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专题3.5 实数 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·吉林松原· 七年级期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根、立方根的定义对选项逐一计算分析即可．
【详解】解：A选项，，原计算错误，该选项不符合题意；
B选项，，正确，该选项符合题意；
C选项，，原计算错误，该选项不符合题意；
D选项，，原计算错误，该选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义以及它们最基本的运算，熟练理解这些概念是解决本题的关键；需要特别注意的是：负数没有平方根和算术平方根，正数有两个平方根，正数有一个算术平方根，负数的立方根还是负数．
2．（2022·河南·七年级期中）2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（ ）
A．圆周率是一个大于3而小于4的无理数 B．圆周率是一个近似数
C．圆周率是一个与圆的大小无关的常数 D．圆周率等于该圆的周长与直径的比值
【答案】B
【分析】根据实数的分类和π的特点进行解答即可得出答案．
【详解】解：A、圆周率是一个大于3而小于4的无理数，是真命题；
B、圆周率是一个无理数，原命题是假命题；
C、圆周率是一个与圆的大小无关的常数，是真命题；
D、圆周率等于该圆的周长与直径的比值，是真命题；故选：B．
【点睛】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“π”的意义是解题的关键．
3．（2022·河北衡水·七年级期末）一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.
【详解】根据题意，平方根为a是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是，故此题选择D.
【点睛】此题考察平方根定义，这里准确确定被开方数是解题关键.
4．（2022·山东泰安·七年级期中）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的时，输出的等于（ ）
A．2 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】】将x=64代入程序进行计算即可．
【详解】解：当x=64时，是有理数，继续计算，
将x=8代入得是无理数，输出 故选：C．
【点睛】本题主要考查的是算术平方根的定义、无理数的定义，依据程序进行计算是解题的关键．
5．（2022·山东临沂· 七年级期末）若，，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位的规律进行求解．
【详解】被开立方数的小数点向右移动3位，则其立方根的小数点向右移动1位，
，故选：B．
【点睛】本题考查了开立方运算中规律问题的解决能力，解题关键是能准确理解运用相关的规律．
6．（2022·河南新乡·七年级期末）若、为实数，且满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由，可得再求解a，b的值，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴ 解得： ∴ 故选C.
【点睛】本题考查的是绝对值与算术平方根的非负性，掌握“非负数的性质”是解本题的关键．
7．（2022·广西河池·七年级期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，根据各点的位置，所表示的数与最接近的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【分析】先确定的范围，再求出5-的范围，根据数轴上点的位置得出即可．
【详解】解：∵9＜10＜12.25，∴3＜＜3.5，
∴-3.5＜ ＜-3，∴1.5＜5-＜2，
设点A、B、C、D表示的数为：a、b、c、d，
由数轴可知：-2
∴数与最接近的点是点D， 故选：D．
【点睛】本题考查了数轴和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出5-的范围．
8．（2022·平泉市七年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
【答案】D
【分析】观察图形，大正方形的面积等于小正方形的面积，小正方形的面积为1，根据面积相等求得大正方形的边长即可．
【详解】大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1大正方形的面积等于2，
设大正方形的边长为，则．故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，正方形的面积，根据面积相等求解是解题的关键．
9．（2022·湖北武汉·七年级期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（ ）次操作后变为1．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据程序图一步一步计算即可得出答案．
【详解】解：第一次，[]＝[]＝[25]＝25，第二次，[]＝[]＝[5]＝5，
第三次，[]＝[]＝2，第四次，[]＝[]＝1，故选：A．
【点睛】本题考查了新定义的运算、算术平方根、无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
10．（2022·山东烟台·七年级期末）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根．下列结论中正确的是（ ）
A．81的4次方根是3 B．当n为奇数时，的n次方根随n的增大而增大
C．32的5次方根是 D．当n为奇数时，5的n次方根随n的增大而增大
【答案】B
【分析】利用方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：∵81的4次方根是±3，∴A选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，-5的n次方根随n的增大而增大，∴B选项的结论正确；
∵32的5次方根是2，∴C选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，5的n次方根n的增大而减小，∴D选项的结论不正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了新定义的方根的意义与性质，明确一个正数的偶次方根由两个是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东滨州·七年级期末）计算：＝_____．
【答案】
【分析】先计算乘方，算术平方根，立方根和绝对值，再计算加减法．
【详解】解：=1-==．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，正确掌握实数混合运算的法则及运算顺序是解题的关键．
12．（2022·山东德州·七年级期中）的算术平方根为 _____；比较大小：_____6（用“＞”，“＜”或“＝”连接）．
【答案】 ，
【分析】先求出＝6，再根据得，即可得出答案．
【详解】解：∵，∴的算术平方根为，
∵，∴即，故答案为：，＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较法则的应用，熟记算术平方的概念是解题的关键．
13．（2022·江苏 七年级）若y＝﹣+6x，则的值为 _____．
【答案】
【分析】根据被开方数非负性即可求出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】∵y＝﹣+6x，
∴，解得∴
∴故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性以及求一个数的算术平方根，熟记被开方数非负性是解题关键．
14．（2022·北京市第十三中学分校七年级期中）若是整数．写出一个符合条件的整数n的值______．
【答案】5（不唯一）
【分析】设20n是一个平方数，则5n是一个平方数，进而推出n的值．
【详解】设（a是正整数），则,
∴，∴5n是一个平方数，
∴n=5，20，45，…，（m是正整数）．
取n=5．故答案为，5（不唯一）．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是能熟知一些数的平方数．
15．（2022·山东菏泽·七年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
【答案】
【分析】根据“两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数”可得的最小值．
【详解】解∶∵如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号，∴即，当且仅当时，等号成立，
∴y的最小值为．故答案为∶．
【点睛】本题考查新定义以及算术平均数与几何平均数之间的关系，正确理解新定义与性质是解题的关键．
16．（2022·河北石家庄·七年级期末）的小数部分为a，的小数部分为b，则______．
【答案】1
【分析】根据 得到和的范围，再减去整数部分即可得到小数部分，带入解答即可．
【详解】，
的小数部分
∴的小数部分为
∴
故答案为：1．
【点睛】本题考查根式的估算与实数的整数部分和小数部分的求法，属于中等题．
17．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期中）若，则___________．
【答案】或或
【分析】根据立方根定义计算即可．
【详解】解：由，得，
或或，
或 或，
经检验：或 或 符合题意．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
18.（2022·湖北十堰·七年级期中）将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
【答案】
【分析】根据所给数据排列的顺序，找出规律即可解答．
【详解】解：根据题意知：第2行，第1列的数为：
第3行，第2列的数为： 第4行，第3列的数为：
第5行，第4列的数为：…故第n行，第列的数为：
当n为偶数时，为 当n为奇数时，为
故当n=101时，第101行第100列是 故答案为：
【点睛】本题考查了数字类规律问题，根据题意找出规律是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南信阳· 七年级期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答．
（1）解：
=
=
=；
（2）解：
=
=；
【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地化简各式是解题的关键．
20．（2022·河南许昌·七年级期中）（1）已知和是某个正数a的平方根，求实数x和a的值；
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】（1）当时，；当时，；（2）
【分析】（1）根据平方根的概念得到或，解方程求出x的值，然后代入即可求出a的值；
（2）首先根据a，b在数轴上的位置得到，，，然后化简求解即可．
【详解】解：（1）和是正数a的平方根，
或，
或2．
当时，，；
当时，，．
（2）由图可知，，，，
所以，，，
所以．
【点睛】此题考查了平方根和立方根的概念，有理数在数轴上的表示，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
21．（2022·江苏七年级阶段练习）求下列各式中的x：
(1)； (2) (3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（2）先两边同时除以8，可得，两边开立方，即可求解；
（3）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（4）先移项，可得，两边开立方，即可求解．
(1)解：，
∴，即，
∴；
(2)解：
∴，
∴，
解得：；
(3)解：
∴，即，
解得：
(4)解：
∴，即，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
22．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．
(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝－6
(2)5a 3b+8的算术平方根为6
【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；
（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．
(1)解：根据题意可得：，解得a＝2．
又由，
把a＝2代入得12 + 7b + 3＝－27
∴b＝－6．
(2)当a＝2，b＝－6时，
∴5a－3b+8＝5×2－3×（－6）+8＝36，
∴．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．
23．（2022·成都市·七年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
(1)，符合上述规律，
故答案为：；
(2)∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2022·安徽芜湖·七年级期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
【答案】(1)2#，2#，22# (2)
【分析】（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；
（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．
（1）解：∵，且x为整数．∵，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵，∴x的十位数字一定是2；∴22．故答案为：2，2，22．
（2）∵，∴y一定是两位数；
∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，
∵，∴y的十位数字一定是8；∴．
【点睛】本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．
25．（2022·山西阳泉·七年级期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：∵，即，
∴．
∴的整数部分为1．
∴的小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．由图中面积计算，，另一方面由题意知，所以．
略去，得方程，解得，即．
解决问题：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据材料一中的方法求解即可；
（2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可．
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为9．
∴的小数部分为．
（2）解：我们知道面积是5的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．由图中面积计算，，另一方面由题意知，所以．
略去，得方程，解得，即．
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算．
26．（2022·浙江·七年级期末）如阳，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
（1）图2中拼成的正方形的面积是___________；边长是_________；（填实数）.（2）请你在图3中画一个边长为的正方形，要求所面正方形的顶点都在格点上．（3）请仿图2的形式把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形，请直接写出拼出的正方形边长．
【答案】（1）5，；（2）见解析（3）
【分析】（1）根据正方形的面积求出边长，即可得解；
（2）根据正方形的面积求出边长为，再利用勾股定理作出正方形即可；
（3）根据勾股定理作边长为的边，并剪出两个直角三角形，然后拼接成正方形即可．
【详解】解：（1）正方形的面积为5，
边长为；故答案为：5，；
（2）如图所示：
（3）如图所示：
它的边长为：．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，主要利用了正方形的面积，勾股定理，根据面积求出边长，再利用勾股定理作出相应边长的正方形即可，灵活掌握并运用网格结构是解题的关键．
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专题3.5 实数 章末检测
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·吉林松原· 七年级期中）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·七年级期中）2020年3月14日，是全球首个“国际圆周率日（πDay）”．国际圆周率日之所以定在3月14日，是因为“3.14”是与圆周率数值最接近的数字．祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第7位的中国古代科学巨匠，该成果领先世界一千多年．以下关于“圆周率”的四个命题，错误的是（ ）
A．圆周率是一个大于3而小于4的无理数 B．圆周率是一个近似数
C．圆周率是一个与圆的大小无关的常数 D．圆周率等于该圆的周长与直径的比值
3．（2022·河北衡水·七年级期末）一个自然数的一个平方根是，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东泰安·七年级期中）有一个数值转换器，原理如下：
当输入的时，输出的等于（ ）
A．2 B．8 C． D．
5．（2022·山东临沂· 七年级期末）若，，则下列各式中正确的是
A． B． C． D．
6．（2022·河南新乡·七年级期末）若、为实数，且满足，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（2022·广西河池·七年级期中）如图，数轴上有A，B，C，D四点，根据各点的位置，所表示的数与最接近的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
8．（2022·平泉市七年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
9．（2022·湖北武汉·七年级期中）对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，如，，．现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1．类似地，对625只需进行（ ）次操作后变为1．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2022·山东烟台·七年级期末）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根．下列结论中正确的是（ ）
A．81的4次方根是3 B．当n为奇数时，的n次方根随n的增大而增大
C．32的5次方根是 D．当n为奇数时，5的n次方根随n的增大而增大
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·山东滨州·七年级期末）计算：＝_____．
12．（2022·山东德州·七年级期中）的算术平方根为 _____；比较大小：_____6（用“＞”，“＜”或“＝”连接）．
13．（2022·江苏 七年级）若y＝﹣+6x，则的值为 _____．
14．（2022·北京市第十三中学分校七年级期中）若是整数．写出一个符合条件的整数n的值______．
15．（2022·山东菏泽·七年级期中）阅读材料：如果两个正数a、b，即，，则有下面的不等式，当且仅当时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若，则y最小值为________．
16．（2022·河北石家庄·七年级期末）的小数部分为a，的小数部分为b，则__．
17．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期中）若，则___________．
18.（2022·湖北十堰·七年级期中）将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南信阳· 七年级期末）计算：
(1) (2)
20．（2022·河南许昌·七年级期中）（1）已知和是某个正数a的平方根，求实数x和a的值；（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
21．（2022·江苏七年级阶段练习）求下列各式中的x：
(1)； (2) (3)； (4)
22．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．
(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
23．（2022·成都市·七年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
24．（2022·安徽芜湖·七年级期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
25．（2022·山西阳泉·七年级期中）阅读材料，完成下列任务：
因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：、等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．
材料一：∵，即，
∴．
∴的整数部分为1．
∴的小数部分为．
材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．
我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设，可画出如图示意图．由图中面积计算，，另一方面由题意知，所以．
略去，得方程，解得，即．
解决问题：(1)利用材料一中的方法，求的小数部分；
(2)利用材料二中的方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
26．（2022·浙江·七年级期末）如阳，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
（1）图2中拼成的正方形的面积是___________；边长是_________；（填实数）.（2）请你在图3中画一个边长为的正方形，要求所面正方形的顶点都在格点上．（3）请仿图2的形式把十个小正方形组成的图形纸（图4），剪开并拼成正方形，请直接写出拼出的正方形边长．
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