2023年浙教版数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步测试（提升版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九下·萧山期中）如图，，，相交于点若，，：（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
2．（2023九上·滨江期末）如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023九上·吴兴期末）如图，，直线与，，分别交于点和点，若，，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
4．（2023九上·镇海区期末）如图，已知，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．9 D．10
5．（2023九上·慈溪期末）如图，已知直线，直线，分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，，，，则的长为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
6．（2023九上·金东期末）如图，在中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，，且，则等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
7．（2022九上·长兴月考）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=2，GD=1，DF=5，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·余杭月考）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·上城月考）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，、的延长线交于点F.若，，则的长是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
10．（2022九上·杭州月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的（除外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023九下·义乌月考）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐.如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 .
12．（2022九上·东阳月考）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，则FN：ND＝ ．
13．（2022九上·拱墅期中）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝ .
14．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
15．（2022·秀洲模拟）如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE=3，CE=4，则AB的值
三、解答题（共9题，共70分）
16．（2022九上·东阳月考）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的线段BC上找一点O，使BO＝CO．
（2）在图②中画一条线段MN、将线段AB分为3：4两部分，（要求：点M、N均在格点上）
17．（2023九下·义乌月考）如图，过点的直线与轴，轴分别交于点，两点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，连接，的面积为6.
（1）求k的值和点D的坐标；
（2）如图，连接，，点在直线上，且位于第二象限内，若的面积是面积的2倍，求点的坐标.
18．（2022九上·宁波期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2，于点A，B，C和点D，E，F.
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长．
（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值．
19．（2022·温州模拟）如图，AB是的直径，弦于点E，F是上一点，连结AF并延长，与CD的延长线交于点G.连结FD，FC，AC.
（1）求证：.
（2）若F是的中点，，求GF的长.
20．（2022·温州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧 上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC=∠AGD．
（2）若G是 的中点，CE= CF=2，求GF的长．
21．（2022·江干模拟）如图，四边形 是菱形， 是 的中点， 的垂线 交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）求证： ；
（2）连接 ， .
求菱形 的周长；
若 ，求 的长.
22．（2022·拱墅模拟）如图，在锐角三角形ABC中， ，以BC为直径作 ，分别交AB，AC于点D，E，点F是BD的中点，连接BE，CF交于点G.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求线段AD的长（用含r的代数式表示）.
（3）若 ，探索CG与FG的数量关系，并说明理由.
23．（2022·温州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E是射线AD上一动点且以每秒3个单位的速度从A出发向右运动，连结BE交AC于点F，作EM⊥BC于M交直线AC于N，设E点运动时间为1秒．
（1）若将线段EN绕点F旋转后恰好落在直线AB上，则t=
（2）当点E在线段AD上运动时，若FN=5t-3，求t的值．
（3）连结FM，点E在运动过程中，是否存在t的值，使△FMN为等腰三角形？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．
24．阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD的延长线于M，N，则
（1）试证明： ；
（2）如图，O为直线AB上一点，OC，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB上，0P1＝r1，0P2＝r2，OP3＝r3，r与r′分别满足 ，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=1，CD=2，
∴AB：CD=BO：CO=1：2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AB：CD=BO：CO，据此解答.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接DE，由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC=2，CE=AC=3，由勾股定理可得BE的值，根据平行线分线段成比例的性质可得EF=BF，则BE=EF+BF=BF=5，求解可得BF的值.
3．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据计算即可.
4．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，由已知条件可得，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据计算可得BC的值，然后根据AC=AB+BC进行计算.
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵CE：BE=2：3，
∴BE：CB=3：5，
∵DE∥AB，
∴BE：CB=AD：AC=3：5.
故答案为：C
【分析】利用CE：BE=2：3，可得到BE：CB的值；再利用平行线分线段成比例定理，可求出AD：AC的值.
7．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，AD=1，DF=5，
∴AD=AG+GD=1+2=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴
故答案为：B
【分析】利用已知条件求出AD的长，再利用平行线分线段成比例定理可求出BC与CE的比值.
8．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，故A符合题意；B不符合题意
∴，故D，C不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用平行线分线段成比例定理，对各选项逐一判断.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，
∵、的延长线交于点F，
∴，
∵
∴，
∴是的中位线，
∴，，
在中，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】易，根据平行线分线段及，可得是的中位线，从而得出，，在中，利用勾股定理求出OA的长，从而求出OD，CB的长，利用CF=FB+BC即可求解.
10．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】 E为的中点，，
F为中点，
四边形ABCD为平行四边形，
，，
是的中线，是的中线，是的中线，
，
能表示的与面积相等的（除外）三角形有5个，
故答案为：C.
【分析】由平行线分线段成比例可得CF=DF，由平行四边形的性质可得AD=BC，CD=AB，利用三角形中线的性质可得，即可判断.
11．【答案】2
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点作于，交于，
∵，
∴，
故答案为：2.
【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例的性质可得，据此求解.
12．【答案】2：3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴EF：BC＝AF：AB，
∵AF：BF＝1：2，
∴AF：AB＝1：3，
∴EF：BC＝1：3，即EF＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∴FE：CD=2：3，
∵FE∥BD，
∴FN：ND＝FE：CD，
∴FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
【分析】如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，利用平行线分线段成比例，可求出EF：BC＝1：3，即EF＝BC，又CD＝BC，从而得到FE：CD=2：3，再利用平行线分线段成比例，可得FN：ND＝FE：CD，进而求得FN：ND.
13．【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴，
∴，
∴CF＝6，
∴BF＝CF+BC＝10.
故答案为：10.
【分析】连接EC，过点D作DH⊥EC于H，由矩形的性质可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，利用勾股定理可得DE，由等腰三角形的性质可得∠CDH＝∠EDH，由已知条件可知∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，推出∠CDH＝∠F，根据同角的余角相等可得∠BCE＝∠CDH，推出EC∥AF，利用平行线分线段成比例的性质可得CF，然后根据BF＝CF+BC进行计算.
14．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，
∴∠DAE=∠DAB，∠DAB=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA，
∴AE=DE，
又∵DE=3，CE=4，
∴AC=3+4=7，
∵DE∥AB，
∴CE：CA=ED：AB，即4：7=3：AB，
∴AB=.
【分析】由角平分线定义和平行线性质可推出∠DAE=∠EDA，从而得AE=DE，再由DE=3，CE=4可得AC=7，再由平行线分线段成比例，即CE：CA=ED：AB，代入数据即可求得AB的长.
16．【答案】（1）解：如图①中，点O为所求.
（2）解：如图②中，MN为所求．
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，对角线相互平分且相等，连接以C、B为边的中点的矩形的对角线，即对角线交BC于点O，点O即为所求；
（2）延长BC至点N，再把A点向右平移3个单位到M点，连接MN，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
17．【答案】（1）解：设点坐标为，由题意得，
，
点在的图象上，
，
直线的图象与轴交于点，
点的坐标为，
轴，
轴，
，
，
点的横坐标为4.
点在反比例函数的图象上
点坐标为；
（2）解：由（1）知轴，
，
，
，
过点作，垂足为点，交轴于点，
，，
，
，
点的横坐标为
点在直线上，
点的坐标为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）设D（m，n），由三角形的面积公式可得mn=6，求出mn的值，结合点D在反比例函数图象上可得k的值，令直线解析式中的y=0，求出x的值，可得点A的坐标，根据平行线分线段成比例的性质可得OH=AO=4，即点D的横坐标为4，将x=4代入反比例函数解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（2）由（1）可知CD∥y轴，则S△BCD=S△OCD，由题意可得S△BDE=2S△OCD，则S△EDC=3S△BCD，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，根据△EDC、△BCD的面积公式可得EF=3OH=12，则EM=8，即点E的横坐标为-8，将x=-8代入直线解析式中求出y的值，据此可得点E的坐标.
18．【答案】（1）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∵DE=7
∴EF=4
（2）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∴
∵EF=9
∴DE=6，DF=15
∵ = ，x>0
∴x=
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，可得比例式，即可求出EF的长.
（2）利用已知AD∥BE∥CF，可证得 ，即可求出DE，DF的长；再根据线段x是线段DE和线段DF的比例中项，可求出x的值.
19．【答案】（1）证明：是的直径，弦，
，
，
四边形ACDF内接于，
，
，
；
.
（2）解：∵F是的中点，
∴，
∴.
四边形ACDF内接于，
，
，
，
由（1），得，
，
，
，
，
是的直径，弦，
，
，，，
，
过点F作FH⊥CG于点H，
，，
，
，
故GF的长为.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）易得，根据圆周角定理可得∠AFC=∠ACD，根据圆内接四角形的性质可得∠ACD+∠AFD=180°，根据邻补角的性质可得∠DFG+∠AFD=180°，据此证明；
（2）根据中点以及弧、弦的关系可得AF=FD，根据圆内接四角形的性质可得∠CAF+∠CDF=180°，根据邻补角的性质可得∠FDG+∠CDF=180°，推出∠FDG=∠CAF，结合（1）的结论可证△CAF≌△GDF，得到CF=FG，根据已知条件可得AC=DG=6，利用勾股定理求出AE，然后可得CG、EG，利用勾股定理求出AG，过点F作FH⊥CG于点H，根据平行线分线段成比例的性质可得GF.
20．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴
∴∠ADC＝∠ACD=∠AGD，
∵四边形AGCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC，
∴∠FGC＝∠AGD.
（2）解：过点G作GH⊥DF于点H．
∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，
∴∠DAG＝∠FCG，
∵CD⊥AB，
∴DC=2CE=3，
∵点G是 的中点 ，
∴，
∴AG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△DAG≌△FCG（ASA），
∴CF＝AD＝3，DG＝FG，
∵GH⊥DF，
∴DH＝FH，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EC＝2，
∴DF＝2+2+3＝7，
∴DH＝HF＝3.5，∴，
'
∵GH∥AE，
∴即
解之：
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】 （1）利用垂径定理可证得，利用圆周角定理可得到∠ADC＝∠ACD=∠AGD；再利用圆内接四边形的性质去证明结论.
（2）过点G作GH⊥DF于点H，利用圆内接四边形的性质可证得∠DAG＝∠FCG，利用垂径定理求出DC的长，同时可证得AG=CG，利用ASA证明△DAG≌△FCG，利用全等三角形的性质可证得CF＝AD＝3，DG＝FG，再求出DF，DH的长，利用勾股定理求出AE，AF的长；然后利用平行线分线段成比例定理可求出FG的长.
21．【答案】（1）证明：如图，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
点 是 的中点，
点 是 的中点， ，
，
.
（2）解： 由（1）得，点 是 的中点，
，
四边形 是菱形，
，
， ，
≌ ，
，
， ，
，
菱形 的周长为 .
如图，连接 ，记 与 交点为点 ，
， ≌ ，
， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
， ，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥DB，AD=AB，结合EM⊥AC可得ME∥BD，根据点E是AB的中点可得点M为AD的中点，据此证明；
（2）①根据中点的概念可得AM=MD，根据菱形以及平行线的性质可得∠F=∠AEM，∠EAM=∠FDM，证明△MDF≌△MAE，得到AE=DF，结合AB=2AE以及DF的值可得AB，据此不难求出菱形ABCD的周长；
②连接CM，记EF与AC 交点为点G，易得DF=DM，MF=ME，根据等腰三角形的性质可得∠DMF=∠DFM，结合外角的性质可得∠ADC=2∠DFM，已知∠ADC=2∠MCD，则MF=MC=ME，则MC=2MG，易得∠GMC=60°，∠ADC=60°，∠MCD=30°，则△DMC为直角三角形，据此求解.
22．【答案】（1）证明： 为 的直径，
，
（2）解：如图，连接CD，
为 的直径，
∴ ，
则
（3）解：如图，过E作 交CF于M，
为 的中点，
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BEC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，据此证明；
（2）连接CD，根据圆周角定理可得∠BDC=90°，则∠DCB=∠DBC=45°，推出DB=DC，根据BO=r可得BC=2r=AB，则BD=r，然后根据AD=AB-BD可表示出AD；
（3）过E作EM∥AB交CF于M，结合平行线分线段成比例的性质可得CM=FM，EM=AF，根据BC=3AD结合BC=BA可得BD=2AD，根据中点的概念可得BF=DF=AD，则BF=EM，根据平行线的性质可得∠FBG=∠MEG，∠BFG=∠EMG，证明△BFG≌△EMG，据此解答.
23．【答案】（1）3
（2）解：在Rt△ABC中，
∵EM∥CD，
∴
∴，
∴AF=AN-FN=5t-（5t-3）=3
∵EN∥AB，
∴
∴
解之：.
（3）解：存在，
当0≤t≤3时
在△FMN中，∠MNC＜90°，
∴∠FNM＞90°，
∵△FMN是等腰三角形，
∴MN=FN；
由（2）可知MN=12-4t，
∵EN∥AB，
∴即
解之：，
∴
解之：t1=2，t2=-2（舍去）；
当t＞3时，延长MF交AB于点H，
∵∠CMN=90°，
∴∠FMN＞90°，
∴FM=MN=EN-EM=4t-12，AN=5t，AE=3t，
∵AB∥EN
∴即
∴
在Rt△HBM中
∴
解之：，（舍去）.
∴t的值为2或时△FMN是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝9，AB⊥BC，DC⊥BC，
∵EM⊥BC，
∴EM∥AB，
∴，
若将线段EN绕点F旋转后恰好落在直线AB上，
∴AF＝FN，
∴
∴EN＝AB＝CD，
此时EN与DC重合，
∴AE＝AD即3t＝9，
∴t＝3，
故答案为：3.
【分析】（1）利用矩形的性质可证得AB＝CD＝12，AD＝BC＝9，AB⊥BC，DC⊥BC，利用平行线分线段成比例定理可证得；利用旋转的性质可推出AF=FN，从而可推出此时EN与DC重合，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（2）利用勾股定理求出AC的长，利用平行线分线段成比例定理可表示出AN，EN的长，从而可求出AF的长；再利用平行线分线段成比例定理可建立关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）分情况讨论：当0≤t≤3时可知∠FNM＞90°，利用等腰三角形的性质可知MN=FN；用含t的代数式表示出MN的长，利用平行线分线段成比例的宽可表示出FN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当t＞3时，延长MF交AB于点H，利用平行线分线段成比例定理和勾股定理表示出MN，FM的长，根据FM=MN，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴ ，
又∵CD∥AM，
∴ ，
∴ ，
又∵AB＝AD＝AC，
∴ ；
（2）解：连接P1，P2交OC于点E，则0E＝r，
连接EP3交OD于点F，则0F＝﹣r′．
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据菱形的对边平行得出 BC∥AD ，根据平行线分线段成比例定理得出 ，同理得出 ，根据等式的性质得出 ，即，根据菱形的四边相等得出 AB＝AD＝AC ，根据等式的性质得出结论；
（2） 连接P1，P2交OC于点E，则OE＝r ， 连接EP3交OD于点F，则0F＝r′．（OP1相当于上一题中的AM，OP2相当于上一题中的AN，OE相当于上一题中的AC）.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.2 平行线分线段成比例 同步测试（提升版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九下·萧山期中）如图，，，相交于点若，，：（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=1，CD=2，
∴AB：CD=BO：CO=1：2.
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得AB：CD=BO：CO，据此解答.
2．（2023九上·滨江期末）如图，在中，，边，上的中线，相交于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，如下图，
∵，分别为边，上的中线，，，
即点为的中点，
∴为的中位线，
∴，且，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】连接DE，由题意可得DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，DE=BC=2，CE=AC=3，由勾股定理可得BE的值，根据平行线分线段成比例的性质可得EF=BF，则BE=EF+BF=BF=5，求解可得BF的值.
3．（2023九上·吴兴期末）如图，，直线与，，分别交于点和点，若，，则DE的长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．10
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，即，
∴，
故答案为：.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据计算即可.
4．（2023九上·镇海区期末）如图，已知，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，由已知条件可得，据此解答.
5．（2023九上·慈溪期末）如图，已知直线，直线，分别交直线a，b，c于A，B，C和D，E，F，，，，则的长为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，故B正确.
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得，代入数据计算可得BC的值，然后根据AC=AB+BC进行计算.
6．（2023九上·金东期末）如图，在中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，，且，则等于（ ）
A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵CE：BE=2：3，
∴BE：CB=3：5，
∵DE∥AB，
∴BE：CB=AD：AC=3：5.
故答案为：C
【分析】利用CE：BE=2：3，可得到BE：CB的值；再利用平行线分线段成比例定理，可求出AD：AC的值.
7．（2022九上·长兴月考）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG=2，GD=1，DF=5，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AG=2，AD=1，DF=5，
∴AD=AG+GD=1+2=3，
∵AB∥CD∥EF，
∴
故答案为：B
【分析】利用已知条件求出AD的长，再利用平行线分线段成比例定理可求出BC与CE的比值.
8．（2022九上·余杭月考）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，故A符合题意；B不符合题意
∴，故D，C不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用平行线分线段成比例定理，对各选项逐一判断.
9．（2022九上·上城月考）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，、的延长线交于点F.若，，则的长是（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行线分线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，
∵、的延长线交于点F，
∴，
∵
∴，
∴是的中位线，
∴，，
在中，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B
【分析】易，根据平行线分线段及，可得是的中位线，从而得出，，在中，利用勾股定理求出OA的长，从而求出OD，CB的长，利用CF=FB+BC即可求解.
10．（2022九上·杭州月考）如图，在平行四边形ABCD中，E为的中点，，在现有点、线及字母的情况下，图中能表示的与面积相等的（除外）三角形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；平行四边形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】 E为的中点，，
F为中点，
四边形ABCD为平行四边形，
，，
是的中线，是的中线，是的中线，
，
能表示的与面积相等的（除外）三角形有5个，
故答案为：C.
【分析】由平行线分线段成比例可得CF=DF，由平行四边形的性质可得AD=BC，CD=AB，利用三角形中线的性质可得，即可判断.
二、填空题（每空4分，共20分）
11．（2023九下·义乌月考）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐.如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是 .
【答案】2
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点作于，交于，
∵，
∴，
故答案为：2.
【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例的性质可得，据此求解.
12．（2022九上·东阳月考）如图，已知点F在AB上，且AF：BF＝1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD＝2：1，连接FD与AC交于点N，则FN：ND＝ ．
【答案】2：3
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴EF：BC＝AF：AB，
∵AF：BF＝1：2，
∴AF：AB＝1：3，
∴EF：BC＝1：3，即EF＝BC，
∵BC：CD＝2：1，
∴CD＝BC，
∴FE：CD=2：3，
∵FE∥BD，
∴FN：ND＝FE：CD，
∴FN：ND＝2：3．
故答案为：2：3．
【分析】如图，过点F作FE∥BD，交AC于点E，利用平行线分线段成比例，可求出EF：BC＝1：3，即EF＝BC，又CD＝BC，从而得到FE：CD=2：3，再利用平行线分线段成比例，可得FN：ND＝FE：CD，进而求得FN：ND.
13．（2022九上·拱墅期中）矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝ .
【答案】10
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴，
∴，
∴CF＝6，
∴BF＝CF+BC＝10.
故答案为：10.
【分析】连接EC，过点D作DH⊥EC于H，由矩形的性质可得∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，利用勾股定理可得DE，由等腰三角形的性质可得∠CDH＝∠EDH，由已知条件可知∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，推出∠CDH＝∠F，根据同角的余角相等可得∠BCE＝∠CDH，推出EC∥AF，利用平行线分线段成比例的性质可得CF，然后根据BF＝CF+BC进行计算.
14．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k= ．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
15．（2022·秀洲模拟）如图，在△ABC中，AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，若DE=3，CE=4，则AB的值
【答案】
【知识点】平行线的性质；平行线分线段成比例；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD为∠CAB的平分线，DE∥AB，
∴∠DAE=∠DAB，∠DAB=∠EDA，
∴∠DAE=∠EDA，
∴AE=DE，
又∵DE=3，CE=4，
∴AC=3+4=7，
∵DE∥AB，
∴CE：CA=ED：AB，即4：7=3：AB，
∴AB=.
【分析】由角平分线定义和平行线性质可推出∠DAE=∠EDA，从而得AE=DE，再由DE=3，CE=4可得AC=7，再由平行线分线段成比例，即CE：CA=ED：AB，代入数据即可求得AB的长.
三、解答题（共9题，共70分）
16．（2022九上·东阳月考）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的线段BC上找一点O，使BO＝CO．
（2）在图②中画一条线段MN、将线段AB分为3：4两部分，（要求：点M、N均在格点上）
【答案】（1）解：如图①中，点O为所求.
（2）解：如图②中，MN为所求．
【知识点】矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据矩形性质，对角线相互平分且相等，连接以C、B为边的中点的矩形的对角线，即对角线交BC于点O，点O即为所求；
（2）延长BC至点N，再把A点向右平移3个单位到M点，连接MN，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
17．（2023九下·义乌月考）如图，过点的直线与轴，轴分别交于点，两点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于点，连接，的面积为6.
（1）求k的值和点D的坐标；
（2）如图，连接，，点在直线上，且位于第二象限内，若的面积是面积的2倍，求点的坐标.
【答案】（1）解：设点坐标为，由题意得，
，
点在的图象上，
，
直线的图象与轴交于点，
点的坐标为，
轴，
轴，
，
，
点的横坐标为4.
点在反比例函数的图象上
点坐标为；
（2）解：由（1）知轴，
，
，
，
过点作，垂足为点，交轴于点，
，，
，
，
点的横坐标为
点在直线上，
点的坐标为.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）设D（m，n），由三角形的面积公式可得mn=6，求出mn的值，结合点D在反比例函数图象上可得k的值，令直线解析式中的y=0，求出x的值，可得点A的坐标，根据平行线分线段成比例的性质可得OH=AO=4，即点D的横坐标为4，将x=4代入反比例函数解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（2）由（1）可知CD∥y轴，则S△BCD=S△OCD，由题意可得S△BDE=2S△OCD，则S△EDC=3S△BCD，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，交y轴于点M，根据△EDC、△BCD的面积公式可得EF=3OH=12，则EM=8，即点E的横坐标为-8，将x=-8代入直线解析式中求出y的值，据此可得点E的坐标.
18．（2022九上·宁波期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2，于点A，B，C和点D，E，F.
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝7，求EF的长．
（2）如果AB：AC＝2：5，EF＝9，线段x是线段DE和线段DF的比例中项，求x的值．
【答案】（1）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∵DE=7
∴EF=4
（2）解：∵AD∥BE∥CF
∴ = =
∴
∵EF=9
∴DE=6，DF=15
∵ = ，x>0
∴x=
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，可得比例式，即可求出EF的长.
（2）利用已知AD∥BE∥CF，可证得 ，即可求出DE，DF的长；再根据线段x是线段DE和线段DF的比例中项，可求出x的值.
19．（2022·温州模拟）如图，AB是的直径，弦于点E，F是上一点，连结AF并延长，与CD的延长线交于点G.连结FD，FC，AC.
（1）求证：.
（2）若F是的中点，，求GF的长.
【答案】（1）证明：是的直径，弦，
，
，
四边形ACDF内接于，
，
，
；
.
（2）解：∵F是的中点，
∴，
∴.
四边形ACDF内接于，
，
，
，
由（1），得，
，
，
，
，
是的直径，弦，
，
，，，
，
过点F作FH⊥CG于点H，
，，
，
，
故GF的长为.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）易得，根据圆周角定理可得∠AFC=∠ACD，根据圆内接四角形的性质可得∠ACD+∠AFD=180°，根据邻补角的性质可得∠DFG+∠AFD=180°，据此证明；
（2）根据中点以及弧、弦的关系可得AF=FD，根据圆内接四角形的性质可得∠CAF+∠CDF=180°，根据邻补角的性质可得∠FDG+∠CDF=180°，推出∠FDG=∠CAF，结合（1）的结论可证△CAF≌△GDF，得到CF=FG，根据已知条件可得AC=DG=6，利用勾股定理求出AE，然后可得CG、EG，利用勾股定理求出AG，过点F作FH⊥CG于点H，根据平行线分线段成比例的性质可得GF.
20．（2022·温州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧 上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC=∠AGD．
（2）若G是 的中点，CE= CF=2，求GF的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴
∴∠ADC＝∠ACD=∠AGD，
∵四边形AGCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC，
∴∠FGC＝∠AGD.
（2）解：过点G作GH⊥DF于点H．
∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，
∴∠DAG＝∠FCG，
∵CD⊥AB，
∴DC=2CE=3，
∵点G是 的中点 ，
∴，
∴AG＝CG，
∵∠AGD＝∠FGC，
∴△DAG≌△FCG（ASA），
∴CF＝AD＝3，DG＝FG，
∵GH⊥DF，
∴DH＝FH，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EC＝2，
∴DF＝2+2+3＝7，
∴DH＝HF＝3.5，∴，
'
∵GH∥AE，
∴即
解之：
【知识点】勾股定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】 （1）利用垂径定理可证得，利用圆周角定理可得到∠ADC＝∠ACD=∠AGD；再利用圆内接四边形的性质去证明结论.
（2）过点G作GH⊥DF于点H，利用圆内接四边形的性质可证得∠DAG＝∠FCG，利用垂径定理求出DC的长，同时可证得AG=CG，利用ASA证明△DAG≌△FCG，利用全等三角形的性质可证得CF＝AD＝3，DG＝FG，再求出DF，DH的长，利用勾股定理求出AE，AF的长；然后利用平行线分线段成比例定理可求出FG的长.
21．（2022·江干模拟）如图，四边形 是菱形， 是 的中点， 的垂线 交 于点 ，交 的延长线于点 .
（1）求证： ；
（2）连接 ， .
求菱形 的周长；
若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：如图，连接 ，
四边形 是菱形，
， ，
，
，
点 是 的中点，
点 是 的中点， ，
，
.
（2）解： 由（1）得，点 是 的中点，
，
四边形 是菱形，
，
， ，
≌ ，
，
， ，
，
菱形 的周长为 .
如图，连接 ，记 与 交点为点 ，
， ≌ ，
， ，
，
，
，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
，
， ，
，
.
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥DB，AD=AB，结合EM⊥AC可得ME∥BD，根据点E是AB的中点可得点M为AD的中点，据此证明；
（2）①根据中点的概念可得AM=MD，根据菱形以及平行线的性质可得∠F=∠AEM，∠EAM=∠FDM，证明△MDF≌△MAE，得到AE=DF，结合AB=2AE以及DF的值可得AB，据此不难求出菱形ABCD的周长；
②连接CM，记EF与AC 交点为点G，易得DF=DM，MF=ME，根据等腰三角形的性质可得∠DMF=∠DFM，结合外角的性质可得∠ADC=2∠DFM，已知∠ADC=2∠MCD，则MF=MC=ME，则MC=2MG，易得∠GMC=60°，∠ADC=60°，∠MCD=30°，则△DMC为直角三角形，据此求解.
22．（2022·拱墅模拟）如图，在锐角三角形ABC中， ，以BC为直径作 ，分别交AB，AC于点D，E，点F是BD的中点，连接BE，CF交于点G.
（1）求证： .
（2）若 ， ，求线段AD的长（用含r的代数式表示）.
（3）若 ，探索CG与FG的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明： 为 的直径，
，
（2）解：如图，连接CD，
为 的直径，
∴ ，
则
（3）解：如图，过E作 交CF于M，
为 的中点，
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；平行线分线段成比例；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BEC=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，据此证明；
（2）连接CD，根据圆周角定理可得∠BDC=90°，则∠DCB=∠DBC=45°，推出DB=DC，根据BO=r可得BC=2r=AB，则BD=r，然后根据AD=AB-BD可表示出AD；
（3）过E作EM∥AB交CF于M，结合平行线分线段成比例的性质可得CM=FM，EM=AF，根据BC=3AD结合BC=BA可得BD=2AD，根据中点的概念可得BF=DF=AD，则BF=EM，根据平行线的性质可得∠FBG=∠MEG，∠BFG=∠EMG，证明△BFG≌△EMG，据此解答.
23．（2022·温州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E是射线AD上一动点且以每秒3个单位的速度从A出发向右运动，连结BE交AC于点F，作EM⊥BC于M交直线AC于N，设E点运动时间为1秒．
（1）若将线段EN绕点F旋转后恰好落在直线AB上，则t=
（2）当点E在线段AD上运动时，若FN=5t-3，求t的值．
（3）连结FM，点E在运动过程中，是否存在t的值，使△FMN为等腰三角形？若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3
（2）解：在Rt△ABC中，
∵EM∥CD，
∴
∴，
∴AF=AN-FN=5t-（5t-3）=3
∵EN∥AB，
∴
∴
解之：.
（3）解：存在，
当0≤t≤3时
在△FMN中，∠MNC＜90°，
∴∠FNM＞90°，
∵△FMN是等腰三角形，
∴MN=FN；
由（2）可知MN=12-4t，
∵EN∥AB，
∴即
解之：，
∴
解之：t1=2，t2=-2（舍去）；
当t＞3时，延长MF交AB于点H，
∵∠CMN=90°，
∴∠FMN＞90°，
∴FM=MN=EN-EM=4t-12，AN=5t，AE=3t，
∵AB∥EN
∴即
∴
在Rt△HBM中
∴
解之：，（舍去）.
∴t的值为2或时△FMN是等腰三角形.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴AB＝CD＝12，AD＝BC＝9，AB⊥BC，DC⊥BC，
∵EM⊥BC，
∴EM∥AB，
∴，
若将线段EN绕点F旋转后恰好落在直线AB上，
∴AF＝FN，
∴
∴EN＝AB＝CD，
此时EN与DC重合，
∴AE＝AD即3t＝9，
∴t＝3，
故答案为：3.
【分析】（1）利用矩形的性质可证得AB＝CD＝12，AD＝BC＝9，AB⊥BC，DC⊥BC，利用平行线分线段成比例定理可证得；利用旋转的性质可推出AF=FN，从而可推出此时EN与DC重合，由此可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
（2）利用勾股定理求出AC的长，利用平行线分线段成比例定理可表示出AN，EN的长，从而可求出AF的长；再利用平行线分线段成比例定理可建立关于t的方程，解方程求出t的值.
（3）分情况讨论：当0≤t≤3时可知∠FNM＞90°，利用等腰三角形的性质可知MN=FN；用含t的代数式表示出MN的长，利用平行线分线段成比例的宽可表示出FN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值；当t＞3时，延长MF交AB于点H，利用平行线分线段成比例定理和勾股定理表示出MN，FM的长，根据FM=MN，可得到关于t的方程，解方程求出t的值.
24．阅读材料解答问题：如图，在菱形ABCD中，AB＝AC，过点C作一条直线，分别交AB，AD的延长线于M，N，则
（1）试证明： ；
（2）如图，O为直线AB上一点，OC，OD将平角AOB三等分，点P1，P2，P3分别在射线OA，OD，OB上，0P1＝r1，0P2＝r2，OP3＝r3，r与r′分别满足 ，用直尺在图中分别作出长度r，r′的线段．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴ ，
又∵CD∥AM，
∴ ，
∴ ，
又∵AB＝AD＝AC，
∴ ；
（2）解：连接P1，P2交OC于点E，则0E＝r，
连接EP3交OD于点F，则0F＝﹣r′．
【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据菱形的对边平行得出 BC∥AD ，根据平行线分线段成比例定理得出 ，同理得出 ，根据等式的性质得出 ，即，根据菱形的四边相等得出 AB＝AD＝AC ，根据等式的性质得出结论；
（2） 连接P1，P2交OC于点E，则OE＝r ， 连接EP3交OD于点F，则0F＝r′．（OP1相当于上一题中的AM，OP2相当于上一题中的AN，OE相当于上一题中的AC）.
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