2023年浙教版数学九年级上册4.3相似三角形 同步测试（提升版）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
2．（2021九上·鄞州期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，利用AAA可以判断两个三角形相似.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理分别计算每一个选项中三角形各内角的度数，再根据AAA定理进行判断.
3．（2021九上·温州月考）如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度 和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意：△ABC∽△A′B′C′，
∴∠ =∠ ＝40°，
，即 ，
∴解得 ，
经检验 符合意义，是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠α的度数，根据相似三角形对应边成比例可得x的值.
4．（2021九上·拱墅期中）如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．3.2 C．20 D．5
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
则，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，然后代值计算，即可得出结果.
5．（2021九上·郫都期中）△ABC三条边长之比为3：4：5，与其相似的另一个ΔA′B′C′的最大边为15cm，那么它的最小边为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．12cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC三条边长之比为3：4：5，且△ABC与△A'B'C'相似，
∴△A'B'C'的三边之比也为：3：4：5，
设△A'B'C'的最短边为x， 而最大边为15cm，
所以△A'B'C'的最短边为9
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出最小边的长.
6．（2021九上·会同期末）已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边的比相等进行解答即可.
7．（2020九上·望江期末）如图，在正方形网格上有两个相似三角形 和 ，则 的度数为（ ）
A．135° B．90° C．60° D．45°
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出答案。
8．（2021九上·越城期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米
C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ① 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，
根据题意得： ，
解得 ， .
故答案为：C.
【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可
9．（2021九上·萧山期末）如图，正方形ABCD的边长为2， ， 线段MN的两端在CD，AD上滑动，当 与以D，M，N为顶点的三角形相似时，DM的长为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD边长是2， ，
，
，
当 ∽ 时
，
.
当 ∽ 时，
，
.
或 .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得∠A= ∠C=90°, AD=AB=2 ,则AN=EB=1 ,再根据勾股定理求得AE的长, 分两种情况讨论，即假设△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分别求出DM的长即可.
10．（2020九上·路南期末）若 的每条边长增加各自的 得 ，则 的度数与其对应角 的度数相比（ ）
A．增加了 B．减少了
C．增加了 D．没有改变
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故答案为：D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
二、填空题（每空5分，共35分）
11．（2022九上·宝山期中）已知与相似，且点A与点是对应点，点与点是对应点，如果，，那么 ．
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，，
∴，，
∴．
故答案为：70°．
【分析】利用相似三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和求出即可。
12．（2022九上·杨浦期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ．
【答案】6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，
∴，
∴BD2=AB·BC=4×9=36，
∴BD=6.
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
13．（2022九上·黄浦期中）如图，，已知，则 ．
【答案】26
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，解得，
故答案为：26
【分析】由相似三角形的对应角相等可得，即得，在中，利用三角形内角和定理即可求解.
14．（2022九上·普陀期中）如图，在中，，，D是边上一点，且，如果点E在边上，且与相似，那么 ．
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵与相似，
∴或，
∴，或，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】由与相似，可分两种情况：或，根据相似三角形对应边成比例分别解答即可.
15．（2022九上·碑林月考）如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
【答案】2或4.5
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=AB=3，
①若△ADQ∽△ABC，则AD：AB=AQ：AC，
即3：6=AQ：4，
解得：AQ=2；
②若△ADQ∽△ACB，则AD：AC=AQ：AB
即3：4=AQ：6，
解得：AQ=4.5；
∴AQ的长为2或4.5.
故答案为：2或4.5.
【分析】根据中点的概念可得AD=AB=3，①若△ADQ∽△ABC，则AD∶AB=AQ∶AC，代入数据计算即可；②若△ADQ∽△ACB，则AD∶AC=AQ∶AB，代入数据计算即可.
16．（2021九上·舒城期末）如图，抛物线y=-x2+2x+c交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C，D为抛物线的顶点．
（1）点D坐标为 ；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，点M坐标为 ．
【答案】（1）（1，4）
（2）（1，）或（1，-2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）将A点坐标（-1，0）代入解析式得
解得
∴解析式为
∴抛物线的对称轴为直线，顶点D坐标为，
故答案为：（1，4）；
（2）将代入解析式得，C点坐标为，E点坐标为，
如图，连接BC、BE、BD、CE，作BM、BM'
∵
∴
由勾股定理得，，，
设M点坐标为， △DMB和△BCE ，有两种情况：
情况一：，此时
∴
∴
解得
∴点坐标为；
情况二：，此时
∴
∴
解得
∴点坐标为；
综上所述，点坐标为或
故答案为：或（1，-2）．
【分析】（1）将A（-1，0）代入y=-x2+2x+c中可得c的值，据此可得抛物线的解析式，进而可得顶点D的坐标；
（2）易得C（0，3），E（2，3），CE=2，连接BC、BE、BD、CE，由勾股定理求BC、BE、BD，设M（1，a），情况一：当∠DBM=∠BCE=45°时，△DMB∽△BEC，根据相似三角形的性质可得a的值，据此可得点M的坐标；情况二：当∠DMB=∠BCE=45°时，△DMB∽△BCE，根据相似三角形的性质求出a的值，据此可得点M的坐标.
三、解答题（共5题，共45分）
17．（2021九上·鹿城期末）
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
，即 ，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF的长；再利用矩形的性质可证得∠D=90°，然后利用勾股定理求出EF的长.
18．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为 ，试求AD、AE的长．
【答案】解：当△ABC∽△ADE时，相似比为 ， ＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=2，AE=1.5；
当△ABC∽△AED时，
＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=1.5，AE=2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，分两种情况讨论：当△ABC∽△ADE时；当△ABC∽△AED时。利用相似三角形的性质，分别得出对应边成比例，分别求出AD和AE的值即可解答。
19．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3.在线段AB上是否存在一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P有几个？
【答案】解：存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有3个，理由如下，
设AP=x，
∵AP=7，AD=2，BC=3，
∵BP=7-x，
①当△PAD∽△PBC时，
∴,
∴,
∴
即AP=；
②当△PAD∽△CBP时，
∴,
∴，
∴x=1或x=6，
即AP=1或AP=6，
综上所述，这样的P点共有3个。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】①当△PAD∽△PBC时，②当△PAD∽△CBP时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得AP值.
20．（2021九上·衢江月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止.设它们的运动时间为t.
（1）根据题意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代数式表示）；
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
【答案】（1）2t；3-t
（2）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若，则 ，即 ，解得：s，
②若，则，即，解得：s，
由动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止，可求出t的取值范围应该为 ，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件，
故△CPQ与△CBA相似，运动的时间为或秒.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）经过t秒后，CQ=2t，CP=BC-BP=3-t ；
故答案为：2t，3-t；
【分析】（1）根据路程=速度×时间，可得CQ=2t，BP=t，从而得出CP=BC-BP=3-t；
（2）由于∠C=∠C，所以分两种情况 ①若△CPQ∽△CBA，， ②若△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质进行求解即可.
21．（2021九上·长安期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P作于点D，连接PQ、QD，设点P运动的时间为ts．
（1）求证：四边形PCQD是平行四边形；
（2）当四边形PCQD成为菱形时，求出相应的t的值；
（3）与以C、P、Q为顶点的三角形能否相似，如果能，求出相应的t的值；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：由题意，，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴四边形PCQD是平行四边形.
（2）解：四边形PCQD是菱形，则
∵，
∴
∴
∴
∴当四边形PCQD是菱形时，
（3）解：由题意，，，
当时，
即，解得
当，
即，解得
∴当或时，与以C、P、Q为顶点的三角形相似.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，CQ=t，根据含30°角的直角三角形的性质可得PD=AP=t，则CQ=PD，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得PD∥CQ，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由菱形的性质可得PC=CQ，由题意可得PC=10-2t，CQ=t，据此可得t的值；
（3）由题意可得∠APD=∠C，AP=2t，PD=CQ=t，PC=10-2t，然后分△APD∽△PCQ、△APD∽△QCP，根据相似三角形的对应边成比例可得t的值.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.3相似三角形 同步测试（提升版）
一、选择题（每题4分，共40分）
1．（2021九上·高邑期中）如图所示， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021九上·鄞州期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·温州月考）如图，已知△ABC和△A′B′C′相似，则图中角度 和边长x分别为（ ）
A．30°，9 B．30°，6 C．40°，9 D．40°，6
4．（2021九上·拱墅期中）如图，已知，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE的长是（ ）
A．4 B．3.2 C．20 D．5
5．（2021九上·郫都期中）△ABC三条边长之比为3：4：5，与其相似的另一个ΔA′B′C′的最大边为15cm，那么它的最小边为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．12cm
6．（2021九上·会同期末）已知的三边长是，，2，则与相似的三角形的三边长可能是（ ）
A．1，， B．1，， C．1，， D．1，，
7．（2020九上·望江期末）如图，在正方形网格上有两个相似三角形 和 ，则 的度数为（ ）
A．135° B．90° C．60° D．45°
8．（2021九上·越城期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米
C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米
9．（2021九上·萧山期末）如图，正方形ABCD的边长为2， ， 线段MN的两端在CD，AD上滑动，当 与以D，M，N为顶点的三角形相似时，DM的长为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
10．（2020九上·路南期末）若 的每条边长增加各自的 得 ，则 的度数与其对应角 的度数相比（ ）
A．增加了 B．减少了
C．增加了 D．没有改变
二、填空题（每空5分，共35分）
11．（2022九上·宝山期中）已知与相似，且点A与点是对应点，点与点是对应点，如果，，那么 ．
12．（2022九上·杨浦期中）如图，已知四边形中，平分，，，如果与相似，那么 ．
13．（2022九上·黄浦期中）如图，，已知，则 ．
14．（2022九上·普陀期中）如图，在中，，，D是边上一点，且，如果点E在边上，且与相似，那么 ．
15．（2022九上·碑林月考）如图，在中，，，D是的中点，过D点的直线交于点Q，若使与相似，则的长度为 ．
16．（2021九上·舒城期末）如图，抛物线y=-x2+2x+c交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C，D为抛物线的顶点．
（1）点D坐标为 ；
（2）点C关于抛物线对称轴的对称点为E点，点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，点M坐标为 ．
三、解答题（共5题，共45分）
17．（2021九上·鹿城期末）
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长.
18．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，点D、E分别在AB、AC上，如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，且相似比为 ，试求AD、AE的长．
19．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝7，AD＝2，BC＝3.在线段AB上是否存在一点P，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若不存在，请说明理由；若存在，这样的点P有几个？
20．（2021九上·衢江月考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止.设它们的运动时间为t.
（1）根据题意知：CQ＝ ，CP＝ ；（用含t的代数式表示）；
（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？
21．（2021九上·长安期中）如图，在中，，，，点P从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，过点P作于点D，连接PQ、QD，设点P运动的时间为ts．
（1）求证：四边形PCQD是平行四边形；
（2）当四边形PCQD成为菱形时，求出相应的t的值；
（3）与以C、P、Q为顶点的三角形能否相似，如果能，求出相应的t的值；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合 ， ，可求出。
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB＝AC＝6，∠B＝75°，
∴∠C＝75°，∠A＝30°，
A、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B、三角形各角的度数都是60°，
C、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，利用AAA可以判断两个三角形相似.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理分别计算每一个选项中三角形各内角的度数，再根据AAA定理进行判断.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意：△ABC∽△A′B′C′，
∴∠ =∠ ＝40°，
，即 ，
∴解得 ，
经检验 符合意义，是原方程的解.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠α的度数，根据相似三角形对应边成比例可得x的值.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
则，
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，然后代值计算，即可得出结果.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC三条边长之比为3：4：5，且△ABC与△A'B'C'相似，
∴△A'B'C'的三边之比也为：3：4：5，
设△A'B'C'的最短边为x， 而最大边为15cm，
所以△A'B'C'的最短边为9
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出最小边的长.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC三边长是，，2，
∴△ABC三边长的比为：2：=1：：，
∴△ABC相似的三角形三边长可能是1：：，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应边的比相等进行解答即可.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝135°，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ① 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，
根据题意得： ，
解得 ， .
故答案为：C.
【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 正方形ABCD边长是2， ，
，
，
当 ∽ 时
，
.
当 ∽ 时，
，
.
或 .
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质可得∠A= ∠C=90°, AD=AB=2 ,则AN=EB=1 ,再根据勾股定理求得AE的长, 分两种情况讨论，即假设△ABE∽△NDM或△ABE∽△MDN，分别求出DM的长即可.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故答案为：D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
11．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】如图，，
∴，，
∴．
故答案为：70°．
【分析】利用相似三角形的性质可得，，再利用三角形的内角和求出即可。
12．【答案】6
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABD∽△DBC，
∴，
∴BD2=AB·BC=4×9=36，
∴BD=6.
故答案为：6.
【分析】根据相似三角形的性质得出，代入数值进行计算，即可得出答案.
13．【答案】26
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，解得，
故答案为：26
【分析】由相似三角形的对应角相等可得，即得，在中，利用三角形内角和定理即可求解.
14．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵与相似，
∴或，
∴，或，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【分析】由与相似，可分两种情况：或，根据相似三角形对应边成比例分别解答即可.
15．【答案】2或4.5
【知识点】相似三角形的性质；线段的中点
【解析】【解答】解：∵AB=6，D是AB的中点，
∴AD=AB=3，
①若△ADQ∽△ABC，则AD：AB=AQ：AC，
即3：6=AQ：4，
解得：AQ=2；
②若△ADQ∽△ACB，则AD：AC=AQ：AB
即3：4=AQ：6，
解得：AQ=4.5；
∴AQ的长为2或4.5.
故答案为：2或4.5.
【分析】根据中点的概念可得AD=AB=3，①若△ADQ∽△ABC，则AD∶AB=AQ∶AC，代入数据计算即可；②若△ADQ∽△ACB，则AD∶AC=AQ∶AB，代入数据计算即可.
16．【答案】（1）（1，4）
（2）（1，）或（1，-2）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）将A点坐标（-1，0）代入解析式得
解得
∴解析式为
∴抛物线的对称轴为直线，顶点D坐标为，
故答案为：（1，4）；
（2）将代入解析式得，C点坐标为，E点坐标为，
如图，连接BC、BE、BD、CE，作BM、BM'
∵
∴
由勾股定理得，，，
设M点坐标为， △DMB和△BCE ，有两种情况：
情况一：，此时
∴
∴
解得
∴点坐标为；
情况二：，此时
∴
∴
解得
∴点坐标为；
综上所述，点坐标为或
故答案为：或（1，-2）．
【分析】（1）将A（-1，0）代入y=-x2+2x+c中可得c的值，据此可得抛物线的解析式，进而可得顶点D的坐标；
（2）易得C（0，3），E（2，3），CE=2，连接BC、BE、BD、CE，由勾股定理求BC、BE、BD，设M（1，a），情况一：当∠DBM=∠BCE=45°时，△DMB∽△BEC，根据相似三角形的性质可得a的值，据此可得点M的坐标；情况二：当∠DMB=∠BCE=45°时，△DMB∽△BCE，根据相似三角形的性质求出a的值，据此可得点M的坐标.
17．【答案】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，
，即 ，解得DF＝3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝90°，
由勾股定理得：
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF的长；再利用矩形的性质可证得∠D=90°，然后利用勾股定理求出EF的长.
18．【答案】解：当△ABC∽△ADE时，相似比为 ， ＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=2，AE=1.5；
当△ABC∽△AED时，
＝ ＝ ，
即： ＝ ＝ ，
解得：AD=1.5，AE=2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，分两种情况讨论：当△ABC∽△ADE时；当△ABC∽△AED时。利用相似三角形的性质，分别得出对应边成比例，分别求出AD和AE的值即可解答。
19．【答案】解：存在点P，使得以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似，这样的P点有3个，理由如下，
设AP=x，
∵AP=7，AD=2，BC=3，
∵BP=7-x，
①当△PAD∽△PBC时，
∴,
∴,
∴
即AP=；
②当△PAD∽△CBP时，
∴,
∴，
∴x=1或x=6，
即AP=1或AP=6，
综上所述，这样的P点共有3个。
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】①当△PAD∽△PBC时，②当△PAD∽△CBP时，根据相似三角形的性质得出等式，将数值代入即可求得AP值.
20．【答案】（1）2t；3-t
（2）解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若，则 ，即 ，解得：s，
②若，则，即，解得：s，
由动点P从点B出发以1cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以2cm/s的速度向点A移动，其中一个点到终点另一个点也随之停止，可求出t的取值范围应该为 ，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件，
故△CPQ与△CBA相似，运动的时间为或秒.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）经过t秒后，CQ=2t，CP=BC-BP=3-t ；
故答案为：2t，3-t；
【分析】（1）根据路程=速度×时间，可得CQ=2t，BP=t，从而得出CP=BC-BP=3-t；
（2）由于∠C=∠C，所以分两种情况 ①若△CPQ∽△CBA，， ②若△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质进行求解即可.
21．【答案】（1）证明：由题意，，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴四边形PCQD是平行四边形.
（2）解：四边形PCQD是菱形，则
∵，
∴
∴
∴
∴当四边形PCQD是菱形时，
（3）解：由题意，，，
当时，
即，解得
当，
即，解得
∴当或时，与以C、P、Q为顶点的三角形相似.
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，CQ=t，根据含30°角的直角三角形的性质可得PD=AP=t，则CQ=PD，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得PD∥CQ，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）由菱形的性质可得PC=CQ，由题意可得PC=10-2t，CQ=t，据此可得t的值；
（3）由题意可得∠APD=∠C，AP=2t，PD=CQ=t，PC=10-2t，然后分△APD∽△PCQ、△APD∽△QCP，根据相似三角形的对应边成比例可得t的值.
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