2023年浙教版数学九年级上册4.4两个三角形相似的判定 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·石家庄月考）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B，交BC于点D，根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°，进而得出AD⊥BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；
B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于 两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；
C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；
D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可。
2．（2023·杨浦模拟）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，如图所示：
∴ED∥BA，，
∴∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，
∴△CBA∽△EDA，
同理可得△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，
∵MB=4，CB=6，由勾股定理得，
∴，
∴△CBA∽△NBM，
∴该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是4个，
故答案为：D
【分析】取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，先根据中位线的性质得到ED∥BA，，进而得到∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，再根据相似三角形的判定证明△CBA∽△EDA，△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，再结合题意运用勾股定理得到MB=4，CB=6，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
3．（2023·太谷模拟）在三边都不相等的的边上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
∴这样的直线最多可以画4条．
故答案为：B
【分析】作∠ADE=∠B，∠ADE=∠C，∠BDE=∠A，∠BDE=∠C，可得所截得的三角形与相似 ，继而得解.
4．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.
5．（2022九上·余杭月考）如图，已知圆的内接四边形ABDC，边DC与BA的延长线交于点Q，对角线AD与CB交于点P．有下列结论：①△CPD∽△APB；②△APC∽△BPD；③△DCA∽△BAC；④△QCA∽△QBD，其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③ C．①②④ D．②③
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CPD=∠ABP，∠DCP=∠BAP，
∴△CPD∽△APB，故①正确；
∵，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△APB，故②正确；
∵，
∴∠CDA=∠ABC，
∴△DCA和△BAC不一定相似，故③错误；
∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，
∴∠QCA=∠QBD，
∵∠Q=∠Q，
∴△QCA∽△QBD，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④.
故答案为：C
【分析】利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠CPD=∠ABP，∠DCP=∠BAP，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CPD∽△APB，可对①作出判断；利用圆周角定理可证得∠ACP=∠BDP，利用对顶角相等，可证得△APC∽△APB，可对②作出判断；只有一组角对应相等的两三角形不一定相似，可对③作出判断；利用圆内接四边形的性质，可证得∠QCA=∠QBD，可证得△QCA∽△QBD，可对④作出判断，由此可得到正确结论的序号.
6．（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ABC的三边之比为 ，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故答案为：C.
【分析】根据题意，得出 ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与 ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来.
7．（2020·石家庄模拟）如图，在 中， ， ， ，垂足为点 ，过点 作射线 ，点 是边 上任意一点，连接 并延长与射线 相交于点 ，设 ， 两点之间的距离为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ）
① ；
②当 时， ；
③当 时，四边形 是平行四边形；
④当 或 时，都有 ；
⑤当 时， 与 一定相似．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵AB＝BC＝10，AC＝12，BO⊥AC，
∴AO＝CO，AB＝BC，BO＝BO，
∴△AOB≌△COB；
故此选项符合题意；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO＝∠OCP，
∵AO＝CO，∠AOQ＝∠POC，
∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
故此选项符合题意；
③当x＝5时，
∴BP＝PC＝5，
∵AQ＝PC，
∴AQ＝PB＝5，
∵AQ∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
故此选项符合题意；
④当x＝0时，P与B重合，
∴∠OBC＝∠QPR，
又∵∠BOC＝∠PRQ＝90°，
∴△BCO∽△PQR；
当x＝10时，P与C重合，此时Q与A重合，
∵∠QPR＝∠BPO，∠QRP＝∠BOC＝90°，
∴△QRP∽△BOC，
当x＝0时，△BCO∽△PQR与△PQR∽△CBO不相符；故此选项不符合题意；
⑤若△PQR与△CBO一定相似，
则∠QPR＝∠BCO，
故OP＝OC＝6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO2＝CH CB，
可求得CH＝ CP＝3.6，
故CP＝7.2，所以BP＝x＝2.8
故当 时，△PQR与△CBO一定相似．
故此选项符合题意．
故正确的有4条．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案．
8．（2020·宁波模拟）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（ ）
A．12 B．12 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK，
在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE，
∴△AEK∽△ADE，∴ ，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK，
当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ，
∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ，
故答案为：B。
【分析】本题是一道较难的综合题，关键在于通过做辅助线构造相似三角形。在AD上取点k，使AK=2，连接EK，KF，根据正方形的性质得到AB=AD=DC=8，所以得到、，因为∠EAK=∠DAE，得到△AEK∽△ADE，所以得到EK= ED，根据三角形三边的关系以及两点之间线段最短，得到当F、E、K三点共线时，EF+ ED最小，即为KF，再根据勾股定理求出KF即可.
9．（2020·石嘴山模拟）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以.因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条.
故答案为：C.
【分析】过点D作直线与另一边相交，由于所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以，据此可过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线即可.
10．（2017·江津模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+ DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM= DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= ．
∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故选C．
【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·灌阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个.
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又
与△ABC相似的三角形有△ACD、△CDE、△CBD、△DBE共计4个
故答案为：4.
【分析】根据等角或同角的余角相等， 找出相等的角，然后利用两组角对应相等的两个三角形相似，证明三角形相似，依此找出所有跟△ABC相似的三角形即可.
12．（2021九上·富平月考）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有 对．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠EAP=∠EDC，∠AEP=∠PCB，∠EAP=∠PBC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形.
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠EAP=∠EDC，∠AEP=∠PCB，∠EAP=∠PBC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
13．（2021九上·上城期末）如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
【分析】 （1）根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形外角的性质推出，于是证明△AFE∽△AEC，可得结论；
（2）作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质即可求出结果．
14．（2021九上·苏州月考）已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点A运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点A，使得.其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵A(a，b)，且A在反比例函数的图象上，
∴
∵AC∥y轴，且C在反比例函数的图象上，
∴C(a，)
又∵AC=3CD，
∴AD=4CD，即
∴k=2．
故①正确
②由①可知：A(a，)，C(a，)
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∵点B在反比例函数的函数图象上，
∴，解得：x=，
∴点B(，)，
∴AB=a =，AC= =
∴S=AB×AC=××=
∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于
故②正确
③连接DE，如图所示
∵B(，)，C(a，)
∴经过B、C两点的直线斜率k1=
∵轴，轴
∴D(a，0)，E(0，)
∴经过D、E两点的直线斜率k2=
∴，即
故③正确
④假设
∴
∴
解得
∴当时，
故④错误
故答案为：①②③
【分析】①将A(a，b)代入中可得，由AC∥y轴且C在反比例函数的图象上，可得C(a，)，由AC=3CD可得AD=4CD，据此建立关于k的方程并解之即可判断；②
由①可知：A(a，)，C(a，)，由AB∥x轴及B点在上，可求出B(，)，从而求出AB，AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，即可判断；③连接DE，由B、C坐标可求出直线BC的斜率，由D、E坐标可求出直线DE的斜率，根据斜率的值即可判断；④假设△ABC∽△OED，利用相似三角形的对应边成比例可求出a值，从而判断即可.
15．（2020·武汉模拟）等腰 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰 的顶角的度数是 .
【答案】36°或90°或108°
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1，
∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°.
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故 ∽ ；
②如图2，
∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°.
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故 ∽ ；
③如图3，
∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°.
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有 ∽ ；
故答案为：36°或90°或108°.
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解.
16．（2018九上·安溪期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝ ，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝ ．
【分析】本题的关键是想办法将BD放到门口个直角三角形中，利用勾股定理进行求解。第一步是先构造直角三角形BDH，再连接AC。利用勾股定理求出AC，DC的长度，最后 进行计算即可。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022·江苏模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B.
（1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
① 过点D作AB的平行线交BC于点F；
② P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；
（2）在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ .
【答案】（1）解：如图所示：
DF即为所求作的平行线；
如图所示，
符合条件的点P共有两个；
（2） 或
【知识点】相似三角形的性质；作图﹣相似变换；作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）∵△DAP∽△PBC，
∴ ，
设AP=x，则BP=6-x，
∴ ，
即 ，
，
解得： ， ，
即 或 .
【分析】（1）①延长AD，利用作一个角等于已知角的方法，以AD的延长线为一边，在AD的同侧做一个角，使其与∠A相等，且与∠A是同位角，则该角的另一边与就是所求的平行于AB的线；
②作线段CD的垂直平分线，作∠DCB的角平分线，两线的交点记为点O，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB交于点P，此时 △DAP∽△PBC；
（2）设AP=x，则BP=6-x，根据相似三角形的性质可得x，据此解答.
18．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= =5，
∵∠A=∠A，
∴当 = 时，△AQP∽△ACB，即 = ，解得t= （s）；
当 = ，△AQP∽△ABC，即 = ，解得t= （s）；
∴当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似
（2）解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= （3﹣t），
QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s），∴当t为1s或 s或 s，△APQ为等腰三角形．
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，△APQ与△ABC有一个公共角∠A，由于对应边不确定进行分类讨论：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。
19．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S△POQ==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
20．（2023·扶风模拟）如图，抛物线经过坐标原点O与点，正比例函数与抛物线交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点N，交于点M，是否存在点P，使得与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用l∥OB，设直线l解析式为：，将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到直线l的函数解析式，将其函数解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出方程组的解，即可得到点P的坐标；②如图2，当∠OMN=∠PAN，此时△OMN∽△PAN，利用相似三角形的对应边成比例可得到，利用抛物线的解析式设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，同时可表示出MN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标；综上所述可得到点P的坐标.
21．（2022·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，OA，OC分别在x轴、y轴上，OB是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，OD与CB相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：k的值为 ；
（2）连接FG，求证：；
（3）在线段OA上找一点P，使得是等腰三角形，请直接写出此时OP的长．
【答案】（1）2
（2）证明：∵点G在AB上，点B的坐标为，
∴点G的横坐标为4．
对于，当时，．
∴点G的坐标为．
∴
在矩形OABC中，，，
∴，，
∴，，
∴．
又90°，
∴；
（3）解：或或
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】(1)解：由题意得：，
∴
∴
∴
∴点F的坐标为（1，2）
∵比例函数的图象经过点F
∴，
故答案是：2；
(3)解： ，设点P的坐标为，，满足是等腰三角形：
①当时，有
解得(舍去)或
∴
②当时，有
解得（舍去）或
∴
③时，有
解得
∴
综上所述，OP的长为或或．
【分析】（1）先求出点F的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出，，可得，再结合可得；
（3）分三种情况：①当时，有 ，②当时，有， ③时，有 ，再分别求解即可。
22．（2023·邢台模拟）如图1，在中，，分别为边上的点，且．已知，．
（1）的长为 ；与的周长比为 ；
（2）将绕点A旋转，连接．
①当旋转至图2所示的位置时，求证：；
②如图3，当旋转至点D在上时，，直接写出及的长．
【答案】（1）6；3：5
（2）解：①证明：由（1）可知，，
∴，
根据图形旋转的性质得，，
∴；
②由（1）可知，，，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，，
∴，
∴与的周长比为，
故答案为：，．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，，再将数据代入求出，最后求出 与的周长比即可；
（2）①利用旋转的性质可得，再结合，即可得到；
②先证出四边形是矩形，可得，利用勾股定理求出AB的长，再结合，可得，最后可得 ，。
23．（2023·苏州模拟）
（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 ；
（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点， 求证：；
（3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N.当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论.
【答案】（1）
（2）证明：如图，
由（1）知：，
，
又四边形是正方形，
，
是正方形的对角线，
，
，
又，
又，
；
（3）解：将绕点A顺时针旋转，此时与重合，F转到点G，在上取，连接，如图，
∴
又
∵菱形
中，
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下：∵将绕点D逆时针旋转90°，得到，
∴
三点共线，
在和中，
∴
；
【分析】（1）根据旋转的性质可得DE=DM，AE=CM，∠ADE=∠CDM，利用SAS证明△DEF≌△DMF，得到EF=FM，据此解答；
（2）由（1）知△DEF≌△DMF，则∠DFE=∠DFM，根据正方形的性质可得AD∥BC，∠BAD=∠ADC=90°，∠DAQ=45°，由平行线的性质可得∠DFM=∠ADF，进而推出∠DPQ=∠DFE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）将△ADF绕点A顺时针旋转120°，此时AD与AB重合，F转到点G，在AG上取AH=AN，连接HM、HB，利用SAS证明△ABH≌△ADN，得到DN=BH，∠ABH=∠ADN，由菱形的性质可得∠ABD=∠ADB=30°，则∠HBD=60°，易得∠AMN=∠AMH=75°，∠HMB=30°，∠BHM=90°，然后根据勾股定理进行解答.
24．（2021九上·常山期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）解：如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
（3）可以，如下图，
设，
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） 由题意可得∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，然后有两组角对应相等的两个三角形相似进行解答；
（2）当∠CAD=∠C′B′D′=15°时， 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；
【拓展思考】设∠A=α，∠B=90°-α，∠A′=β，∠B′=90°-β，作∠ACD=β交AB于D，作∠A′C′D′=α交 A′B′于D′，则∠A=∠A′C′D′=α，∠ACD=∠A′=β，∠B=∠B′C′D′=90°-α，∠BCD=∠B′=90°-β，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判断.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.4两个三角形相似的判定 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2021九上·石家庄月考）已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·杨浦模拟）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·太谷模拟）在三边都不相等的的边上有一点D，过点D画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与相似，这样的直线最多可以画（ ）
A．5条 B．4条 C．3条 D．2条
4．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022九上·余杭月考）如图，已知圆的内接四边形ABDC，边DC与BA的延长线交于点Q，对角线AD与CB交于点P．有下列结论：①△CPD∽△APB；②△APC∽△BPD；③△DCA∽△BAC；④△QCA∽△QBD，其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①③ C．①②④ D．②③
6．（2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE（不含△ABC），使得△ADE∽△ABC（同一位置的格点三角形△ADE只算一个），这样的格点三角形一共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
7．（2020·石家庄模拟）如图，在 中， ， ， ，垂足为点 ，过点 作射线 ，点 是边 上任意一点，连接 并延长与射线 相交于点 ，设 ， 两点之间的距离为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ）
① ；
②当 时， ；
③当 时，四边形 是平行四边形；
④当 或 时，都有 ；
⑤当 时， 与 一定相似．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
8．（2020·宁波模拟）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则2EF+ED的最小值为（ ）
A．12 B．12 C．12 D．10
9．（2020·石嘴山模拟）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
10．（2017·江津模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2021九上·灌阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有 个.
12．（2021九上·富平月考）如图，点P是 ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有 对．
13．（2021九上·上城期末）如图，在等腰 中， 平分 ，点E在 的延长线上， 交 于点F，则图中与 相似的三角形为 ； 的长为 .
14．（2021九上·苏州月考）已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点B、C，交坐标轴于D、E，且，连接.现有以下四个结论：①；②在点A运动过程中，的面积始终不变；③连接，则；④不存在点A，使得.其中正确的结论的序号是 ．
15．（2020·武汉模拟）等腰 被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相似，则等腰 的顶角的度数是 .
16．（2018九上·安溪期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝ ，则BD的长为 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2022·江苏模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B.
（1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）：
① 过点D作AB的平行线交BC于点F；
② P为AB边上的一点，且△DAP∽△PBC，请找出所有满足条件的点；
（2）在（1）的条件下，若AD＝2，BC＝3，AB＝6，则AP＝ .
18．（湘教版九年级数学上册 3.4 相似三角形的判定与性质（5）同步练习）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？
19．（2021九上·槐荫期末）在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5），
（1）用含t的代数式表示：线段PO＝ cm；OQ＝ cm．
（2）当t为何值时△POQ的面积为6cm2？
（3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值．
20．（2023·扶风模拟）如图，抛物线经过坐标原点O与点，正比例函数与抛物线交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点N，交于点M，是否存在点P，使得与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2022·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为，OA，OC分别在x轴、y轴上，OB是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，OD与CB相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交AB于点G．
（1）填空：k的值为 ；
（2）连接FG，求证：；
（3）在线段OA上找一点P，使得是等腰三角形，请直接写出此时OP的长．
22．（2023·邢台模拟）如图1，在中，，分别为边上的点，且．已知，．
（1）的长为 ；与的周长比为 ；
（2）将绕点A旋转，连接．
①当旋转至图2所示的位置时，求证：；
②如图3，当旋转至点D在上时，，直接写出及的长．
23．（2023·苏州模拟）
（1）如图①，在正方形中，E，F分别是，边上的动点，且，将绕点D逆时针旋转90°，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为 ；
（2）在图①中，连接分别交和于P，Q两点， 求证：；
（3）如图②，在菱形中，，点E，F分别是边，上的动点（不与端点重合），且，连接分别与边，交于M，N.当时，猜想，，之间存在什么样的数量关系，并证明你的结论.
24．（2021九上·常山期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：A、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B，交BC于点D，根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°，进而得出AD⊥BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；A不符合题意；
B、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于 两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；B不符合题意；
C、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；C不符合题意；
D、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可。
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，如图所示：
∴ED∥BA，，
∴∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，
∴△CBA∽△EDA，
同理可得△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，
∵MB=4，CB=6，由勾股定理得，
∴，
∴△CBA∽△NBM，
∴该网格中所有与相似且有一个公共角的格点三角形的个数是4个，
故答案为：D
【分析】取AB、BC、AC的中点为D、F、E，再取M、N为网格的点，连接ED、FD、EF、MN，先根据中位线的性质得到ED∥BA，，进而得到∠C=∠DEA，∠B=∠EDA，再根据相似三角形的判定证明△CBA∽△EDA，△BAC∽△FEC，△CAB∽△FDB，再结合题意运用勾股定理得到MB=4，CB=6，，进而得到，再根据相似三角形的判定即可求解。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
如图，画直线交于点E，则；
如图，画直线交于点E，使，
∵，
∴；
∴这样的直线最多可以画4条．
故答案为：B
【分析】作∠ADE=∠B，∠ADE=∠C，∠BDE=∠A，∠BDE=∠C，可得所截得的三角形与相似 ，继而得解.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，
∴，且，，
即，
要使，
则，
观察图形，只有是正方形的对角线，即，
且，，
即，
∴点符合题意，
故答案为：B.
【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.
5．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴∠CPD=∠ABP，∠DCP=∠BAP，
∴△CPD∽△APB，故①正确；
∵，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△APB，故②正确；
∵，
∴∠CDA=∠ABC，
∴△DCA和△BAC不一定相似，故③错误；
∵四边形ABDC是圆O的内接四边形，
∴∠QCA=∠QBD，
∵∠Q=∠Q，
∴△QCA∽△QBD，故④正确；
∴正确结论的序号为①②④.
故答案为：C
【分析】利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠CPD=∠ABP，∠DCP=∠BAP，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△CPD∽△APB，可对①作出判断；利用圆周角定理可证得∠ACP=∠BDP，利用对顶角相等，可证得△APC∽△APB，可对②作出判断；只有一组角对应相等的两三角形不一定相似，可对③作出判断；利用圆内接四边形的性质，可证得∠QCA=∠QBD，可证得△QCA∽△QBD，可对④作出判断，由此可得到正确结论的序号.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ABC的三边之比为 ，
如图所示，可能出现的相似三角形共有以下六种情况：
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个，
故答案为：C.
【分析】根据题意，得出 ABC的三边之比，并在直角坐标系中找出与 ABC各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵AB＝BC＝10，AC＝12，BO⊥AC，
∴AO＝CO，AB＝BC，BO＝BO，
∴△AOB≌△COB；
故此选项符合题意；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO＝∠OCP，
∵AO＝CO，∠AOQ＝∠POC，
∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
故此选项符合题意；
③当x＝5时，
∴BP＝PC＝5，
∵AQ＝PC，
∴AQ＝PB＝5，
∵AQ∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
故此选项符合题意；
④当x＝0时，P与B重合，
∴∠OBC＝∠QPR，
又∵∠BOC＝∠PRQ＝90°，
∴△BCO∽△PQR；
当x＝10时，P与C重合，此时Q与A重合，
∵∠QPR＝∠BPO，∠QRP＝∠BOC＝90°，
∴△QRP∽△BOC，
当x＝0时，△BCO∽△PQR与△PQR∽△CBO不相符；故此选项不符合题意；
⑤若△PQR与△CBO一定相似，
则∠QPR＝∠BCO，
故OP＝OC＝6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO2＝CH CB，
可求得CH＝ CP＝3.6，
故CP＝7.2，所以BP＝x＝2.8
故当 时，△PQR与△CBO一定相似．
故此选项符合题意．
故正确的有4条．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，在AD上取点k，使AK=2，连接EK，
在△AEK和△ADE中，∠EAK=∠DAE，
∴△AEK∽△ADE，∴ ，即EK= ED，∴EF+ ED=EF+EK，
当F、E、K三点共线时，EF+ ED=FK=6 ，
∴(2EF+ED)最小=2(EF+ ED)=12 ，
故答案为：B。
【分析】本题是一道较难的综合题，关键在于通过做辅助线构造相似三角形。在AD上取点k，使AK=2，连接EK，KF，根据正方形的性质得到AB=AD=DC=8，所以得到、，因为∠EAK=∠DAE，得到△AEK∽△ADE，所以得到EK= ED，根据三角形三边的关系以及两点之间线段最短，得到当F、E、K三点共线时，EF+ ED最小，即为KF，再根据勾股定理求出KF即可.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】过点D作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以.因此，
∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条.
故答案为：C.
【分析】过点D作直线与另一边相交，由于所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以，据此可过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线即可.
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+ DM2=1，
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM= DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM= ．
∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故选C．
【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
11．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又
与△ABC相似的三角形有△ACD、△CDE、△CBD、△DBE共计4个
故答案为：4.
【分析】根据等角或同角的余角相等， 找出相等的角，然后利用两组角对应相等的两个三角形相似，证明三角形相似，依此找出所有跟△ABC相似的三角形即可.
12．【答案】3
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴∠EAP=∠EDC，∠AEP=∠PCB，∠EAP=∠PBC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP，
∴△EDC∽△CBP，故有3对相似三角形.
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AD∥BC，根据平行线的性质可得∠EAP=∠EDC，∠AEP=∠PCB，∠EAP=∠PBC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
13．【答案】；
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
∵
∴
，
，
，
，
如图，作 交 于点G，
，
，
，
，
解得 ，
，
，解得 .
故答案为： .
【分析】 （1）根据等腰三角形的两底角相等，结合三角形外角的性质推出，于是证明△AFE∽△AEC，可得结论；
（2）作EG⊥CD交CD于点G，利用平行线分线段成比例定理求出AE，再利用相似三角形的性质即可求出结果．
14．【答案】①②③
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵A(a，b)，且A在反比例函数的图象上，
∴
∵AC∥y轴，且C在反比例函数的图象上，
∴C(a，)
又∵AC=3CD，
∴AD=4CD，即
∴k=2．
故①正确
②由①可知：A(a，)，C(a，)
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为，
∵点B在反比例函数的函数图象上，
∴，解得：x=，
∴点B(，)，
∴AB=a =，AC= =
∴S=AB×AC=××=
∴在点A运动过程中，△ABC面积不变，始终等于
故②正确
③连接DE，如图所示
∵B(，)，C(a，)
∴经过B、C两点的直线斜率k1=
∵轴，轴
∴D(a，0)，E(0，)
∴经过D、E两点的直线斜率k2=
∴，即
故③正确
④假设
∴
∴
解得
∴当时，
故④错误
故答案为：①②③
【分析】①将A(a，b)代入中可得，由AC∥y轴且C在反比例函数的图象上，可得C(a，)，由AC=3CD可得AD=4CD，据此建立关于k的方程并解之即可判断；②
由①可知：A(a，)，C(a，)，由AB∥x轴及B点在上，可求出B(，)，从而求出AB，AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC的面积，即可判断；③连接DE，由B、C坐标可求出直线BC的斜率，由D、E坐标可求出直线DE的斜率，根据斜率的值即可判断；④假设△ABC∽△OED，利用相似三角形的对应边成比例可求出a值，从而判断即可.
15．【答案】36°或90°或108°
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1，
∵AB=AC，当BD=CD，CD=AD，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°，
∴∠BAC=90°.
此时易知∠BDA=∠BAC=90°，∠ABD=∠ABC= 45°，故 ∽ ；
②如图2，
∵AB=AC，AD=BD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，
∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，
∴∠BAC=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴∠BAC=108°.
此时易知∠BDA=∠BAC=108°，∠ABD=∠ABC= 36°， 故 ∽ ；
③如图3，
∵AB=AC，AD=BD=BC，
∴∠B=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，
∴∠ABC=∠C=2∠BAC，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴5∠BAC=180°，
∴∠BAC=36°.
此时易知∠CBA=∠CDB=72°，∠BAC=∠DBC=36°，故有 ∽ ；
故答案为：36°或90°或108°.
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相似与故应该分三种情况进行分析，从而求解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝ ，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝ ．
【分析】本题的关键是想办法将BD放到门口个直角三角形中，利用勾股定理进行求解。第一步是先构造直角三角形BDH，再连接AC。利用勾股定理求出AC，DC的长度，最后 进行计算即可。
17．【答案】（1）解：如图所示：
DF即为所求作的平行线；
如图所示，
符合条件的点P共有两个；
（2） 或
【知识点】相似三角形的性质；作图﹣相似变换；作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）∵△DAP∽△PBC，
∴ ，
设AP=x，则BP=6-x，
∴ ，
即 ，
，
解得： ， ，
即 或 .
【分析】（1）①延长AD，利用作一个角等于已知角的方法，以AD的延长线为一边，在AD的同侧做一个角，使其与∠A相等，且与∠A是同位角，则该角的另一边与就是所求的平行于AB的线；
②作线段CD的垂直平分线，作∠DCB的角平分线，两线的交点记为点O，以O为圆心，OD为半径作圆，与AB交于点P，此时 △DAP∽△PBC；
（2）设AP=x，则BP=6-x，根据相似三角形的性质可得x，据此解答.
18．【答案】（1）解：∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，∴AC= =5，
∵∠A=∠A，
∴当 = 时，△AQP∽△ACB，即 = ，解得t= （s）；
当 = ，△AQP∽△ABC，即 = ，解得t= （s）；
∴当t为 s或 s时，△APQ与△ABC相似
（2）解：当AQ=AP时，2t=3﹣t，解得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，∴△AMP∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN= （3﹣t），
QN∥BC，∴△ANQ∽△ABC，∴ = ，即 = ，解得t= （s），∴当t为1s或 s或 s，△APQ为等腰三角形．
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，△APQ与△ABC有一个公共角∠A，由于对应边不确定进行分类讨论：△AQP∽△ACB和△AQP∽△ABC，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。（2）分AQ=AP、PA=PQ、QA=QP三种情况分类讨论，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解。
19．【答案】（1）2t；（5﹣t）
（2）解：由（1）知，OP=2t cm，OQ=（5-t）cm，
∵△POQ的面积为6cm2，
∴6=×2t×（5-t），
∴t=2或3，
∴当t=2或3时，三角形POQ的面积为6cm2；
（3）解：∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴△POQ∽△AOB或△POQ∽△BOA，
∴或，
当，则，
∴t=；
当时，则，
∴t=1，
∴当t=或1时，△POQ与△AOB相似．
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定
【解析】【解答】(1)解：由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，
∴OQ=（5-t）cm，
故答案为：2t，（5-t）；
【分析】（1）由题意知，OP=2t cm，BQ=t cm，则OQ=（5-t）cm；
（2）由（1）可得S△POQ==6 ，解之可得t；
（3）由题意可知 △POQ与△AOB相似分为两种情况，△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA，可根据相似三角形的性质对应线段成比例求出t的值。
20．【答案】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用l∥OB，设直线l解析式为：，将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到直线l的函数解析式，将其函数解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出方程组的解，即可得到点P的坐标；②如图2，当∠OMN=∠PAN，此时△OMN∽△PAN，利用相似三角形的对应边成比例可得到，利用抛物线的解析式设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，同时可表示出MN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标；综上所述可得到点P的坐标.
21．【答案】（1）2
（2）证明：∵点G在AB上，点B的坐标为，
∴点G的横坐标为4．
对于，当时，．
∴点G的坐标为．
∴
在矩形OABC中，，，
∴，，
∴，，
∴．
又90°，
∴；
（3）解：或或
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】(1)解：由题意得：，
∴
∴
∴
∴点F的坐标为（1，2）
∵比例函数的图象经过点F
∴，
故答案是：2；
(3)解： ，设点P的坐标为，，满足是等腰三角形：
①当时，有
解得(舍去)或
∴
②当时，有
解得（舍去）或
∴
③时，有
解得
∴
综上所述，OP的长为或或．
【分析】（1）先求出点F的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先求出，，可得，再结合可得；
（3）分三种情况：①当时，有 ，②当时，有， ③时，有 ，再分别求解即可。
22．【答案】（1）6；3：5
（2）解：①证明：由（1）可知，，
∴，
根据图形旋转的性质得，，
∴；
②由（1）可知，，，
在中，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，，
∴，
∴与的周长比为，
故答案为：，．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例的性质可得，，再将数据代入求出，最后求出 与的周长比即可；
（2）①利用旋转的性质可得，再结合，即可得到；
②先证出四边形是矩形，可得，利用勾股定理求出AB的长，再结合，可得，最后可得 ，。
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，
由（1）知：，
，
又四边形是正方形，
，
是正方形的对角线，
，
，
又，
又，
；
（3）解：将绕点A顺时针旋转，此时与重合，F转到点G，在上取，连接，如图，
∴
又
∵菱形
中，
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下：∵将绕点D逆时针旋转90°，得到，
∴
三点共线，
在和中，
∴
；
【分析】（1）根据旋转的性质可得DE=DM，AE=CM，∠ADE=∠CDM，利用SAS证明△DEF≌△DMF，得到EF=FM，据此解答；
（2）由（1）知△DEF≌△DMF，则∠DFE=∠DFM，根据正方形的性质可得AD∥BC，∠BAD=∠ADC=90°，∠DAQ=45°，由平行线的性质可得∠DFM=∠ADF，进而推出∠DPQ=∠DFE，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（3）将△ADF绕点A顺时针旋转120°，此时AD与AB重合，F转到点G，在AG上取AH=AN，连接HM、HB，利用SAS证明△ABH≌△ADN，得到DN=BH，∠ABH=∠ADN，由菱形的性质可得∠ABD=∠ADB=30°，则∠HBD=60°，易得∠AMN=∠AMH=75°，∠HMB=30°，∠BHM=90°，然后根据勾股定理进行解答.
24．【答案】（1）解：如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）解：如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
（3）可以，如下图，
设，
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1） 由题意可得∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，然后有两组角对应相等的两个三角形相似进行解答；
（2）当∠CAD=∠C′B′D′=15°时， 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似；
【拓展思考】设∠A=α，∠B=90°-α，∠A′=β，∠B′=90°-β，作∠ACD=β交AB于D，作∠A′C′D′=α交 A′B′于D′，则∠A=∠A′C′D′=α，∠ACD=∠A′=β，∠B=∠B′C′D′=90°-α，∠BCD=∠B′=90°-β，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行判断.
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