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2023年浙教版数学九年级上册4.3相似三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
2．（2023·潍城模拟）如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
4．（2023九上·滨江期末）如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）.
A． B． C． D．
5．（2021九上·成都期末）如图，在
的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点
与
相似，则
的长为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
6．（2021九上·义乌期中）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
7．（2021九上·鄄城期中）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（ ）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
A． B． C． 或 D． 或
8．（2021九上·于洪期中）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
9．（2021九上·滦州期中）如图所示，若甲乙丙丁都是方格纸中的格点．如图，若、、、、、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（2020九上·长安期中）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）.若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
二、填空题（每空6分，共30分）
11．（2023九上·沭阳期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是 .
12．（2023九上·崇左期末）如图，、交于点，且，，，当 时，与相似.
13．（2022九上·鄞州开学考）如图，中，，在的延长线上截取，连接，过点作于点，交于点，连接，点为射线上一个动点，若，，当与相似时，的长为 ．
14．（2020九上·景德镇期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，运动到B点停止，若以点P，A，D为顶点的三角形与相似时，运动时间 ．
15．（2020·金华模拟）在ΔABC 中，AC＝4，BC＝2. 点 D 在射线 AB 上，在构成的图形中，ΔACD 为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则 CD 的长是 .
三、解答题（共5题，共50分）
16．（2022九上·西安月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
（1）当移动几秒时，的面积为？
（2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
17．（2023·寻乌模拟）如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为．
（1）求一次函数和双曲线的解析式；
（2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当时，求点的坐标．
18．（2023九下·宿迁开学考）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
19．（2023九上·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连接AC.
（1）填空：该抛物线的函数解析式为 ，其对称轴为直线 ；
（2）若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
20．（2022九上·代县期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得与相似，且点P不与原点O重合？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，可得，
即
解得AE＝；
当△AED∽△ABC，得，
即
解得AE=3，
综上AE的长为：3或.
故答案为：D.
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：、、，将向左平移4个单位，得到，
、、，
如图：
以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，
的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标平移的特征，相似三角形的性质求解即可。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得.
②若，
则，
，
解得或6.
则满足条件的长为2.8或1或6.
故答案为：C.
【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，设.
∵与相似
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接BO，设∠C=x°，根据相似三角形的对应角相等可得∠BAE=∠C=x°，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠BAE=x°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=2x°，结合内角和定理可得x的度数，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，
若
∽
，
则
，即
，
解得
或
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
若
∽
，
则
，即
，解得
（不符合题意，舍去），
故
或
，
故答案为：C.
【分析】由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，若△DAE∽△EBC，根据相似三角形的性质求出EB，进而可得EC、DE的值，据此计算；同理可得△DAE∽△CBE时DE+EC的长.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最长边为 ，
∵两个三角形的形状相同，即这两个三角形相似，
∴ ，
解得 ，
即另一个三角形的最长边为 .
故答案为：A.
【分析】设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
7．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D. M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+ DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM= DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= .
∴DM为 或 时，△ABE与以D. M、N为顶点的三角形相似．
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：①DM与AB是对应边时，DM=2DN，②DM与BE是对应边时，DM= DN，再利用勾股定理分别列出方程求解即可。
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC=∠DEF=135°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-135°=45°，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DEF=135°，再利用三角形的内角和计算即可。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，设甲、乙、丙、丁四个点的位置分别为D、E、F、G，
∴，，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴R点是F点，即R在丙处，
故答案为：C．
【分析】设甲、乙、丙、丁四个点的位置分别为D、E、F、G，根据勾股定理分别求出AB、AC、BC、PQ、PE、PF、PG、PD的长，再利用相似三角形的性质求出PR的长，再判断即可.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：
一，若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，
则（x﹣2）：3＝4：（x+2）
解得x＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，
则（x﹣2）：（x+2）＝4：3
解得：x＝﹣14
不存在.
二，若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（x+2）：（2﹣x）
解得：x＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，
方程无解；
三，若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），
∴x＝14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（ ，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）.
故答案为：D.
【分析】分类讨论当点P在AB的左边、当点P在AB与CD之间、当点P在CD的右边，根据x轴上两点间的距离表示可得BP、CP的长度，再根据相似三角形对应边成比例可得或者，代入可得结果.
11．【答案】4或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△ADE∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝；
当△AED∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝4，
综上所述，AD的长为4或.
故答案为：4或.
【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
12．【答案】54或37.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△AOC∽△BOD时，
∴
当△AOC∽△DOB时，
∴
综上得：OA=54或37.5
故答案为：54或37.5.
【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根据相似三角形的对应边成比例进行求解.
13．【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AP．
在中，，，，
，
，，
，
，
，
，
设，则有，
，
，
，，
，
当∽时，，
，
．
当∽时，，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或.
【分析】连接AP，利用勾股定理得AB，由已知条件得BD=AB，根据CD=BD-BC可得CD，利用勾股定理得AD，根据等腰三角形的性质得AE=ED，推出FA=FD，设FA=FD=x，利用勾股定理得x，根据对顶角性质得∠AFE=∠CFB，结合内角和定理得∠EAF=∠ABP，再分△APB∽△AFD、△AFD∽△PAB，然后利用相似三角形的性质进行计算.
14．【答案】或1或6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意得：，则，
∵，，
∴.
当时
∴，
∴，
∴
当时
∴，
∴，
∴或．
∴，1或6．
故答案为：或1或6．
【分析】当运动时间t秒时，可得，则，由平行线的性质知，分两种情况：当时和当时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
15．【答案】2或4或
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，
当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC，
设CD=x，BD=y，
∴，即得,
解得x=；
如图，
当点D在AB的延长线上，AC=AD=4，△DCB∽△DAC，
设CD=x，BD=y，
∴，即得，解得x=2，即得CD=2，
当AC=CD=4，△ACB∽△DCB，
∴CD的长为2或4或.
【分析】分两种情况①当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC，②当点D在AB的延长线上，AC=AD=4，△DCB∽△DAC，当AC=CD=4，△ACB∽△DCB，利用相似三角形的性质分别求解即可.
16．【答案】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6 t，BQ＝2t，
由题意得：＝PB·BQ＝（6 t）·2t＝＝9，
解得：，
答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；
（2）解：分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，
则，即，
解得：，
②当△BPQ∽△BCA时，
则，即，
解得：，
综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6 t，BQ＝2t，根据三角形的面积公式可得关于t的方程，求解可得t的值；
（2）分①△BPQ∽△BAC，②△BPQ∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
17．【答案】（1）解：∵的坐标为，代入直线
∴，解得
∴，
∵，即点的纵坐标为4，代入得：
∴
解得：，
即，
将代入
∴，解得
∴；
（2）解：当时
∴
设为，则
∴代入反比例解析式
∴解得或2
∵
∴
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用相似三角形的性质先求出 ，再求出x=2，最后求点的坐标即可。
18．【答案】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，
得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式：
（2）解：由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：
3k＋3=0，k= －1，
∴直线BC：y=－x＋3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴，，，
即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴= AD CD==2；
（3）解：由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得
当x=2+时，y=－x+3=1－；
当x=2－时，y=－x+3=1+；
∴、；
②∠EDF=90°，
易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：
，解得 ；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、.
【知识点】相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出抛物线的顶点式，再将顶点坐标及点C的坐标代入可算出二次项的系数a的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点A、B的坐标；利用待定系数法求出直线BC的解析式，将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式分别算出AD2、AC2、CD2，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且AD⊥CD，从而根据直角三角形面积计算方法算出△ACD的面积；
（3） 由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有： ①∠DFE=90°，即 DF∥x轴； 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中 ，算出对应的自变量的值，进而将自变量的值代入直线BC中算出对应的函数值，可得点E的坐标； ②∠EDF=90°， 利用待定系数法求出直线AD的解析式， 联立抛物线的解析式得x2-4x+3=x-1，求解得出x的值，再将x的值代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点E的坐标，综上即可得出答案.
19．【答案】（1）；
（2）解：∵A(4，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为：
设，则
∴
∵P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
∴0∴当x=2时，PQ的最大值为3；
（3）解：不存在，点D的坐标为或( 4，0).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）把代入抛物线中得：
解得：
∴
∴抛物线的函数解析式为：其对称轴为直线：
故答案为：
(3)分两种情况：
①当D在线段OA上时，如图1，△AEQ∽△ADC，
∵EQ=EA，
∴CD=AD，
设CD=a，则AD=a，OD=4 a，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
∴
∴
∴
②当D在点B的左侧时，如图2，△AEQ∽△ACD，
∵EQ=EA，
∴CD=AC，
∵OC⊥AD，
∴OD=OA=4，
∴D( 4，0)，
综上所述，当△ACD与△AEQ相似时，点D的坐标为或( 4，0).
【分析】（1）把A（4，0），B（ 1，0）代入抛物线y＝ x2＋bx＋c中列方程组，解出可得b和c的值，可得抛物线的解析式，配方成顶点式可得对称轴；
（2）先利用待定系数法求直线AC的解析式，再设点P的坐标，并表示点Q的坐标，根据铅直高度表示PQ的长，并配方可得PQ的最大值；
（3）分两种情况：①当D在线段OA上时，如图1，根据△AEQ∽△ADC，由EQ＝EA，得CD＝AD，利用勾股定理解决问题；②当D在点B的左侧时，如图2，根据三角形相似，由EQ＝EA可得OA＝OD，可得D的坐标．
20．【答案】（1）解：把A代入反比例解析式得：，即，
则反比例解析式为；
∵点B的坐标为，
∴，
解得：，
∴，
把A与B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：或；
（3）解：P与O不重合，在y轴上存在一点P，使得与相似，理由为：过点C作，交y轴于点P，如图所示，
∵C、D两点在直线上，
当时，，当时，，
∴C、D的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴=，即，
解得：，
∴，
则点P的坐标为．
综上所示，P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：(2)由（1）得A，，
∵，即为直线在反比例函数下面的部分，
∴或；
【分析】（1）把A坐标代入中求出k值，即得反比例函数解析式，再把B代入求出B点坐标，然后将A、B坐标代入中，即可求出解析式；
（2）由图象可知： 当或时，直线在反比例函数图象的下方，据此即得结论；
（3）过点C作，交y轴于点P，根据直线AB解析式确定点C、D的坐标，得到OC，OD，CD的长，由，利用相似三角形的性质求出PD的长，根据PO=DP-OD求出OP的长，即得点P坐标.
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2023年浙教版数学九年级上册4.3相似三角形 同步测试（培优版）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2. 若△ABC和△ADE相似，则AE=（ ）
A．5 B．3 C． D．3或
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，
∴当△ADE∽△ABC，可得，
即
解得AE＝；
当△AED∽△ABC，得，
即
解得AE=3，
综上AE的长为：3或.
故答案为：D.
【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．
2．（2023·潍城模拟）如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：、、，将向左平移4个单位，得到，
、、，
如图：
以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，
的坐标为，即，
故答案为：D．
【分析】利用点坐标平移的特征，相似三角形的性质求解即可。
3．（2023·大渡口模拟）如图，，在边上取点P，使得与相似，则满足条件的点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：，
若与相似，可分两种情况：
①若，
则，
；
解得.
②若，
则，
，
解得或6.
则满足条件的长为2.8或1或6.
故答案为：C.
【分析】分△APD∽△BPC，△APD∽△BCP，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
4．（2023九上·滨江期末）如图，内接于，且，的延长线交于点，若与相似，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，设.
∵与相似
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】连接BO，设∠C=x°，根据相似三角形的对应角相等可得∠BAE=∠C=x°，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠BAE=x°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=2x°，结合内角和定理可得x的度数，然后根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算.
5．（2021九上·成都期末）如图，在
的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形.点E是格点四边形ABCD的AB边上一动点，连接ED，EC，若格点
与
相似，则
的长为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，
若
∽
，
则
，即
，
解得
或
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
若
∽
，
则
，即
，解得
（不符合题意，舍去），
故
或
，
故答案为：C.
【分析】由图可知DA=3，AB=8，BC=4，AE=8-EB，∠A=∠B=90°，若△DAE∽△EBC，根据相似三角形的性质求出EB，进而可得EC、DE的值，据此计算；同理可得△DAE∽△CBE时DE+EC的长.
6．（2021九上·义乌期中）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的边长分别为8cm，10cm和12cm，另一个三角形的最短边长为2cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设另一个三角形的最长边为 ，
∵两个三角形的形状相同，即这两个三角形相似，
∴ ，
解得 ，
即另一个三角形的最长边为 .
故答案为：A.
【分析】设另一个三角形的最长边为xcm，根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
7．（2021九上·鄄城期中）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（ ）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D. M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+ DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM= DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= .
∴DM为 或 时，△ABE与以D. M、N为顶点的三角形相似．
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：①DM与AB是对应边时，DM=2DN，②DM与BE是对应边时，DM= DN，再利用勾股定理分别列出方程求解即可。
8．（2021九上·于洪期中）如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为（ ）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC=∠DEF=135°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-135°=45°，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的性质可得∠BAC=∠DEF=135°，再利用三角形的内角和计算即可。
9．（2021九上·滦州期中）如图所示，若甲乙丙丁都是方格纸中的格点．如图，若、、、、、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使，则点应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，设甲、乙、丙、丁四个点的位置分别为D、E、F、G，
∴，，，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴R点是F点，即R在丙处，
故答案为：C．
【分析】设甲、乙、丙、丁四个点的位置分别为D、E、F、G，根据勾股定理分别求出AB、AC、BC、PQ、PE、PF、PG、PD的长，再利用相似三角形的性质求出PR的长，再判断即可.
10．（2020九上·长安期中）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、B（﹣2，0）、C（2，﹣3）、D（2，0）.若点P在x轴上，且PA、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点P的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：
一，若点P在AB的左边，如图1，有两种可能：
①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，
则（x﹣2）：3＝4：（x+2）
解得x＝4，
∴点P的坐标为（﹣4，0）；
②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，
则（x﹣2）：（x+2）＝4：3
解得：x＝﹣14
不存在.
二，若点P在AB与CD之间，如图2，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（x+2）：（2﹣x）
解得：x＝ ，
∴点P的坐标为（ ，0）；
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，
方程无解；
三，若点P在CD的右边，如图3，有两种可能：
①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，
∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），
∴x＝14，
∴点P的坐标为（14，0），
②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，
∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，
∴x＝4，
∴点P的坐标为（4，0）；
∴点P的坐标为（ ，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）.
故答案为：D.
【分析】分类讨论当点P在AB的左边、当点P在AB与CD之间、当点P在CD的右边，根据x轴上两点间的距离表示可得BP、CP的长度，再根据相似三角形对应边成比例可得或者，代入可得结果.
二、填空题（每空6分，共30分）
11．（2023九上·沭阳期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是 .
【答案】4或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△ADE∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝；
当△AED∽△ABC时，可得，
即，
解得AD＝4，
综上所述，AD的长为4或.
故答案为：4或.
【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
12．（2023九上·崇左期末）如图，、交于点，且，，，当 时，与相似.
【答案】54或37.5
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：当△AOC∽△BOD时，
∴
当△AOC∽△DOB时，
∴
综上得：OA=54或37.5
故答案为：54或37.5.
【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根据相似三角形的对应边成比例进行求解.
13．（2022九上·鄞州开学考）如图，中，，在的延长线上截取，连接，过点作于点，交于点，连接，点为射线上一个动点，若，，当与相似时，的长为 ．
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：连接AP．
在中，，，，
，
，，
，
，
，
，
设，则有，
，
，
，，
，
当∽时，，
，
．
当∽时，，
，
．
综上所述，的长为或．
故答案为：或.
【分析】连接AP，利用勾股定理得AB，由已知条件得BD=AB，根据CD=BD-BC可得CD，利用勾股定理得AD，根据等腰三角形的性质得AE=ED，推出FA=FD，设FA=FD=x，利用勾股定理得x，根据对顶角性质得∠AFE=∠CFB，结合内角和定理得∠EAF=∠ABP，再分△APB∽△AFD、△AFD∽△PAB，然后利用相似三角形的性质进行计算.
14．（2020九上·景德镇期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点B运动，运动到B点停止，若以点P，A，D为顶点的三角形与相似时，运动时间 ．
【答案】或1或6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意得：，则，
∵，，
∴.
当时
∴，
∴，
∴
当时
∴，
∴，
∴或．
∴，1或6．
故答案为：或1或6．
【分析】当运动时间t秒时，可得，则，由平行线的性质知，分两种情况：当时和当时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
15．（2020·金华模拟）在ΔABC 中，AC＝4，BC＝2. 点 D 在射线 AB 上，在构成的图形中，ΔACD 为等腰三角形，且存在两个互为相似的三角形，则 CD 的长是 .
【答案】2或4或
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，
当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC，
设CD=x，BD=y，
∴，即得,
解得x=；
如图，
当点D在AB的延长线上，AC=AD=4，△DCB∽△DAC，
设CD=x，BD=y，
∴，即得，解得x=2，即得CD=2，
当AC=CD=4，△ACB∽△DCB，
∴CD的长为2或4或.
【分析】分两种情况①当点D在线段AB上，DC=AD，且△BCD∽△BAC，②当点D在AB的延长线上，AC=AD=4，△DCB∽△DAC，当AC=CD=4，△ACB∽△DCB，利用相似三角形的性质分别求解即可.
三、解答题（共5题，共50分）
16．（2022九上·西安月考）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为．
（1）当移动几秒时，的面积为？
（2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似？
【答案】（1）解：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6 t，BQ＝2t，
由题意得：＝PB·BQ＝（6 t）·2t＝＝9，
解得：，
答：当移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2；
（2）解：分两种情况：
①当△BPQ∽△BAC时，
则，即，
解得：，
②当△BPQ∽△BCA时，
则，即，
解得：，
综上，当移动3秒或秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得：运动时间为t秒时（0≤t≤6），PB＝6 t，BQ＝2t，根据三角形的面积公式可得关于t的方程，求解可得t的值；
（2）分①△BPQ∽△BAC，②△BPQ∽△BCA，根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.
17．（2023·寻乌模拟）如图，直线与轴，轴分别相交于，两点，与双曲线相交于点，轴于点，且，点的坐标为．
（1）求一次函数和双曲线的解析式；
（2）若点为双曲线上点右侧的一点，且轴于，当时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵的坐标为，代入直线
∴，解得
∴，
∵，即点的纵坐标为4，代入得：
∴
解得：，
即，
将代入
∴，解得
∴；
（2）解：当时
∴
设为，则
∴代入反比例解析式
∴解得或2
∵
∴
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用相似三角形的性质先求出 ，再求出x=2，最后求点的坐标即可。
18．（2023九下·宿迁开学考）如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：依题意，设抛物线的解析式为，代入C（0，3）后，
得：，解得：a=1，
∴抛物线的解析式：
（2）解：由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：
3k＋3=0，k= －1，
∴直线BC：y=－x＋3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴，，，
即：，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴= AD CD==2；
（3）解：由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得
当x=2+时，y=－x+3=1－；
当x=2－时，y=－x+3=1+；
∴、；
②∠EDF=90°，
易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：
，解得 ；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴、；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为：、、、.
【知识点】相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出抛物线的顶点式，再将顶点坐标及点C的坐标代入可算出二次项的系数a的值，从而可求得抛物线的解析式；
（2）令抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，可得点A、B的坐标；利用待定系数法求出直线BC的解析式，将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值，可得点D的坐标，根据两点间的距离公式分别算出AD2、AC2、CD2，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，且AD⊥CD，从而根据直角三角形面积计算方法算出△ACD的面积；
（3） 由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有： ①∠DFE=90°，即 DF∥x轴； 将点D纵坐标代入抛物线的解析式中 ，算出对应的自变量的值，进而将自变量的值代入直线BC中算出对应的函数值，可得点E的坐标； ②∠EDF=90°， 利用待定系数法求出直线AD的解析式， 联立抛物线的解析式得x2-4x+3=x-1，求解得出x的值，再将x的值代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点E的坐标，综上即可得出答案.
19．（2023九上·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（4，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，连接AC.
（1）填空：该抛物线的函数解析式为 ，其对称轴为直线 ；
（2）若P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q，试求线段PQ的最大值；
（3）在（2）的条件下，当线段PQ最大时，在x轴上有一点E（不与点O，A重合），且EQ=EA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△AEQ相似？如果存在，请直接写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）；
（2）解：∵A(4，0)，C(0，3)，
∴直线AC的解析式为：
设，则
∴
∵P是抛物线在第一象限内图象上的一动点，
∴0∴当x=2时，PQ的最大值为3；
（3）解：不存在，点D的坐标为或( 4，0).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）把代入抛物线中得：
解得：
∴
∴抛物线的函数解析式为：其对称轴为直线：
故答案为：
(3)分两种情况：
①当D在线段OA上时，如图1，△AEQ∽△ADC，
∵EQ=EA，
∴CD=AD，
设CD=a，则AD=a，OD=4 a，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
∴
∴
∴
②当D在点B的左侧时，如图2，△AEQ∽△ACD，
∵EQ=EA，
∴CD=AC，
∵OC⊥AD，
∴OD=OA=4，
∴D( 4，0)，
综上所述，当△ACD与△AEQ相似时，点D的坐标为或( 4，0).
【分析】（1）把A（4，0），B（ 1，0）代入抛物线y＝ x2＋bx＋c中列方程组，解出可得b和c的值，可得抛物线的解析式，配方成顶点式可得对称轴；
（2）先利用待定系数法求直线AC的解析式，再设点P的坐标，并表示点Q的坐标，根据铅直高度表示PQ的长，并配方可得PQ的最大值；
（3）分两种情况：①当D在线段OA上时，如图1，根据△AEQ∽△ADC，由EQ＝EA，得CD＝AD，利用勾股定理解决问题；②当D在点B的左侧时，如图2，根据三角形相似，由EQ＝EA可得OA＝OD，可得D的坐标．
20．（2022九上·代县期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A的坐标为，点B的坐标为．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）结合图象，请直接写出不等式的解集．
（3）在y轴上是否存在一点P，使得与相似，且点P不与原点O重合？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把A代入反比例解析式得：，即，
则反比例解析式为；
∵点B的坐标为，
∴，
解得：，
∴，
把A与B坐标代入一次函数解析式得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：或；
（3）解：P与O不重合，在y轴上存在一点P，使得与相似，理由为：过点C作，交y轴于点P，如图所示，
∵C、D两点在直线上，
当时，，当时，，
∴C、D的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴=，即，
解得：，
∴，
则点P的坐标为．
综上所示，P的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：(2)由（1）得A，，
∵，即为直线在反比例函数下面的部分，
∴或；
【分析】（1）把A坐标代入中求出k值，即得反比例函数解析式，再把B代入求出B点坐标，然后将A、B坐标代入中，即可求出解析式；
（2）由图象可知： 当或时，直线在反比例函数图象的下方，据此即得结论；
（3）过点C作，交y轴于点P，根据直线AB解析式确定点C、D的坐标，得到OC，OD，CD的长，由，利用相似三角形的性质求出PD的长，根据PO=DP-OD求出OP的长，即得点P坐标.
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