第2章 特殊三角形精选单元测试卷（含解析）

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浙教版八年级上册 第2章 特殊三角形 精选单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．130°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若BD＝5，则CD等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
6．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等 D．全等三角形的对应角相等
7．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2＝（　　）
A．10 B．20 C．50 D．100
8．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．5
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　）
A．4 B．3 C．4 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是　 　．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长为10cm，且BC＝4cm，则BD的长为 　 　．
13．如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为 　 　．
14．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为 　 cm．
15．如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 　 　 cm．
16．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、BC的中点，AD＝6，点P是AD上的一动点，则PE+PB的最小值为　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于E，求证：∠EBC＝∠DAC．
18．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．
19．（7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC的长； （2）求AB的长； （3）求∠ACB的度数．
20．（7分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）在直线l上找出点P，使得△PBC周长最小，在图中标出点P的位置；
（3）已知点D在格点上，且△BCD 和△BCA 全等，请画出所有满足条件的△BCD （点D与点A不重合）．
22．（8分）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务：
赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积．
任务：
（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 　 　，正方形PQMN的面积可表示为 　 　．（用含a，b的式子表示）
（2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之间的关系为 　 　．
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　 　；
②当t＝3时，PQ的长为 　 　；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
浙教版八年级上册 第2章 特殊三角形 精选单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，
∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．
故选：C．
3．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，则∠B的度数是（　　）
A．50° B．65° C．80° D．130°
【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若BD＝5，则CD等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得：AD为BC边上的中线，从而求解．
【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴AD为BC边上的中线，
∴CD＝BD＝5．
故选：C．
5．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　）
A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BD
C．∠ABC＝∠ABD D．以上都不正确
【分析】图形中已有条件AB＝AB，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
【解答】解：若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件AC＝AD或BC＝BD，
故选：B．
6．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行
B．如果两个角是直角，那么它们相等
C．若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等
D．全等三角形的对应角相等
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，逆命题是真命题；
B、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么它们是直角，逆命题是假命题；
C、若两实数相等，则这两个数的绝对值一定相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题是假命题；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题；
故选：A．
7．在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2＝（　　）
A．10 B．20 C．50 D．100
【分析】根据勾股定理计算即可；
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
故选：D．
8．已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．5
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，而2+2＜5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，
当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2＝12，
故选：B．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D、E两点分别在边AC、BC上，BD平分∠ABC，DE∥AB．图中的等腰三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】已知条件，根据三角形内角和等于180，角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠ABD＝36°，
∴∠EDC＝72°﹣36°＝36°，
∴∠DEC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠A＝∠ABD，∠DBE＝∠BDE，∠DEC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠ABC＝∠C，
∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形，共5个，
故选：C．
10．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　）
A．4 B．3 C．4 D．2
【分析】连接QG．解直角三角形求出DF，再证明QM+QN＝DF，即可解决问题．
【解答】解：连接QG．
∵DG：GE＝1：3，
∴可以假设DG＝k，EG＝3k，
∵GF＝EG，∠D＝90°，
∴FG＝3k，DF＝＝2k，
∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2，
∴48＝16k2+8k2，
∴k＝或﹣（舍弃），
∴DF＝4，
∵S△EFG＝ EG DF＝ EG QM+ GF QN，
∴QM+QN＝DF＝4，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是　如果三角形的两边的平方和等于第三的平方，那么这个三角形是直角三角形　．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
【解答】解：因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”，结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”，
所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长为10cm，且BC＝4cm，则BD的长为 　3cm　．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到AE＝BE，结合已知条件得到BC+AC＝10cm，进而求得AB＝AC＝6cm，即可求出BD＝3cm．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，
∴EB＝EA，
∵△BCE的周长是10cm，
∴BC+AC＝10cm，
∵BC＝4cm，
∴AC＝6cm．
∴AB＝AC＝6cm，
∴BD＝AB＝3cm，
故答案为：3cm．
13．如图，Rt△ABC的直角边AB在数轴上，点A表示的实数为0，以A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D．若CB＝1，AB＝2，则点D表示的实数为 　﹣　．
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AD的长，再根据A点表示0，可得D点表示的数．
【解答】解：AC＝＝＝，
则AD＝，
∵A点表示0，
∴D点表示的数为：﹣，
故答案为：﹣．
14．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为 　6　cm．
【分析】三角形的三边不等关系为：任意两边之差＜第三边＜任意两边之和，即可求解．
【解答】解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，
根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，
故答案为：6．
15．如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 　130　cm．

【分析】首先画出A到B的最短路径的展开图，然后利用勾股定理求出答案．
【解答】解：如图所示：AC＝10×3+3×30＝120cm，BC＝50cm，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：（cm），
故答案为：130．
16．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是AB、BC的中点，AD＝6，点P是AD上的一动点，则PE+PB的最小值为　6　．
【分析】作点B关于AH的对称点B′，由等边三角形的性质可知B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为EP与BP和的最小值，由等边三角形的性质可求出△CAE≌△ACD，则CE＝AD＝6．
【解答】解：作点B关于AD的对称点B′，
∵△ABC是等边三角形，
∴B′与点C重合，连接CE，则CE的长度即为PE与PB和的最小值
∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，∠ACE＝30°，
∵AE＝BC，
∴∠CAD＝30°，AC＝AC，
在△CAE和△ACD中，，
∴△CAE≌△ACD，
∴CE＝AD＝6．
故答案为：6．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于E，求证：∠EBC＝∠DAC．
【分析】根据三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，根据直角三角形的性质即可得解．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠C，
∴∠EBC＝∠DAC．
18．（6分）如图，在△ABC中，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足，AE＝CF．求证：∠ACB＝90°．
【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等，再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC＝∠BCF，因为∠EAC+ACE＝90°，所以∠ACE+∠BCF＝90°，根据平角定义可得∠ACB＝90°．
【解答】证明：如图，在Rt△ACE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△CBF（HL），
∴∠EAC＝∠BCF，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°．
19．（7分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．
（1）求DC的长；
（2）求AB的长；
（3）求∠ACB的度数．
【分析】（1）在Rt△BCD中，利用勾股定理即可求解．
（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AD，进而可求得AB．
（3）根据勾股定理的逆定理可得∠ACB．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，BC＝15，DB＝9，
∴DC＝＝＝12．
（2）在Rt△ACD中，AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
则AB＝AD+DB＝16+9＝25．
（3）∵252＝202+152，即AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°．
20．（7分）如图所示，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△BDE是等腰三角形；
（2）若∠A＝35°，∠C＝70°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBE＝∠CBE，再根据平行线的性质得到∠DEB＝∠CBE，所以∠DBE＝∠DEB，从而得到结论；
（2）先利用三角形内角和计算出∠ABC＝75°，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝35°，∠C＝70°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣35°﹣70°＝75°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠DBC＝180°，
∴∠BDE＝180°﹣75°＝105°．
21．（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；
（2）在直线l上找出点P，使得△PBC周长最小，在图中标出点P的位置；
（3）已知点D在格点上，且△BCD 和△BCA 全等，请画出所有满足条件的△BCD （点D与点A不重合）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于直线I的对称点，再顺次连接可得；
（2）连接BC1交直线I于点，连接CP即可．；
（3）根据全等三角形的判定利用轴对称变换，旋转变换，作出图形即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，点P即为所求；
（3）如图，点D1，D2，D3即为所求；
22．（8分）阅读与思考
阅读下列材料，完成后面的任务：
赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系，如图2，这是由8个全等的直角边长分别为a，b，斜边长为c的三角形拼成的“弦图”．由图可知，1个大正方形ABCD的面积＝8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积．
任务：
（1）在图2中，正方形ABCD的面积可表示为 　（a+b）2　，正方形PQMN的面积可表示为 　（a﹣b）2　．（用含a，b的式子表示）
（2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得（a+b）2，ab，（a﹣b）2之间的关系为 　（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2　．
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：已知a+b＝5，ab＝4，求（a﹣b）2的值．
【分析】（1）利用正方形的面积公式即可求解；
（2）直接利用相等关系用代数式进行表示即可．
（3）将代数式的值代入上一小题的等式中求解即可．
【解答】解：（1）∵大正方形边长为（a+b），小正方形边长为（a﹣b），
∴大正方形面积为（a+b）2，小正方形面积为（a﹣b）2；
故答案为：（a+b）2；（a﹣b）2．
（2）根据S正方形ABCD＝8S直角三角形+S正方形PQMN，可得，
故答案为：（a+b）2＝4ab+（a﹣b）2．
（3）∵a+b＝5，ab＝4，
∴52＝4×4+（a﹣b）2，
∴（a﹣b）2＝9，
∴（a﹣b）2的值为9．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A出发，沿A→B方向运动，速度为每秒2cm；点Q从点B出发，沿B→C→A方向运动，速度为每秒4cm；两点同时开始运动，设运动时间为t秒．
（1）①Rt△ABC斜边AC上的高为 　9.6cm　；
②当t＝3时，PQ的长为 　　；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△BPQ是等腰三角形？
（3）当点Q在边AC上运动时，直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值．
【分析】（1）①利用勾股定理可求解AC的长，利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高；
②可求得AP和BQ，则可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，由勾股定理可得，
∴Rt△ABC斜边AC上的高为；
②当t＝3时，则AP＝6cm，BQ＝4t＝12cm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣6＝10（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，
即PQ的长为，
故答案为：①9.6cm；②；
（2）由题意可知AP＝2tcm，BQ＝4tcm，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣2t（cm），
当△BPQ为等腰三角形时，则有BP＝BQ，即16﹣2t＝4t，
解得，
∴出发秒后△BPQ能形成等腰三角形；
（3）在△ABC中，AC＝20cm，
当点Q在AC上时，AQ＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t（cm），CQ＝4t﹣12（cm），
∵△BCQ为等腰三角形，
∴有BQ＝BC、CQ＝BC和CQ＝BQ三种情况，
①当BQ＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC于E，
则，
由（1）知BE＝9.6cm，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，
即122＝9.62+（2t﹣6）2，
解得t＝6.6或t＝﹣0.6＜0（舍去）；
②当CQ＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6；
③当CQ＝BQ时，则∠C＝∠QBC，
∴∠C+∠A＝∠CBQ+∠QBA，
∴∠A＝∠QBA，
∴QB＝QA，
∴，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5；
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，△BCQ为等腰三角形．