：特殊三角形期末总复习学案(二）
直角三角形的有关概念
例4
（1）．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A. 3，4，6 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 9，12，15
(2)．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，那么这两个图形成轴对称
B．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
C．直线在轴上的截距为3
D．△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，那么△ABC为直角三角形
(3).已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．5
练一练：
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A． 4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D． 1，，3
3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为 cm．
直角三角形的应用
例5.
(1)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）21cnjy.com
A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm
(2)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为
(3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 ．21·cn·jy·com
练一练：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5，则斜边上的中线CD=（ ）
A. 2 B． 2.5 C． 3 D．4www.21-cn-jy.com
2.在下列线段中，能作为直角三角形三边的是（ ）
A. a=1，b=2 ，c=3 B.a=2 ，b=3 ，c=4 C. a=3 ，b=4 ，c=5 D. a=4 ， b=5，c=6
3．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，交AB于点D，若AC=CB=4，则Rt△BCD的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A.4 B. 6 C. 8 D. 10【来源：21·世纪·教育·网】
如图，在等腰△ABC中，AD是底边上的高，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为
点F，若AE=3.2则AF=
如图, 在Rt△ABC中，分别以AB，BC，AC为边向外作正方形，且两个较小的正方形
的面积分别是24cm2和36cm2，则最大的正方形的面积为 cm2．
等腰三角形和直角三角形的综合应用
例6.操作发现 将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决 将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长． 21·世纪*教育网
练一练：
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．21世纪教育网版权所有
如图，在长方形ABCD中，CD＝6，AD＝8。将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好
落在对角线AC上的点F处。求EF的长；
例7.（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB的度数为 ；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。21教育网
练一练：
已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P。
（1）求证：；
（2）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求AD的长。
：特殊三角形期末总复习学案(二）答案
直角三角形的有关概念
例4
（1）．下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A. 3，4，6 B. 7，24，25 C. 6，8，10 D. 9，12，15
(2)．下列命题为真命题的是（ ）
A．若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，那么这两个图形成轴对称
B．有两边和一角分别相等的两个三角形全等
C．直线在轴上的截距为3
D．△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，那么△ABC为直角三角形
(3).已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．5
思路分析：三条线段能不能构成直角三角形，依据就是这三个数是否为勾股数，
解：这里7,24,25 6,8,10 9,12,15 都是勾股数，只有3，4，6不构成勾股数，故选择Awww.21-cn-jy.com
思路分析：因为A所描述的符合轴对称图形的定义，故A正确；
三角形两边非夹角这样的三角形不是唯一确定的，故不能判定为全等，故B不正确；
C选项直线在y轴上的截距应为-3，故C选项不正确；
（3）思路分析：由∠A＝2∠B＝3∠C得∠A＝98.10，是钝角三角形，故D选项不正确。
故选择A
思路分析：直角三角形的三边构成勾股数，只要设两条直角边中的其中一条为x,即可利用勾股定理求得。
故选择B
练一练：
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（ C ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ B ）
A． 4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D． 1，，3
3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为 5 cm．
直角三角形的应用
例5.
(1)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ）21·cn·jy·com
A．3cm B．6cm C．3cm D．6cm
(2)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为
(3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是 2．2·1·c·n·j·y
(1)思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图，
过点C作CD⊥AD，∴CD=3， 在直角三角形ADC中， ∵∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×3=6， 又三角板是有45°角的三角板， ∴AB=AC=6， ∴BC2=AB2+AC2=62+62=72， ∴BC=6， 故选：D．www-2-1-cnjy-com
(2)思路分析：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x-2，然后根据勾股定理列出方程式求出x的值，继而可求出矩形的面积．21世纪教育网版权所有
解：设矩形一条边长为x，则另一条边长为x-2， 由勾股定理得，x2+（x-2）2=42， 整理得，x2-2x-6=0， 解得：x=1+或x=1-（不合题意，舍去）， 另一边为：-1， 则矩形的面积为：（1+）（-1）=6． 故答案为：6． 21*cnjy*com
思路分析：连接AF，由DF是AB的垂直平分线，得到AF=BF，
从而获得是等边三角形，利用等腰三角形的性质得到，这样问题就得到解决。
练一练：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=5，则斜边上的中线CD=（ B ）
A. 2 B． 2.5 C． 3 D．42-1-c-n-j-y
2.在下列线段中，能作为直角三角形三边的是（ C ）
A. a=1，b=2 ，c=3 B.a=2 ，b=3 ，c=4 C. a=3 ，b=4 ，c=5 D. a=4 ， b=5，c=6
3．如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，交AB于点D，若AC=CB=4，则Rt△BCD的面积是（ A ）21·世纪*教育网
A.4 B. 6 C. 8 D. 10【来源：21cnj*y.co*m】
如图，在等腰△ABC中，AD是底边上的高，DE⊥AB，垂足为点E，DF⊥AC，垂足为
点F，若AE=3.2则AF= 3.2
如图, 在Rt△ABC中，分别以AB，BC，AC为边向外作正方形，且两个较小的正方形
的面积分别是24cm2和36cm2，则最大的正方形的面积为 cm2．
等腰三角形和直角三角形的综合应用
例6.操作发现 将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合． 问题解决 将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②． （1）求证：△CDO是等腰三角形； （2）若DF=8，求AD的长． 【出处：21教育名师】
解；（1）由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD， ∵∠DEF=30°， ∴∠BDC=∠BCD=75°， ∵∠ACB=45°， ∴∠DOC=30°+45°=75°， ∴∠DOC=∠BDC， ∴△CDO是等腰三角形； （2）如图，作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H， 在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4，HF=4， 在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8，BF=16， ∴BC=BD=8， ∵AG⊥BC，∠ABC=45°， ∴BG=AG=4， ∴AG=DH， ∵AG∥DH， ∴四边形AGHD为矩形， ∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4．【版权所有：21教育】
练一练：
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．21教育名师原创作品
解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE， ∵CD=3， ∴DE=3； （2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10， ∴△ADB的面积为S△ADB=AB?DE=×10×3=15．21教育网
如图，在长方形ABCD中，CD＝6，AD＝8。将长方形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好
落在对角线AC上的点F处。求EF的长；
解：(1)在长方形中，
由折叠可知
∴
在中，
∴
在中，
即 解得
例7.（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB的度数为 ；
（2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE
解:（1）①60；②AD=BE.
提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠CDA=1200，
又∠CED=600，
∴∠AEB=1200－600=600.
②可证△CDA≌△CEB,
∴AD=BE
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。21cnjy.com
解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE.
（注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）
理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900,
∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE
∴△ACD≌△BCE.
∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．
在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，
∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE
练一练：
已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P。
（1）求证：；
（2）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求AD的长。
（1）证明：∵△ABC为等边三角形
∴ AB=CA ，∠BAE=∠C=60°
∵AB=CA ，∠BAE=∠C ，AE=CD，
∴△ABE≌△CAD
（2）解：∵△ABE≌△CAD
∴BE=AD，∠ABE=∠CAD
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP
：特殊三角形期末总复习配套练习(二）
选择题
1.如图，已知，下列条件能使△≌△的是（ ）
A. B. C. D.三个答案都是
2.等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A.12 B.15 C.12或15 D.18
3.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC
4.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（ ）21·cn·jy·com
A．20 B．12 C．14 D．13
5.若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．6
6.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
7.正三角形△ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则△A1B1C1的面积是（ ）21教育网
A． B． C． D．
8.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（ ）www.21-cn-jy.com
A．4 B．5 C．6 D．8
9.如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题
11.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为
12.将一副直角三角板如图摆放,点在上,AC经过点D.已知∠A=
∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF=
13.在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°，连接CD，则线段CD的长为 【来源：21·世纪·教育·网】
14.如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD=39°，那么∠BCE= 21·世纪*教育网
15.如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．www-2-1-cnjy-com
16.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=
三．解答题
17.如图，在△中，，交于点.
求证：．
如图，是内的一点，，垂足分别为．
求证：（1）；（2）点在的平分线上．
19.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．2-1-c-n-j-y
求证：△GAB是等腰三角形．
20.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．2·1·c·n·j·y
21.如图，已知AC⊥ BC，BD⊥ AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD； （2）△ OAB是等腰三角形．
22。如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.21世纪教育网版权所有
(1) 填空：= 度；
(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值。
23.如图,△ ABC，△ CEF均为等腰直角三角形，∠ ABC=∠ CEF=90°，C、B、E在同一直线上，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．延长BM交EF于点D.
求证：MB＝MD＝ME.
24.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线AC段于E.21cnjy.com
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °, ∠DEC= °点D从B向C运动时，∠BDA
逐渐变 （填“大”或“小”）；；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等吗？请说明理由；
（3） 在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA
的度数.若不可以，请说明理由.
：特殊三角形期末总复习配套练习(二）答案
选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
C
B
A
B
C
C
D
解答题
17.证明：在△中，因为，所以.
又因为，所以
所以.
所以.
所以．
证明：（1）连接.因为，
所以Rt△≌Rt△，所以
因为Rt△≌Rt△，所以，
所以点在的平分线上.
19.证明：∵AD=BC，AB//CD
∴∠D=∠C，∠DAB=∠CBA，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠DAE=∠CBF，
∴∠GAB=∠GBA，
∴GA=GB，
即△GAB为等腰三角形．
20.证明：（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
21.证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD ∴ ∠D =∠C=90(
在Rt△ACB和 Rt△BDA 中，AB= BA ，AC=BD，
∴ △ACB≌ △BDA（HL）
∴BC=AD
（2）由△ACB≌ △BDA得 ∠C AB =∠D BA
∴△OAB是等腰三角形．
22.解：(1)60； (2)∵与都是等边三角形
∴，，
∴
∴
∴≌
∴，
∴.
23. 证明：∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，∴AM=MF，
∵在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴BM＝MD，AB=DF，
∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，M为BD中点，故△BEM是等腰直角三角形，
∴BM＝EM
即MB＝MD＝ME
24.解（1） 25°； 115°； 小
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵ DC=2，AB=2 ∴ DC=AB
∵ AB=AC, ∠B=40° ∴ ∠B=∠C=40°
∵ ∠ADB=∠DAC+∠C ∠DEC=∠DAC+∠ADE
且∠C=40°，∠ADE=40° ∴ ∠ADB=∠DEC。
在△ABD与△DCE中
