1.4 全等三角形分层作业（含解析）

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1.4全等三角形 同步分层作业
基础过关
1．下列各组中的两个图形为全等形的是（　　）
A．两块三角尺 B．两枚硬币 C．两张A4纸 D．两片枫树叶
2．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC的对应边是（　　）
A．CD B．CA C．DA D．AB
3．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
4．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E是BD上一点，若△BAD≌△CED，AB＝10，AC＝14，则△CED的周长为（　　）
A．22 B．23 C．24 D．26
5．如图，若△ABC≌△DCB，则AB＝　 　，∠BCA＝　 　，AC＝　 　，∠A＝　 　，BC＝　 　．
6.△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝30°，则∠AMF的度数是 　 　°．
7．如图，△ABC≌△DEF，则x+y＝　 　．
8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC相交于点F．
（1）若AE＝2，BC＝3，求线段DE的长；
（2）若∠D＝35°，∠C＝50°，求∠AFD的度数．

9．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F．
（1）∠BAC＝　　，∠B＝　　，AB＝　　；
（2）若∠BCE＝65°，完善求∠CAF度数的解题过程．
∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝　 　，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴　 　．
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACF＝65°．
又∵　 　，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝　 　°．
10如图，△ABC≌△DEC，∠A：∠ABC：∠BCA＝3：5：10，
（1）求∠D的度数；
（2）求∠EBC的度数．
能力提升
11如图，若△ABC≌△ADE，点D在BC边上，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AB＝AD B．AC＝DE C．∠ADB＝∠ADE D．∠BAD＝∠CAE
12如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数等于（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
13如图，△ABC≌△AEF，则有结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
14如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝26°，∠CDB′＝94°，则∠C′的度数为 　 　．
15如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．
（1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长．
（2）求证：CE⊥AB．
16．如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝7，BC＝24，CE＝25．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积．
17.示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，点B，E，C三点在同一直线上，
（1）试说明：BD平分∠ABE；
（2）试说明：DE⊥BC；
（3）求∠C的度数．
培优拔尖
18．已知△ABC和△DEF全等，∠A＝40°，∠B＝50°，则∠D的度数为（　　）
A．40° B．50° C．90° D．40°或50°或90°
19如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°．
（1）求∠FAC的度数；
（2）AF平行于DC吗？说明理由；
（3）求∠BAC的度数．
20如图所示，点D，A，E在一条直线上，△ADC≌△AEB，点D和点E是对应顶点，∠BAC＝30°，∠D＝45°．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠BMC的度数．
21如图，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE与BD交于点F，试探究AE与BD有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由．
22.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
（1）如图（1），当t＝　　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
答案与解析
基础过关
1．下列各组中的两个图形为全等形的是（　　）
A．两块三角尺 B．两枚硬币 C．两张A4纸 D．两片枫树叶
【点拨】利用全等图形的定义解答即可．
【解析】解：A、两块三角尺不一定是全等形，故此选项不合题意；
B、两枚硬币不一定是全等形，故此选项不合题意；
C、两张A4纸是全等形，故此选项符合题意；
D、两片枫树叶不一定是全等形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．
2．如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，则BC的对应边是（　　）
A．CD B．CA C．DA D．AB
【点拨】根据全等三角形中对应角所对的边是对应边，可知BC＝DA．
【解析】解：∵△ABC≌△CDA，∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC与∠DCA是对应角，
∴BC与DA是对应边（对应角对的边是对应边）．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形中对应边的找法，要求学生要掌握．
3．如图，△ABC≌△DEF，点E、C、F、B在同一条直线上．下列结论正确的是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠DEF C．AC＝EF D．BF＝CE
【点拨】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等解答．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E，但∠B与∠D不一定相等，A选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠EFD，当∠ACB与∠DEF不一定相等，B选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，当AC与EF不一定相等，C选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，即BF＝CE，D选项结论正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E是BD上一点，若△BAD≌△CED，AB＝10，AC＝14，则△CED的周长为（　　）
A．22 B．23 C．24 D．26
【点拨】直接利用全等三角形的性质得出AB＝EC，AD＝ED，BD＝DC，进而得出答案．
【解析】解：∵△BAD≌△CED，
∴AB＝EC，AD＝ED，BD＝DC，
∵AB＝10，AC＝14，
∴AD+DC＝ED+DC＝14，
∴△CED的周长为：ED+DC+EC＝AC+EC＝10+14＝24．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应边相等是解题关键．
5．如图，若△ABC≌△DCB，则AB＝　DC　，∠BCA＝　∠CBD　，AC＝　DC　，∠A＝　∠D　，BC＝　CB　．
【点拨】根据全等三角形的性质求解即可．
【解析】解：∵△ABC≌△DCB，
∴AB＝DC，∠BCA＝∠CBD，AC＝DB，∠A＝∠D，BC＝CB，
故答案为：DC，∠CBD，DB，∠D，CB．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6.△ABC≌△DEF，点B、F、C、E在同一条直线上，AC、DF交于点M，∠ACB＝30°，则∠AMF的度数是 　60　°．
【点拨】根据全等三角形的性质得到∠DFE＝∠ACB＝30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝30°，
∵∠AMF是△MFC的一个外角，
∴∠AMF＝∠DFE+∠ACB＝60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
7．如图，△ABC≌△DEF，则x+y＝　9　．
【点拨】由全等三角形的性质，得到x＝5，y＝4，即可求出x+y的值．
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝FE＝5，DF＝AC＝4，
∴x＝5，y＝4，
∴x+y
＝5+4
＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
8．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB边上，DE与AC相交于点F．
（1）若AE＝2，BC＝3，求线段DE的长；
（2）若∠D＝35°，∠C＝50°，求∠AFD的度数．

【点拨】（1）由△ABC≌△DEB，得到BE＝BC＝3，DE＝AB，而AB＝AE+BE＝2+3，即可得到DE＝5；
（2）由△ABC≌△DEB，得到∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝50°，由三角形外角的性质得到∠AFD＝∠A+∠D+∠EBD＝35°+35°+50°＝120°．
【解析】解：（1）∵△ABC≌△DEB，
∴BE＝BC＝3，DE＝AB，
∵AB＝AE+BE＝2+3，
∴DE＝5；
（2）∵△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝35°，∠DBE＝∠C＝50°，
∵∠AFD＝∠A+∠AEF，∠AEF＝∠D+∠EBD，
∴∠AFD＝∠A+∠D+∠EBD＝35°+35°+50°＝120°．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等．
9．如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应点，点B和点E是对应点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F．
（1）∠BAC＝　∠EDC　，∠B＝　∠E　，AB＝　DE　；
（2）若∠BCE＝65°，完善求∠CAF度数的解题过程．
∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝　∠DCE　，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴　∠BCE＝∠ACD　．
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACF＝65°．
又∵　AF⊥CD　，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝　25　°．
【点拨】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解析】解：（1）∠BAC＝∠EDC，∠B＝∠E，AB＝DE，
故答案为：∠EDC，∠E，DE；
（2）∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACF＝65°．
又∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF＝25°，
故答案为：∠DCE，∠BCE＝∠ACD，AF⊥CD，25．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
10如图，△ABC≌△DEC，∠A：∠ABC：∠BCA＝3：5：10，
（1）求∠D的度数；
（2）求∠EBC的度数．
【点拨】（1）根据三角形内角和等于180°，再根据比值求出△ABC的各内角的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出∠D的度数；
（2）先根据全等三角形对应角相等求出∠E＝∠ABC＝50°，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．
【解析】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，∠A：∠ABC：∠BCA＝3：5：10，
∴∠A＝180°×＝30°，∠ABC＝180°×＝50°，∠BCA＝180°×＝100°，
又∵△ABC≌△DEC，
∴∠D＝∠A＝30°；
（2）∵△ABC≌△DEC，
∴∠E＝∠ABC＝50°，
∵∠BCA＝100°，
∴∠EBC＝∠BCA﹣∠E，
＝100°﹣50°＝50°．
【点睛】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
能力提升
11如图，若△ABC≌△ADE，点D在BC边上，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A．AB＝AD B．AC＝DE C．∠ADB＝∠ADE D．∠BAD＝∠CAE
【点拨】根据全等三角形的性质得出BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD＝∠CAE，再得出选项即可．
【解析】解：∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，
∴∠B＝∠ADB，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠ADB＝∠ADE，∠BAD＝∠CAE，
即选项A、选项C、选项D正确，选项B不一定正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
12如图，N，C，A三点在同一直线上，N，B，M三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM的度数等于（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【点拨】根据三角形的内角和定理求出∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，根据全等三角形的性质得出∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，求出∠NBC＝∠N＝50°，求出∠BCN的度数即可．
【解析】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝30°，∠BCA＝100°，∠ABC＝50°，
∵△MNC≌△ABC，
∴∠NCM＝∠ACB＝100°，∠N＝∠ABC＝50°，BC＝NC，
∴∠NBC＝∠N＝50°，
∴∠BCN＝180°﹣∠N﹣∠NBC＝80°，
∴∠BCM＝∠ACB﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
13如图，△ABC≌△AEF，则有结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确的结论为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①③
【点拨】根据已知找准对应关系，运用三角形全等的性质“全等三角形的对应角相等，对应边相等”求解即可．
【解析】解：∵△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，
∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，
∴∠EAB+∠BAF＝∠FAC+∠BAF，
即∠EAB＝∠FAC，
不能求出∠FAB＝∠EAB，
∴①、③、④正确，②错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质；做题时要运用三角形全等的基本性质，结合图形进行思考是十分必要的．
14如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝26°，∠CDB′＝94°，则∠C′的度数为 　34°　．
【点拨】根据对顶角相等求出∠ADB，根据三角形内角定理求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAC，进而求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可．
【解析】解：∵∠CDB′＝94°，
∴∠ADB＝∠CDB′＝94°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝60°，
∵AB′平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝120°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝34°，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C＝34°，
故答案为：34°．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
15如图所示，已知AD⊥BC于点D，△ABD≌△CFD．
（1）若BC＝10，AD＝7，求BD的长．
（2）求证：CE⊥AB．
【点拨】（1）根据全等三角形的性质可得AD＝CD＝7，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠ADB＝90°，从而可得∠B+∠BAD＝90°，然后利用全等三角形的性质可得∠BAD＝∠DCF，从而可得∠B+∠DCF＝90°，最后利用三角形内角和定理可得∠CEB＝90°，即可解答．
【解析】（1）解：∵△ABD≌△CFD，
∴AD＝CD＝7，
∵BC＝10，
∴BD＝BC﹣CD＝10﹣7＝3，
∴BD的长为3；
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
∴∠B+∠DCF＝90°，
∴∠CEB＝180°﹣（∠B+∠DCF）＝90°，
∴CE⊥AB．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
16．如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝7，BC＝24，CE＝25．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积．
【点拨】（1）根据全等三角形的对应边相等求出AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质求出∠ACE＝90°，根据等腰直角三角形的面积公式计算即可．
【解析】解：（1）∵△ABC≌△CDE，CE＝25，
∴AC＝CE＝25，
∵AB＝7，BC＝24，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝7+24+25＝56；
（2）∵∠B＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵△ABC≌△CDE，
∴∠ECD＝∠CAB，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∵AC＝CE＝25，
∴△ACE的面积＝×25×25＝．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
17.示，△ADB≌△EDB，△BDE≌△CDE，点B，E，C三点在同一直线上，
（1）试说明：BD平分∠ABE；
（2）试说明：DE⊥BC；
（3）求∠C的度数．
【点拨】（1）由△ADB≌△EDB即可得到结论；
（2）由△BDE≌△CDE即可得到结论；
（3）因为三个三角形为全等三角形，则对应边相等，从而得到∠C＝∠CBD＝∠DBA，再利用这三角之和为90°，求得∠C的度数．
【解析】（1）证明：△ADB≌△EDB，
∴∠ABD＝∠EBD，
∴BD平分∠ABE；
（2）证明：∵△BDE≌△CDE，
∴∠BED＝∠CED，
∵∠BED+∠CED＝180°，
∴∠BED＝∠CED＝90°，
DE⊥BC；
（3）解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴∠ADB＝∠EDB＝∠EDC，∠DEC＝∠DEB∠＝A，
又∵∠ADB+∠EDB+∠EDC＝180°，∠DEB+∠DEC＝180°
∴∠EDC＝60°，∠DEC＝90°，
在△DEC中，∠EDC＝60°，∠DEC＝90°
∴∠C＝30°．
【点睛】主要考查了角平分线的定义，垂直定义，“全等三角形对应角相等”，发现并利用∠DEC＝∠DEB∠＝90°是解决本题的关键．
培优拔尖
18．已知△ABC和△DEF全等，∠A＝40°，∠B＝50°，则∠D的度数为（　　）
A．40° B．50° C．90° D．40°或50°或90°
【点拨】先由三角形内角和定理求出∠C，再由全等三角形的性质得出对应角相等，分三种情况讨论，即可得出结果．
【解析】解：∵∠A＝40°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣40°﹣50°＝90°；
∵△ABC和△DEF全等，
∴对应角相等；
①当∠D与∠A是对应角时，∠D＝∠A＝40°；
②当∠D与∠B是对应角时，∠D＝∠B＝50°；
③当∠D与∠C是对应角时，∠D＝∠C＝90°；
综上所述：∠D的度数为40°或50°或90°；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC、BF交于E，∠FEC＝110°．
（1）求∠FAC的度数；
（2）AF平行于DC吗？说明理由；
（3）求∠BAC的度数．
【点拨】（1）由全等三角形的性质可知∠DAC＝∠FAB，然后证明∠DAB＝∠FAC即可；
（2）由DA∥BF可知∠DAF+∠F＝180°，由全等三角形的性质可知：∠D＝∠F，从而可得到∠DAF+∠D＝180°；
（3）由AF∥DC，可知∠F＝∠FEC＝110°，然后由DA∥BF可求得∠DAF＝70°，从而可求得∠BAC的度数．
【解析】解：（1）∵△ADC≌△AFB，
∴∠DAC＝∠FAB．
∴∠DAC﹣∠BAC＝∠FAB﹣∠BAC．
∴∠FAC＝∠DAB＝20°；
（2）∵DA∥BF，
∴∠DAF+∠F＝180°．
∵△ADC≌△AFB，
∴∠D＝∠F．
∴∠DAF+∠D＝180°．
∴AF∥DC．
（3）∵AF∥DC，
∴∠F＝∠FEC＝110°．
∵AD∥BF，
∴∠DAF+∠F＝180°．
∴∠DAF＝180°﹣110°＝70°．
∠BAC＝∠DAF﹣∠FAC﹣∠DAB＝70°﹣20°﹣20°＝30°．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质、平行线的性质和判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
20如图所示，点D，A，E在一条直线上，△ADC≌△AEB，点D和点E是对应顶点，∠BAC＝30°，∠D＝45°．
（1）求∠B的度数；
（2）求∠BMC的度数．
【点拨】（1）根据全等三角形的性质得到∠DAC＝∠EAB，∠E＝∠D＝45°，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积和定理以及对顶角的性质即可得到结论．
【解析】解：（1）∵△ADC≌△AEB，
∴∠DAC＝∠EAB，∠E＝∠D＝45°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠EAC＝75°，
∴∠BAE＝105°，
∴∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠E＝30°；
（2）∵∠D＝45°，∠DAM＝75°，
∴∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝60°，
∴∠BMC＝∠AMD＝60°．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
21如图，已知△ACE≌△BCD，AC⊥BC，AE与BD交于点F，试探究AE与BD有怎样的大小关系和位置关系，并说明理由．
【点拨】由全等可得∠A＝∠B，设AE与BC交于点G，由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，所以∠A+∠AGC＝90°，又由对顶角相等可得∠AGC＝∠BGF，则∠BGF+∠B＝90°，进而可得∠BFG＝90°，即AE⊥BD．
【解析】解：AE＝BD且AE⊥BD，理由如下：
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠A＝∠B，
设AE与BC交于点G，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A+∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠BGF，
∴∠BGF+∠B＝90°，
∴∠BFG＝90°，即AE⊥BD．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，垂直的定义和余角等相关知识，熟知相关知识是解题关键．
22.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．
（1）如图（1），当t＝　　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
【点拨】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；
（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．
【解析】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP＝BC＝cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+＝，
移动的时间为：÷3＝秒，
②当点P在BA上时，如图①﹣2
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD＝AB，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+＝cm，
移动的时间为：÷3＝秒，
故答案为：或；
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；
①当点P在AC上，如图②﹣1所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）＝cm/s，
②当点P在AB上，如图②﹣2所示：
此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）＝cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，
点Q的运动速度为cm/s或cm/s．
【点睛】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．
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