1.3 证明分层作业（含解析）

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1.3证明 同步分层作业
基础过关
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（　　）
A．100° B．120° C．70° D．80°
2．如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝100°，则∠3＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
3．如图，直线a，b被c所截，∠1＝58°，∠3＝122°，求证：a∥b．
下列是佳宁同学的证明过程：
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝58°，
∴∠2＝180°﹣58°＝122°．
∵∠3＝122°，
∴∠2＝∠3，
∴a∥b（填依据）．
则下列关于上述证明过程中括号内填依据正确的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
4．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
5．如图，∠1＝60°，下列推理正确的是（　　）
①若∠2＝60°，则AB∥CD；②若∠5＝60°，则AB∥CD；
③若∠3＝120°，则AB∥CD；④若∠4＝120°，则AB∥CD．
A．①② B．②④ C．②③④ D．②③
6．如图所示，下列推理正确的是（　　）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
C．若∠C+∠CDA＝180°，则AB∥CD D．若AB∥CD，则∠3＝∠4
7．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
8.如图△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D＝　 ．
9．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数．
10．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，AB∥CD，求证∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠4（ 　 　），
∴∠2＝∠4（ 　 　）
∴CE∥　 　（ 　 　）
∴∠3＝　 　（ 　 　），
又∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝　 　（ 　 　），
∴∠B＝∠C．
能力提升
11．若△ABC有一个外角是钝角，则△ABC一定是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
12．如果一个三角形的三个外角度数的比为1：4：4，则此三角形最大内角的度数为 　 　．
13．嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A、∠B、∠BCD保持不变，则将图中∠D　 　（填“增大”或“减小”） 　 　度，淇淇说，“改得不错”．
14．如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E如果∠1+∠2＝230°，则∠A＝　 　．
15．在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”；
乙说：“红桃A不在我手上”；
丙说：“红桃A肯定不在甲手上”．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（　　）的手上
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
16．如图，在△ABC中，BD1平分∠ABC，CD1平分△ABC的外角∠ACE，BD1，CD1相交于D1．
（1）若∠A＝96°，求出∠D1的度数；
（2）若∠A＝α，∠D1BC与∠D1CE的平分线相交于点D2，依此类推，∠Dn﹣1BC与∠Dn﹣1CE的平分线相交于点Dn，请直接写出∠Dn的度数．
17．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
18.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
19.如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2＝∠E，（①　 　）
∵AE平分∠BAD，
∴②　 　．（角平分线的定义）
∴∠1＝∠E．（③　 ）
∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴④　 　．（⑤　 　）
∴∠1＝∠CFE．（两直线平行，同位角相等）
∴∠CFE＝∠E．（等量代换）
20.在下面的括号内，填上推理的根据．如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，∠EFG＝90°．求证FG⊥AB．
证明：∵∠AED＝∠C，
∴DE∥BC（ 　 　）．
∴∠DEF＝∠EFC（ 　 　）．
∵∠DEF＝∠B，
∴∠EFC＝∠B．
∵∠EFC+∠EFB＝180°，
∴∠B+∠EFB＝180°（ 　 　）．
∴DB∥EF（ 　 　）．
∴∠AGF+∠EFG＝180°（ 　 　）．
∵∠EFG＝90°，
∴∠AGF＝90°．
∴FG⊥AB（ 　 　）．
培优拔尖
21．如图，将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠EAD＝∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°．给出下列结论：
①若∠2＝30°，则AC∥DE；
②若BC∥AD，则∠2＝30°；
③∠BAE+∠CAD＝180°；
④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．
其中正确的结论的为 　 　．（填序号）
22.已知如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于I，根据下列条件分别求出∠BIC的度数；你能发现∠BIC与∠A的关系吗？并说明理由．
（1）变式一：如图2，点P是△ABC的中外两角∠DBC与∠ECB平分线的交点，试探索∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）变式二：如图3，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，试探索∠A与∠D的数量关系，并说明理由．
答案与解析
基础过关
1．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，延长BA到D，则∠CAD的度数为（　　）
A．100° B．120° C．70° D．80°
【点拨】由三角形的外角性质即可得出结果．
【解析】解：由三角形的外角性质得：
∠CAD＝∠B+∠C＝50°+30°＝80°；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质；熟记三角形的外角性质是解决问题的关键．
2．如图，直线a∥b，∠1＝60°，∠2＝100°，则∠3＝（　　）

A．30° B．40° C．50° D．80°
【点拨】根据平行线的性质可得∠1＝∠4＝60°，再根据∠2是三角形的外角，求得∠3．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠4，
∵∠2是三角形的外角，∠1＝60°，∠2＝100°，
∴∠3＝∠2﹣∠1＝100°﹣60＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
3．如图，直线a，b被c所截，∠1＝58°，∠3＝122°，求证：a∥b．
下列是佳宁同学的证明过程：
证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝58°，
∴∠2＝180°﹣58°＝122°．
∵∠3＝122°，
∴∠2＝∠3，
∴a∥b（填依据）．
则下列关于上述证明过程中括号内填依据正确的是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．两直线平行，内错角相等
C．同位角相等，两直线平行 D．内错角相等，两直线平行
【点拨】先根据平角定义求出∠2＝122°，从而可得∠2＝∠3＝122°，然后利用同位角相等，两直线平行可得a∥b，即可解答．
【解析】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝58°，
∴∠2＝180°﹣58°＝122°，
∵∠3＝122°，
∴∠2＝∠3，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
4．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【点拨】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3＝∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
【解析】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°，
∵a∥b，∠DCB＝90°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
5．如图，∠1＝60°，下列推理正确的是（　　）
①若∠2＝60°，则AB∥CD；②若∠5＝60°，则AB∥CD；
③若∠3＝120°，则AB∥CD；④若∠4＝120°，则AB∥CD．
A．①② B．②④ C．②③④ D．②③
【点拨】根据平行线的判定定理求解即可．
【解析】解：由∠1＝∠2＝60°，不能判定AB∥CD，
故①不符合题意；
∵∠1＝∠2＝60°，∠5＝60°，
∴∠2＝∠5，
∴AB∥CD，
故②符合题意；
由∠1＝60°，∠3＝120°，不能判定AB∥CD，
故③不符合题意；
∵∠1＝∠2＝60°，∠4＝120°，
∴∠2+∠4＝180°，
∴AB∥CD，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6．如图所示，下列推理正确的是（　　）
A．若∠1＝∠2，则AB∥CD B．若AD∥BC，则∠3+∠A＝180°
C．若∠C+∠CDA＝180°，则AB∥CD D．若AB∥CD，则∠3＝∠4
【点拨】根据平行线的判定定理及性质定理求解判断即可．
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
故A正确，符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
故B错误，不符合题意；
∵∠C+∠CDA＝180°，
∴AD∥BC，
故C错误，不符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
故D错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理及性质定理是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，E为边AC上一点，延长AB到点F，延长BC到点D，连接DE．∠1，∠2，∠3的大小关系为（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【点拨】利用三角形的外角性质进行求解即可．
【解析】解：∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＝∠3+∠CED，
∴∠2＞∠3，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠A，
∴∠1＞∠2，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
8.如图△ABC中，∠A＝36°，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD交于点D，则∠D＝　18°　．
【点拨】根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ABC＝∠A+∠ABC，求出∠A＝2∠D，即可求出答案．
【解析】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，
∵∠ACE＝2∠DCE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，
∴2∠DCE＝2∠D+2∠DBC，
∴∠ACE＝2∠D+∠ABC，
∴2∠D+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝36°，
∴∠D＝18°，
故答案为：18°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
9．如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE于点B，点E，D，C在同一条直线上．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠ABC＝130°，求∠BEC的度数．
【点拨】（1）由AD⊥BE，BC⊥BE，证明AD∥BC，根据平行线的性质得出：∠ADE＝∠C，根据∠A＝∠C，得出∠ADE＝∠A即可证得；
（2）根据∠ABC＝130°，∠EBC＝90°，得出∠ABE＝40°，再根据平行线的性质，即可求得．
【解析】（1）证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴∠EFD＝∠EBC＝90°，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C．
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AD∥CD；
（2）解：∵∠ABC＝130°，∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝130°﹣90°＝40°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，熟练掌握和运用平行线的判定及性质是解决本题的关键．
10．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．
如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，AB∥CD，求证∠B＝∠C．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠4（ 　对顶角相等　），
∴∠2＝∠4（ 　等量代换　）
∴CE∥　BF　（ 　同位角相等，两直线平行　）
∴∠3＝　∠C　（ 　两直线平行，同位角相等　），
又∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝　∠B　（ 　两直线平行，内错角相等　），
∴∠B＝∠C．
【点拨】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解析】证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠4（对顶角相等），
∴∠2＝∠4（等量代换），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等），
又∵AB∥CD（已知），
∴∠3＝∠B（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＝∠C．
故答案为：对顶角相等；等量代换；BF；同位角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等；∠B；两直线平行，内错角相等．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
能力提升
11．若△ABC有一个外角是钝角，则△ABC一定是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
【点拨】利用三角形外角性质进行分析即可．
【解析】解：∵一个外角为钝角，
∴与它相邻的内角的度数为锐角，
∴△ABC可能为：钝角三角形或锐角三角形或直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
12．如果一个三角形的三个外角度数的比为1：4：4，则此三角形最大内角的度数为 　140°　．
【点拨】由三角形的三个外角之和为360°，从而可求得三角形的外角，即可判断．
【解析】解：∵三角形的三个外角度数的比为1：4：4，
∴最小的外角为：，
∴三角形的最大内角为：180°﹣40°＝140°．
故答案为：140°．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角之和为360°．
13．嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A、∠B、∠BCD保持不变，则将图中∠D　增大　（填“增大”或“减小”） 　5　度，淇淇说，“改得不错”．
【点拨】由三角形外角的性质推出∠BCD＝∠A+∠B+∠D，求出∠D的度数，即可得到答案．
【解析】解：延长DC交AB于E，
∵∠BCD＝∠B+∠CEB，∠CEB＝∠A+∠D，
∴∠BCD＝∠A+∠B+∠D，
∵∠BCD＝145，∠A＝90°，∠B＝25°，
∴∠D＝∠BCD﹣∠A﹣∠B＝145°﹣90°﹣25°＝30°，
∴∠D应该增大30°﹣25°＝5°．
故答案为：增大，5．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，关键是掌握三角形外角的性质．
14．如图，在△ABC中，延长AB至D，延长BC至E如果∠1+∠2＝230°，则∠A＝　50°　．
【点拨】由三角形的外角性质可得∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，再结合∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，从而可求∠A的度数．
【解析】解：∵∠1，∠2是△ABC的外角，
∴∠1＝∠A+∠ACB，∠2＝∠A+∠ABC，
∵∠1+∠2＝230°，
∴∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝230°，
即2∠A+∠ACB+∠ABC＝230°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴2∠A+180°﹣∠A＝230°，
解得：∠A＝50°．
故答案为：50°．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
15．在一次数学活动课上，某数学老师将三张不同的牌分别发给甲、乙、丙三个同学，其中有一张牌是红桃A．
甲说：“红桃A在我手上”；
乙说：“红桃A不在我手上”；
丙说：“红桃A肯定不在甲手上”．
三个同学中只有一个说对了，则红桃A在（　　）的手上
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
【点拨】分别假设甲、乙、丙说的是真话，结合题意推论，得出结论．
【解析】解：假设甲说的是真话，则红桃A在甲手上，所以乙说的是真话，不合题意，
假设乙说的是真话，甲说的是假话，则丙说的是真话，不合题意，
假设丙说的是真话，则甲说的是假话，则乙说的就是假话了，符合题意，
所以红桃A在乙手上．
故选：B．
【点睛】本题考查的是推理与论证，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，BD1平分∠ABC，CD1平分△ABC的外角∠ACE，BD1，CD1相交于D1．
（1）若∠A＝96°，求出∠D1的度数；
（2）若∠A＝α，∠D1BC与∠D1CE的平分线相交于点D2，依此类推，∠Dn﹣1BC与∠Dn﹣1CE的平分线相交于点Dn，请直接写出∠Dn的度数．
【点拨】（1）根据角平分线定义得出∠ABC＝2∠DBC，∠ACE＝2∠DCE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ABC＝∠A+∠ABC，求出∠A＝2∠D，即可求出答案；
（2）根据（1）的过程可得出结论．
【解析】解：（1）∵BD平分∠ABC，CD1平分∠ACE，
∴∠ABC＝2∠D1BC，∠ACE＝2∠D1CE，
∵∠ACE＝2∠D1CE＝∠A+∠ABC，∠D1CE＝∠D1+∠D1BC，
∴2∠D1CE＝2∠D1+2∠D1BC，
∴∠ACE＝2∠D1+∠ABC，
∴2∠D1+∠ABC＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝2∠D1，
∵∠A＝96°，
∴∠D1＝∠A＝48°；
（2）由（1）的结论可知，∠D1＝∠A，
同理可得，∠D2＝∠A，
故∠Dn＝∠A．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
17．已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．
【点拨】根据三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角证明即可．
【解析】证明：∵∠1是△ABC的一个外角，
∴∠1＞∠3，
∵∠3是△DEC的一个外角，
∴∠3＞∠2，
∴∠1＞∠2．
【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
18.如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
【点拨】（1）根据三角形的外角性质求出∠ECD，根据角平分线的定义求出∠ACE，再根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，证明结论．
【解析】（1）解：∵∠B＝35°，∠E＝25°，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝85°；
（2）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE，
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19.如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2＝∠E，（①　两直线平行，内错角相等　）
∵AE平分∠BAD，
∴②　∠1＝∠2　．（角平分线的定义）
∴∠1＝∠E．（③　等量代换　）
∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴④　AB∥DC　．（⑤　同旁内角互补，两直线平行　）
∴∠1＝∠CFE．（两直线平行，同位角相等）
∴∠CFE＝∠E．（等量代换）
【点拨】根据平行线的性质和判定，可以将题目中空白部分补充完整．
【解析】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2＝∠E，（两直线平行，内错角相等）
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2．（角平分线的定义）
∴∠1＝∠E．（等量代换）
∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴AB∥DC．（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝∠CFE．（两直线平行，同位角相等）
∴∠CFE＝∠E．（等量代换）
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠1＝∠2；等量代换；AB∥DC；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.在下面的括号内，填上推理的根据．如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，∠EFG＝90°．求证FG⊥AB．
证明：∵∠AED＝∠C，
∴DE∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　）．
∴∠DEF＝∠EFC（ 　两直线平行，内错角相等　）．
∵∠DEF＝∠B，
∴∠EFC＝∠B．
∵∠EFC+∠EFB＝180°，
∴∠B+∠EFB＝180°（ 　等量代换　）．
∴DB∥EF（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．
∴∠AGF+∠EFG＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）．
∵∠EFG＝90°，
∴∠AGF＝90°．
∴FG⊥AB（ 　垂线的定义　）．
【点拨】由∠AED＝∠C判定DE∥BC，得到∠DEF＝∠EFC，利用等量代换得到∠B+∠EFB＝180°，推出DB∥EF，则有∠AGF+∠EFG＝180°，根据∠EFG＝90°，算出∠AGF＝90°，即可证明．
【解析】证明：∵∠AED＝∠C，
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠DEF＝∠EFC（两直线平行，内错角相等），
∵∠DEF＝∠B，
∴∠EFC＝∠B，
∵∠EFC+∠EFB＝180°，
∴∠B+∠EFB＝180°（等量代换），
∴DB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠AGF+∠EFG＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠EFG＝90°，
∴∠AGF＝90°，
∴FG⊥AB（垂线的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂线的定义．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键．
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21．如图，将一副三角尺按如图所示的方式放置，∠EAD＝∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°．给出下列结论：
①若∠2＝30°，则AC∥DE；
②若BC∥AD，则∠2＝30°；
③∠BAE+∠CAD＝180°；
④若∠CAD＝150°，则∠4＝∠C．
其中正确的结论的为 　①③④　．（填序号）
【点拨】根据平行线的判定与性质求解判断即可．
【解析】解：∵∠2＝30°，∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝60°，
又∠E＝60°，
∴∠1＝∠E，
∴AC∥DE，
故①正确，符合题意；
∵BC∥AD，
∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°．
∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°，
∴∠3＝45°，
∴∠2＝90°﹣45°＝45°，
故②不正确，不符合题意；
∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，
即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，
故③正确，符合题意；
∵∠D＝30°，∠CAD＝150°，
∴∠D+∠CAD＝180°，
∴AC∥DE，
∴∠4＝∠C，
故④正确，符合题意．
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
22.已知如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于I，根据下列条件分别求出∠BIC的度数；你能发现∠BIC与∠A的关系吗？并说明理由．
（1）变式一：如图2，点P是△ABC的中外两角∠DBC与∠ECB平分线的交点，试探索∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）变式二：如图3，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，试探索∠A与∠D的数量关系，并说明理由．
【点拨】（1）先根据三角形内角和定理得到∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB，则2∠BIC＝360°﹣2∠IBC﹣2∠ICB，再根据角平分线的定义得∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，则2∠BIC＝360°﹣∠ABC﹣∠ACB，易得∠BIC＝90°+∠A；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP＝（∠A+∠ABC）、∠PBC＝（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC＝90°﹣∠A；
（3）根据BD为∠ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝，∠D＝180°﹣∠DFC﹣∠FCD180°﹣∠DFC﹣（∠A+2∠ABF），两式联立可得2∠D＝∠A．
【解析】解：（1）∠BIC＝90°+∠A；
理由如下：
在△BIC中，
∵∠BIC＝180°﹣∠IBC﹣∠ICB，
∴2∠BIC＝360°﹣2∠IBC﹣2∠ICB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，
∴2∠BIC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴2∠BIC＝180°+∠A，
∴∠BIC＝90°+∠A；
（2）∠BPC＝90°﹣∠A．
理由如下：
∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP＝（∠A+∠ABC）、∠PBC＝（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC，
＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
＝180°﹣（∠A+180°），
＝90°﹣∠A；
（3）∠D＝∠A．
如图，
理由如下：
∵BD为∠ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝（∠A+2∠ABD），∠AFB＝∠DFC，
∵∠A＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF，
∴∠AFB+∠ABF＝180°﹣∠A﹣﹣﹣﹣①
又∵∠D＝180°﹣∠DFC﹣∠FCD＝180°﹣∠DFC﹣（∠A+2∠ABF），
即2∠D＝360°﹣2∠DFC﹣∠A﹣2∠ABF＝360°﹣2（∠DFC+∠ABF）﹣∠A﹣﹣﹣﹣②，
把①代入②得2∠D＝∠A，即∠D＝∠A．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，涉及到三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，结合图形，灵活运用基本知识解决问题．
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