2023年浙教版数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步测试(培优版)

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名称 2023年浙教版数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步测试(培优版)
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2023-08-20 09:56:53

文档简介

2023年浙教版数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步测试(培优版)
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023·雅安)如图,在中,F是上一点,交于点E,的延长线交的延长线于点G,,,则的长为(  )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.(2023九下·鹿城月考)如图,在矩形中,,延长至点,使得,以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论:矩形的面积等于的平方(即).现连接并延长交于点,若,则与矩形的面积之比为(  )
A. B. C. D.
3.(2023·香坊模拟)如图,是的中位线,点F在线段上,,连接交于点E,下列说法错误的是(  )
A. B. C. D.
4.(2023九上·长兴期末)在中,,点是边上的一动点,过点作交边于点,过点作交的延长线于点,分别以为对角线画矩形和矩形,则在从到的运动过程中,当矩形和矩形的面积和最小时,则的长度为(  )
A. B. C.6 D.
5.(2021九上·平阳月考)如图,在矩形 中, , , 平分 ,与对角线 相交于点N,F是线段 的中点,则 为(  )
A. B. C. D.
6.(2021·贵港)如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且EF=2AE=2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,则 (  )
A. B. C.1 D.
7.(2021九上·长沙期末)如图,点A,B的坐标分别为 、 ,点C为坐标平面内一点, ,点M为线段 的中点,连接 ,当 最大时,M点的坐标为(  )
A. B. C. D.
8.(2021九上·乐清期末)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动,连结BM,CM,AN,DN,则在整个运动过程中,阴影部分面积和的大小变化情况是(  )
A.不变 B.一直变大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
9.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是(  )
A. B.13 C. D.
10.(2019·凉山)如图,在 中,D在AC边上, ,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则 (  )
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3
二、填空题(每空4分,共24分)
11.(2023·南开模拟)如图,正方形中,E为上一点,过B作于G,延长至点F使,延长交于点M,连接,若C为中点,,则的长为   .
12.(2023九上·鄞州期末)如图,矩形中,点,在轴上,交轴于点,点在上,,连接交轴于点,过点作轴交于点,点在函数的图象上.若的面积为,则的值为    ;的面积与的面积差为    .
13.(2022九上·温州开学考)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.将小正方形对角线EF双向延长,分别交边AB,和边BC的延长线于点G,H.若大正方形与小正方形的面积之比为5,GH=2,则大正方形的边长为    .
14.(2022·苏州)如图,在平行四边形ABCD中, , , ,分别以A,C为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为   .
15.(2022·常德)如图,已知是内的一点,,,若的面积为2,,,则的面积是   .
16.(2021九上·自贡期中)如图,在边长为正方形 中,把边绕点逆时针旋转60°,得到线段,连接并延长交于,连接,则⊿的面积为    .
三、解答题(共8题,共66分)
17.如图.在△ABC中,E是AB的中点,D是AC上的一点,且AD:DC=2:3,BD与CE交于F,S△ABC=40,求SAEFD.
18.(2023·拱墅模拟)如图,在矩形ABCD中,AB(1)求证:DF=AB.
(2)连接BF,若BE=6,CE=3,求线段BF的长.
19.(2023·文成模拟)如图,在的方格纸中,请按要求画格点线段(端点在格点上),且线段的端点均不与点A,B,C,D重合.
(1)在图1中画一条格点线段,使G,H分别落在边,上,且与互相平分.
(2)在图2上画一条格点线段,使M,N分别落在边,上,且要求分为两部分.
20.(2023·亳州模拟)如图,中,于点E,点F是上一点,连接并延长交于点D,于点G,连接.
(1)如图1,若,求证:;
(2)如图2,若,求线段的长.
21.(2023·淮阴模拟)如图,在中,,,,M是AB上的动点不与A、B重合,过点M作交AC于点N,以MN为直径作,并在内作内接矩形设.
(1)的面积   ,   ;用含x的代数式表示
(2)在动点M的运动过程中,设与四边形MNCB重合部分的面积为试求y关于x的函数表达式,并求出x为何值时,y的值最大,最大值为多少?
22.(2023·江西)课本再现
思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(1)定理证明:为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,对角线,垂足为.
求证:是菱形.
(2)知识应用:如图,在中,对角线和相交于点,.
①求证:是菱形;
②延长至点,连接交于点,若,求的值.
23.(2023·荆州)已知:y关于x的函数.
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点,且,则a的值是   ;
(2)如图,若函数的图象为抛物线,与x轴有两个公共点A(-2,0),B(4,0),并与动直线l:交于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中PA交y轴于点D,交BC于点E.设△PBE的面积为,△CDE的面积为.
①当点P为抛物线顶点时,求△PBC的面积;
②探究直线l在运动过程中,-是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.
24.(2023·遂宁)在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线经过点,,对称轴过点,,直线过点,且垂直于轴.过点的直线交抛物线于点、,交直线于点,其中点、Q在抛物线对称轴的左侧.
(1)求抛物线的解析式;
(1)如图1,当时,求点的坐标;
(2)如图2,当点恰好在轴上时,为直线下方的抛物线上一动点,连接、,其中交于点,设的面积为,的面积为.求的最大值.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】平行四边形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC=BA,DC∥BA,
∴,,
设FG=a,则GE=1+a,GB=DC+GA,
∴,
解得a=8,
∴GF=8,
故答案为:C
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA,DC∥BA,进而根据平行线分线段成比例即可得到,,设FG=a,则GE=1+a,GB=DC+GA,根据题意即可列出方程,进而即可求解。
2.【答案】B
【知识点】矩形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图,∵OF=2OG,
∴,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD∥AB,
∴,
∴CF=2BC,
设BC=CE=a,则CF=2a,设OC=b,则OE=OC+CE=a+b,
∵DE是半圆O的直径,
∴DE=2OE=2(a+b),
∴DC=DE-CE=2(a+b)-a=a+2b,
∴S矩形ABCD=DC·BC=(a+2b)a,
∵S矩形ABCD=CF2=(2a)2=4a2,
∴4a2=a(a+2b),
∴b=,
∵S△OCF=OC·CF=b·2a=,
∴S△OCF∶S矩形ABCD=.
故答案为:B.
【分析】由矩形对边平行得CD∥AB,由平行线分线段成比例及已知得,则CF=2BC,设BC=CE=a,则CF=2a,设OC=b,则OE=OC+CE=a+b,DE=2OE=2(a+b),由线段的和差得DC=DE-CE=2(a+b)-a=a+2b,由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b),则b=,然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积,从而此题得解了.
3.【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:A.∵是的中位线,
∴,,,
∴,故A不符合题意;
B.∵,
∴点E为的中点,
∴,,
∵,
∴,
∴,故B不符合题意;
C.∵M为的中点,
∴,
∵,
∴,故C符合题意;
D.∵,,
∴,故D不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据 是的中位线 , , 再结合图形,对每个选项一一判断即可。
4.【答案】D
【知识点】二次函数的最值;勾股定理;平行四边形的判定与性质;矩形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:在中,,

设,则,

,即,


四边形和都是矩形,

四边形是平行四边形,




当时,有最小值,

,,

即当矩形和矩形的面积和最小时,则的长度为,
故答案为:D.
【分析】利用勾股定理可得AC的值,设CD=x,则AD=5-x,根据平行线分线段成比例的性质可得CE,然后表示出BE,易得三角形ABFD为平行四边形,则BF=AD=5-x,根据S阴影=S矩形CDGE+S矩形HEBF表示出S阴影,由二次函数的性质可得面积最小时对应的x的值,然后求出BE、BF的值,再利用勾股定理进行计算.
5.【答案】D
【知识点】角平分线的性质;勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:如图,作EG⊥AC于G,
∵CE平分∠ACB,
∴EG=EB,
∴AE=AB-BE=3-EG
由CE=CE,
∴Rt△BCE≌Rt△GCE(HL)
∴CB=CG,
∴CG=4,
∵ ,
∴AG=AC-CG=5-4=1,
在Rt△AEG中, ,
则 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵O和F分别是AC、CE的中点,
∴OF是△CAE的中位线,
∴ 且 ,
因为 ,
∴ ,
由矩形可知, ,
∴ ,
解得: ,
经检验,符合题意,
过N点分别向BC、OF作垂线,垂足分别为M、K,
由 ,得: ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
延长OF与BC交于点H,则NK+CH=CM= ,
∴△CNO的面积 .
故答案为:D.
【分析】作EG⊥AC于G,由角平分线的性质可得EG=EB,证明Rt△BCE≌Rt△GCE,得到CB=CG=4,由勾股定理求出AC,进而得到AG,在Rt△AEG中,应用勾股定理可得EG,进而求出BE、AE,易知OF是△CAE的中位线,得到OF∥AE,OF=AE,由矩形的性质可得BD=AC=5,由平行线分线段成比例的性质可得BN,过N分别向BC、OF作垂线,垂足分别为M、K,易得BM、CM的值,延长OF与BC交于点H,求出CM,据此求解.
6.【答案】A
【知识点】三角形的面积;三角形全等的判定;正方形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:设 ,
四边形 是正方形,
, ,
在 和 中,



在 和 中,







, ,

故答案为:A.
【分析】设,先证 ,再证 ,可得 ,由,可得,根据平行线分线段成比例可得 ,可得, ,利用三角形的面积公式即可结论.
7.【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题;平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵点C在坐标平面内,BC=1,
∴C在半径为1的 上,
如图所示,取 ,连接CD,
∵AM=CM,OD=OA,
∴OM为△ACD的中位线,
∴ ,
当OM最大时,即CD最大,
此时D,B,C三点共线,
∵ ,∠BOD=90°,
∴BD=2,
∴CD=2+1=3,
作CE⊥x轴于E点,
∵CE∥OB,
∴ ,即: ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵M是AC的中点,
∴ ,
故答案为:C.
【分析】根据同圆的半径相等可知:点C在半径为1的,根据三角形的中位线定理可知,C在BD与圆B的交点时,OM最小,在BD的延长线上时,OM最大,根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标,进而即可求得M的坐标.
8.【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式;平行线的性质;三角形的面积;平行线分线段成比例;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:连接MN,
∵AD∥BC
∴S△ABM=S△NMA,
∴△AEB与△NME的面积相等,同理△NMF与△CDF的面积相等,
∴S阴影=S四边形ABCD﹣2S四边形MENF,
设AM=MD=a,BC=b,BN=x,S△AMN=S△DMN=k,k为常数

所以S△AEM:S△AMN=
∴S△AEM=
同理S△DFM=
令S=S△AEM+S△DFM=
= ,其分子为常数
令y=(a+x)(a+b﹣x)=-x2+bx+a2+ab
它的对称轴为x= ,开口向下
当0<x< 时,y随x的增大而增大,此时S随着x的增大而减小
所以S四边形MENF= 随x的增大而增大
所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而减小
当 <x<b时,y随x的增大而减小,此时S随着x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而增大
综上所述:S阴影先减小后增大
故答案为:C.
【分析】连接MN,根据平行线之间的距离处处相等可得: △AEB与△NME的面积相等,同理△NMF与△CDF的面积相等,从而得出S阴影=S四边形ABCD﹣2S四边形MENF,设AM=MD=a,BC=b,BN=x,S△AMN=S△DMN=k,根据平行线分线段成比例得出各部分面积与x的函数关系式,再利用函数的增减性判断即可.
9.【答案】D
【知识点】勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,
∴AC=BD= = = ,
∵EF∥AC∥HG,∴ ,
∵EH∥BD∥FG, ∴ ,
∴ =1,
∴EF+EH=AC= ,
∵EF∥HG,EH∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH的周长=2(EF+EH)= .
故答案为:D.
【分析】先利用勾股定理求出AC和BD,然后由平行线截线段成比例分别列式,两式联立,得出∴EF+EH=AC,可知EF和EH的长度之和,于是根据平行四边形的性质可得四边形EFGH的周长.
10.【答案】B
【知识点】三角形的面积;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图,过O作 ,交AC于G,
∵O是BD的中点,
∴G是DC的中点.
又 ,
设 ,又 ,

故答案为:B.
【分析】如图,过O作 ,交AC于G,根据平行线分线段成比例可得出AD:DC=1:2,从而可得AD=DG=GC,AG:GC=2:1,AO:OE=2:1,由△AOB与△BOE同高,可得S△AOB:S△BOE=AO:OE=2:1,由同高不同底的三角形中底与三角形的面积关系即可BE:FC的比.
11.【答案】
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;正方形的性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:过C点作于H点,如图所示:
∵四边形为正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
在和中,
∵,,,
∴,
∴,
∵C为的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
解得:,负值舍去,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【分析】过C点作于H点,证明,可得,易得,根据平行线分线段成比例可得,从而求出,由勾股定理可得,据此求出,即得,易求=45°,根据等角对等边即可求解.
12.【答案】-4;1
【知识点】矩形的性质;平行线分线段成比例;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:设,,则,
∵的面积为,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
把代入,得;
∵,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴,
故答案为:-4;1.
【分析】设C(c,0),B(b,0),则BC=b c,根据△BCG的面积为2,求得OG,再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF=OC∶BC,求得BF,进而得出P(c, ),再用待定系数法求得k;由,求得AB,再求得△DEG的面积,进而求得结果.
13.【答案】
【知识点】勾股定理;正方形的性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:如图:
∵大正方形与小正方形的面积之比为5,
∴=,
∴AD=EM,
设EM=a,AE=b,则AD=a,
由勾股定理得:AE2+DE2=AD2,
∴b2+(a+b)2=(a)2,
∴2b2+2ab﹣4a2=0,
(b﹣a)(b+2a)=0,
∵b+2a≠0,
∴b﹣a=0,
∴b=a,
∴AE=DM=a,
如图,延长BF交CD于N,
∵BN∥DE,CF=FM,
∴DN=CN,
∴EN=DM=a,
∵PN∥BG,
∴,
设PN=x,则BG=4x,
∵DE=BF,∠BFG=∠DEF,∠BGF=∠DPE,
∴△BFG≌△DEP(AAS),
∴PD=BG=4x,
同理得:EG=FP,
∴DN=3x=CN,
∴PC=2x,
∵CP∥BG,
∴, 即 ,
∴PH=PG=,
∵,
∴EF=a=GP=,
∴a=,
∴AD=a=.
故答案为:.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD=EM,设EM=a,AE=b,则AD=a,由勾股定理可得AE2+DE2=AD2,代入并化简得AE=DM=a,延长BF交CD于N,则EN=DM=a,根据平行线分线段成比例的性质可得,,设PN=x,则BG=4x,易证△BFG≌△DEP,得到PD=BG=4x,同理得:EG=FP,则DN=3x=CN,PC=2x,PH==PG=,
EF=a=GP,据此求出a的值,进而可得AD.
14.【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质;菱形的判定与性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS);直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:如图,设AC与 MN的交点为O ,
根据作图可得MN⊥AC,且平分AC ,

四边形ABCD是平行四边形,


又 , ,



四边形AECF是平行四边形,
∵MN垂直平分AC ,

四边形AECF是菱形,
, ,


∴E为BC的中点,
中, , ,


四边形AECF的周长为 .
故答案为: .
【分析】设AC与MN的交点为O,根据作图可得MN⊥AC且平分AC,则AO=OC,根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE,证明△AOF≌△COE,得到AF=EC,推出四边形AECF是平行四边形,结合EA=EC可得四边形AECF为菱形,易得EF∥AB,根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点,根据勾股定理可得BC,由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC,据此求解.
15.【答案】12
【知识点】三角形的面积;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图所示:延长EF、DF分布交AC于点M、N,
,,,,


令,则,





设,



求出,
.
故答案为:12.
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N,由已知条件得CE=3BE,AD=2BD,令AM=x,则CM=3x,AC=4x,AN=x,CN=x,MN=x,则,,结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64,S△NMF∶S△MEC=25∶81,设S△NMF=25a,则S△NAD=64a,S△MEC=81a,S四边形FECN=56a,S△ABC=2+120a,结合就可求出a的值,进而可得S△ABC.
16.【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;正方形的性质;平行线分线段成比例;旋转的性质
【解析】【解答】解:由旋转变换的性质可知,△MBC是等边三角形,∴MC=BC=a,
作MG⊥BC于G,MH⊥CD于H,
则BG=GC,AB∥MG∥CD,
∴AM=MN,
∵MH⊥CD,∠D=90°,
∴MH∥AD,
∴NH=HD,
由题意得,∠MCD=30°,
∴,
∴,
∴,
∴△MNC的面积,
故答案为:.
【分析】作MG⊥BC于G,MH⊥CD于H,利用旋转的性质易证△BMC是等边三角形,得MC=BC=a,利用等边三角形三线合一的性质可证得BG=CG,AB∥MG∥CD,根据平行线分线段成比例定理得AM=MN,NH=DH,根据角的和差得∠MCD=30°,利用勾股定理表示出MH,DH的长;再根据CN=CH-NH,可表示出CN的长,然后利用三角形的面积公式可求出△NMC的面积.
17.【答案】解:取AD的中点G,并连接EG在△ABD中,E是AB的中点,由题知EG∥BD.又CD:DG=3:1,∴在△CEG中,CF:FE=CD:DG=3:1,∴S△DFC:S△DFE=3:1.设S△DEF=x,则S△DFC=3x,S△DEC=4x.由于AD:DC=2:3,∴S△EAD:S△ECD=2:3,∴S△EAD= S△DEC= x,S△ACE= x+4x= x,又因为E是AB中点,所以S△ACE= S△ABC=20,∴ x=20,解得x=3,即S△DEF=3,∴S△ADE= x=8,∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G,并连接EG,由中位线定理可得EG∥BD,即可得到CF:FE的值,进而得到S△DFC:S△DFE的比值;设S△DEF=x,则S△DFC=3x,S△DEC=4x,根据AD:DC的值可求得S△EAD:S△ECD的比值,进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE;然后结合三角形面积建立方程求得x值,即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF,可求得答案。
18.【答案】(1)证明:因为在矩形ABCD中,AD∥BC,
所以∠DAF=∠AEB.
因为DF⊥AE,
所以∠DFA=∠B=90°.
由题意得,AD=AE,
所以△ADF≌△EAB,
所以DF=AB.
(2)解:因为在矩形ABCD中,∠B=90°,AD=BC,
所以AD=6+3=9.
所以AE=AD=9,
所以
因为△ADF≌△EAB,
所以AF=BE=6,
所以FE=3.
作FG⊥BC于点G,则FG∥AB,
所以,
所以GE=2,BG=4,
所以,
所以
【知识点】勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可证得AD∥BC,利用平行线的性质可证得∠DAF=∠AEB,利用垂直的定义证明∠DFA=∠ABE=90°,利用AAS可证得△ADF≌△EAB,利用全等三角形的性质可证得结论.
(2)利用已知可求出AD,AE的长,利用勾股定理求出AB的长,再利用全等三角形的性质可得到AF的长,即可求出EF的长;作FG⊥BC于点G,则FG∥AB,利用平行线分线段成比例定理可求出GE,BG的长;然后利用勾股定理先求出FG的长,然后求出BF的长.
19.【答案】(1)解:如图1或图2,即为所求.
如图1:根据勾股定理可得:,
∵,,
∴四边形为平行四边形,
∴与互相平分.
如图2:根据勾股定理可得:,,
∴四边形为平行四边形,
∴与互相平分.
(2)解:如图∶
∵,
∴点G、H、为EI的三等分点,
∵,
∴点J、K为EF的三点等分点,
过EF的三等分点画出MN即可.
如图,M1N1、M2N2、M3N3即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质;平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)答案不唯一,将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H,点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G,连接GE、FG、FH、HE、GH,易得四边形EGFH是平行四边形,由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段;或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H,点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G,连接GE、FG、FH、HE、GH,易得四边形EGFH是平行四边形,由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段;
(2)易得JG∥KH∥FI,由平行线等分线段定理得 点J、K为EF的三点等分点, 过EF的三等分点画出MN即可.
20.【答案】(1)证明:如图1,过点E作,交于点H,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)解:如图2,过点E作,垂足为M,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴点A、C、G、E四点共圆,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】勾股定理;平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)先求出 , 再求出 , 最后证明求解即可;
(2)根据题意先求出 , 再求出 , 最后利用勾股定理计算求解即可。
21.【答案】(1);
(2)解:当点M为线段AB中点时,点P落在线段BC上,
分及两种情况考虑.
当时,如图1所示.


当时,y取最大值,最大值为1;
当时,如图2所示.
,则,,



.

当x取时,y取最大值,最大值为.
综上所述:y关于x的函数表达式为,
当时,y的值最大,最大值为.
【知识点】勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:(1)∵在中,,,,
.

,即.

,,
.
四边形AMPN为矩形,
.
故答案为;
【分析】(1)在中由勾股定理求出BC,由平行线分线段成比例可得,据此求出,,从而得出,根据矩形的性质可得;
(2) 分及两种情况考虑,据此分别画图,求出y关于x函数关系式,再利用二次函数的性质分别求解,再比较即可.
22.【答案】(1)证明:∵四边形是平行四边形,
∴, ,

∴,
在中,

∴,
同理可得,则,
又∵

∴四边形是菱形;
(2)解:①证明:∵四边形是平行四边形,.

在中,,,
∴,
∴是直角三角形,且,
∴,
∴四边形是菱形;
②∵四边形是菱形;

∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
如图所示,过点作交于点,
∴,
∴,
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理;平行四边形的性质;菱形的判定与性质;平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质,通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA,从而判定四边形ABCD是菱形;
(2)①在△AOD中,利用三边长度,根据勾股定理的逆定理,得出∠AOD=90°,然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论;②如图所示,过点O作OG∥CD交BC于点G, 可得:,所以,要求只需求即可,根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD,结合已知,可得∠E=∠CDE,所以,再根据三角形中位线定理的推论,得出,从而得出,所以。
23.【答案】(1)0或2或
(2)解:①如图,设直线l与BC交于点F. 依题意得:
, 解得:
抛物线的解析式为:y=.
可知P (1,9),C(0,8).
由B(4,0),C(0,8)得直线BC的解析式为
F(1,6),则PF=9-6=3
②-存在最大值,理由如下:
如图,设直线交轴于H.
由①得:OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,
PH= 由OD//PH得:,

OD=

=
-3<0,0【知识点】二次函数的最值;二次函数图象与坐标轴的交点问题;三角形的面积;平行线分线段成比例;一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解:(1)①当a-2=0,即a=2时,y=3x+,此时函数图象与坐标轴有两个交点,满足题意;
②当a-2≠0时,
∵图象与坐标轴有两个公共点,
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点,其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点,与y轴有一个交点两种情况.
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时,将(0,0)代入可得b=0,此时a=4b=0,y=-2x2+x,
令y=0,得x=0或,
∴图象与x轴的交点坐标为(0,0)、(,0).
当抛物线与x轴有1个交点,与y轴有1个交点时,△=(a+1)2-4(a-2)×a=0,解得a=-,
∴y=-x2+x-,
令y=0,得x1=x2=
令x=0,得y=-,
∴与x轴的交点为(,0),与y轴的交点为(0,-).
综上可得:a的值为2或0或-.
【分析】(1)①当a-2=0,即a=2时,y=3x+,此时函数图象与坐标轴有两个交点,满足题意;②当a-2≠0时,由题意可得抛物线可能存在与x轴有两个交点,其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点,与y轴有一个交点两种情况,当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时,将(0,0)代入可得a、b的值;当抛物线与x轴有1个交点,与y轴有1个交点时,根据△=(a+1)2-4(a-2)×a=0可得a的值,据此解答;
(2)①设直线l与BC交于点E,利用待定系数法可得抛物线以及直线BC的解析式,然后求出F的坐标,得到PF的值,再根据三角形的面积公式进行计算;
②设直线x=m交x轴于H,由①得OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P(m,-m2+2m+8),则PH=-m2+2m+8,根据平行线分线段成比例的性质可得OD=8-2m,根据面积间的和差关系以及三角形的面积公式可得S1-S2=-3(m-)2+,然后由二次函数的性质进行求解.
24.【答案】(1)解:如图所示,过点作对称轴的垂线,垂足为,
设,则,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:或,
∵其中点在抛物线对称轴的左侧.
∴,
∴,
设直线的解析式为,
∴,
解得:,
∴直线的解析式为,
联立,
解得:或,
∴;
(2)解:依题意,点恰好在轴上,则,
设直线的解析式为,
将代入得,
解得:,
∴直线的解析式为,
设,设直线的解析式为,
则,
∴直线的解析式为,
联立,
解得:,
∴,


∴当时,取得最大值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;平行线分线段成比例;一次函数的性质;二次函数y=ax^2+bx+c的图象;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)过点作对称轴的垂线,垂足为,设,则,先根据平行线分线段成比例得到,再结合点C的坐标即可求出m的值,进而即可得到点M的坐标,再运用待定系数法求一次函数即可得到直线BM的解析式,进而联立即可求解;
(2)先根据题意运用待定系数法求一次函数即可得到直线QB的解析式,设,再运用待定系数法求一次函数即可得到直线OP的解析式,进而即可得到,再根据题意即可求解。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步测试(培优版)
一、选择题(每题3分,共30分)
1.(2023·雅安)如图,在中,F是上一点,交于点E,的延长线交的延长线于点G,,,则的长为(  )
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴DC=BA,DC∥BA,
∴,,
设FG=a,则GE=1+a,GB=DC+GA,
∴,
解得a=8,
∴GF=8,
故答案为:C
【分析】先根据平行四边形的性质即可得到DC=BA,DC∥BA,进而根据平行线分线段成比例即可得到,,设FG=a,则GE=1+a,GB=DC+GA,根据题意即可列出方程,进而即可求解。
2.(2023九下·鹿城月考)如图,在矩形中,,延长至点,使得,以为直径的半圆交延长线于点.欧几里得在《几何原本》中利用该图得到结论:矩形的面积等于的平方(即).现连接并延长交于点,若,则与矩形的面积之比为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】矩形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图,∵OF=2OG,
∴,
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD∥AB,
∴,
∴CF=2BC,
设BC=CE=a,则CF=2a,设OC=b,则OE=OC+CE=a+b,
∵DE是半圆O的直径,
∴DE=2OE=2(a+b),
∴DC=DE-CE=2(a+b)-a=a+2b,
∴S矩形ABCD=DC·BC=(a+2b)a,
∵S矩形ABCD=CF2=(2a)2=4a2,
∴4a2=a(a+2b),
∴b=,
∵S△OCF=OC·CF=b·2a=,
∴S△OCF∶S矩形ABCD=.
故答案为:B.
【分析】由矩形对边平行得CD∥AB,由平行线分线段成比例及已知得,则CF=2BC,设BC=CE=a,则CF=2a,设OC=b,则OE=OC+CE=a+b,DE=2OE=2(a+b),由线段的和差得DC=DE-CE=2(a+b)-a=a+2b,由矩形的面积计算公式及已知得4a2=a(a+2b),则b=,然后用含a的式子表示出三角形OCF的面积,从而此题得解了.
3.(2023·香坊模拟)如图,是的中位线,点F在线段上,,连接交于点E,下列说法错误的是(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:A.∵是的中位线,
∴,,,
∴,故A不符合题意;
B.∵,
∴点E为的中点,
∴,,
∵,
∴,
∴,故B不符合题意;
C.∵M为的中点,
∴,
∵,
∴,故C符合题意;
D.∵,,
∴,故D不符合题意.
故答案为:C.
【分析】根据 是的中位线 , , 再结合图形,对每个选项一一判断即可。
4.(2023九上·长兴期末)在中,,点是边上的一动点,过点作交边于点,过点作交的延长线于点,分别以为对角线画矩形和矩形,则在从到的运动过程中,当矩形和矩形的面积和最小时,则的长度为(  )
A. B. C.6 D.
【答案】D
【知识点】二次函数的最值;勾股定理;平行四边形的判定与性质;矩形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:在中,,

设,则,

,即,


四边形和都是矩形,

四边形是平行四边形,




当时,有最小值,

,,

即当矩形和矩形的面积和最小时,则的长度为,
故答案为:D.
【分析】利用勾股定理可得AC的值,设CD=x,则AD=5-x,根据平行线分线段成比例的性质可得CE,然后表示出BE,易得三角形ABFD为平行四边形,则BF=AD=5-x,根据S阴影=S矩形CDGE+S矩形HEBF表示出S阴影,由二次函数的性质可得面积最小时对应的x的值,然后求出BE、BF的值,再利用勾股定理进行计算.
5.(2021九上·平阳月考)如图,在矩形 中, , , 平分 ,与对角线 相交于点N,F是线段 的中点,则 为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】角平分线的性质;勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:如图,作EG⊥AC于G,
∵CE平分∠ACB,
∴EG=EB,
∴AE=AB-BE=3-EG
由CE=CE,
∴Rt△BCE≌Rt△GCE(HL)
∴CB=CG,
∴CG=4,
∵ ,
∴AG=AC-CG=5-4=1,
在Rt△AEG中, ,
则 ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵O和F分别是AC、CE的中点,
∴OF是△CAE的中位线,
∴ 且 ,
因为 ,
∴ ,
由矩形可知, ,
∴ ,
解得: ,
经检验,符合题意,
过N点分别向BC、OF作垂线,垂足分别为M、K,
由 ,得: ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
延长OF与BC交于点H,则NK+CH=CM= ,
∴△CNO的面积 .
故答案为:D.
【分析】作EG⊥AC于G,由角平分线的性质可得EG=EB,证明Rt△BCE≌Rt△GCE,得到CB=CG=4,由勾股定理求出AC,进而得到AG,在Rt△AEG中,应用勾股定理可得EG,进而求出BE、AE,易知OF是△CAE的中位线,得到OF∥AE,OF=AE,由矩形的性质可得BD=AC=5,由平行线分线段成比例的性质可得BN,过N分别向BC、OF作垂线,垂足分别为M、K,易得BM、CM的值,延长OF与BC交于点H,求出CM,据此求解.
6.(2021·贵港)如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两点,且EF=2AE=2CF,连接DE并延长交AB于点M,连接DF并延长交BC于点N,连接MN,则 (  )
A. B. C.1 D.
【答案】A
【知识点】三角形的面积;三角形全等的判定;正方形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:设 ,
四边形 是正方形,
, ,
在 和 中,



在 和 中,







, ,

故答案为:A.
【分析】设,先证 ,再证 ,可得 ,由,可得,根据平行线分线段成比例可得 ,可得, ,利用三角形的面积公式即可结论.
7.(2021九上·长沙期末)如图,点A,B的坐标分别为 、 ,点C为坐标平面内一点, ,点M为线段 的中点,连接 ,当 最大时,M点的坐标为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题;平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵点C在坐标平面内,BC=1,
∴C在半径为1的 上,
如图所示,取 ,连接CD,
∵AM=CM,OD=OA,
∴OM为△ACD的中位线,
∴ ,
当OM最大时,即CD最大,
此时D,B,C三点共线,
∵ ,∠BOD=90°,
∴BD=2,
∴CD=2+1=3,
作CE⊥x轴于E点,
∵CE∥OB,
∴ ,即: ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵M是AC的中点,
∴ ,
故答案为:C.
【分析】根据同圆的半径相等可知:点C在半径为1的,根据三角形的中位线定理可知,C在BD与圆B的交点时,OM最小,在BD的延长线上时,OM最大,根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标,进而即可求得M的坐标.
8.(2021九上·乐清期末)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点M是AD的中点,若动点N从点B出发沿边BC方向向终点C运动,连结BM,CM,AN,DN,则在整个运动过程中,阴影部分面积和的大小变化情况是(  )
A.不变 B.一直变大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式;平行线的性质;三角形的面积;平行线分线段成比例;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:连接MN,
∵AD∥BC
∴S△ABM=S△NMA,
∴△AEB与△NME的面积相等,同理△NMF与△CDF的面积相等,
∴S阴影=S四边形ABCD﹣2S四边形MENF,
设AM=MD=a,BC=b,BN=x,S△AMN=S△DMN=k,k为常数

所以S△AEM:S△AMN=
∴S△AEM=
同理S△DFM=
令S=S△AEM+S△DFM=
= ,其分子为常数
令y=(a+x)(a+b﹣x)=-x2+bx+a2+ab
它的对称轴为x= ,开口向下
当0<x< 时,y随x的增大而增大,此时S随着x的增大而减小
所以S四边形MENF= 随x的增大而增大
所以S空白=2S四边形MENF随x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而减小
当 <x<b时,y随x的增大而减小,此时S随着x的增大而增大
所以S阴影随x的增大而增大
综上所述:S阴影先减小后增大
故答案为:C.
【分析】连接MN,根据平行线之间的距离处处相等可得: △AEB与△NME的面积相等,同理△NMF与△CDF的面积相等,从而得出S阴影=S四边形ABCD﹣2S四边形MENF,设AM=MD=a,BC=b,BN=x,S△AMN=S△DMN=k,根据平行线分线段成比例得出各部分面积与x的函数关系式,再利用函数的增减性判断即可.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上,EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,则四边形EFGH的周长是(  )
A. B.13 C. D.
【答案】D
【知识点】勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,
∴AC=BD= = = ,
∵EF∥AC∥HG,∴ ,
∵EH∥BD∥FG, ∴ ,
∴ =1,
∴EF+EH=AC= ,
∵EF∥HG,EH∥FG,
∴四边形EFGH是平行四边形,
∴四边形EFGH的周长=2(EF+EH)= .
故答案为:D.
【分析】先利用勾股定理求出AC和BD,然后由平行线截线段成比例分别列式,两式联立,得出∴EF+EH=AC,可知EF和EH的长度之和,于是根据平行四边形的性质可得四边形EFGH的周长.
10.(2019·凉山)如图,在 中,D在AC边上, ,O是BD的中点,连接AO并延长交BC于E,则 (  )
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:3
【答案】B
【知识点】三角形的面积;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图,过O作 ,交AC于G,
∵O是BD的中点,
∴G是DC的中点.
又 ,
设 ,又 ,

故答案为:B.
【分析】如图,过O作 ,交AC于G,根据平行线分线段成比例可得出AD:DC=1:2,从而可得AD=DG=GC,AG:GC=2:1,AO:OE=2:1,由△AOB与△BOE同高,可得S△AOB:S△BOE=AO:OE=2:1,由同高不同底的三角形中底与三角形的面积关系即可BE:FC的比.
二、填空题(每空4分,共24分)
11.(2023·南开模拟)如图,正方形中,E为上一点,过B作于G,延长至点F使,延长交于点M,连接,若C为中点,,则的长为   .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质;勾股定理;正方形的性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:过C点作于H点,如图所示:
∵四边形为正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∴,,
∴,
在和中,
∵,,,
∴,
∴,
∵C为的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
解得:,负值舍去,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴.
故答案为:.
【分析】过C点作于H点,证明,可得,易得,根据平行线分线段成比例可得,从而求出,由勾股定理可得,据此求出,即得,易求=45°,根据等角对等边即可求解.
12.(2023九上·鄞州期末)如图,矩形中,点,在轴上,交轴于点,点在上,,连接交轴于点,过点作轴交于点,点在函数的图象上.若的面积为,则的值为    ;的面积与的面积差为    .
【答案】-4;1
【知识点】矩形的性质;平行线分线段成比例;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:设,,则,
∵的面积为,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
把代入,得;
∵,
∴,
∴,,
∴,
∵,
∴,
故答案为:-4;1.
【分析】设C(c,0),B(b,0),则BC=b c,根据△BCG的面积为2,求得OG,再由平行线分线段成比例定理得OG∶BF=OC∶BC,求得BF,进而得出P(c, ),再用待定系数法求得k;由,求得AB,再求得△DEG的面积,进而求得结果.
13.(2022九上·温州开学考)由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示.将小正方形对角线EF双向延长,分别交边AB,和边BC的延长线于点G,H.若大正方形与小正方形的面积之比为5,GH=2,则大正方形的边长为    .
【答案】
【知识点】勾股定理;正方形的性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【解答】解:如图:
∵大正方形与小正方形的面积之比为5,
∴=,
∴AD=EM,
设EM=a,AE=b,则AD=a,
由勾股定理得:AE2+DE2=AD2,
∴b2+(a+b)2=(a)2,
∴2b2+2ab﹣4a2=0,
(b﹣a)(b+2a)=0,
∵b+2a≠0,
∴b﹣a=0,
∴b=a,
∴AE=DM=a,
如图,延长BF交CD于N,
∵BN∥DE,CF=FM,
∴DN=CN,
∴EN=DM=a,
∵PN∥BG,
∴,
设PN=x,则BG=4x,
∵DE=BF,∠BFG=∠DEF,∠BGF=∠DPE,
∴△BFG≌△DEP(AAS),
∴PD=BG=4x,
同理得:EG=FP,
∴DN=3x=CN,
∴PC=2x,
∵CP∥BG,
∴, 即 ,
∴PH=PG=,
∵,
∴EF=a=GP=,
∴a=,
∴AD=a=.
故答案为:.
【分析】根据正方形的性质结合题意可得AD=EM,设EM=a,AE=b,则AD=a,由勾股定理可得AE2+DE2=AD2,代入并化简得AE=DM=a,延长BF交CD于N,则EN=DM=a,根据平行线分线段成比例的性质可得,,设PN=x,则BG=4x,易证△BFG≌△DEP,得到PD=BG=4x,同理得:EG=FP,则DN=3x=CN,PC=2x,PH==PG=,
EF=a=GP,据此求出a的值,进而可得AD.
14.(2022·苏州)如图,在平行四边形ABCD中, , , ,分别以A,C为圆心,大于 的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线,与BC交于点E,与AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为   .
【答案】10
【知识点】线段垂直平分线的性质;菱形的判定与性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS);直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解:如图,设AC与 MN的交点为O ,
根据作图可得MN⊥AC,且平分AC ,

四边形ABCD是平行四边形,


又 , ,



四边形AECF是平行四边形,
∵MN垂直平分AC ,

四边形AECF是菱形,
, ,


∴E为BC的中点,
中, , ,


四边形AECF的周长为 .
故答案为: .
【分析】设AC与MN的交点为O,根据作图可得MN⊥AC且平分AC,则AO=OC,根据平行四边形以及平行线的性质可得∠FAO=∠OCE,证明△AOF≌△COE,得到AF=EC,推出四边形AECF是平行四边形,结合EA=EC可得四边形AECF为菱形,易得EF∥AB,根据平行线分线段成比例的性质可得E为BC的中点,根据勾股定理可得BC,由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=BC,据此求解.
15.(2022·常德)如图,已知是内的一点,,,若的面积为2,,,则的面积是   .
【答案】12
【知识点】三角形的面积;平行线分线段成比例
【解析】【解答】解:如图所示:延长EF、DF分布交AC于点M、N,
,,,,


令,则,





设,



求出,
.
故答案为:12.
【分析】延长EF、DF分布交AC于点M、N,由已知条件得CE=3BE,AD=2BD,令AM=x,则CM=3x,AC=4x,AN=x,CN=x,MN=x,则,,结合三角形面积公式得S△NMF∶S△NAD=25∶64,S△NMF∶S△MEC=25∶81,设S△NMF=25a,则S△NAD=64a,S△MEC=81a,S四边形FECN=56a,S△ABC=2+120a,结合就可求出a的值,进而可得S△ABC.
16.(2021九上·自贡期中)如图,在边长为正方形 中,把边绕点逆时针旋转60°,得到线段,连接并延长交于,连接,则⊿的面积为    .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质;含30°角的直角三角形;正方形的性质;平行线分线段成比例;旋转的性质
【解析】【解答】解:由旋转变换的性质可知,△MBC是等边三角形,∴MC=BC=a,
作MG⊥BC于G,MH⊥CD于H,
则BG=GC,AB∥MG∥CD,
∴AM=MN,
∵MH⊥CD,∠D=90°,
∴MH∥AD,
∴NH=HD,
由题意得,∠MCD=30°,
∴,
∴,
∴,
∴△MNC的面积,
故答案为:.
【分析】作MG⊥BC于G,MH⊥CD于H,利用旋转的性质易证△BMC是等边三角形,得MC=BC=a,利用等边三角形三线合一的性质可证得BG=CG,AB∥MG∥CD,根据平行线分线段成比例定理得AM=MN,NH=DH,根据角的和差得∠MCD=30°,利用勾股定理表示出MH,DH的长;再根据CN=CH-NH,可表示出CN的长,然后利用三角形的面积公式可求出△NMC的面积.
三、解答题(共8题,共66分)
17.如图.在△ABC中,E是AB的中点,D是AC上的一点,且AD:DC=2:3,BD与CE交于F,S△ABC=40,求SAEFD.
【答案】解:取AD的中点G,并连接EG在△ABD中,E是AB的中点,由题知EG∥BD.又CD:DG=3:1,∴在△CEG中,CF:FE=CD:DG=3:1,∴S△DFC:S△DFE=3:1.设S△DEF=x,则S△DFC=3x,S△DEC=4x.由于AD:DC=2:3,∴S△EAD:S△ECD=2:3,∴S△EAD= S△DEC= x,S△ACE= x+4x= x,又因为E是AB中点,所以S△ACE= S△ABC=20,∴ x=20,解得x=3,即S△DEF=3,∴S△ADE= x=8,∴S AEFD=S△ADE+S△DEF=8+3=11
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】首先取AD的中点G,并连接EG,由中位线定理可得EG∥BD,即可得到CF:FE的值,进而得到S△DFC:S△DFE的比值;设S△DEF=x,则S△DFC=3x,S△DEC=4x,根据AD:DC的值可求得S△EAD:S△ECD的比值,进而用含x的代数式表示出S△EAD、S△ACE;然后结合三角形面积建立方程求得x值,即可由S四边形AEFD=S△ADE+S△DEF,可求得答案。
18.(2023·拱墅模拟)如图,在矩形ABCD中,AB(1)求证:DF=AB.
(2)连接BF,若BE=6,CE=3,求线段BF的长.
【答案】(1)证明:因为在矩形ABCD中,AD∥BC,
所以∠DAF=∠AEB.
因为DF⊥AE,
所以∠DFA=∠B=90°.
由题意得,AD=AE,
所以△ADF≌△EAB,
所以DF=AB.
(2)解:因为在矩形ABCD中,∠B=90°,AD=BC,
所以AD=6+3=9.
所以AE=AD=9,
所以
因为△ADF≌△EAB,
所以AF=BE=6,
所以FE=3.
作FG⊥BC于点G,则FG∥AB,
所以,
所以GE=2,BG=4,
所以,
所以
【知识点】勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例;三角形全等的判定(AAS)
【解析】【分析】(1)利用矩形的性质可证得AD∥BC,利用平行线的性质可证得∠DAF=∠AEB,利用垂直的定义证明∠DFA=∠ABE=90°,利用AAS可证得△ADF≌△EAB,利用全等三角形的性质可证得结论.
(2)利用已知可求出AD,AE的长,利用勾股定理求出AB的长,再利用全等三角形的性质可得到AF的长,即可求出EF的长;作FG⊥BC于点G,则FG∥AB,利用平行线分线段成比例定理可求出GE,BG的长;然后利用勾股定理先求出FG的长,然后求出BF的长.
19.(2023·文成模拟)如图,在的方格纸中,请按要求画格点线段(端点在格点上),且线段的端点均不与点A,B,C,D重合.
(1)在图1中画一条格点线段,使G,H分别落在边,上,且与互相平分.
(2)在图2上画一条格点线段,使M,N分别落在边,上,且要求分为两部分.
【答案】(1)解:如图1或图2,即为所求.
如图1:根据勾股定理可得:,
∵,,
∴四边形为平行四边形,
∴与互相平分.
如图2:根据勾股定理可得:,,
∴四边形为平行四边形,
∴与互相平分.
(2)解:如图∶
∵,
∴点G、H、为EI的三等分点,
∵,
∴点J、K为EF的三点等分点,
过EF的三等分点画出MN即可.
如图,M1N1、M2N2、M3N3即为所求.
【知识点】平行四边形的判定与性质;平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)答案不唯一,将点E向下平移四个单位长度后的对应点记为点H,点F向上平移四个单位长度后的对应点记为点G,连接GE、FG、FH、HE、GH,易得四边形EGFH是平行四边形,由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段;或将点E向下平移四个单位长度后再向右平移一个单位长度的对应点记为点H,点F向上平移四个单位长度后再向左平移一个单位长度的对应点记为点G,连接GE、FG、FH、HE、GH,易得四边形EGFH是平行四边形,由平行四边形的对角线互相平分即可得出GH就是所求的线段;
(2)易得JG∥KH∥FI,由平行线等分线段定理得 点J、K为EF的三点等分点, 过EF的三等分点画出MN即可.
20.(2023·亳州模拟)如图,中,于点E,点F是上一点,连接并延长交于点D,于点G,连接.
(1)如图1,若,求证:;
(2)如图2,若,求线段的长.
【答案】(1)证明:如图1,过点E作,交于点H,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴;
(2)解:如图2,过点E作,垂足为M,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴点A、C、G、E四点共圆,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
【知识点】勾股定理;平行线分线段成比例
【解析】【分析】(1)先求出 , 再求出 , 最后证明求解即可;
(2)根据题意先求出 , 再求出 , 最后利用勾股定理计算求解即可。
21.(2023·淮阴模拟)如图,在中,,,,M是AB上的动点不与A、B重合,过点M作交AC于点N,以MN为直径作,并在内作内接矩形设.
(1)的面积   ,   ;用含x的代数式表示
(2)在动点M的运动过程中,设与四边形MNCB重合部分的面积为试求y关于x的函数表达式,并求出x为何值时,y的值最大,最大值为多少?
【答案】(1);
(2)解:当点M为线段AB中点时,点P落在线段BC上,
分及两种情况考虑.
当时,如图1所示.


当时,y取最大值,最大值为1;
当时,如图2所示.
,则,,



.

当x取时,y取最大值,最大值为.
综上所述:y关于x的函数表达式为,
当时,y的值最大,最大值为.
【知识点】勾股定理;矩形的性质;平行线分线段成比例;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解:(1)∵在中,,,,
.

,即.

,,
.
四边形AMPN为矩形,
.
故答案为;
【分析】(1)在中由勾股定理求出BC,由平行线分线段成比例可得,据此求出,,从而得出,根据矩形的性质可得;
(2) 分及两种情况考虑,据此分别画图,求出y关于x函数关系式,再利用二次函数的性质分别求解,再比较即可.
22.(2023·江西)课本再现
思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗? 可以发现并证明菱形的一个判定定理; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
(1)定理证明:为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在中,对角线,垂足为.
求证:是菱形.
(2)知识应用:如图,在中,对角线和相交于点,.
①求证:是菱形;
②延长至点,连接交于点,若,求的值.
【答案】(1)证明:∵四边形是平行四边形,
∴, ,

∴,
在中,

∴,
同理可得,则,
又∵

∴四边形是菱形;
(2)解:①证明:∵四边形是平行四边形,.

在中,,,
∴,
∴是直角三角形,且,
∴,
∴四边形是菱形;
②∵四边形是菱形;

∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
如图所示,过点作交于点,
∴,
∴,
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理;平行四边形的性质;菱形的判定与性质;平行线分线段成比例;三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质,通过证明三角形全等得出AB=BC=CD=DA,从而判定四边形ABCD是菱形;
(2)①在△AOD中,利用三边长度,根据勾股定理的逆定理,得出∠AOD=90°,然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出结论;②如图所示,过点O作OG∥CD交BC于点G, 可得:,所以,要求只需求即可,根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ACB=∠ACD,结合已知,可得∠E=∠CDE,所以,再根据三角形中位线定理的推论,得出,从而得出,所以。
23.(2023·荆州)已知:y关于x的函数.
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点,且,则a的值是   ;
(2)如图,若函数的图象为抛物线,与x轴有两个公共点A(-2,0),B(4,0),并与动直线l:交于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中PA交y轴于点D,交BC于点E.设△PBE的面积为,△CDE的面积为.
①当点P为抛物线顶点时,求△PBC的面积;
②探究直线l在运动过程中,-是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)0或2或
(2)解:①如图,设直线l与BC交于点F. 依题意得:
, 解得:
抛物线的解析式为:y=.
可知P (1,9),C(0,8).
由B(4,0),C(0,8)得直线BC的解析式为
F(1,6),则PF=9-6=3
②-存在最大值,理由如下:
如图,设直线交轴于H.
由①得:OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,
PH= 由OD//PH得:,

OD=

=
-3<0,0【知识点】二次函数的最值;二次函数图象与坐标轴的交点问题;三角形的面积;平行线分线段成比例;一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解:(1)①当a-2=0,即a=2时,y=3x+,此时函数图象与坐标轴有两个交点,满足题意;
②当a-2≠0时,
∵图象与坐标轴有两个公共点,
∴抛物线可能存在与x轴有两个交点,其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点,与y轴有一个交点两种情况.
当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时,将(0,0)代入可得b=0,此时a=4b=0,y=-2x2+x,
令y=0,得x=0或,
∴图象与x轴的交点坐标为(0,0)、(,0).
当抛物线与x轴有1个交点,与y轴有1个交点时,△=(a+1)2-4(a-2)×a=0,解得a=-,
∴y=-x2+x-,
令y=0,得x1=x2=
令x=0,得y=-,
∴与x轴的交点为(,0),与y轴的交点为(0,-).
综上可得:a的值为2或0或-.
【分析】(1)①当a-2=0,即a=2时,y=3x+,此时函数图象与坐标轴有两个交点,满足题意;②当a-2≠0时,由题意可得抛物线可能存在与x轴有两个交点,其中一个交点为坐标原点或与x轴有一个交点,与y轴有一个交点两种情况,当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点时,将(0,0)代入可得a、b的值;当抛物线与x轴有1个交点,与y轴有1个交点时,根据△=(a+1)2-4(a-2)×a=0可得a的值,据此解答;
(2)①设直线l与BC交于点E,利用待定系数法可得抛物线以及直线BC的解析式,然后求出F的坐标,得到PF的值,再根据三角形的面积公式进行计算;
②设直线x=m交x轴于H,由①得OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P(m,-m2+2m+8),则PH=-m2+2m+8,根据平行线分线段成比例的性质可得OD=8-2m,根据面积间的和差关系以及三角形的面积公式可得S1-S2=-3(m-)2+,然后由二次函数的性质进行求解.
24.(2023·遂宁)在平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线经过点,,对称轴过点,,直线过点,且垂直于轴.过点的直线交抛物线于点、,交直线于点,其中点、Q在抛物线对称轴的左侧.
(1)求抛物线的解析式;
(1)如图1,当时,求点的坐标;
(2)如图2,当点恰好在轴上时,为直线下方的抛物线上一动点,连接、,其中交于点,设的面积为,的面积为.求的最大值.
【答案】(1)解:如图所示,过点作对称轴的垂线,垂足为,
设,则,
∵,
∴,
∵,
∴,
解得:或,
∵其中点在抛物线对称轴的左侧.
∴,
∴,
设直线的解析式为,
∴,
解得:,
∴直线的解析式为,
联立,
解得:或,
∴;
(2)解:依题意,点恰好在轴上,则,
设直线的解析式为,
将代入得,
解得:,
∴直线的解析式为,
设,设直线的解析式为,
则,
∴直线的解析式为,
联立,
解得:,
∴,


∴当时,取得最大值为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;平行线分线段成比例;一次函数的性质;二次函数y=ax^2+bx+c的图象;二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)过点作对称轴的垂线,垂足为,设,则,先根据平行线分线段成比例得到,再结合点C的坐标即可求出m的值,进而即可得到点M的坐标,再运用待定系数法求一次函数即可得到直线BM的解析式,进而联立即可求解;
(2)先根据题意运用待定系数法求一次函数即可得到直线QB的解析式,设,再运用待定系数法求一次函数即可得到直线OP的解析式,进而即可得到,再根据题意即可求解。
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