2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·杭州期末）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3
2．（2023九上·平桂期末）已知，且.若的周长为8，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
3．（2023九上·金牛期末）已知，和是它们的对应边上的高，若，，则与的面积比是（ ）
A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4
4．（2023九上·成都期末）两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是10cm，则较大三角形的周长为（ ）
A．15cm B．18cm C．20cm D．25cm
5．（2020九上·翼城期末）在 中，AD是BC边上的中线，点G是重心，如果 ，那么线段DG的长为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
6．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·府谷期末）如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
9．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
10．（2022九上·平遥期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·兴化期末）若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 .
12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
13．（2022九上·长兴月考）若△ABC∽△A'B'C'，且，△ABC的周长为12 cm，则△A'B'C'的周长为 cm．
14．（2022九上·黄浦月考）已知点是的重心，那么
15．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，∠AED=∠B，若AB=10，AE=8，DE=6，则BC的长为 .
16．（2022九上·中山期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高m，测得m，m．则建筑物的高是 m．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
18．（2023九上·西安期末）已知的三边长分别为6，8，10，和相似的的最长边长为30，求的周长.
19．（2022九上·大连期末）如图，在中，点D在边上，，，，求的长．
20．（2022九上·江门期末）如图，为上一点，若，，求证：．
21．（2022九上·潜山月考）如图，分别是的边，上的点，，若，求的值．
22．（2022九上·咸阳月考）如图，点E，F分别为矩形ABCD的边BC，CD上的点，且，若的周长为39，试求的周长.
23．（2023九上·西安期末）如图，乐乐测得学校门口栏杆的短臂长1米，长臂长4米，当短臂外端A下降米时，求长臂外端B升高多少米？
24．（2023九上·汉台期末）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，B、D、N三点共线，，求大树的高度.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵且，
∴的周长与的周长的比为，
∵的周长为8，
∴的周长为12.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴对应边上的之比等于相似比，
∴△ABC与△DEF的相似比为，
∴相似三角形面积的比为：.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为xcm，
∵两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是10cm，
∴，
解之：x=25.
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的对应角平分线的比等于周长比，可求出较大三角形的周长.
5．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】∵AD是BC边上的中线，点G是重心，
∴AG：DG=2：1，
∵ ，
∴DG=3.
故答案为：A.
【分析】根据中线和重心求出AG：DG=2：1，再根据 ，最后求解即可。
6．【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质可得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的周长比等于对应边的比进行解答.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
则小明和路灯的距离为20米．
故答案为：D．
【分析】由可证，利用相似三角形的性质即可求解.
11．【答案】3：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，面积比为，
∴对应高的比是，即，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似比等于对应高的比进行解答.
12．【答案】16cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
13．【答案】16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设△A′B′C′的周长为x，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴，
解之：x=16.
故答案为：16
【分析】设△A′B′C′的周长为x，利用相似三角形的周长比等于相似比，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
14．【答案】
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：设边AB上的高为h，
是的重心，
边AB上的高为，
．
故答案为：．
【分析】根据重心的性质可得。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AED=∠B ，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得.
故答案为：.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
16．【答案】20
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
，
故答案为20．
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而解答。
17．【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
又∵△ADE的面积是1，
∴S四边形
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.
18．【答案】解：∵与相似，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
19．【答案】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴（负值舍去）．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明，可得，再将数据代入求出AC的长即可。
20．【答案】证明：∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出，可得，证出，可得。
21．【答案】解：∵，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由， 且△BDE与△ADE等高，可得，即得，证明， 利用相似三角形的性质即可求解.
22．【答案】解： 四边形ABCD是矩形，
，且相似比为 .
∵ 的周长为39，
∴ 的周长为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得∠B=∠ECF=90°，AB=CD；结合已知可得，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得▲CEF与▲BCA相似，然后根据相似三角形的性质可求解.
23．【答案】解：如图所示，为升降之后的栏杆，过、作，垂足分别为C、D.
由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
解得：.
即长臂外端B升高米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】画出示意图，A′B′为升降之后的栏杆，过A′、B′作A′C⊥AB、B′D⊥AB，垂足分别为C、D，由题意知OA=OA′=1，OB=OB′=4，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得A′C∥B′D，证明△OCA′∽△ODB′，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
24．【答案】解：如图所示，过点A作于点F，交于点E，
依题意，B、D、N三点共线，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴大树的高度为.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点A作AF⊥MN于点F，交CD于点E，则四边形ABDE、ABNF是矩形，AE=BD=2，CE=CD-AB=1.4，AF=BN=BD+DN=16，FN=AB=1.6，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得CE∥MF，证明△ACE∽△AMF，根据相似三角形的性质可得MF，然后根据MN=MF+FN进行计算.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（基础版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023九上·杭州期末）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（ ）
A．4：9 B．16：81 C．2：3 D．1：3
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴两个相似三角形的面积之比为.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
2．（2023九上·平桂期末）已知，且.若的周长为8，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵且，
∴的周长与的周长的比为，
∵的周长为8，
∴的周长为12.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
3．（2023九上·金牛期末）已知，和是它们的对应边上的高，若，，则与的面积比是（ ）
A．2：3 B．4：9 C．3：2 D．9：4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴对应边上的之比等于相似比，
∴△ABC与△DEF的相似比为，
∴相似三角形面积的比为：.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.
4．（2023九上·成都期末）两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是10cm，则较大三角形的周长为（ ）
A．15cm B．18cm C．20cm D．25cm
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为xcm，
∵两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，其中较小三角形的周长是10cm，
∴，
解之：x=25.
故答案为：D
【分析】利用相似三角形的对应角平分线的比等于周长比，可求出较大三角形的周长.
5．（2020九上·翼城期末）在 中，AD是BC边上的中线，点G是重心，如果 ，那么线段DG的长为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】∵AD是BC边上的中线，点G是重心，
∴AG：DG=2：1，
∵ ，
∴DG=3.
故答案为：A.
【分析】根据中线和重心求出AG：DG=2：1，再根据 ，最后求解即可。
6．（2023九上·富阳期末）如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】8字型相似模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：B.
【分析】易证△AOC∽△BOD，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
7．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质可得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案.
8．（2023九上·府谷期末）如图，在中，点D、E分别在AC、AB上，连接DE，若，且，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：D.
【分析】易证△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的周长比等于对应边的比进行解答.
9．（2023九上·宜宾期末）如图，它是物理学中小孔成像的原理示意图，已知物体，根据图中尺寸，则的长应是（ ）
A．15 B．30 C．20 D．10
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：依题意，
∴
∵
∴，
故答案为：D.
【分析】根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似可得△ODC∽△OAB，根据相似三角形对应边上高之比等于相似比建立方程，求解即可.
10．（2022九上·平遥期末）如图，路灯距离地面8米，若身高1.6米的小明在路灯下处测得影子的长为5米，则小明和路灯的距离为（ ）
A．25米 B．15米 C．16米 D．20米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，即，
解得．
则小明和路灯的距离为20米．
故答案为：D．
【分析】由可证，利用相似三角形的性质即可求解.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2023九上·兴化期末）若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 .
【答案】3：2
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，面积比为，
∴对应高的比是，即，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，相似比等于对应高的比进行解答.
12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为 .
【答案】16cm
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，
∵△ABC的周长为12cm
∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.
故答案为：16cm.
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.
13．（2022九上·长兴月考）若△ABC∽△A'B'C'，且，△ABC的周长为12 cm，则△A'B'C'的周长为 cm．
【答案】16
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设△A′B′C′的周长为x，
∵△ABC∽△A'B'C'，
∴，
解之：x=16.
故答案为：16
【分析】设△A′B′C′的周长为x，利用相似三角形的周长比等于相似比，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
14．（2022九上·黄浦月考）已知点是的重心，那么
【答案】
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：设边AB上的高为h，
是的重心，
边AB上的高为，
．
故答案为：．
【分析】根据重心的性质可得。
15．（2023九上·余姚期末）如图，在△ABC中，∠AED=∠B，若AB=10，AE=8，DE=6，则BC的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ∠AED=∠B ，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得.
故答案为：.
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
16．（2022九上·中山期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高m，测得m，m．则建筑物的高是 m．
【答案】20
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
，
，
故答案为20．
【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而解答。
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.
【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，
又∵△ADE的面积是1，
∴S四边形
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.
18．（2023九上·西安期末）已知的三边长分别为6，8，10，和相似的的最长边长为30，求的周长.
【答案】解：∵与相似，
∴，
∴
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行解答.
19．（2022九上·大连期末）如图，在中，点D在边上，，，，求的长．
【答案】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴（负值舍去）．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明，可得，再将数据代入求出AC的长即可。
20．（2022九上·江门期末）如图，为上一点，若，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明，可得，再利用角的运算和等量代换可得，再结合，证出，可得，证出，可得。
21．（2022九上·潜山月考）如图，分别是的边，上的点，，若，求的值．
【答案】解：∵，
∴；
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由， 且△BDE与△ADE等高，可得，即得，证明， 利用相似三角形的性质即可求解.
22．（2022九上·咸阳月考）如图，点E，F分别为矩形ABCD的边BC，CD上的点，且，若的周长为39，试求的周长.
【答案】解： 四边形ABCD是矩形，
，且相似比为 .
∵ 的周长为39，
∴ 的周长为 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由矩形的性质可得∠B=∠ECF=90°，AB=CD；结合已知可得，根据两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似可得▲CEF与▲BCA相似，然后根据相似三角形的性质可求解.
23．（2023九上·西安期末）如图，乐乐测得学校门口栏杆的短臂长1米，长臂长4米，当短臂外端A下降米时，求长臂外端B升高多少米？
【答案】解：如图所示，为升降之后的栏杆，过、作，垂足分别为C、D.
由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
解得：.
即长臂外端B升高米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】画出示意图，A′B′为升降之后的栏杆，过A′、B′作A′C⊥AB、B′D⊥AB，垂足分别为C、D，由题意知OA=OA′=1，OB=OB′=4，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得A′C∥B′D，证明△OCA′∽△ODB′，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算.
24．（2023九上·汉台期末）为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，B、D、N三点共线，，求大树的高度.
【答案】解：如图所示，过点A作于点F，交于点E，
依题意，B、D、N三点共线，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴大树的高度为.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点A作AF⊥MN于点F，交CD于点E，则四边形ABDE、ABNF是矩形，AE=BD=2，CE=CD-AB=1.4，AF=BN=BD+DN=16，FN=AB=1.6，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得CE∥MF，证明△ACE∽△AMF，根据相似三角形的性质可得MF，然后根据MN=MF+FN进行计算.
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