2.2 等腰三角形分层作业（含解析）

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2.2等腰三角形 同步分层作业
基础过关
1．若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
2．已知等腰三角形的三边长分别2，5，x，则x的值是（　　）
A．2 B．5 C．2或5 D．3或5
3．等腰三角形的周长为11cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．4cm B．3.5cm C．4cm或3.5cm D．3cm
4．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
5．等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（　　）
A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定
6．等腰三角形的周长为18cm，如果一边长为4cm，则它的腰长为　 　．
7．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
8．等腰三角形的一边长为24cm，腰长是底边长的2倍，求此三角形的周长．
9．求解
（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
（2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求
△ABC各边长．
题组B 能力提升练
10．已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为9cm和15cm两部分，则它的腰长为（　　）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．不确定
11．已知等腰三角形的三边x、y、z满足，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
12．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“3倍边等腰三角形”，且周长为35cm，那么该等腰三角形的底边长为 　　cm．
13．某等腰三角形的周长是21cm，一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，该三角形的腰长是 　　cm．
14．已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长3cm，那么这个三角形的腰长为　 　cm．
15．一个等腰三角形的周长是12cm，且底边、腰长相差3cm，求这个三角形的各边长．
题组C 培优拔尖练
16．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　）
A． B． C．或2 D．或
17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰△ABC是“3倍长三角形”，底边BC的长为3，则等腰△ABC的周长为 　　．
18．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　　条．
19．已知等腰三角形的三边长a＝5x﹣1，b＝6﹣x，c＝4，求x的值．
20．已知，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的高．
操作发现
（1）如图1，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．请直接写出DE+DF和AD的数量关系；
（2）如图2，若点P为AD上任意一点（不与A，D重合），过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F．判断PD+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由；
拓广探索
（3）如图3，点P为等边三角形ABC内任意一点，过点P作PH⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为H，E，F，探究PH+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由．
21.在△ABC中，AB＝AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长．
答案与解析
基础过关
1．若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm
【思路点拨】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为3cm，只能为6cm，然后即可求得等腰三角形的周长．
【解析】解：①6cm为腰，3cm为底，此时周长为6+6+3＝15cm；
②6cm为底，3cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是15cm．
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
2．已知等腰三角形的三边长分别2，5，x，则x的值是（　　）
A．2 B．5 C．2或5 D．3或5
【思路点拨】分两种情况求解后利用三角形的三边关系验证．
【解析】解：当x＝2时，2+2＜5，不能构成三角形，不合题意；
当x＝5时，2+5＞5，能构成等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是分类讨论．
3．等腰三角形的周长为11cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（　　）
A．4cm B．3.5cm C．4cm或3.5cm D．3cm
【思路点拨】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时．
【解析】解：分情况考虑：当4cm是腰时，则底边长是11﹣2×4＝3（cm），此时4cm，4cm，3cm能组成三角形，此时腰长是4cm．
当4cm是底边时，腰长是（11﹣4）×＝3.5（cm），4cm，3.5cm，3.5cm能够组成三角形．此时腰长是3.5cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4．已知实数x，y满足|x﹣4|+（y﹣8）2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
【思路点拨】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解析】解：根据题意得，x﹣4＝0，y﹣8＝0，
解得x＝4，y＝8，
①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、8，
∵4+4＝8，
∴不能组成三角形；
②4是底边时，三角形的三边分别为4、8、8，
能组成三角形，周长＝4+8+8＝20．
所以，三角形的周长为20．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
5．等腰三角形的周长是20cm，一边是另一边的两倍，则底边长（　　）
A．10cm或4cm B．10cm C．4cm D．无法确定
【思路点拨】根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm，根据周长是20cm，求出x的值即可；
【解析】解：根据题意设底边长xcm，则腰长为2xcm．
x+2x+2x＝20，
解得 x＝4
故底边长为4cm，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；验证是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．等腰三角形的周长为18cm，如果一边长为4cm，则它的腰长为　7cm　．
【思路点拨】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4cm为腰或者4cm底边时．
【解析】解：分情况考虑：当腰长4cm时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；
当底边长是4cm时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7cm．
故答案为：7cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．用一条长为18cm细绳围成一个等腰三角形．
（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长为4cm的等腰三角形吗？为什么？
【思路点拨】（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得各边的长；
（2）题中没有指明4cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解析】解：（1）设底边长为xcm，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为2xcm，
∴2x+2x+x＝18，解得，x＝cm，
∴2x＝2×＝cm，
∴各边长为：cm，cm，cm．
（2）①当4cm为底时，腰长＝＝7cm；
②当4cm为腰时，底边＝18﹣4﹣4＝10cm，
∵4+4＜10，
∴不能构成三角形，故舍去；
∴能构成有一边长为4cm的等腰三角形，另两边长为7cm，7cm．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形的三边关系，在解答此类题目时要注意分类讨论，不要漏解．
8．等腰三角形的一边长为24cm，腰长是底边长的2倍，求此三角形的周长．
【思路点拨】因为等腰三角形的一边长为24，但没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要利用三边关系验证能否组成三角形．
【解析】解：∵等腰三角形一边长为24cm，且腰长是底边长的2，
①如果腰长为24cm，则底边为12cm，
等腰三角形的三边为24、24、12，能构成三角形，
∴C△＝24+24+12＝60cm；
②如果底长为24cm，则腰长为48cm，
等腰三角形的三边为24、48、48，能构成三角形，
∴C△＝24+48+48＝120cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
9．求解
（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？
（2）在等腰三角形ABC中，AB＝AC，周长为14cm，BD是AC边上的中线，△ABD比△BCD周长长4cm，求
△ABC各边长．
【思路点拨】（1）根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，再根据周长的定义即可求解；
（2）结合图形两腰长的差就是腰长与底边的差，与周长为14cm联立解方程组即可求解．
【解析】解：（1）根据三角形的三边关系得：7﹣4＜第三边的长＜7+4，即3＜第三边的长＜11，
设这个三角形的周长为Ccm，
则4+7+3＜C＜4+7+11，即14＜C＜22．
故这个三角形的周长的取值范围是大于14cm小于22cm；
（2）如图，根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，
∵△ABD比△BCD周长长4cm，
∴AB﹣BC＝4，
又因为2AB+BC＝14，
联立方程组并求解得：AB＝6，BC＝2，
故△ABC各边长AB＝6cm，AC＝6cm，BC＝2cm．
【点睛】（1）考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
（2）考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，注意运用三角形三边关系对三角形的组成情况作出判断，这是解题的关键．
题组B 能力提升练
10．已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为9cm和15cm两部分，则它的腰长为（　　）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．不确定
【思路点拨】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：x+x＝9或x+x＝15．
【解析】解：设三角形的腰为xcm，如图：
△ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线，
则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况：
（1）x+x＝9，
解得x＝6，
∵三角形的周长为9+15＝24（cm），
∴三边长分别为6cm，6cm，12cm，
∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系，
∴舍去；
（2）x+x＝15，
解得x＝10，
∵三角形的周长为24cm，
∴三边长分别为10cm，10cm，4cm．
综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm．
故选：B．
【点睛】主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．最后要注意利用三边关系进行验证．
11．已知等腰三角形的三边x、y、z满足，则a的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．2或4
【思路点拨】根据绝对值、二次根式、平方的非负性计算出x、y、z的值，然后根据等腰三角形的定义计算即可．
【解析】解：∵，
且（x﹣4）2≥0，，|z﹣a|≥0，
∴x﹣4＝0，y﹣2＝0，z﹣a＝0，
∴x＝4，y＝2，z＝a，
∵三角形为等腰三角形，
∴a＝4或a＝2，
当a＝2时，2+2＝4，不能构成三角形，
∴a＝4，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，以及绝对值、二次根式、平方的非负性、构成三角形的条件等知识点，绝对值、二次根式、平方的非负性的准确应用是解题关键．
12．若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“3倍边等腰三角形”，且周长为35cm，那么该等腰三角形的底边长为 　5　cm．
【思路点拨】若腰长是底边长的3倍，设底边长为xcm，则腰长为3xcm，则可得关于x的方程，求解即可．若底边长是腰长的3倍，则两腰长之和小于底边长，三角形不成立．
【解析】解：若腰长是底边长的3倍，设底边长为xcm，则腰长为3xcm，则可得
3x+3x+x＝35，
解得x＝5，
所以底边长为5cm．
若底边长是腰长的3倍，则两腰长之和小于底边长，三角形不成立．
故答案为：5．
【点睛】此题主要是考查了等腰三角形的性质，能够利用三角形的三边关系判断三角形是否成立是解题的关键．
13．某等腰三角形的周长是21cm，一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm，该三角形的腰长是 　8或6．　cm．
【思路点拨】先设等腰三角形的腰长是x，底边长是y，根据一腰上的中线把周长分成的两部分差为3，可得两种情况，①x﹣y＝3；②y﹣x＝3，分别与2x+y＝21组成方程组，解方程组即可得出三角形的腰长．
【解析】解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边长是ycm，
根据题意得或，
解得或，
∵8、8、5与6、6、9都能组成三角形，
∴该三角形的腰长为8cm或6cm．
故答案是8或6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、解二元一次方程组、三角形三边的关系．进行分类讨论是解题的关键．
14．已知等腰三角形的底边长为8cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长3cm，那么这个三角形的腰长为　11cm或5　cm．
【思路点拨】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长3cm，即可列方程求解．
【解析】解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm．
当AD+AC与BC+BD的差是3cm时，即x+x﹣（x+8）＝3，
解得：x＝11，
11，11，8能够组成三角形；
当BC+BD与AD+AC的差是3cm时，即8+x﹣（x+x）＝3，
解得：x＝5，
5，5，8能组成三角形．
故这个三角形的腰长为11cm或5cm．
故答案为：11cm或5cm．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系．
15．一个等腰三角形的周长是12cm，且底边、腰长相差3cm，求这个三角形的各边长．
【思路点拨】设这个等腰三角形的底边为xcm，腰长为ycm，根据周长是12cm，且底边、腰长相差3cm列出方程组，求解即可．
【解析】解：设这个等腰三角形的底边为xcm，腰长为ycm，
根据题意得，
解得，3+3＝6，不能构成三角形，舍去；
或，
解得，2+5＞5，能构成三角形．
故这个三角形的各边长分别是2cm，5cm，5cm．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解方程组是解答本题的难点．
题组C 培优拔尖练
16．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则它的“优美比”为（　　）
A． B． C．或2 D．或
【思路点拨】分两种情况：当等腰三角形的腰长为8时；当等腰三角形的底边长为8时；然后分别进行计算即可解答．
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的底边长＝20﹣8﹣8＝4，
∴它的“优美比”＝＝；
当等腰三角形的底边长为8时，
∵等腰△ABC的周长为20，
∴它的腰长＝×（20﹣8）＝6，
∴它的“优美比”＝＝；
综上所述：它的“优美比”为或，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
17．定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“3倍长三角形”．若等腰△ABC是“3倍长三角形”，底边BC的长为3，则等腰△ABC的周长为 　21　．
【思路点拨】由等腰△ABC是“3倍长三角形”，可知AB＝3BC或BC＝3AB，若AB＝3BC＝9，可得AB的长为9；若BC＝3AB＝3，因为1+1＜3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；再根据周长的多余即可得答案．
【解析】解：∵等腰△ABC是“3倍长三角形”，
∴AB＝3BC或BC＝3AB，
若AB＝3BC＝9，则△ABC三边分别是9、9、3，符合题意，
等腰三角形ABC的周长为9+9+3＝21；
若BC＝3AB＝3，则AB＝1，△ABC三边分别是1、1、3，
∵1+1＜3，
∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；
综上所述，等腰三角形ABC的周长为21．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，读懂题意，理解“3倍长三角形”是解本题的关键．
18．已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画　4　条．
【思路点拨】根据等腰三角形的性质，利用4作为腰或底边长，得出符合题意的图形即可．
【解析】解：如图所示：
当AC＝CD，AB＝BG，AF＝CF，AE＝BE时，都能得到符合题意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分别为分割线）．
故这样的直线最多可画4条．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．
19．已知等腰三角形的三边长a＝5x﹣1，b＝6﹣x，c＝4，求x的值．
【思路点拨】分三种情况求解后利用三角形的三边关系验证．
【解析】解：若a＝b，则5x﹣1＝6﹣x，
得x＝，
三边长分别为，，4，符合三角形三边关系；
若a＝c，则5x﹣1＝4，
得x＝1，
三角形的三边长为4，5，4，符合三角形三边关系；
若b＝c，则6﹣x＝4，
得x＝2，
三角形的三边长为9，4，4，不构成三角形；
综上所述，符合要求的x值为或1；
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是分类讨论．
20．已知，在等边三角形ABC中，AD为BC边上的高．
操作发现
（1）如图1，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．请直接写出DE+DF和AD的数量关系；
（2）如图2，若点P为AD上任意一点（不与A，D重合），过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F．判断PD+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由；
拓广探索
（3）如图3，点P为等边三角形ABC内任意一点，过点P作PH⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为H，E，F，探究PH+PE+PF和AD的数量关系，并说明理由．
【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质、三角形的面积公式计算；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝30°，根据含30°的直角三角形的性质解答；
（2）连接PA，PB，PC，根据三角形的面积公式计算．
【解析】解：（1）∵△BAC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
S△ABC＝×BC×AD＝×AB×DE+×AC×DF，
∴DE+DF＝AD；
（2）PD+PE+PF＝AD
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD为BC边上的高，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝AP，PF＝AP，
∴PD+PE+PF＝PD+AP＝AD；
（3）PH+PE+PF＝AD
理由如下：连接PA，PB，PC，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AB＝AC，
∵AD为BC边上的高，
∴S△ABC＝×BC×AD，
∵PH⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为H，E，F，
∴S△ABC＝S△BCP+S△ABP+S△APC＝×AB×PE+×AC×PF+×BC×PH＝×BC×（PE+PF+PH），
∴×BC×AD＝×BC×（PE+PF+PH），
∴PH+PE+PF＝AD．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的面积计算，掌握等边三角形的三边相等、三角形的面积公式是解题的关键．
21.在△ABC中，AB＝AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长．
【思路点拨】由于△ABD与△BCD面积相等，根据等高的三角形的面积比等于底边比，可得AD＝DC；然后再根据题中的已知条件△ABC的周长为20cm，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，可求出结果．
【解析】解：本题分两种情况：
（1）当△ABC为锐角三角形时，
过P点作BE⊥AC，
∵S△ABD＝S△ABD＝AD BE＝CD BE，
∴CD＝AD，
又∵△ABD与△BCD周长差为3cm，
∴（AB+BD+AD）﹣（BD+BC+CD）＝3cm，
∴AB﹣BC＝3cm…①，
又△ABC的周长为20cm，且AB＝AC，
∴2AB+BC＝20cm…②，
由①②可得：
AB＝AC＝cm，BC＝cm；
（2）当△ABC为钝角三角形时，
同上可知BC﹣AB＝3cm…③，
2AB+BC＝20cm…④，
由③④可得：BC＝cm，AB＝AC＝cm．
由（1）（2）可知：
△ABC三边长分别为cm，cm，cm或cm，cm，cm．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等高的三角形的面积比等于底边的比，三角形的周长公式．分类讨论及辅助线的作出是正确解答本题的关键．
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