1.1 认识三角形分层作业（含解析）

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1.1认识三角形 同步分层作业
基础过关
1．若三角形的两条边的长度是4cm和8cm，则第三条边的长度可能是（　　）
A．12cm B．6cm C．4cm D．3cm
2．如所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　）
A．B．C．D．
3．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　）
A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
4．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线
5．已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（　　）
A．180° B．220° C．230° D．240°
6．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是 　　三角形．（填“钝角”“锐角”或“直角”）
7．一个不等边三角形的两边分别为5cm和7cm，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 　　个．
8．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为　　．
9．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
10．在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
11．已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝　 　．
能力提升
12．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（　　）
A． B．
C．D．
13．已知某三角形三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
14．下列说法正确的个数有（　　）
①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；
②直角三角形只有一条高；
③三角形的高至少有一条在三角形内；
④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
16．如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
17．已知四根小棒的长度分别为5cm、6cm、10cm、12cm，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为 　　．
18．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 　　．
19.已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
20.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD边上的高线，延长BE交AC于点F．设∠ABC＝α，∠ACB＝β．
（1）当α＝70°时，∠ABF的度数为 　 　；
（2）求∠AFB的度数（用含α、β的式子表示）；
（3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值．

21.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为25°，75°，80°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最大内角的度数．
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22．定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知△ABC是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且a≤b＜c，当b＝7时，则符合条件的△ABC有 　　个．
23．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．
（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝　　，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是 　 　；
（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；
（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．
24．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．
（1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD＝（∠C﹣∠B）；
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由．
25．问题背景：∠AOB＝90°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合）．
（1）问题思考：如图1，MP、NP分别是∠AMN和∠MNB的平分线，则∠MPN＝　 　°．
（2）问题解决：如图2，若MC是∠AMN的平分线，MC的反向延长线与∠MNO的平分线交于点P．
①若∠MNO＝60°，则∠P＝　 　°．
②随着点M、N的运动，∠P的大小会变吗？如果不会，求∠P的度数；如果会，请说明理由．
（3）问题拓展：在图2的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点M、N的运动（如图3），求∠P的度数（用含α的代数式表示）．
答案与解析
基础过关
1．若三角形的两条边的长度是4cm和8cm，则第三条边的长度可能是（　　）
A．12cm B．6cm C．4cm D．3cm
【点拨】利用三角形的三边关系求解即可．
【解析】解：∵三角形的两条边分别是4cm和8cm，
∴4＜三角形的第三边＜12，
∴6cm适合，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是利用三边关系确定第三边的取值范围，难度不大．
2．如所示的四个图形中，线段BD是△ABC的高的图形是（　　）
A．B．C．D．
【点拨】根据三角形的高的概念判断即可．
【解析】解：A、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意；
B、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意；
C、图形中，线段BD不是△ABC的高，不符合题意；
D、图形中，线段BD是△ABC的高，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
3．如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（　　）
A．BC＝2CD B．∠BAE＝∠BAC
C．∠AFB＝90° D．AE＝CE
【点拨】根据三角形的中线，角平分线，高的定义即可得到BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°．进而判断即可．
【解析】解：∵AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，
∴BC＝2BD＝2DC，∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，∠AFB＝∠AFC＝90°，
故选项A、B、C正确，选项D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的高、角平分线和中线的定义，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．掌握定义是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，则下列说法中，正确的是（　　）
A．AD是△ABE的中线 B．AE是△ABC的角平分线
C．AF是△ACE的高线 D．AE是△DAF的中线
【点拨】利用已知条件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分线．
【解析】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分线，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线，关键是掌握三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
5．已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的度数为（　　）
A．180° B．220° C．230° D．240°
【点拨】先根据三角形内角和定理求得∠B+∠C的和是130度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解析】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和四边形的内角和定理．知道剪去三角形的一个角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．
6．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝2：3：5，则△ABC是 　直角　三角形．（填“钝角”“锐角”或“直角”）
【点拨】由∠A，∠B，∠C三角之间的关系，可求出∠C的度数，进而可得出△ABC是直角三角形．
【解析】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A：∠B：∠C＝2：3：5，
∴∠C＝180°×＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
7．一个不等边三角形的两边分别为5cm和7cm，第三边的长度为奇数，则满足条件的三角形共有 　5　个．
【点拨】根据三角形的三边关系可求得第三边的取值范围，再求得其中的奇数的个数即可求得答案．
【解析】解：设第三根木棒的长度为xcm，
由三角形三边关系可得7﹣5＜x＜7+5，
即2＜x＜12，
又x为奇数，
∴x的值为3，5，7，9，11，
因此满足条件的三角形共有5个，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围是解题的关键．
8．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为　7cm　．
【点拨】先根据△ABD周长为15cm，AB＝6cm，AD＝5cm，由周长的定义可求BD的长，再根据中线的定义可求BC的长，由△ABC的周长为21cm，即可求出AC长．
【解析】解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为15cm，
∴BD＝15﹣6﹣5＝4cm，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC＝8cm，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AC＝21﹣6﹣8＝7cm．
故AC长为7cm，
故答案为：7cm．
【点睛】考查了三角形的周长和中线，本题的关键是由周长和中线的定义得到BC的长，题目难度中等．
9．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状．
【点拨】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程|a﹣3|＝2的解，即可得到a＝5或1，依据三角形三边关系，即可得到a＝5，进而得出△ABC的周长，以及△ABC的形状．
【解析】解：∵（b﹣5）2+（c﹣7）2＝0，
∴，
解得，
∵a为方程|a﹣3|＝2的解，
∴a＝5或1，
当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7，
不能组成三角形，故a＝1不合题意；
∴a＝5，
∴△ABC的周长＝5+5+7＝17，
∵a＝b＝5，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
10．在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分，求三角形各边长．
【点拨】根据中线的定义得到AD＝CD，设AD＝CD＝x，则AB＝2x，分类讨论：当x+2x＝12，BC+x＝15；当x+2x＝15，BC+x＝12，然后分别求出x和BC，即可得到三角形三边的长．
【解析】解：如图，∵DB为△ABC的中线
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AB＝2x，
当x+2x＝12，解得x＝4，
BC+x＝15，解得BC＝11，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝8，BC＝11；
当x+2x＝15，BC+x＝12，解得x＝5，BC＝7，
此时△ABC的三边长为：AB＝AC＝10，BC＝7．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
11．已知△ABC（如图），按下列要求画图：
（1）△ABC的中线AD；
（2）△ABD的角平分线DM；
（3）△ACD的高线CN；
（4）若C△ADC﹣C△ADB＝3，（C表示周长）且AB＝4，则AC＝　7　．
【点拨】（1）取BC的中点D，然后连接AD即可；
（2）作∠ADB的平分线交AB于M点；
（3）过C点作CN⊥AD于N点；
（4）利用三角形中线的定义得到BD＝CD，然后利用三角形周长的定义得到AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，所以AC﹣AB＝3，从而可计算出AC．
【解析】解：（1）如图，AD为所作；
（2）如图，DM为所作；
（3）如图，CN为所作；
（4）∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵C△ADC﹣C△ADB＝3，
∴AC+AD+CD﹣（AB+AD+BD）＝3，
∴AC﹣AB＝3，
∵AB＝4，
∴AC＝AB+3＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查三角形的中线，高线，角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的角平分线、中线和高．
能力提升
12．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（　　）
A． B．
C．D．
【点拨】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【解析】解：A．由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故A不符合题意．
B．由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故B符合题意．
C．由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠ADE＝∠B，由DF∥AC，得∠A＝∠FDB，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠C+∠A＝180°，故C不符合题意．
D．由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．
13．已知某三角形三边长分别为4，x，11，其中x为正整数，则满足条件的x值的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【点拨】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此得到11﹣4＜x＜11+4，即可解决问题．
【解析】解：∵三角形三边长分别为4，x，11，
∴11﹣4＜x＜11+4，
∴7＜x＜15，
∵x为正整数，
∴x的值是8、9、10、11、12、13、14，
∴满足条件的x值的个数是7．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是由三角形三边关系定理得到11﹣4＜x＜11+4．
14．下列说法正确的个数有（　　）
①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内；
②直角三角形只有一条高；
③三角形的高至少有一条在三角形内；
④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各项分析判断求解．
【解析】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误；
②直角三角形有三条高，故错误；
③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确；
④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误；
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的中线、角平分线和高，解题的关键是清楚这三条线的定义和在三角形中的位置．
15．在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式得到AC﹣AB＝3，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．
【解析】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC，
由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，
整理得，AC﹣AB＝3，
则，
解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
16．如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若∠α＝70°，则∠β的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【点拨】由平角的定义可得∠5＝180°﹣（∠1+∠2），∠6＝180°﹣（∠3+∠4），再由三角形的内角和可得∠2+∠3＝110°，再利用三角形的内角和即可求∠β．
【解析】解：如图，
由题意得：∠5＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣2∠3，
∵∠α＝70°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠α＝110°，
∵∠β＝180°﹣（∠5+∠6）
∴∠β＝180°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2×110°﹣180°
＝220°﹣180°
＝40°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是明确三角形的内角和为180°．
17．已知四根小棒的长度分别为5cm、6cm、10cm、12cm，从中取出三根小棒，能围成三角形的概率为 　　．
【点拨】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去，最后根据概率计算公式求解即可．
【解析】解：共有4种方案：
①取5cm、6cm、10cm；由于10﹣5＜6＜10+5，能构成三角形；
②取5cm、6cm、12cm；由于5+6＜12，不能构成三角形；
③取6cm、10cm、12cm；由于12﹣6＜10＜12+6，能构成三角形；
④取5cm、10cm、12cm；由于12﹣5＜10＜12+5，能构成三角形．
∴一个有4种等可能性的结果数，其中能构成三角形的结果数有3种，
∴能围成三角形的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了简单的概率计算，构成三角形的条件，解题的关键在于要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
18．如图，把△ABC沿平行于BC的直线DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF的度数为 　80°　．
【点拨】由DE∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ADE的度数，由折叠的性质可得出∠FDE的度数，再结合平角等于180°，即可求出∠BDF的度数．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝50°．
由折叠的性质可知：∠FDE＝∠ADE＝50°，
∴∠BDF＝180°﹣∠ADE﹣∠FDE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及翻转变换（折叠问题），牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
19.已知△ABC的三边长是a，b，c．
（1）若a＝4，b＝6，且三角形的周长是小于18的偶数．求c边的长；
（2）化简|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|．
【点拨】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；
（2）根据绝对值的定义和三角形的三边关系即可得到结论．
【解析】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝4，b＝6，
∴2＜c＜10，
∵三角形的周长是小于18的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c＝4或6；
（2）|a+b﹣c|+|c﹣a﹣b|
＝a+b﹣c﹣c+a+b
＝2a+2b﹣2c．
【点睛】此题主要考查了绝对值和三角形三边关系，得出c的取值范围是解题关键．
20.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，∠ADB＝∠ABD．BE是△ABD中AD边上的高线，延长BE交AC于点F．设∠ABC＝α，∠ACB＝β．
（1）当α＝70°时，∠ABF的度数为 　50°　；
（2）求∠AFB的度数（用含α、β的式子表示）；
（3）若∠AFB＝∠BAF，求β的值．

【点拨】（1）根据垂直的定义得到∠BED＝90°，根据内角和定理得到∠DBE＝90°﹣70°＝20°，根据角的和差即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠BED＝90°，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）由（2）知，∠BAC＝180°﹣α﹣β，∠AFB＝90°﹣α+β；根据∠AFB＝∠BAF列方程即可得到结论．
【解析】解：（1）∵BE是△ABD中AD边上的高线，
∴∠BED＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB＝70°，
∴∠DBE＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ABF＝∠ABD﹣∠DBE＝140°﹣90°＝50°，
故答案为：50°；
（2）∵BE是△ABD中AD边上的高线，
∴∠BED＝90°，
∵∠ABC＝∠ADB＝α，
∴∠DBE＝90°﹣α，
∴∠ABF＝∠ABD﹣∠DBE＝2α﹣90°，
∵∠ABC＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣α﹣β，
∴∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣（2α﹣90°）﹣（180°﹣α﹣β）＝90°﹣α+β；
（3）由（2）知，∠BAC＝180°﹣α﹣β，∠AFB＝90°﹣α+β；
∵∠AFB＝∠BAF，
∴180°﹣α﹣β＝90°﹣α+β，
∴β＝45°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
21.在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为25°，75°，80°的三角形是“三倍角三角形”．
（1）△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？
（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最大内角的度数．
【点拨】（1）先利用三角形的内角和定理求出∠C，再根据“三倍角三角形”的定义验证得结论；
（2）分两种情况：当最大内角是30°的三倍时，当最大内角是另一个角的3倍时，计算得结论．
【解析】解：（1）△ABC是“三倍角三角形”．
理由：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝20°，∠B＝40°，
∴∠C＝120°．
∵120°÷40°＝3，
∴该三角形是三倍角三角形．
（2）∵△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，
∴∠A+∠C＝150°．
设△ABC的最大内角为x°，
当最大内角是∠B的三倍时，即x＝90°．
当最大内角是另一个角的三倍时，即x+3x＝150°，
∴x＝37.5°，3x＝112.5°．
当∠B时∠A或∠C的三倍时，
则10°+30°+x＝180°，
∴x＝140°．
∴△ABC中最大内角的度数为90°或112.5°或140°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握“三倍角三角形”的定义是解决本题的关键．
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22．定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，已知△ABC是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且a≤b＜c，当b＝7时，则符合条件的△ABC有 　21　个．
【点拨】根据a≤b＜c，b＝7，可知a＝1，2，3，4，5，6，7，再根据三角形三边关系得，分情况讨论即可得出答案．
【解析】解：∵三角形的三边长分别为a，b，c，且a≤b＜c，
∵b＝7，
∴a＝1，2，3，4，5，6，7，
根据三角形三边关系得，
当a＝1时，c不存在，
当a＝2时，c＝8，
当a＝3时，c＝8，9，
当a＝4时，c＝8，9，10，
当a＝5时，c＝8，9，10，11，
当a＝6时，c＝8，9，10，11，12，
当a＝7时，c＝8，9，10，11，12，13，
可知符合条件的△ABC有21个．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
23．我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．
（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝　29°　，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是 　∠ADC'＝2∠C　；
（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；
（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．
【点拨】（1）根据平角定义求出∠CDC′＝122°，然后利用折叠的性质可得∠CDE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝×180°＝90°，最后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答；
（2）根据平角定义求出∠CDC′＝160°，∠CEC′＝138°，然后利用折叠的性质可得∠CDE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠CEC′＝69°，最后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答；
（3）根据平角定义求出∠CDC′＝180°﹣x，∠CEC′＝180°+y，然后利用折叠的性质可得∠CDE＝∠CDC′＝90°+y，∠DEC＝∠CEC′＝90°﹣x，最后利用三角形内角和定理，进行计算即可解答．
【解析】解：（1）∵∠ADC′＝58°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′＝×180°＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，
∴∠ADC'与∠C的数量关系：∠ADC'＝2∠C．
故答案为：29°，∠ADC'＝2∠C；
（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，
∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝69°，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，
∴∠C的度数为31°；
（3）如图：
∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y，
∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，
由折叠得：
∠CDE＝∠C′DE＝∠1＝90°+y，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝90°﹣x，
∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC
＝180°﹣（90°+y）﹣（90°﹣x）
＝x﹣y，
∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C＝x﹣y．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及折叠的性质是解题的关键．
24．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D．
（1）如果点F与点A重合，且∠C＝50°，∠B＝30°，如图1，求∠EFD的度数；
（2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，求证：∠EFD＝（∠C﹣∠B）；
（3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否发生变化？请说明理由．
【点拨】（1）由三角形内角和定理可得∠BAC＝100°，∠CAD＝40°，由角平分线的性质易得∠EAC的度数，可得∠EFD；
（2）由角平分线的性质和三角形的内角和得出∠BAE＝90°﹣（∠C+∠B），外角的性质得出∠AEC＝90°+（∠B﹣∠C），在△EFD中，由三角形内角和定理可得∠EFD；
（3）与（2）的方法相同．
【解析】（1）解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝50°．
在△ACE中∠AEC＝80°，
在Rt△ADE中∠EFD＝90°﹣80°＝10°．
（2）∠EFD＝（∠C﹣∠B）
证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝＝90°﹣（∠C+∠B）
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠B+90°﹣（∠C+∠B）＝90°+（∠B﹣∠C）
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°．
∴∠EFD＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD＝（∠C﹣∠B）
（3）没变化，∠EFD＝（∠C﹣∠B）．
如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝．
∵∠DEF为△ABE的外角，
∴∠DEF＝∠B+＝90°+（∠B﹣∠C），
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°．
∴∠EFD＝90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）
∴∠EFD＝（∠C﹣∠B）．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，综合利用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答此题的关键．
25．问题背景：∠AOB＝90°，点M、N分别在OA、OB上运动（不与点O重合）．
（1）问题思考：如图1，MP、NP分别是∠AMN和∠MNB的平分线，则∠MPN＝　45　°．
（2）问题解决：如图2，若MC是∠AMN的平分线，MC的反向延长线与∠MNO的平分线交于点P．
①若∠MNO＝60°，则∠P＝　45　°．
②随着点M、N的运动，∠P的大小会变吗？如果不会，求∠P的度数；如果会，请说明理由．
（3）问题拓展：在图2的基础上，如果∠MON＝α，其余条件不变，随着点M、N的运动（如图3），求∠P的度数（用含α的代数式表示）．
【点拨】（1 ）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②由①的思路可得结论；
（3）在②的基础上，将90换成a即可．
【解析】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴∠OMN+∠ONM＝90°，
∴∠AMN+∠MNB＝180°×2﹣（∠OMN+∠ONM）＝270°，
∵MP、NP分别是∠AMN和∠MNB的平分线，
∴∠PMN＝∠AMN，∠PNM＝∠MNB，
∴∠PMN+∠PNM＝（∠AMN+∠MNB）＝135°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣135°＝45°，
故答案为：45；
（2）①∵∠NOM＝90°，∠MNO＝60°，
∴∠NMO＝30°，∠NMA＝150°，
∵MC是∠AMN的平分线，
∴∠OMP＝∠CMA＝×150°＝75°，
∵NP平分∠MNO，
∴∠PNM＝30°，
∴∠P＝180°﹣∠NMO﹣∠OMP﹣∠PNM
＝180°﹣30°﹣75°﹣30°
＝45°，
故答案为：45；
②∠P的度数不随M、N的移动而发生变化，
设∠MNP＝x，
∵NP平分∠MNO，
∴∠MNO＝2x，
∵∠NOM＝90°，
∴∠NMA＝∠NOM+∠MNO＝90°+2x，
∵MC平分∠NMA，
∴∠NMC＝45°+x，
∵∠NMC＝∠P+∠MNP，
∴∠P＝∠NMC﹣∠MNP＝45°+x﹣x＝45°；
（3）设∠MNP＝x，
∵NP平分∠MNO，
∴∠MNO＝2x，
∵∠MON＝α，
∴∠AMN＝180°﹣∠NMO＝∠MON+∠MNO＝α+2x，
∵MC平分∠AMN，
∴∠NMC＝α+x，
∵∠NMC＝180°﹣∠NMP＝∠P+∠MNP，
∴∠P＝∠NMC﹣∠MNP＝α+x﹣x＝α．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
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