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浙教版八年级上册 第2章 特殊三角形 精选单元测试卷
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
3.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B的度数是( )
A.50° B.65° C.80° D.130°
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,若BD=5,则CD等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )
A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD
C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确
6.下列命题中,其逆命题是真命题的是( )
A.同旁内角互补,两直线平行 B.如果两个角是直角,那么它们相等
C.若两实数相等,则这两个数的绝对值一定相等 D.全等三角形的对应角相等
7.在Rt△ABC中,斜边BC=10,则AB2+AC2=( )
A.10 B.20 C.50 D.100
8.已知等腰三角形的两条边长分别为2和5,则它的周长为( )
A.9 B.12 C.9或12 D.5
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,D、E两点分别在边AC、BC上,BD平分∠ABC,DE∥AB.图中的等腰三角形共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
10.如图,在△DEF中,∠D=90°,DG:GE=1:3,GE=GF,Q是EF上一动点,过点Q作QM⊥DE于M,QN⊥GF于N,,则QM+QN的长是( )
A.4 B.3 C.4 D.2
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是 .
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E.已知△BCE的周长为10cm,且BC=4cm,则BD的长为 .
13.如图,Rt△ABC的直角边AB在数轴上,点A表示的实数为0,以A为圆心,AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D.若CB=1,AB=2,则点D表示的实数为 .
14.用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形,其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm,则第三根木棒长为 cm.
15.如图,有一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm,点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点,有一只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物;请你想一想,这只壁虎至少需要爬 cm.
16.如图,在等边△ABC中,点D、E分别是AB、BC的中点,AD=6,点P是AD上的一动点,则PE+PB的最小值为 .
三.解答题(共7小题,满分52分)
17.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于E,求证:∠EBC=∠DAC.
18.(6分)如图,在△ABC中,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE,BF,E,F为垂足,AE=CF.求证:∠ACB=90°.
19.(7分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9.
(1)求DC的长; (2)求AB的长; (3)求∠ACB的度数.
20.(7分)如图所示,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.
(1)求证:△BDE是等腰三角形;
(2)若∠A=35°,∠C=70°,求∠BDE的度数.
21.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
(2)在直线l上找出点P,使得△PBC周长最小,在图中标出点P的位置;
(3)已知点D在格点上,且△BCD 和△BCA 全等,请画出所有满足条件的△BCD (点D与点A不重合).
22.(8分)阅读与思考
阅读下列材料,完成后面的任务:
赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”,利用面积法给出了勾股定理的证明.实际上,该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系,如图2,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的三角形拼成的“弦图”.由图可知,1个大正方形ABCD的面积=8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积.
任务:
(1)在图2中,正方形ABCD的面积可表示为 ,正方形PQMN的面积可表示为 .(用含a,b的式子表示)
(2)根据S正方形ABCD=8S直角三角形+S正方形PQMN,可得(a+b)2,ab,(a﹣b)2之间的关系为 .
(3)根据(2)中的等量关系,解决问题:已知a+b=5,ab=4,求(a﹣b)2的值.
23.(10分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A出发,沿A→B方向运动,速度为每秒2cm;点Q从点B出发,沿B→C→A方向运动,速度为每秒4cm;两点同时开始运动,设运动时间为t秒.
(1)①Rt△ABC斜边AC上的高为 ;
②当t=3时,PQ的长为 ;
(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,△BPQ是等腰三角形?
(3)当点Q在边AC上运动时,直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值.
浙教版八年级上册 第2章 特殊三角形 精选单元测试卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)
1.下列图形中不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析即可.
【解答】解:A.不是轴对称图形,故本选项符合题意;
B.是轴对称图形,故本选项不符合题意;
C.是轴对称图形,故本选项不符合题意;
D.是轴对称图形,故本选项不符合题意;
故选:A.
2.在Rt△ABC中,若一个锐角等于40°,则另一个锐角的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.
【解答】解:∵直角三角形中,一个锐角等于40°,
∴另一个锐角的度数=90°﹣40°=50°.
故选:C.
3.在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,则∠B的度数是( )
A.50° B.65° C.80° D.130°
【分析】根据等腰三角形性质即可直接得出答案.
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠A=50°,
∴∠B=(180°﹣50°)÷2=65°.
故选:B.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,若BD=5,则CD等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质可得:AD为BC边上的中线,从而求解.
【解答】解:∵AD是∠BAC的平分线,AB=AC,
∴AD为BC边上的中线,
∴CD=BD=5.
故选:C.
5.如图,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件( )
A.∠BAC=∠BAD B.AC=AD或BC=BD
C.∠ABC=∠ABD D.以上都不正确
【分析】图形中已有条件AB=AB,只缺一对直角边对应相等,因此添加一对直角边对应相等即可.
【解答】解:若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需补充条件AC=AD或BC=BD,
故选:B.
6.下列命题中,其逆命题是真命题的是( )
A.同旁内角互补,两直线平行
B.如果两个角是直角,那么它们相等
C.若两实数相等,则这两个数的绝对值一定相等
D.全等三角形的对应角相等
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可.
【解答】解:A、同旁内角互补,两直线平行的逆命题是两直线平行,同旁内角互补,逆命题是真命题;
B、如果两个角是直角,那么它们相等的逆命题是如果两个角相等,那么它们是直角,逆命题是假命题;
C、若两实数相等,则这两个数的绝对值一定相等的逆命题是如果两个数的绝对值相等,那么它们相等,逆命题是假命题;
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等,逆命题是假命题;
故选:A.
7.在Rt△ABC中,斜边BC=10,则AB2+AC2=( )
A.10 B.20 C.50 D.100
【分析】根据勾股定理计算即可;
【解答】解:在Rt△ABC中,∵∠A=90°,
∴AB2+AC2=BC2=100,
故选:D.
8.已知等腰三角形的两条边长分别为2和5,则它的周长为( )
A.9 B.12 C.9或12 D.5
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰,结合三边关系定理,分别讨论求解.
【解答】解:当2为腰时,三边为2,2,5,而2+2<5,由三角形三边关系定理可知,不能构成三角形,
当5为腰时,三边为5,5,2,符合三角形三边关系定理,周长为:5+5+2=12,
故选:B.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,D、E两点分别在边AC、BC上,BD平分∠ABC,DE∥AB.图中的等腰三角形共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【分析】已知条件,根据三角形内角和等于180,角的平分线的性质求得各个角的度数,然后利用等腰三角形的判定进行判断即可.
【解答】解:∵AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=36°,
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,
∵DE∥AB,
∴∠EDB=∠ABD=36°,
∴∠EDC=72°﹣36°=36°,
∴∠DEC=180°﹣72°﹣36°=72°,
∴∠A=∠ABD,∠DBE=∠BDE,∠DEC=∠C,∠BDC=∠C,∠ABC=∠C,
∴△ABC、△ABD、△DEB、△BDC、△DEC都是等腰三角形,共5个,
故选:C.
10.如图,在△DEF中,∠D=90°,DG:GE=1:3,GE=GF,Q是EF上一动点,过点Q作QM⊥DE于M,QN⊥GF于N,,则QM+QN的长是( )
A.4 B.3 C.4 D.2
【分析】连接QG.解直角三角形求出DF,再证明QM+QN=DF,即可解决问题.
【解答】解:连接QG.
∵DG:GE=1:3,
∴可以假设DG=k,EG=3k,
∵GF=EG,∠D=90°,
∴FG=3k,DF==2k,
∵EF=4,EF2=DE2+DF2,
∴48=16k2+8k2,
∴k=或﹣(舍弃),
∴DF=4,
∵S△EFG= EG DF= EG QM+ GF QN,
∴QM+QN=DF=4,
故选:C.
二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)
11.命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是 如果三角形的两边的平方和等于第三的平方,那么这个三角形是直角三角形 .
【分析】先找到原命题的题设和结论,再将题设和结论互换,即可而得到原命题的逆命题.
【解答】解:因为原命题的题设是“一个三角形是直角三角形”,结论是“两条直角边的平方和等于斜边的平方”,
所以“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是“如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形”.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E.已知△BCE的周长为10cm,且BC=4cm,则BD的长为 3cm .
【分析】利用线段的垂直平分线的性质得到AE=BE,结合已知条件得到BC+AC=10cm,进而求得AB=AC=6cm,即可求出BD=3cm.
【解答】解:∵AB的垂直平分线交AC于点E,
∴EB=EA,
∵△BCE的周长是10cm,
∴BC+AC=10cm,
∵BC=4cm,
∴AC=6cm.
∴AB=AC=6cm,
∴BD=AB=3cm,
故答案为:3cm.
13.如图,Rt△ABC的直角边AB在数轴上,点A表示的实数为0,以A为圆心,AC的长为半径作弧交数轴的负半轴于点D.若CB=1,AB=2,则点D表示的实数为 ﹣ .
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长,进而得到AD的长,再根据A点表示0,可得D点表示的数.
【解答】解:AC===,
则AD=,
∵A点表示0,
∴D点表示的数为:﹣,
故答案为:﹣.
14.用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形,其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm,则第三根木棒长为 6 cm.
【分析】三角形的三边不等关系为:任意两边之差<第三边<任意两边之和,即可求解.
【解答】解:组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm,
根据三角形三边关系可得,组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm,
故答案为:6.
15.如图,有一个三级台阶,每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm,点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点,有一只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物;请你想一想,这只壁虎至少需要爬 130 cm.
【分析】首先画出A到B的最短路径的展开图,然后利用勾股定理求出答案.
【解答】解:如图所示:AC=10×3+3×30=120cm,BC=50cm,∠ACB=90°,
由勾股定理得:(cm),
故答案为:130.
16.如图,在等边△ABC中,点D、E分别是AB、BC的中点,AD=6,点P是AD上的一动点,则PE+PB的最小值为 6 .
【分析】作点B关于AH的对称点B′,由等边三角形的性质可知B′与点C重合,连接CE,则CE的长度即为EP与BP和的最小值,由等边三角形的性质可求出△CAE≌△ACD,则CE=AD=6.
【解答】解:作点B关于AD的对称点B′,
∵△ABC是等边三角形,
∴B′与点C重合,连接CE,则CE的长度即为PE与PB和的最小值
∵△ABC是等边三角形,E为AB的中点,
∴CE⊥AB,∠ACE=30°,
∵AE=BC,
∴∠CAD=30°,AC=AC,
在△CAE和△ACD中,,
∴△CAE≌△ACD,
∴CE=AD=6.
故答案为:6.
三.解答题(共7小题,满分52分)
17.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BE⊥AC于E,求证:∠EBC=∠DAC.
【分析】根据三角形三线合一的性质可得AD⊥BC,根据直角三角形的性质即可得解.
【解答】证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠CAD=90°﹣∠C,
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠EBC=90°﹣∠C,
∴∠EBC=∠DAC.
18.(6分)如图,在△ABC中,AC=BC,直线l经过顶点C,过A,B两点分别作l的垂线AE,BF,E,F为垂足,AE=CF.求证:∠ACB=90°.
【分析】先利用HL定理证明△ACE和△CBF全等,再根据全等三角形对应角相等可以得到∠EAC=∠BCF,因为∠EAC+ACE=90°,所以∠ACE+∠BCF=90°,根据平角定义可得∠ACB=90°.
【解答】证明:如图,在Rt△ACE和Rt△CBF中,
,
∴Rt△ACE≌Rt△CBF(HL),
∴∠EAC=∠BCF,
∵∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠ACB=180°﹣90°=90°.
19.(7分)如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9.
(1)求DC的长;
(2)求AB的长;
(3)求∠ACB的度数.
【分析】(1)在Rt△BCD中,利用勾股定理即可求解.
(2)在Rt△ACD中,利用勾股定理求出AD,进而可求得AB.
(3)根据勾股定理的逆定理可得∠ACB.
【解答】解:(1)∵CD⊥AB,BC=15,DB=9,
∴DC===12.
(2)在Rt△ACD中,AC=20,CD=12,
∴AD===16,
则AB=AD+DB=16+9=25.
(3)∵252=202+152,即AB2=AC2+BC2,
∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°.
20.(7分)如图所示,在△ABC中,BE平分∠ABC,DE∥BC.
(1)求证:△BDE是等腰三角形;
(2)若∠A=35°,∠C=70°,求∠BDE的度数.
【分析】(1)先根据角平分线的定义得到∠DBE=∠CBE,再根据平行线的性质得到∠DEB=∠CBE,所以∠DBE=∠DEB,从而得到结论;
(2)先利用三角形内角和计算出∠ABC=75°,再利用两直线平行,同旁内角互补计算出∠BDE的度数.
【解答】(1)证明:∵BE平分∠ABC,
∴∠DBE=∠CBE,
∵DE∥BC,
∴∠DEB=∠CBE,
∴∠DBE=∠DEB,
∴DB=DE,
∴△BDE是等腰三角形;
(2)解:∵∠A=35°,∠C=70°,
∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣35°﹣70°=75°,
∵DE∥BC,
∴∠BDE+∠DBC=180°,
∴∠BDE=180°﹣75°=105°.
21.(8分)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;
(2)在直线l上找出点P,使得△PBC周长最小,在图中标出点P的位置;
(3)已知点D在格点上,且△BCD 和△BCA 全等,请画出所有满足条件的△BCD (点D与点A不重合).
【分析】(1)分别作出点A、B、C关于直线I的对称点,再顺次连接可得;
(2)连接BC1交直线I于点,连接CP即可.;
(3)根据全等三角形的判定利用轴对称变换,旋转变换,作出图形即可.
【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
(2)如图,点P即为所求;
(3)如图,点D1,D2,D3即为所求;
22.(8分)阅读与思考
阅读下列材料,完成后面的任务:
赵爽“弦圈”与完全平方公式三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”,利用面积法给出了勾股定理的证明.实际上,该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系,如图2,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的三角形拼成的“弦图”.由图可知,1个大正方形ABCD的面积=8个直角三角形的面积+1个小正方形PQMN的面积.
任务:
(1)在图2中,正方形ABCD的面积可表示为 (a+b)2 ,正方形PQMN的面积可表示为 (a﹣b)2 .(用含a,b的式子表示)
(2)根据S正方形ABCD=8S直角三角形+S正方形PQMN,可得(a+b)2,ab,(a﹣b)2之间的关系为 (a+b)2=4ab+(a﹣b)2 .
(3)根据(2)中的等量关系,解决问题:已知a+b=5,ab=4,求(a﹣b)2的值.
【分析】(1)利用正方形的面积公式即可求解;
(2)直接利用相等关系用代数式进行表示即可.
(3)将代数式的值代入上一小题的等式中求解即可.
【解答】解:(1)∵大正方形边长为(a+b),小正方形边长为(a﹣b),
∴大正方形面积为(a+b)2,小正方形面积为(a﹣b)2;
故答案为:(a+b)2;(a﹣b)2.
(2)根据S正方形ABCD=8S直角三角形+S正方形PQMN,可得,
故答案为:(a+b)2=4ab+(a﹣b)2.
(3)∵a+b=5,ab=4,
∴52=4×4+(a﹣b)2,
∴(a﹣b)2=9,
∴(a﹣b)2的值为9.
23.(10分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、Q是△ABC边上的两个动点,其中点P从点A出发,沿A→B方向运动,速度为每秒2cm;点Q从点B出发,沿B→C→A方向运动,速度为每秒4cm;两点同时开始运动,设运动时间为t秒.
(1)①Rt△ABC斜边AC上的高为 9.6cm ;
②当t=3时,PQ的长为 ;
(2)当点Q在边BC上运动时,出发几秒钟后,△BPQ是等腰三角形?
(3)当点Q在边AC上运动时,直接写出所有能使△BCQ成为等腰三角形的t的值.
【分析】(1)①利用勾股定理可求解AC的长,利用面积法进而可求解Rt△ABC斜边AC上的高;
②可求得AP和BQ,则可求得BP,在Rt△BPQ中,由勾股定理可求得PQ的长;
(2)用t可分别表示出BP和BQ,根据等腰三角形的性质可得到BP=BQ,可得到关于t的方程,可求得t;
(3)用t分别表示出BQ和CQ,利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况,分别得到关于t的方程,可求得t的值.
【解答】解:(1)①在Rt△ABC中,由勾股定理可得,
∴Rt△ABC斜边AC上的高为;
②当t=3时,则AP=6cm,BQ=4t=12cm,
∵AB=16cm,
∴BP=AB﹣AP=16﹣6=10(cm),
在Rt△BPQ中,由勾股定理可得,
即PQ的长为,
故答案为:①9.6cm;②;
(2)由题意可知AP=2tcm,BQ=4tcm,
∵AB=16cm,
∴BP=AB﹣AP=16﹣2t(cm),
当△BPQ为等腰三角形时,则有BP=BQ,即16﹣2t=4t,
解得,
∴出发秒后△BPQ能形成等腰三角形;
(3)在△ABC中,AC=20cm,
当点Q在AC上时,AQ=BC+AC﹣4t=32﹣4t(cm),CQ=4t﹣12(cm),
∵△BCQ为等腰三角形,
∴有BQ=BC、CQ=BC和CQ=BQ三种情况,
①当BQ=BC=12时,如图,过B作BE⊥AC于E,
则,
由(1)知BE=9.6cm,
在Rt△BCE中,由勾股定理可得BC2=BE2+CE2,
即122=9.62+(2t﹣6)2,
解得t=6.6或t=﹣0.6<0(舍去);
②当CQ=BC=12时,则4t﹣12=12,解得t=6;
③当CQ=BQ时,则∠C=∠QBC,
∴∠C+∠A=∠CBQ+∠QBA,
∴∠A=∠QBA,
∴QB=QA,
∴,即4t﹣12=10,解得t=5.5;
综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时,△BCQ为等腰三角形.