2023年浙教版数学九年级上册4.4两个三角形相似的判定 同步测试（提升版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·碑林月考）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
2．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023九上·平桂期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·河北期末）如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
5．（2022九上·惠阳月考）下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
6．（2022九上·青岛期中）一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种或四种以上
7．（2022九上·蚌山期中）已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022九上·奉贤期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点F有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022九上·虹口期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD
C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC
10．（2022九上·滁州期中）如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·胶州期末）如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
12．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
13．（2022九上·奉贤期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
14．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有 对．
15．（2019九上·拱墅月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果 ，那么当 时，以点A、D、E为顶点的三角形与 相似.
16．（2021九上·越城期末）如图，∠ACB=∠BDC=90°，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似.请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 .
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·宁波期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
（1）如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为.
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为： .
18．（2022九上·昌平期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）判断和△是否相似，并说明理由；
（2）画一个三角形，它的三个顶点为中的3个格点，并且与相似．（要求：不写作法与证明）
19．（2022九上·怀宁月考）已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：．
20．（2021九上·鹿城期末）如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证： ABD∽ DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长.
21．（2022九上·昌平期中）如图，将一个与正方形叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段重合．
（1）图中与相似的三角形共有 个，分别是 ；
（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与相似的证明．
22．（2021九上·长兴期末）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，连结 ， .
求证：
（1）点D是 的中点.
（2） .
23．（2021九上·合肥期末）如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
24．（2021九上·金台期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形， ，若 、 的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且 .
（1）求 、 的长.
（2）若点E为x轴正半轴上的点，且 ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断 AOE与 AOD是否相似.
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点且 、 为邻边的四边形为菱形？若存在，写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；
第二个三角形的两个角分别为：75°，70°；
故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；
在图②中：∵，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB，
故都相似．
故答案为：A.
【分析】在图①中，利用内角和定理求出另一个内角的度数，然后根据两个角分别相等的两个三角形相似进行判断；在图②中，根据对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断.
2．【答案】D
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：画出图形，如图所示：
故选D
【分析】根据题意分两种情况画出满足题意的线段A′B′，即可做出判断．
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．
B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法不可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行，
综上所述，截法有两种，
故答案为：B．
【分析】由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长（x＞y），分三种情况讨论：①当长的边对应长的边时，②当长的边对应长的边时，③当长的边对应长的边时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
当 ，时，
当，时，
当，时，
当，时，
一共有4个点F符合题意，
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，故B不符合题意；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴△ADE∽△ACD，故C不符合题意；
△ADE与△DBC不一定相似，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴且，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
11．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加“”，理由：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
14．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
15．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：AD=1，AB=3，AC= ，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC时， ，
即： ，
解得：AE= ，
若△ADE∽△ACB时， ，
即： ，
解得：AE= ，
∴当AE= 或 时，以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： 或 .
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC= ，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值
16．【答案】∠A=∠CBA（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠A=∠CBA，
∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ACB∽△BDC，
故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）.
【分析】由题意可根据相似三角形的判定“①斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似；②
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似；③有两个角对应相等的两个三角形相似”并结合已知条件可判断求解.
17．【答案】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，，
所画三角形与原三角形的相似比为，则所画三角形的各边长分别为、、，如下图所示
（2）解：所画三角形的各边长为，2，，如下图所示：
；
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】（2）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为2，，，
有一个边为公共边，假设公共边为2，并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为边相对应，此时相似比为，
故答案为：.
【分析】（1）根据方格纸的特点及勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，， 结合相似比的概念可得所画三角形的各边长分别为、、， 从而利用方格纸的特点及勾股定理画图即可；
（2）根据方格纸的特点及勾股定理可得原三角形的各边长分别为2，，，有一个边为公共边，假设公共边为2，并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为边相对应，从而根据相似比的概念可得相似比，进而得所画三角形三边长，利用方格纸作图即可.
18．【答案】（1）解：根据勾股定理得，，，，，，
即，
所以；
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【解答】（2）根据勾股定理得，，，
所以，
所以和相似，连接，，.
【分析】（1）利用勾股定理求出，，，再结合，即可得到；
（2）根据相似三角形的判定方法求解即可。
19．【答案】证明，
，
，
，即，
又∵E为的中点，，
，
，
又，
，
，
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由余角的性质可得∠C=∠FAD，由直角三角形斜边中线的性质可得 ， 利用等边对等角可得∠C=∠EDC，再利用对等角相等及等量代换可得，由∠F为公共角，可证.
20．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＋∠DAF＝90°，
∴∠ABD＝∠DAF，
又∵∠BAD＝∠ADF，
∴ ABD∽ DAF
（2）解：∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，
∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG，
∴CG＝2AD，
∵AD//BC，
∴ ADF∽ GCF，
∴ ，
又∵CD＝8，
∴CF＝ ，DF＝ ，
∵ ABD∽ DAF，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴BG＝3AD＝ ，
在Rt ABG中， ，
∴AG的长为16.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠ADF＝90°，进而可得∠ADB＋∠ABD＝90°，由AF⊥BD可得∠ADB＋∠DAF＝90°，进而可得∠ABD＝∠DAF，由此可证得 ABD∽ DAF；（2）根据BG＝3AD，AD＝BC可得CG＝2AD，由 ADF∽ GCF可得 ，再结合CD＝AB＝8可得CF＝ ，DF＝ ，由（1）得 ，由此可求得AD＝ ，进而可求得BG＝3AD＝ ，再利用勾股定理即可求得AG的长.
21．【答案】（1）3；
（2）解：选，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
选，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：图中与相似的三角形共有3个，
分别是；
故答案为：3，
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
22．【答案】（1）∵ 为 的直径，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，然后根据等腰三角形的性质可求证；
（2）由题意得 . ，则有 ，然后问题可求证.
23．【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的长是．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用 ADB~ BDC即可解决问题；
（2）根据已知条件证明 MBD是等腰三角形，求出MB，再证明 MNB~ CND求出DN的值；
24．【答案】（1）解：方程 ，分解因式得： ，可得： ， ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ， ；
（2）解：
根据题意，设 ，
则 ，
解得： ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴点D的坐标是 ，
设经过D、E两点的直线的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴解析式为 ；
设反比例函数解析式为 ，把 代入得： ，
∴反比例函数解析式为 ；
在 与 中，
， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：根据计算的数据， ，
∵ ，
∴ 平分 ，
分二种情况考虑：
① 、 是邻边，点F在射线 上时， ，
∴点F与B重合，即 ；
② 、 是邻边，点F在射线 上时，M应在直线 上，且 垂直平分 ，根据 ， ，
∴此时点F坐标为 ；
综上所述，满足条件的点有二个： ； .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，进而可得OA、OB的值；
（2）设E（x，0），根据△AOE的面积公式可得x，据此可得点E的坐标，根据平行四边形的性质可得点D的坐标，然后求出直线DE的解析式以及反比例函数的解析式，接下来利用相似三角形的判定定理进行证明；
（3）易得AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，此时点F与点B重合，据此可得点F的坐标；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，易得点F的坐标.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.4两个三角形相似的判定 同步测试（提升版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·碑林月考）已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于各组中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．都相似 B．都不相似 C．只有①相似 D．只有②相似
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；
第二个三角形的两个角分别为：75°，70°；
故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；
在图②中：∵，，
∴，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△DOB，
故都相似．
故答案为：A.
【分析】在图①中，利用内角和定理求出另一个内角的度数，然后根据两个角分别相等的两个三角形相似进行判断；在图②中，根据对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断.
2．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为，得到线段A′B′．正确的画法是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：画出图形，如图所示：
故选D
【分析】根据题意分两种情况画出满足题意的线段A′B′，即可做出判断．
3．（2023九上·平桂期末）如图，在四边形中，与相交于点O，则下列三角形中，与一定相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据平行线的性质可得∠OBC=∠ODA，∠OCB=∠OAD，由对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC，然后根据相似三角形的判定定理进行解答.
4．（2022九上·河北期末）如图，在中，点Р在边上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足与相似的条件以及性质的是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴，
∴，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
5．（2022九上·惠阳月考）下列判断中，正确的是（ ）
A．各有一个角是的两个等腰三角形相似
B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似
C．各有一个角是的两个等腰三角形相似
D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．
B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．
C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．
D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
6．（2022九上·青岛期中）一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种或四种以上
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法不可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行；
当长的边对应长的边时，
，解得：，
此时，
所以此截法可行，
综上所述，截法有两种，
故答案为：B．
【分析】由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长（x＞y），分三种情况讨论：①当长的边对应长的边时，②当长的边对应长的边时，③当长的边对应长的边时，利用相似三角形的性质分别求解即可.
7．（2022九上·蚌山期中）已知在中，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
8．（2022九上·奉贤期中）如图是由40个边长为1的等边三角形组成的网格图，的三个顶点和线段的两个端点都在等边三角形的顶点上，若点F也在等边三角形的顶点上，能使与相似的点F有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
当 ，时，
当，时，
当，时，
当，时，
一共有4个点F符合题意，
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
9．（2022九上·虹口期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，错误的是（ ）
A．△ADE∽△ABC B．△CDE∽△BCD
C．△ADE∽△ACD D．△ADE∽△DBC
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∵DE∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，故B不符合题意；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴△ADE∽△ACD，故C不符合题意；
△ADE与△DBC不一定相似，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。
10．（2022九上·滁州期中）如图，已知等边，点分别是边上的动点，，则图中相似的三角形的对数是（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴且，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∵，
∴，
综上所述，图中相似的三角形的对数是6对．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·胶州期末）如图，在 中，，过 上一点 D 作直线交于点 F，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作出的条数为 ．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如图
作，则；
过D作，则，
所以，这样的直线可作2条．
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
12．（2022九上·蚌山期中）如图，在正方形网格中有三个三角形，分别是，，，其中与相似的是 ．
【答案】△DEB
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边之比是，
△EBC的三边之比是
△CDB的三边之比是，
△DEB的三边之比是．
∴△DEB与△ABC相似，
故答案为：△DEB．
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
13．（2022九上·奉贤期中）如图，在四边形中，添加一个条件 ，可以利用定理“斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似”证明．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加“”，理由：
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。
14．（2021九上·北京月考）如图，点E在 的边 的延长线上，连接 分别交 、 于F、G．图中相似的两个三角形共有 对．
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 是平行四边形，
， ，
， ， ， ， 五对，还有一对特殊的相似三角形即 ，
共6对，
故答案是；6．
【分析】先求出 ， ，再求解即可。
15．（2019九上·拱墅月考）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D都是格点，点E是线段AC上任意一点.如果 ，那么当 时，以点A、D、E为顶点的三角形与 相似.
【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】根据题意得：AD=1，AB=3，AC= ，
∵∠A=∠A，
∴若△ADE∽△ABC时， ，
即： ，
解得：AE= ，
若△ADE∽△ACB时， ，
即： ，
解得：AE= ，
∴当AE= 或 时，以点A，D， E为顶点的三角形与△ABC相似，
故答案为： 或 .
【分析】首先根据图，可得AD=1，AB=3，AC= ，然后分别从若△ADE∽△ABC与若△ADE∽△ACB去分析，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AE的值
16．（2021九上·越城期末）如图，∠ACB=∠BDC=90°，我们知道图中两个直角三角形不一定会相似.请你添加一个条件，使这两个直角三角形一定相似，你认为该添加的一个条件是 .
【答案】∠A=∠CBA（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠A=∠CBA，
∵∠A=∠CBA，∠ACB=∠BDC=90°，
∴△ACB∽△BDC，
故答案为：∠A=∠CBA（答案不唯一）.
【分析】由题意可根据相似三角形的判定“①斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似；②
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似；③有两个角对应相等的两个三角形相似”并结合已知条件可判断求解.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·宁波期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长为1，当三角形的三个顶点都在正方形网格线的交点上时，我们称三角形为格点三角形.
（1）如图1，请在图1中画一个格点三角形与原三角形相似，且所画三角形与原三角形的相似比为.
（2）请在图2中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边，并写出所画三角形与原三角形相似比.相似比为： .
【答案】（1）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，，
所画三角形与原三角形的相似比为，则所画三角形的各边长分别为、、，如下图所示
（2）解：所画三角形的各边长为，2，，如下图所示：
；
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【解答】（2）解：由勾股定理可得原三角形的各边长分别为2，，，
有一个边为公共边，假设公共边为2，并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为边相对应，此时相似比为，
故答案为：.
【分析】（1）根据方格纸的特点及勾股定理可得原三角形的各边长分别为，，， 结合相似比的概念可得所画三角形的各边长分别为、、， 从而利用方格纸的特点及勾股定理画图即可；
（2）根据方格纸的特点及勾股定理可得原三角形的各边长分别为2，，，有一个边为公共边，假设公共边为2，并且所画三角形边长为2的边与原三角形边长为边相对应，从而根据相似比的概念可得相似比，进而得所画三角形三边长，利用方格纸作图即可.
18．（2022九上·昌平期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，是边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）判断和△是否相似，并说明理由；
（2）画一个三角形，它的三个顶点为中的3个格点，并且与相似．（要求：不写作法与证明）
【答案】（1）解：根据勾股定理得，，，，，，
即，
所以；
（2）解：如图所示：
【知识点】相似三角形的判定；作图﹣相似变换
【解析】【解答】（2）根据勾股定理得，，，
所以，
所以和相似，连接，，.
【分析】（1）利用勾股定理求出，，，再结合，即可得到；
（2）根据相似三角形的判定方法求解即可。
19．（2022九上·怀宁月考）已知：如图，在中，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：．
【答案】证明，
，
，
，即，
又∵E为的中点，，
，
，
又，
，
，
【知识点】余角、补角及其性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】由余角的性质可得∠C=∠FAD，由直角三角形斜边中线的性质可得 ， 利用等边对等角可得∠C=∠EDC，再利用对等角相等及等量代换可得，由∠F为公共角，可证.
20．（2021九上·鹿城期末）如图，在矩形ABCD中，F为CD上的点，AF⊥BD且AF，BD相交于点E，
（1）求证： ABD∽ DAF；
（2）若AB＝8，BG＝3AD，求AG的长.
【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，
∴∠BAD＝∠ADF＝∠ABC＝90°，
∴∠ADB＋∠ABD＝90°，
∵AF⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＋∠DAF＝90°，
∴∠ABD＝∠DAF，
又∵∠BAD＝∠ADF，
∴ ABD∽ DAF
（2）解：∵在矩形ABCD中，
∴AD＝BC，AB＝CD＝8，AD//BC，
∵BG＝3AD，AD＝BC，BG＝BC＋CG，
∴CG＝2AD，
∵AD//BC，
∴ ADF∽ GCF，
∴ ，
又∵CD＝8，
∴CF＝ ，DF＝ ，
∵ ABD∽ DAF，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴BG＝3AD＝ ，
在Rt ABG中， ，
∴AG的长为16.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先证明∠BAD＝∠ADF＝90°，进而可得∠ADB＋∠ABD＝90°，由AF⊥BD可得∠ADB＋∠DAF＝90°，进而可得∠ABD＝∠DAF，由此可证得 ABD∽ DAF；（2）根据BG＝3AD，AD＝BC可得CG＝2AD，由 ADF∽ GCF可得 ，再结合CD＝AB＝8可得CF＝ ，DF＝ ，由（1）得 ，由此可求得AD＝ ，进而可求得BG＝3AD＝ ，再利用勾股定理即可求得AG的长.
21．（2022九上·昌平期中）如图，将一个与正方形叠放在一起，并使其直角顶点P落在线段上（不与C，D两点重合），斜边的一部分与线段重合．
（1）图中与相似的三角形共有 个，分别是 ；
（2）请选择第（1）问答案中的任意一个三角形，完成该三角形与相似的证明．
【答案】（1）3；
（2）解：选，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
选，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
选，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：图中与相似的三角形共有3个，
分别是；
故答案为：3，
【分析】根据相似三角形的判定方法求解即可。
22．（2021九上·长兴期末）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，连结 ， .
求证：
（1）点D是 的中点.
（2） .
【答案】（1）∵ 为 的直径，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2）∵ 为 的直径，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由题意易得 ，然后根据等腰三角形的性质可求证；
（2）由题意得 . ，则有 ，然后问题可求证.
23．（2021九上·合肥期末）如图1，四边形中，，平分，若，．
（1）求的长．
（2）如图2，过点作交于，连接交于，求的长．
【答案】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：
（2）解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即的长是．
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用 ADB~ BDC即可解决问题；
（2）根据已知条件证明 MBD是等腰三角形，求出MB，再证明 MNB~ CND求出DN的值；
24．（2021九上·金台期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形， ，若 、 的长是关于x的一元二次方程 的两个根，且 .
（1）求 、 的长.
（2）若点E为x轴正半轴上的点，且 ，求经过D、E两点的直线解析式及经过点D的反比例函数的解析式，并判断 AOE与 AOD是否相似.
（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线 上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点且 、 为邻边的四边形为菱形？若存在，写出F点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：方程 ，分解因式得： ，可得： ， ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ， ；
（2）解：
根据题意，设 ，
则 ，
解得： ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴点D的坐标是 ，
设经过D、E两点的直线的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴解析式为 ；
设反比例函数解析式为 ，把 代入得： ，
∴反比例函数解析式为 ；
在 与 中，
， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）解：根据计算的数据， ，
∵ ，
∴ 平分 ，
分二种情况考虑：
① 、 是邻边，点F在射线 上时， ，
∴点F与B重合，即 ；
② 、 是邻边，点F在射线 上时，M应在直线 上，且 垂直平分 ，根据 ， ，
∴此时点F坐标为 ；
综上所述，满足条件的点有二个： ； .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，进而可得OA、OB的值；
（2）设E（x，0），根据△AOE的面积公式可得x，据此可得点E的坐标，根据平行四边形的性质可得点D的坐标，然后求出直线DE的解析式以及反比例函数的解析式，接下来利用相似三角形的判定定理进行证明；
（3）易得AO平分∠BAC，①AC、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=AC=5，此时点F与点B重合，据此可得点F的坐标；②AC、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且FC垂直平分AM，易得点F的坐标.
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