1.5 三角形全等的判定分层作业（含解析）

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1.5三角形全等的判定 同步分层作业
基础过关
1．如图中全等的三角形是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E．若 CD＝9cm，则点D到AB的距离是（　　）
A．9cm B．6cm C．4.5cm D．3cm
3．如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点A、B的距离，用合适的方法使BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，因此测得DE的长就是AB的长，在这里判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）

A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线．在证明△MOC≌△NOC时运用的判定定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．如图，△ABC和△BCD的边AC，BD相交于点O，∠ACB＝∠DBC．添加一个条件，使得△ABC≌△DCB．这个条件可以是 　 　.（填写所有符合要求的条件序号）
①AB＝DC；②∠ABC＝∠DCB；③∠A＝∠D；④AC＝BD．
6．如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AF＝DC，求证：△ABC≌△DEF．
7. 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．
8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，能否由AC＝DE，BE＝FC来证明：AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．
供选择的四个条件：①∠A＝∠D；②AB＝DF；③AB∥DF；④∠A＝∠D＝90°．
9．如图，已知AC平分∠DAB，E为AC上一点，AD＝AB，那么△CDE≌△CBE，为什么？
10.已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：
（1）△ABE≌△ACD；
（2）△BOD≌△COE．
能力提升
11．如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DE＝CD；②AD平分∠CDE；③∠BAC＝∠BDE；④BE+AC＝AB，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13.到三角形三个顶点的距离都相等的点是（　　）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
14.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG的周长为10，且GE＝1，则AC的长为 　 　．
15. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠ADB＝50°，∠DAC＝15°，求∠E的度数．
16.如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 　　cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
培优拔尖
17．如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为1，2，3，四个正方形的面积从左到右依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
18．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BDM长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④AB+BC＝2BF．其中正确的是 　 　（只填序号）
20．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有　 　处．
21．如图，在△AOC和△BOD中，OA＝OB，OC＝OD，OA∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论中：
①∠AMB＝36°，
②AC＝BD，
③若OB平分∠AOM，则△OEC≌△OMD，
④AO∥BD．
正确的结论有 　 　（填序号）
22．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的任一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图（1），当∠BAC＝90°时，求∠BCE的度数．
（2）如图（2），设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
24.已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：AC＝BD．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 　 　，∠APB的大小为 　 　.（直接写出结果，不证明）

25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H
（1）求∠APB度数；
（2）求证：△ABP≌△FBP；
（3）求证：AH+BD＝AB．
26.综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
答案与解析
基础过关
1．如图中全等的三角形是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
【点拨】根据全等三角形的判定定理得出只有①和③符合全等三角形的判定定理SAS，即两三角形全等．
【解析】解：①和③符合全等三角形的判定定理SAS，两三角形全等，而其它三角形不全等，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理是：SAS，ASA，AAS，SSS．
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥AB交AB于点E．若 CD＝9cm，则点D到AB的距离是（　　）
A．9cm B．6cm C．4.5cm D．3cm
【点拨】直接利用角平分线的性质解决问题．
【解析】解：∵∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝9cm，
即点D到AB的距离DE是9cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．如图，七1班同学要测量河两岸相对的两点A、B的距离，用合适的方法使BC＝CD，∠ABC＝∠EDC＝90°，因此测得DE的长就是AB的长，在这里判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【点拨】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解析】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：∠ABC＝∠EDC＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线．在证明△MOC≌△NOC时运用的判定定理是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【点拨】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解析】解：∵在△ONC和△OMC中，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC＝∠AOC，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
5．如图，△ABC和△BCD的边AC，BD相交于点O，∠ACB＝∠DBC．添加一个条件，使得△ABC≌△DCB．这个条件可以是 　②③④　.（填写所有符合要求的条件序号）
①AB＝DC；②∠ABC＝∠DCB；③∠A＝∠D；④AC＝BD．
【点拨】根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解析】解：由题意得：∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，
①当AB＝DC时，不能判定△ABC≌△DCB，故①不符合题意；
②当∠ABC＝∠DCB时，利用ASA可判定△ABC≌△DCB，故②符合题意；
③当∠A＝∠D时，利用AAS可判定△ABC≌△DCB，故③符合题意；
④当AC＝BD时，利用SAS可判定△ABC≌△DCB，故④符合题意；
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理并灵活运用．
6．如图，点F、C是AD上的两点，且BC∥EF，AB∥DE，AF＝DC，求证：△ABC≌△DEF．
【点拨】根据平行线的性质求出∠EFD＝∠BCA，∠A＝∠D，根据ASA推出两三角形全等即可．
【解析】证明：∵AF＝CD，
∴AC＝DF，
∵EF∥BC，
∴∠EFD＝∠BCA，
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7. 已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB．
【点拨】根据ASA证明△ABC≌△DCB即可．
【解析】证明：在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意BC是两个三角形的公共边．
8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，能否由AC＝DE，BE＝FC来证明：AC∥DE？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列四个条件中再选择一个合适的条件，使AC∥DE成立，并说明理由．
供选择的四个条件：①∠A＝∠D；②AB＝DF；③AB∥DF；④∠A＝∠D＝90°．
【点拨】只有FB＝CE，AC＝DF．不能证明AB∥ED；可添加：AB＝ED，可用SSS证明△ABC≌△DEF．
【解析】解：不能，选②，
∵BE＝FC，
∴BE+EC＝FC+EC，
即BC＝FE，
在△ABC与△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
∴AC∥DE．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，关键是掌握证明三角形全等的方法，以及全等三角形的性质定理．
9．如图，已知AC平分∠DAB，E为AC上一点，AD＝AB，那么△CDE≌△CBE，为什么？
【点拨】根据角平分线的定义可得∠BAC＝∠DAC，再利用“边角边”证明△ABC和△ADC全等，根据全等三角形对应边相等可得BC＝DC，全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠ACD，然后利用“边角边”证明即可．
【解析】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，
在△CDE和△CBE中，，
∴△CDE≌△CBE（SAS）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，本题难点在于二次证明三角形全等．
10.已知，如图，点D、E分别在AB、AC上，AD＝AE，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：
（1）△ABE≌△ACD；
（2）△BOD≌△COE．
【点拨】（1）因为∠A＝∠A，∠B＝∠C，AE＝AD，根据AAS定理推出△ABE≌△ACD．
（2）由（1）可知△ABE≌△ACD，证得AB＝AC，得出BD＝CE，然后根据AAS定理推出△BOD≌△COE．
【解析】证明：（1）在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，
∵AD＝AE，
∴BD＝CE，
在△BOD和△COE中，
，
∴△BOD≌△COE（AAS）．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等．
能力提升
11．如图，已知AO平分∠DAE，AD＝AE，AB＝AC，图中全等三角形有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【点拨】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以写出图中的全等三角形，本题得以解决．
【解析】解：∵AO平分∠DAE，
∴∠1＝∠2，
在△AOD和△AOE中，
，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
∴∠D＝∠E，OD＝OE；
在△AOC和△AOB中，
，
△AOC≌△AOB（SAS）；
在△COD和△BOE中，
，
∴△COD≌△BOE（ASA）；
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）；
由上可得，图中全等三角形有4对，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DE＝CD；②AD平分∠CDE；③∠BAC＝∠BDE；④BE+AC＝AB，其中正确的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】①根据角平分线的性质得出结论：DE＝CD；
②证明△ACD≌△AED，得AD平分∠CDE；
③由四边形的内角和为360°得∠CDE+∠BAC＝180°，再由平角的定义可得结论是正确的；
④由△ACD≌△AED得AC＝AE，再由AB＝AE+BE，得出结论是正确的．
【解析】解：①∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝CD；
所以此选项结论正确；
②∵DE＝CD，AD＝AD，∠ACD＝∠AED＝90°，
∴△ACD≌△AED，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AD平分∠CDE，
所以此选项结论正确；
③∵∠ACD＝∠AED＝90°，
∴∠CDE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BDE+∠CDE＝180°，
∴∠BAC＝∠BDE，
所以此选项结论正确；
④∵△ACD≌△AED，
∴AC＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴BE+AC＝AB，
所以此选项结论正确；
本题正确的结论有4个，故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，同时运用角平分线的性质得出两条垂线段相等；本题难度不大，关键是根据HL证明两直角三角形全等，根据等量代换得出线段的和，并结合四边形的内角和与平角的定义得出角的关系．
13.到三角形三个顶点的距离都相等的点是（　　）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
【点拨】根据线段垂直分线的性质解答即可．
【解析】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，
∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
14.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC边和AC边交于点F和点G，若△BEG的周长为10，且GE＝1，则AC的长为 　8　．
【点拨】利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
【解析】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为10，
∴EB+GB+EG＝10，
∴EA+GC+EG＝10，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝10，
∴AC+2EG＝10，
∵EG＝1，
∴AC＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15. 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1＝∠2＝∠3，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）若∠ADB＝50°，∠DAC＝15°，求∠E的度数．
【点拨】（1）证∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，再由ASA证明△ABC≌△ADE即可；
（2）由全等三角形的性质得∠C＝∠E，再由三角形的外角性质得∠C＝∠ADB﹣∠DAC＝35°，即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAF＝∠2+∠DAF，
即∠BAC＝∠DAE，
∵∠ADC＝∠ADE+∠3＝∠B+∠1，∠1＝∠3，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：由（1）可知，△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝50°，∠DAC＝15°，
∴∠C＝∠ADB﹣∠DAC＝50°﹣15°＝35°，
∴∠E＝35°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 　8　cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
【点拨】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可；
（3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可．
【解析】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）∵△CBD≌△CAE，
∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），
故答案为：8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，
∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO＝∠CEO，
∵∠AOD＝∠COE，
∴∠OAD＝∠OCE＝90°，
∴AE⊥BD．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答．
培优拔尖
17．如图，在直线l上依次摆放着四个正方形和三个等腰直角三角形，已知这三个等腰直角三角形的直角边长从左到右依次为1，2，3，四个正方形的面积从左到右依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4的值为（　　）
A．10 B．8 C．6 D．4
【点拨】将已知的等腰直角三角形翻折得到时故正方形如图所示，运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
【解析】解：观察发现，
∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，
即S1+S2＝2，
同理S3+S4＝9．
则S1+S2+S3+S4＝2+9＝11．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，运用了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．注意发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积．
18．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BDM长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD＝180°；③AD＝AE＝EC；④AB+BC＝2BF．其中正确的是 　①②④　（只填序号）
【点拨】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE＝∠BDA，AD＝EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得∠DAE＝∠DCE，即AD＝AE＝EC，可得③错误、④正确．
【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），
∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA，
∵△ABD≌△EBC，
∴∠BCE＝∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°，
∴②正确；
③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不直于BC，
∴EF≠EC，
∴③错误；
④由③知AD＝AE＝EC，
∴④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．
20．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有　4　处．
【点拨】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等作出图形即可得解．
【解析】解：如图所示，加油站站的地址有四处，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
21．如图，在△AOC和△BOD中，OA＝OB，OC＝OD，OA∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．则在下列结论中：
①∠AMB＝36°，
②AC＝BD，
③若OB平分∠AOM，则△OEC≌△OMD，
④AO∥BD．
正确的结论有 　①②④　（填序号）
【点拨】先证明△OAC≌△OBD，所以∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，则可对②进行判断；利用三角形内角和得到∠AMB＝∠AOB＝36°，则可对①进行判断，利用邻补角的定义可对④进行判断；过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，根据全等三角形的性质得到OE＝OF，则根据角平分线的性质定理的逆定理得到MO平分∠AMD，然后根据三角形内角和可判断∠AOM≠∠DOM，于是可对③进行判断．
【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠BOC+∠COD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△OAC和△OBD中，
在△OAC和△OBD中，
，
∴△OAC≌△OBD（SAS），
∴∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，所以②正确；
∵∠AOB+∠OAC+∠1＝∠AMB+∠OBD+∠2，
而∠1＝∠2，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，所以①正确；
∴∠AMD＝180°﹣∠AMB＝180°﹣36°＝144°，所以④正确；
过O点作OE⊥AC于E，OF⊥BD于F，如图，
∵△OAC≌△OBD，
∴OE＝OF，
∴MO平分∠AMD，
而∠OAM≠ODM，
∴∠AOM≠∠DOM，所以③错误．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．证明△OAC与△OBD全等是解决问题的关键．
22．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．
【点拨】（1）根据∠BCH＝∠HBC＝45°可得HC＝HB；
（2）利用SAS证明△AHC≌△DHB，得BD＝AC，∠1＝∠2，从而说明BD与AC垂直且相等；
（3）过点H作HF⊥HE交BE于点F，利用ASA证明△CHE≌△BHF，得EH＝FH，即可证明结论．
【解析】（1）证明：∵CH⊥AB，∠ABC＝45°，
∴∠BCH＝180°﹣（∠CHB+∠HBC）＝45°，
∴∠BCH＝∠HBC，
∴HC＝HB；
（2）解：BD＝AC；BD⊥AC；证明如下：
如图，
在△AHC和△DHB中，
∴△AHC≌△DHB（SAS），
∴BD＝AC，∠1＝∠2，
∵∠CDE＝∠BDH，
∴∠AEB＝∠BHC＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）证明：过点H作HF⊥HE交BE于点F，
∴∠FHE＝90°，
即∠4+∠5＝90°．
又∵∠3+∠4＝∠BHC＝90°，
∴∠5＝∠3，
在△CHE和△BHF中，
∴△CHE≌△BHF（ASA），
∴EH＝FH，
又∵∠FHE＝90°，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC上的任一点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图（1），当∠BAC＝90°时，求∠BCE的度数．
（2）如图（2），设∠BAC＝α，∠BCE＝β．当点D在线段BC上移动时，α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【点拨】（1）问要求∠BCE的度数，可将它转化成与已知角有关的联系，根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△ABD≌△ACE，再根据全等三角形中对应角相等，最后根据直角三角形的性质可得出结论；
（2）问在第（1）问的基础上，将α+β转化成三角形的内角和．
【解析】解：（1）90°．
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
又∵∠BAC＝90°
∴∠BCE＝90°；
（2）α+β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠EAC+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．
∴∠B+∠ACB＝β，
∵α+∠B+∠ACB＝180°，
∴α+β＝180°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，涉及到三角形全等的判定，以及全等三角形的性质；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键．
24.已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．
（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：AC＝BD．
（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为 　AC＝BD　，∠APB的大小为 　α　.（直接写出结果，不证明）

【点拨】（1）由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC＝BD；
（2）由“SAS”可证△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，即可求解．
【解析】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，
∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，
∴∠OAC+α＝∠OBD+∠APB，
∴∠APB＝α，
故答案为：AC＝BD，α．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H
（1）求∠APB度数；
（2）求证：△ABP≌△FBP；
（3）求证：AH+BD＝AB．
【点拨】（1）根据角平分线性质可得∠PAB+∠PBA＝45°，即可解题；
（2）易得∠DPB＝45°，可得∠BPF＝135°，即可证明△ABP≌△FBP；
（3）由（2）结论可得∠F＝∠BAD，AP＝PF，AB＝BF，即可求得∠F＝∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH＝DF，即可解题．
【解析】解：（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°＝135°；
（2）∵∠APB＝135°，
∴∠DPB＝45°，
∵PF⊥AD，
∴∠BPF＝135°，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA）；
（3）∵△ABP≌△FBP，
∴∠F＝∠BAD，AP＝PF，AB＝BF，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠F＝∠CAD，
在△APH和△FPD中，
，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴AH＝DF，
∵BF＝DF+BD，
∴AB＝AH+BD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABP≌△FBP和△APH≌△FPD是解题的关键．
26.综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【点拨】（1）根据SAS证明△ACP和△BPQ全等，进而解答即可；
（2）根据全等三角形的性质得出方程解答即可．
【解析】解：（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACP和△BPQ全等解答，解决此题的是注意分类讨论．
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