1.2 定义与命题分层作业（含解析）

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1.2定义与命题 同步分层作业
基础过关
1．下列句子中哪一个是命题（　　）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空
C．猴子是动物 D．过直线l外一点作l的平行线
2．下列语句中不属于命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果a+b＝0，那么a、b互为相反数
C．同平行于一条直线的两条直线互相平行 D．过点A作射线AC
3．可取下面哪组值说明“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题（　　）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝1
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b． B．三角形的三条高线交于一点
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补
5．“你的作业做完了吗”这句话 　 　命题．（填“是”或者“不是”）
6．“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”　 　.
7．指出下列命题的条件和结论．
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
（2）如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；
（3）锐角小于它的余角；
（4）三边分别相等的两个三角形全等．
8．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
9．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例．
（1）互为相反数的两个数的和为零；
（2）同旁内角互补；
（3）等角的余角相等．
能力提升
10．用a的值说明“若a＜3，则a2＜9”是假命题，a的值可以是（　　）
A．5 B．0 C．﹣2 D．﹣4
11．能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（　　）
A． B． C． D．
12．下列命题是假命题的是（　　）
A．无理数的相反数是无理数 B．0的立方根是0
C．负数没有平方根 D．4的平方根是2
13．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
14．阅读黑板上老师的解题过程，解决下列问题，
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例，如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．
判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出反例．
（1）两个负数之差为负数；
（2）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等；
（3）互补的角是同旁内角．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述）
15．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（1）两个锐角的和一定是钝角；
（2）平行于同一直线的两条直线平行；
（3）两直线被第三条直线所截，内错角相等；
（4）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等．
培优拔尖
16．将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　 　．
17．下面的三个命题都是错误的，请你举例说明．
（1）有两个角和一条边分别相等的两个三角形全等．
（2）有三个角分别相等的两个三角形全等．
（3）有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等．
18．请判断命题“若三条线段a、b、c满足a+b＞c，则这三条线段a、b、c能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明．
19.如图，现有以下三个条件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例（证明其中的一个命题即可）．
20.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
（1）写出命题的题设和结论；
（2）画出符合命题的几何图形；
（3）用几何语言叙述这个命题；
（4）说明这个命题是真命题的理由．
答案与解析
基础过关
1．下列句子中哪一个是命题（　　）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空
C．猴子是动物 D．过直线l外一点作l的平行线
【点拨】根据命题的定义解答即可．
【解析】解：猴子是动物是命题．
故选：C．
【点睛】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．注意：疑问句与作图语句不是命题．
2．下列语句中不属于命题的是（　　）
A．两直线平行，内错角相等 B．如果a+b＝0，那么a、b互为相反数
C．同平行于一条直线的两条直线互相平行 D．过点A作射线AC
【点拨】根据命题的概念判断即可．
【解析】解：A、两直线平行，内错角相等，是命题，不符合题意；
B、如果a+b＝0，那么a、b互为相反数，是命题，不符合题意；
C、同平行于一条直线的两条直线互相平行，是命题，不符合题意；
D、过点A作射线AC，不是命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的概念，判断一件事情的语句，叫做命题．
3．可取下面哪组值说明“如果a＝b，那么|a|＝|b|”的逆命题是假命题（　　）
A．a＝﹣1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝1，b＝2 D．a＝1，b＝1
【点拨】先写出原命题的逆命题，再根据绝对值的性质判断即可．
【解析】解：命题如果a＝b，那么|a|＝|b|的逆命题是如果|a|＝|b|，那么a＝b，
当a＝﹣1，b＝1时，|a|＝|b|，而a≠b，说明如果|a|＝|b|，那么a＝b是假命题，
故选：A．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确理解绝对值的性质是解题的关键．
4．下列命题中，真命题是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b． B．三角形的三条高线交于一点
C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补
【点拨】根据实数的平方、三角形的高的概念、平行线的性质判断即可．
【解析】解：A、如果a2＝b2，那么a＝±b，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、三角形的三条高所在的直线交于一点，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，两边分别平行的两角相等或互补，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5．“你的作业做完了吗”这句话 　不是　命题．（填“是”或者“不是”）
【点拨】根据命题的定义进行判断即可．
【解析】解：“你的作业做完了吗”这句话不是命题．
故答案为：不是．
【点睛】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．凡是作图语句与疑问句都不是命题．
6．“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”　如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等　.
【点拨】命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，放在“那么”的后面．
【解析】解：“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等，
故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等．
【点睛】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论．
7．指出下列命题的条件和结论．
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行；
（2）如果∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3；
（3）锐角小于它的余角；
（4）三边分别相等的两个三角形全等．
【点拨】根据命题由题设和结论两部分组成，然后分别写出四个命题的题设和结论．
【解析】解：（1）条件：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，
结论：这两条直线平行．
（2）条件：∠1＝∠2，∠2＝∠3，结论：∠1＝∠3．
（3）条件：一个角是锐角，结论：这个角小于它的余角．
（4）条件：两个三角形的三条边分别相等，结论：这两个三角形全等．
【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；命题由题设和结论两部分组成．
8．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
【点拨】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解析】解：（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；
（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；
（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题．
【点睛】此题考查命题与定理，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．将下列命题改写成“如果…，那么…”的形式，并判断它们是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例．
（1）互为相反数的两个数的和为零；
（2）同旁内角互补；
（3）等角的余角相等．
【点拨】分析题意，先找出各个命题的条件和结论，再根据如果+条件，那么+结论，即可进行改写，再判断真假．
【解析】解：（1）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题；
（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题，
反例：如图，∠1和∠2是同旁内角，
但两直线不平行，故∠1和∠2不互补；
（3）如果两个角相等，那么它们的余角也相等；是真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
能力提升
10．用a的值说明“若a＜3，则a2＜9”是假命题，a的值可以是（　　）
A．5 B．0 C．﹣2 D．﹣4
【点拨】首先要满足a＜3，其次要满足a2＞9，据此求解即可．
【解析】解：∵﹣4＜3，（﹣4）2＝16＞9，
∴命题“若a＜3，则a2＜9”是假命题，
而﹣2＜0＜5，02＜（﹣2）2＜9都不能说明原命题是假命题，
故选：D．
【点睛】本题考查了举反例判断命题真假，正确理解题意是解题的关键．
11．能说明“锐角α，锐角β的和是锐角”是假命题的例证图是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】判断“两个锐角的和是锐角”什么情况下不成立，即找出两个锐角的和＞90°即可．
【解析】解：例如C选项图中：三角形三个内角都是锐角，则∠α+∠β＞90°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．下列命题是假命题的是（　　）
A．无理数的相反数是无理数 B．0的立方根是0
C．负数没有平方根 D．4的平方根是2
【点拨】由无理数、立方根、平方根、算术平方根的概念分别对各个选项进行判断即可．
【解析】解：A、无理数的相反数是无理数，故选项A不符合题意；
B、0的立方根是0，故选项B不符合题意；
C、负数没有平方根，故选项C不符合题意；
D、4的平方根是±2，4的算术平方根是2，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了命题、无理数、立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握有关概念是解题的关键．
13．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例．
（1）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
（2）内错角相等；
（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
【点拨】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解析】解：（1）题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题；
（2）题设：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；是假命题，如图∠1与∠2是内错角，∠2＞∠1；
（3）题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题．
【点睛】此题考查命题与定理，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．阅读黑板上老师的解题过程，解决下列问题，
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例，如图，OC是∠AOB的平分线，∠1＝∠2，但它们不是对顶角．
判断下列命题的真假，如果是假命题，请举出反例．
（1）两个负数之差为负数；
（2）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等；
（3）互补的角是同旁内角．（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述）
【点拨】（1）根据有理数的减法法则证明；
（2）根据平行四边形的判定和性质判断即可；
（3）根据补角的概念、同旁内角的概念判断即可．
【解析】解：（1）两个负数之差为负数是假命题，
例如：﹣2﹣（﹣3）＝1，1不是负数，
所以两个负数之差为负数是假命题；
（2）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么它的不相邻的两个内角相等，是真命题；
（3）互补的角是同旁内角，是假命题，
如图，∠AOC与∠BOC互补，但它们不是同旁内角．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理及平行线的判定是解答此题的关键．
15．判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
（1）两个锐角的和一定是钝角；
（2）平行于同一直线的两条直线平行；
（3）两直线被第三条直线所截，内错角相等；
（4）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等．
【点拨】（1）根据锐角、钝角的概念判断；
（2）根据平行线的判定定理判断；
（3）根据平行线的性质判断；
（4）根据平行线的性质判断．
【解析】解：（1）两个锐角的和一定是钝角，是假命题，例如30°、40°都是锐角，30°+40°＝70°，70°也是锐角；
（2）平行于同一直线的两条直线平行，是真命题；
（3）两直线被第三条直线所截，内错角相等，是假命题，理由：两平行线被第三条直线所截，内错角相等；
（4）若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等，是假命题，理由：若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
培优拔尖
16．将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”改写为“如果…那么…”的形式，可写为 　同一平面内，如果的两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　．
【点拨】首先分清原命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论．
【解析】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
17．下面的三个命题都是错误的，请你举例说明．
（1）有两个角和一条边分别相等的两个三角形全等．
（2）有三个角分别相等的两个三角形全等．
（3）有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等．
【点拨】说明命题是假命题，只要举出反例说明即可．
【解析】解：（1）有两个角和一条边分别相等的两个三角形全等．
如图，∠C＝∠D＝30°，∠A＝∠F＝60°，AB＝DE，两个三角形不全等．
（2）有三个角分别相等的两个三角形全等．
如图，两个边长不相等的等边三角形，不全等．
（3）有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等．
第一个题中的图，满足有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形不全等．
综上所述，（1）（2）（3）都是假命题．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握判定命题的假命题的方法，属于中考常考题型．
18．请判断命题“若三条线段a、b、c满足a+b＞c，则这三条线段a、b、c能够组成三角形”的真假性．若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例说明．
【点拨】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，然后举出满足条件但不满足结论的例子即可．
【解析】解：若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，
例如：三条线段a＝3，b＝2，c＝1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．
【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
19.如图，现有以下三个条件：①AB∥CD，②∠B＝∠C，③∠E＝∠F．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例（证明其中的一个命题即可）．
【点拨】（1）根据命题的概念分别写出3个命题；
（2）根据平行线的判定定理和性质定理证明结论．
【解析】解：（1）可以构造3个命题，
命题1，如果AB∥CD，∠B＝∠C，那么∠E＝∠F；
命题2，如果AB∥CD，∠E＝∠F，那么∠B＝∠C；
命题3，如果∠E＝∠F，∠B＝∠C，那么AB∥CD；
（2）构造的3个命题都是真命题，
证明命题1，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠CDF，
∵∠B＝∠C，
∴∠CDF＝∠C，
∴AC∥BD，
∴∠E＝∠F．
【点睛】本题考查的是命题的概念、命题的真假的判断、平行线的性质和判定，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
20.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行．”
（1）写出命题的题设和结论；
（2）画出符合命题的几何图形；
（3）用几何语言叙述这个命题；
（4）说明这个命题是真命题的理由．
【点拨】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，即可得答案；
（2）先画AB∥CD，再画GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC即可；
（3）根据图形用字母表示叙述即可；
（4）根据平行线的性质得∠BGM＝∠CMG，再由GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，可得∠HGM＝∠NMG，即可得答案．
【解析】解：（1）题设：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行；
（2）如下图所示：
；
（3）如上图，已知AB∥CD，GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
求证：GH∥MN；
（4）真命题，理由：
∵AB∥CD，
∴∠BGM＝∠CMG，
又∵GH、MN分别平分∠BGF和∠EMC，
∴∠HGM＝∠BGM，∠NMG＝∠CMG，
∴∠HGM＝∠NMG，
∴GH∥MN．
【点睛】本题考查的是命题与定理，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质并灵活运用．
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