残奥会、杭州亚运会和成都大运会均成功举行．以下图标分别是冬奥会的吉祥物冰墩墩，残奥会吉祥物雪容融，杭州亚运会吉祥物——琮琮、宸宸、莲莲，成都大运会吉祥物蓉宝．某淘宝店主看到商机，将这六个吉祥物玩偶制成一套六个盲盒，每个盲盒中均有一个不同的吉祥物玩偶，小明购买了一套中的两个盲盒，则他恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】冰墩墩、雪容融、琮琮、宸宸、莲莲、蓉宝分别用1、2、3、4、5、6表示，利用树状图展示所有30种等可能的结果，再找出恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：（装有冰墩墩、雪容融、琮琮、宸宸、莲莲、蓉宝的盲盒分别用1、2、3、4、5、6表示）
共有30种等可能的结果，其中恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的结果数为2，
所以他恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的概率＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】列举出所有情况，看三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的情况占总情况的多少即可．
【解析】解：设甲的生肖为a，乙的生肖为b，丙的生肖为c．
由于为放回实验，故每次皆有3种可能3×3×3＝27，
共有27种情况，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的情况有1种，所以概率是，
故选：D．
【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝，注意本题是放回实验．
25．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
【思路点拨】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【解析】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为．
故密码的位数至少需要4位．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
26．一个转盘如图，黄色扇形的圆心角是90°，绿色扇形的圆心角是270°．让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是多少？
【思路点拨】通过计算转盘的黄色扇形和绿色扇形的面积之比可得到2次指针都落在绿色区域的概率．
【解析】解：由图得：黄色扇形的圆心角为90°，绿色扇形的圆心角是270°，
∴黄色扇形的面积：绿色扇形的面积＝，
如图，
故让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是．
【点睛】本题考查了几何概率：某事件的概率＝相应的面积与总面积之比．
27．某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成：E（75≤x＜80），D（80≤x＜85），C（85≤x＜90），B（90≤x＜95）A（95≤x≤100）五个组并绘制了如图1和图2所示的统计图，
请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）本次抽取测试的学生有 40 人，m＝ 20 ；
（2）直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为 54° ；
（3）根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有 850 人．
（4）学校决定在A组4名学生（2男2女）中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一里一女的概率是多少．
【思路点拨】（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，用D组人数除以总人数可得m的值；
（2）总人数乘以B组对应百分比可得其人数，用360°乘以E组人数所占比例即可得出答案；
（3）总人数乘以样本中A、B、C、D组人数和所占比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：（1）本次抽取测试的学生有10÷25%＝40（人），m%＝8÷40×100%＝20%，即m＝20，
故答案为：40、20；
（2）B组人数为40×30%＝12（人），
补全图形如下：
由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为360°×＝54°；
故答案为：54°；
（3）根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有1000×＝850（人），
故答案为：850；
（4）根据题意列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 _ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 _ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 _ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 _
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴恰好选中一男一女的概率是＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
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2.2简单事件的概率 同步分层作业
基础过关
1．关于“某地区刮刮乐彩票一等奖的中奖率为1%”下列说法正确的是（ ）
A．买100张刮刮乐必有1张一等奖 B．买100张刮刮乐必中一等奖
C．买100张刮刮乐可能都没有一等奖 D．买100张必定中奖
2．9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门同时都打开，则小松鼠从前面出来的概率是 （ ）
A． B． C． D．
5．一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则m+n的值为 ．
6．现有长度分别为3cm和5cm的木棒，用5根长度为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ．
7．分别写有﹣1，﹣3，0，1，5的五张外观形状完全相同的卡片，从中任抽一张，那么抽到表示负数的卡片概率是 ．
8．有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是 ．
9．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为 ．
10．在一次科学课上，小明同学设计了如图电路图，随机闭合两个开关，能使其中1个灯泡发亮的概率为 ．
11. 为了锻炼学生的写作能力，某中学组织开展了一场作文比赛，老师将四个备选的写作主题分别编号为1，2，3，4，并将编号分别写在完全相同的4张卡片的正面，将洗匀后的卡片背面朝上，每位参赛同学随机抽取一张卡片，根据其正面编号确定自己的写作主题，然后卡片放回洗匀，待下一位参赛同学继续抽取．
（1）康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率．
12.现有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）若从中随机抽取一张，则抽到数字0的概率为 ；
（2）记下（1）中所抽到的数字后卡片不放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，请利用画树状图或列表的方法，求点A（m，n）在第一象限的概率．
13.已知一个布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，求下面各事件的概率：
（1）摸出红球的概率；
（2）摸出蓝球的概率；
（3）摸出不是白球的概率．
14.为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳，为了解学生最喜欢
哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目 A乒乓球 B排球 C篮球 D跳绳
人数 40 m 80 70
（1）本次调查的样本容量是 ，统计表中m＝ ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D跳绳”的学生人数约是多少？
（3）该校甲、乙两位同学都准备从学校开设的四种运动项目中选择一种项目作为自己的课后活动内容，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选择的项目相同的概率．
能力提升
15．下面说法正确的是（ ）
A．一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面只有黑球
B．某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中必有一次发生
C．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为
D．某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日
16．如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1，小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，则这三根绳子能连接成一根长绳的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在3×3的正方形网格中，有3个涂成黑色的小方格，若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
21．一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，15个黄球．
（1）从中随意摸出一个球，摸出 球的可能性小；
（2）若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是 ；
（3）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入 个红球；
（4）若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数．
22.2023年3月，某中学发起“劳动最光荣 加油好少年”主题活动，学校团委为了了解学生参与本次主题活动的情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校参加“洗碗”劳动的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、丁两人同时被抽中的概率，
培优拔尖
23．2022年是中国体育年，本年度，冬奥会、残奥会、杭州亚运会和成都大运会均成功举行．以下图标分别是冬奥会的吉祥物冰墩墩，残奥会吉祥物雪容融，杭州亚运会吉祥物——琮琮、宸宸、莲莲，成都大运会吉祥物蓉宝．某淘宝店主看到商机，将这六个吉祥物玩偶制成一套六个盲盒，每个盲盒中均有一个不同的吉祥物玩偶，小明购买了一套中的两个盲盒，则他恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
24．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
25．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
26．一个转盘如图，黄色扇形的圆心角是90°，绿色扇形的圆心角是270°．让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是多少？
27．某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成：E（75≤x＜80），D（80≤x＜85），C（85≤x＜90），B（90≤x＜95）A（95≤x≤100）五个组并绘制了如图1和图2所示的统计图，
请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）本次抽取测试的学生有 人，m＝ ；
（2）直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为 ；
（3）根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有 人．
（4）学校决定在A组4名学生（2男2女）中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一里一女的概率是多少．
答案与解析
基础过关
1．关于“某地区刮刮乐彩票一等奖的中奖率为1%”下列说法正确的是（ ）
A．买100张刮刮乐必有1张一等奖 B．买100张刮刮乐必中一等奖
C．买100张刮刮乐可能都没有一等奖 D．买100张必定中奖
【思路点拨】根据概率的意义解决此题．
【解析】解：根据概率的意义，某地区刮刮乐彩票一等奖的中奖率为1%表示有1%的可能性是1%，那么买100张刮刮乐有可能中奖，也有可能不中奖．
故选：C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率的意义是解决本题的关键．
2．9张背面相同的卡片，正面分别写有不同的从1到9的一个自然数，现将卡片背面朝上，从中任意抽出一张，正面的数是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数9即为所求的概率．
【解析】解：因为1到9共9个自然数，是奇数的有5个，
所以正面的数是偶数的概率为．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
3．从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】直接利用概率公式计算得出答案．
【解析】解：从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，这2种可能，
∴抽到的无理数的概率是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法．
4．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门同时都打开，则小松鼠从前面出来的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】直接根据概率公式计算即可．
【解析】解：∵笼子总共有6个门，前门有2个，
∴小松鼠从前面出来的概率是＝．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．一个袋中装有m个红球，n个白球，6个黄球，每个球除颜色外其余都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则m+n的值为 6 ．
【思路点拨】直接利用概率公式列式求解即可．
【解析】解：根据题意得：＝，
解得：m+n＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了概率公式的知识，解题的关键是能够根据题意列出式子，难度不大．
6．现有长度分别为3cm和5cm的木棒，用5根长度为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm的木棒分别与之围成三角形，则能围成三角形的概率为 ．
【思路点拨】根据三角形的三边关系得出第三根木棒的长度的取值范围，再根据概率公式即可得出答案．
【解析】解：∵两根木棒的长分别是3cm和5cm，
∴第三根木棒的长度大于2cm，小于8cm，
∴能围成三角形的是：3cm、5cm、7cm的木棒，
∴能围成三角形的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．分别写有﹣1，﹣3，0，1，5的五张外观形状完全相同的卡片，从中任抽一张，那么抽到表示负数的卡片概率是 ．
【思路点拨】让是负数的卡片数除以总卡片数即为所求的概率，即可选出．
【解析】解：∵五张卡片分别标有﹣1，﹣3，0，1，5五个数，数字为负数的卡片有2张，
∴从中随机抽取一张卡片数字为负数的概率为：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
8．有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是 ．
【思路点拨】用a≤0的个数除以总数即可求得概率．
【解析】解：由题意可知，
共有4张标有数字，0，2的卡片，摸到每一张的可能性是均等的，其中a≤0的有3种，
所以随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式，理解概率的意义，掌握概率的计算方法是正确解答的前提．
9．在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为 ．
【思路点拨】首先由题意可得点C的位置共有16种等可能的结果，恰好能使得△ABC的面积为1的4种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解析】解：∵点C的位置共有16种等可能的结果，恰好能使得△ABC的面积为1的4种情况，
∴恰好能使得△ABC的面积为1的概率为：＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．在一次科学课上，小明同学设计了如图电路图，随机闭合两个开关，能使其中1个灯泡发亮的概率为 ．
【思路点拨】画树状图，共有6种等可能的结果，其中能使其中1个灯泡发亮的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：把三个开关由上向下分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能使其中1个灯泡发亮的结果有4种，即AC、BC、CA、CB，
∴能使其中1个灯泡发亮的概率为＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11. 为了锻炼学生的写作能力，某中学组织开展了一场作文比赛，老师将四个备选的写作主题分别编号为1，2，3，4，并将编号分别写在完全相同的4张卡片的正面，将洗匀后的卡片背面朝上，每位参赛同学随机抽取一张卡片，根据其正面编号确定自己的写作主题，然后卡片放回洗匀，待下一位参赛同学继续抽取．
（1）康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是 ．
（2）用画树状图或列表的方法，求李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率．
【思路点拨】（1）根据概率的定义进行计算即可；
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【解析】解：（1）从写有1、2、3、4的4张卡片中随机抽取1张，共有4种等可能出现的结果，其中是4的只有1种，
所以康康同学随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是，
故答案为：；
（2）用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共用16种等可能出现的结果，其中李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的有4种，
所以李磊和金英两位参赛同学抽中同一写作主题的概率为＝．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
12.现有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀．
（1）若从中随机抽取一张，则抽到数字0的概率为 ；
（2）记下（1）中所抽到的数字后卡片不放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n，请利用画树状图或列表的方法，求点A（m，n）在第一象限的概率．
【思路点拨】（1）根据题意，直接利用概率公式求解即可；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【解析】解：（1）有四张分别标有数字﹣1，0，1，2的卡片，若从中随机抽取一张，则抽到0的概率是，
故答案为：
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，点P（m，n）在第一象限（横坐标、纵坐标均为正数）的结果有2种（1，2），（2，1）．
∴点P（m，n）在第一象限的概率为．
【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，画树状图法求概率，第一象限的点的坐标特征，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
13.已知一个布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，求下面各事件的概率：
（1）摸出红球的概率；
（2）摸出蓝球的概率；
（3）摸出不是白球的概率．
【思路点拨】（1）用红球的个数除以总球的个数即可；
（2）用蓝球的个数除以总球的个数即可；
（3）直接根据概率公式求解即可．
【解析】解：（1）∵布袋里装有5个黑球，7个白球和4个蓝球，
∴摸出红球的概率是＝0；
（2）摸出蓝球的概率是＝；
（3）摸出的不是白球的概率是＝．
【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
14.为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D跳绳，为了解学生最喜欢
哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表．
问卷情况统计表
运动项目 A乒乓球 B排球 C篮球 D跳绳
人数 40 m 80 70
（1）本次调查的样本容量是 200 ，统计表中m＝ 10 ；
（2）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D跳绳”的学生人数约是多少？
（3）该校甲、乙两位同学都准备从学校开设的四种运动项目中选择一种项目作为自己的课后活动内容，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选择的项目相同的概率．
【思路点拨】（1）根据选择C所占的百分比和人数，可以计算出样本容量，然后即可计算出m的值；
（2）根据统计表中的数据，可以计算出该校最喜欢“D跳绳”的学生人数；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可求出相应的概率．
【解析】解：（1）本次调查的样本容量是：80÷40%＝200，
统计表中m＝200﹣40﹣80﹣70＝10，
故答案为：200，10；
（2）2000×＝700（人），
答：估计该校最喜欢“D跳绳”的学生人数约是700；
（3）树状图如下所示：
由上可得，一共有16种等可能事件，其中这两位同学选择的项目相同的概率是＝．
【点睛】本题考查列表法与树状图法、用样本估计总体、样本容量，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
能力提升
15．下面说法正确的是（ ）
A．一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面只有黑球
B．某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中必有一次发生
C．随机掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率为
D．某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日
【思路点拨】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【解析】解：A、一个袋子里有100个同样质地的球，小华摸了8次球，每次都只摸到黑球，这说明袋子里面黑球多，故A错误；
B、某事件发生的概率为0.5，也就是说，在两次重复的试验中可能发生两次，可能发生一次，可能不发生，故B错误；
C、随机掷一枚均匀的硬币两次，设正面为A，反面为B，则可能出现的情况为：AA、AB、BA、BB，即至少有一次正面朝上的概率为，故C错误；
D、某校九年级有400名学生，一定有2名学生同一天过生日，故D正确；
故选：D．
【点睛】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．
16．如图，电路图有4只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】用所求情况数除以总情况数即可解答．
【解析】解：由题意可知，共有六种情况，而小灯泡不发光的情况只有S3、S4关闭时，
∴小灯泡发光的概率为．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．
17．经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图，共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，再由概率公式求解即可．
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中恰好有一车直行，另一车左拐的结果数为2种，
∴恰好有一车直行，另一车左拐的概率＝，
故选：B．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
18．如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图得出所有等可能的结果数和随机闭合2个开关，小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解析】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中随机闭合2个开关，小灯泡发光的结果有：S1S2，S1S4，S2S1，S2S3，S3S2，S3S4，S4S1，S4S3，共8种，
∴随机闭合2个开关，小灯泡发光的概率为．
故选：B．
【点睛】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1，小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，则这三根绳子能连接成一根长绳的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】画树状图展示所有9种等可能的结果，找出这三根绳子能连接成一根长绳的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中这三根绳子能连接成一根长绳的结果数为6，
所以这三根绳子能连接成一根长绳的概率＝＝．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．如图，在3×3的正方形网格中，有3个涂成黑色的小方格，若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是 ．
【思路点拨】根据轴对称的性质设计出图案即可．
【解析】解：如图，∵可选4个方格，
∴完成的图案为轴对称图案的概率＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用轴对称设计图案和概率公式，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
21．一个不透明的口袋里有20个除颜色外都相同的球，其中有5个红球，15个黄球．
（1）从中随意摸出一个球，摸出 红 球的可能性小；
（2）若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率是 ；
（3）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，袋子中需再加入 25 个红球；
（4）若另外拿20个同款的球放入口袋中（球的颜色是红色和黄色），你认为怎样放才能使摸到的红球和黄球的可能性相同？请分别求出放入口袋中红球、黄球的个数．
【思路点拨】（1）通过比较红球和黄球的个数进行判断；
（2）直接根据概率公式计算；
（3）设袋子中需再加入x个红球，利用概率公式得到＝，然后解方程即可；
（4）设放入口袋中红球为a个，黄球为（20﹣a）个，利用概率相等得到＝，然后解方程求出a，从而得到放入口袋中红球、黄球的个数．
【解析】解：（1）因为黄球比红球多，
所以从中随意摸出一个球，摸出红球的可能性小；
故答案为：红；
（2）若从中随意摸出一个球，摸出黄球的概率＝＝；
故答案为：；
（3）设袋子中需再加入x个红球，
根据题意得＝，
解得x＝25，
经检验x＝25为原方程的解，
所以袋子中需再加入25个红球；
故答案为：25；
（4）设放入口袋中红球为a个，黄球为（20﹣a）个，
根据题意得＝，
解得a＝15，
当a＝15时，20﹣a＝5，
即放入口袋中红球15个、黄球5个．
【点睛】本题考查了概率公式：某事件的概率＝某事件所占的结果数与总的结果数的比．
22.2023年3月，某中学发起“劳动最光荣 加油好少年”主题活动，学校团委为了了解学生参与本次主题活动的情况，随机抽取部分学生进行调查，根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 200 名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1200名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校参加“洗碗”劳动的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、丁两人同时被抽中的概率，
【思路点拨】（1）从两个统计图中可知，样本中参与“做饭”的有40人，占调查人数的20%，由频率＝可以求出调查人数，进而求出参与“扫地”的频数，补全条形统计图；
（2）用样本中参与“洗碗”的所占的百分比估计总体中参与“洗碗”的百分比，进而求出相应的人数；
（3）用列表法表示从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解析】解：（1）40÷20%＝200（名），200﹣40﹣50﹣30﹣20＝60（名），
故答案为：200，补全条形统计图如下：
（2）1200×＝180（名），
答：该校1200名学生中参与“洗碗”的学生约有180名；
（3）从甲、乙、丙、丁四个人中选择2个人所有可能出现的结果情况如下：
第一人第二人 甲 乙 丙 丁
甲 乙甲 丙甲 丁甲
乙 甲乙 丙乙 丁乙
丙 甲丙 乙丙
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有12种可能出现的结果，其中甲、丁同时被抽中的有2种，
所以甲、丁同时被抽中的概率为＝．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．
培优拔尖
23．2022年是中国体育年，本年度，冬奥会、残奥会、杭州亚运会和成都大运会均成功举行．以下图标分别是冬奥会的吉祥物冰墩墩，残奥会吉祥物雪容融，杭州亚运会吉祥物——琮琮、宸宸、莲莲，成都大运会吉祥物蓉宝．某淘宝店主看到商机，将这六个吉祥物玩偶制成一套六个盲盒，每个盲盒中均有一个不同的吉祥物玩偶，小明购买了一套中的两个盲盒，则他恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的概率是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】冰墩墩、雪容融、琮琮、宸宸、莲莲、蓉宝分别用1、2、3、4、5、6表示，利用树状图展示所有30种等可能的结果，再找出恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的结果数，然后根据概率公式求解．
【解析】解：画树状图为：（装有冰墩墩、雪容融、琮琮、宸宸、莲莲、蓉宝的盲盒分别用1、2、3、4、5、6表示）
共有30种等可能的结果，其中恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的结果数为2，
所以他恰好买到冰墩墩和雪容融玩偶的概率＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】列举出所有情况，看三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的情况占总情况的多少即可．
【解析】解：设甲的生肖为a，乙的生肖为b，丙的生肖为c．
由于为放回实验，故每次皆有3种可能3×3×3＝27，
共有27种情况，三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的情况有1种，所以概率是，
故选：D．
【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝，注意本题是放回实验．
25．一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数．若要使不知道密码的人一次就拨对密码的概率小于，则密码的位数至少需要设（ ）
A．五位 B．四位 C．三位 D．二位
【思路点拨】分别求出取一位数、两位数、三位数、四位数时一次就拨对密码的概率，再根据所在的范围解答即可．
【解析】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；
取两位数时一次就拨对密码的概率为；
取三位数时一次就拨对密码的概率为；
取四位数时一次就拨对密码的概率为．
故密码的位数至少需要4位．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
26．一个转盘如图，黄色扇形的圆心角是90°，绿色扇形的圆心角是270°．让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是多少？
【思路点拨】通过计算转盘的黄色扇形和绿色扇形的面积之比可得到2次指针都落在绿色区域的概率．
【解析】解：由图得：黄色扇形的圆心角为90°，绿色扇形的圆心角是270°，
∴黄色扇形的面积：绿色扇形的面积＝，
如图，
故让转盘自由转动2次，2次指针都落在绿色区域的概率是．
【点睛】本题考查了几何概率：某事件的概率＝相应的面积与总面积之比．
27．某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试，根据成绩（单位：分）分成：E（75≤x＜80），D（80≤x＜85），C（85≤x＜90），B（90≤x＜95）A（95≤x≤100）五个组并绘制了如图1和图2所示的统计图，
请根据图中提供的信息，回答下列问题．
（1）本次抽取测试的学生有 40 人，m＝ 20 ；
（2）直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为 54° ；
（3）根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有 850 人．
（4）学校决定在A组4名学生（2男2女）中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一里一女的概率是多少．
【思路点拨】（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，用D组人数除以总人数可得m的值；
（2）总人数乘以B组对应百分比可得其人数，用360°乘以E组人数所占比例即可得出答案；
（3）总人数乘以样本中A、B、C、D组人数和所占比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解析】解：（1）本次抽取测试的学生有10÷25%＝40（人），m%＝8÷40×100%＝20%，即m＝20，
故答案为：40、20；
（2）B组人数为40×30%＝12（人），
补全图形如下：
由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为360°×＝54°；
故答案为：54°；
（3）根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有1000×＝850（人），
故答案为：850；
（4）根据题意列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 _ 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 _ 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 _ 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 _
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴恰好选中一男一女的概率是＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
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