2023年浙教版数学九年级上册4.1 比例线段 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·诸暨期末）已知实数、满足，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵3a=2b，
∴.
故答案为：B
【分析】利用比例的性质，可求出的值.
2．（2023九上·杭州期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=4k，b=7k，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质设a=4k，b=7k，进而代入所求式子，分母合并同类项后再约分即可.
3．（2023九上·鄞州期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
4．（2023九上·金牛期末）若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，将各个选项中的比例式，变形为等积式，与题干给的等积式进行比较即可判断得出答案.
5．（2022九上·广平期末）已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】可得，所以A选项符合题意；
可得，所以B选项不符合题意；
可得，所以C选项不符合题意；
可得，所以D选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据比例的性质逐项即可。
6．（2023九上·礼泉期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用成比例线段的特征，最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的积，再对各选项逐一判断.
7．（2023九上·兴化期末）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=（ ）
A．±3 B．3 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积.
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以.
故答案为：B.
【分析】根据线段c是线段a、b的比例中项可得c2=ab，代入求解即可.
8．（2022九上·西安月考）下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，4，8 D．1，2，3，9
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例，用各选项中最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的乘积，可得到不成比例的选项.
9．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
10．（2023九上·武义期末）若点C是线段AB的黄金分割点，，则AC的长度为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的特点可得，然后将AB的值代入进行计算即可.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·黄浦月考）如果，那么 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
故答案为：．
【分析】根据可得，再求出即可。
12．（2022九上·大田期中）非零实数，满足，则 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，将等积式改为比例式即可.
13．（2023九上·镇海区期末）已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为，据此计算.
14．（2021九上·皇姑月考）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2m，b＝4m，d＝5m，则c＝ m．
【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
而a=2m，b=4m，d=5m，
∴ （m）．
故答案为： ．
【分析】根据比例线段的定义得出a：b=c：d，再把a=2m，b=4m，d=5m，代入进行计算即可。
15．（2023九上·兴化期末）已知线段，C是AB的黄金分割点，且，则 .（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ C为线段AB的黄金分割点，并且AC＞BC，AC为较长线段；
∴AC=4×=，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=4代入进行计算.
16．（2022九上·新昌月考）如果点是线段的黄金分割点，，则 .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的特点可得，据此解答.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
18．（2022九上·杭州月考）若，且，求，的值.
【答案】解：设
则，
代入得：
解得：
∴，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】 设则，，代入等式中求出k值，即可得解.
19．（2022九上·余杭月考）已知.
判断是否成立，并说明理由.
【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
20．（2021九上·开化月考）已知线段a，b的比例中项线段，线段，求线段b．
【答案】解：∵c是线段a、b的比例中项，
∴，
∴，
∴.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比例中项的概念结合题意可得c2=ab，将c=2、a=1代入求解可得b的值.
21．（2021九上·涟水月考）已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
【答案】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：.
∴所添线段的长度为1或4或16.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】 四条线段a、b、c、d，如果存在a∶b=c∶d，我们就说这四条线段成比例，设添加的线段长度为x， 则添加的线段可以是a、b、c、d中的任意一条，从而分类讨论，分别建立关于x的方程求解即可.
22．实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？
【答案】解：距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4，故最佳位置C在距A点或B点 AB处，如图所示：
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】利用黄金分割的定义解答即可。
23．（2022九上·宁波期中）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
【答案】（1）解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）.
∴线段a，b的比例中项是3.
（2）解：设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1） 设线段x是线段a，b的比例中项 ，根据比例的性质可得x2=ab，据此建立方程，求解检验即可；
（2）根据比例的性质这x＝4k，y＝3k，再代入待求式子合并约分即可得出答案.
24．（2021九上·拱墅期中）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
【答案】（1）解：∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，
∴，
∴；
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴．
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，列出等式c2=ab=9，依此求解即可；
（2）如果一点将一条线段分成长度不等的两部分，且满足较小线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，据此列式即可解答.
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一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·诸暨期末）已知实数、满足，则的值为（ ）
A． B． C．6 D．
2．（2023九上·杭州期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·鄞州期末）已知，则下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·金牛期末）若（），则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·广平期末）已知，下列变形错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023九上·礼泉期末）下列给出长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A．1 ，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1 ，2，3，6 D．1 ，3，4，7
7．（2023九上·兴化期末）已知线段，，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=（ ）
A．±3 B．3 C．4.5 D．5
8．（2022九上·西安月考）下列四组线段中，不成比例的是（ ）
A．3，9，2，6 B．1，，， C．1，2，4，8 D．1，2，3，9
9．（2023九上·杭州期末）若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023九上·武义期末）若点C是线段AB的黄金分割点，，则AC的长度为（ ）
A． B． C．5 D．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·黄浦月考）如果，那么 ．
12．（2022九上·大田期中）非零实数，满足，则 .
13．（2023九上·镇海区期末）已知线段，，则a，b的比例中项线段长等于 .
14．（2021九上·皇姑月考）已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2m，b＝4m，d＝5m，则c＝ m．
15．（2023九上·兴化期末）已知线段，C是AB的黄金分割点，且，则 .（结果保留根号）
16．（2022九上·新昌月考）如果点是线段的黄金分割点，，则 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022九上·长兴月考）已知 (ab≠0) ，求下列算式的值：
（1）
（2）
18．（2022九上·杭州月考）若，且，求，的值.
19．（2022九上·余杭月考）已知.
判断是否成立，并说明理由.
20．（2021九上·开化月考）已知线段a，b的比例中项线段，线段，求线段b．
21．（2021九上·涟水月考）已知有三条长度分别为2cm、4cm、8cm的线段，请再添一条线段.使这四条线段成比例，求所添线段的长度.
22．实践证明，节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响效果及审美效果最好．如下图，假设线段AB为舞台前沿，你能为主持人找出一个最佳位置C吗？
23．（2022九上·宁波期中）（1）已知线段a＝2，b＝9，求线段a，b的比例中项.
（2）已知x：y＝4：3，求的值.
24．（2021九上·拱墅期中）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c；
（2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵3a=2b，
∴.
故答案为：B
【分析】利用比例的性质，可求出的值.
2．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴设a=4k，b=7k，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质设a=4k，b=7k，进而代入所求式子，分母合并同类项后再约分即可.
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据比例的性质，设a=2x，b=3x，将a=2x与b=3x代入A选项的左边，合并并约分后即可判断A选项；将a=2x与b=3x代入B选项的右边，分子、分母分别提取公因式分解因式约分后即可判断B选项；将a=2x与b=3x代入C选项的左边与右边，分别计算后即可判断C选项；将a=2x与b=3x代入D选项的左边与右边，分别约分后即可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、∵，∴4x=3y，故此选项正确，符合题意；
B、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
C、∵，∴3x=4y，故此选项错误，不符合题意；
D、∵，∴xy=12，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积，将各个选项中的比例式，变形为等积式，与题干给的等积式进行比较即可判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】可得，所以A选项符合题意；
可得，所以B选项不符合题意；
可得，所以C选项不符合题意；
可得，所以D选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据比例的性质逐项即可。
6．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故A不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，故B不符合题意；
C、1×6=2×3，故C符合题意；
D、1×7≠3×4，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用成比例线段的特征，最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的积，再对各选项逐一判断.
7．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：
比例中项的平方等于两条线段的乘积.
则，
解得（线段是正数，负值舍去），
所以.
故答案为：B.
【分析】根据线段c是线段a、b的比例中项可得c2=ab，代入求解即可.
8．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用四条线段成比例，用各选项中最长的线段和最短的线段之积等于另两条线段的乘积，可得到不成比例的选项.
9．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故答案为：A.
【分析】根据黄金分割的特点可得AP=AB进行计算.
10．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据黄金分割的特点可得，然后将AB的值代入进行计算即可.
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，即，
∴，
故答案为：．
【分析】根据可得，再求出即可。
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：.
【分析】根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积，将等积式改为比例式即可.
13．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵，，
∴，的比例中项线段长等于，
故答案为.
【分析】根据比例中项的概念可得：a、b的比例中项为，据此计算.
14．【答案】
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
而a=2m，b=4m，d=5m，
∴ （m）．
故答案为： ．
【分析】根据比例线段的定义得出a：b=c：d，再把a=2m，b=4m，d=5m，代入进行计算即可。
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵ C为线段AB的黄金分割点，并且AC＞BC，AC为较长线段；
∴AC=4×=，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=4代入进行计算.
16．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段的黄金分割点，
，
故答案为：.
【分析】根据黄金分割的特点可得，据此解答.
17．【答案】（1）解：设=k，则a=3k，b=2k，
（2）解：
【知识点】分式的约分；比例的性质
【解析】【分析】（1）设=k，可表示出a，b的值，然后代入化简求值.
（2）将a，b的值代入分式，然后化简求值即可.
18．【答案】解：设
则，
代入得：
解得：
∴，
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】 设则，，代入等式中求出k值，即可得解.
19．【答案】解：比例式成立. 理由如下：
∵ ，∴ ，
∴1－ ＝1－ ，
即
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】利用比例的性质可得到，可得到，再将等式的两边通分即可证得结论.
20．【答案】解：∵c是线段a、b的比例中项，
∴，
∴，
∴.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】根据比例中项的概念结合题意可得c2=ab，将c=2、a=1代入求解可得b的值.
21．【答案】解：设添加的线段长度为x，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：.
∴所添线段的长度为1或4或16.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】 四条线段a、b、c、d，如果存在a∶b=c∶d，我们就说这四条线段成比例，设添加的线段长度为x， 则添加的线段可以是a、b、c、d中的任意一条，从而分类讨论，分别建立关于x的方程求解即可.
22．【答案】解：距点A至少是1- ≈0.4或距点B至少是1- ≈0.4，故最佳位置C在距A点或B点 AB处，如图所示：
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】利用黄金分割的定义解答即可。
23．【答案】（1）解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝3，b＝6，
x2＝3×6＝18，
x＝（负值舍去）.
∴线段a，b的比例中项是3.
（2）解：设x＝4k，y＝3k，
∴＝＝.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1） 设线段x是线段a，b的比例中项 ，根据比例的性质可得x2=ab，据此建立方程，求解检验即可；
（2）根据比例的性质这x＝4k，y＝3k，再代入待求式子合并约分即可得出答案.
24．【答案】（1）解：∵a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，
∴，
∴；
（2）解：∵C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴．
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【分析】（1）根据c是a，b的比例中项，列出等式c2=ab=9，依此求解即可；
（2）如果一点将一条线段分成长度不等的两部分，且满足较小线段与较长线段的比等于较长线段与整条线段的比，那么这个点就是这条线段的黄金分割点，据此列式即可解答.
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