2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2018九上·金山期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（　　）
A．30厘米、45厘米； B．40厘米、80厘米；
C．80厘米、120厘米； D．90厘米、120厘米
2．（2022九上·江城期末）如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒处准备了一支蜡烛，蜡烛长为，纸筒的长度为，则这支蜡烛所成像的高度为（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
4．（2020九上·南昌期末）如图，在矩形 中， ， 分别为 ， 的中点，线段 ， 与对角线 分别交于点 .设矩形 的面积为 ，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021九上·杭州月考）如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（　　）
A． B．1 C． D．
6．（2021九上·拱墅期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（　　）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
7．（2023九上·宁波期末）如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连接，相交于点，且，，矩形矩形，连接交，于点，，下列一定能求出面积的条件是（　　）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
8．（2022九上·南山期末）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（　　）个：①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022九上·电白期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且．过点B作，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则（　　）
A．10：3 B．3：1 C．8：3 D．5：3
10．（2022九上·瑞安期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．4
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2020九上·慈溪月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若BD=6，AE=5，AB=7，则AC=　 　.
12．（2020九上·萧山期中）如图，在 中， ， ，点D为AC上一点，作 交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N则MN的值为　 　．
13．（2020九上·秦淮期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为　 　．
14．（2021九上·通川期中）如图， 为 的 边上的点、且 ，中线 被 截得的三线段为 ，则 　 　
15．（2023九上·富阳期末）如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是　 　.
16．（2021九上·温州期末）某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP=　 　cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为　 　cm.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022九上·济南期末）如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示．
（1）利用图1、图2所示水的体积相等，求的长；
（2）求水面高度．
18．（2022九上·大安期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．
（1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动　 　米.
19．（2022九上·临汾期中）如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边固定，直线l，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行，P为上的一点（不与点C，D重合），过点P作直线l，，垂足分别为E，F，即四边形是矩形，过点D作，垂足为Q，延长与相交于点R．
（1）与相似吗？请判断并说明理由．
（2）若道闸长米，宽米，点D距地面米，米，米，米．
①求点B到地面l的距离；
②求的长．
20．（2022九上·镇海区开学考）如图，抛物线经过点、、三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线上方的抛物线是有一点，使得的面积最大，求出点的坐标．
21．（2021九上·宁波期中）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形.　 　（填“是”或“否”）
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 的值.
（3）应用拓展：
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l2于点D，直接写出CD的值.
22．（2023九上·永嘉期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线经过，两点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线上的一个动点，连接.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且，连接，当直线交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段于点F，连接，过点G作交线段于点Q，的平分线交x轴于点M，过点M作交于点H，过点H作于点R，若，求点P的坐标.
23．（2023九上·海曙期末）如图：
（1）[基础巩固]如图1，在四边形中，对角线平分，求证：；
（2）[尝试应用]如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长；
（3）[拓展提高]如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值.
24．（2023九上·余姚期末）如图
（1）[基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC2 =AD·AB．
（2）[尝试应用] 如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．
（3）[拓展提高] 如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．
25．（2023九上·镇海区期末）
（1）【基础巩固】如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连结交于点G，求证：；
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，在等边中，，连结，点E在上，若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；
当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；
当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；
所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米；
若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，；
若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可．
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作，的延长线交于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
答：这支蜡烛所成像的高度为．
故答案为：B．
【分析】过点O作，的延长线交于点E，先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】① 四边形ABCD是矩形
点E是BC的中点
A不符合题意；
②
同理得：
B不符合题意
③
设 则
同理可得：
C不符合题意；
④由③可知：
D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，相似三角形的性质和面积公式进行计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：过O作MN∥BC交AB于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E
∵O是△ABC的重心，
∴，D是BC中点
∴BD=CD，
∵MN∥BC
∴
∴，
∴
∵ME∥AB
∴
∴
∴
设
∴
∴
∴
∵x为定值
∴当y越小时值越大
∴当时最大，此时GH∥BC
故答案为：A.
【分析】过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E，根据三角形重心的性质得BD=CD，，证得，利用AAS证，根据全等三角形性质得，设可得故=，，即得，由于x为定值，当y越小时比值越大，可得当y=0时比值越大.
6．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．
故答案为：D．
【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，根据平行线分线段成比例得出G是AF的中点，设CF=a，则GM＝a，由CF∥BG，DE∶EC=5∶3，D是BC的中点，根据平行线分线段成比例的性质求出BG=6a，再根据H是△ABC的重心，得到BH=BM=a，根据线段的和差关系表示出HG，则可得到BH∶HG∶GM的值，即可作答.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BP、BQ，
根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，
又∵，
∴
设，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴ .
∴
故答案为：A.
【分析】连接BP、BQ，根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等得S△DPQ=S△BPQ，设BF=a，BG=b，AG=kb，判断出△AGP∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得，推出GP=ka，同理△FQC∽△ABC，得，推出FQ=kb，根据割补法得S△BPQ=S△ABC-S△ABP-S△BQC，进而根据矩形面积计算方法得S矩形BGIF=ab，S矩形EIHD=k2ab，则 ，据此就可得出结论了.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①由题意可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，①符合题意；
②由题意可得：，
∴，
∴，即，
∴，即，②不符合题意；
③由题意可得：，
∴，
∴，即
又∵，
∴，③符合题意；
④过点作，交延长线于点，如下图：
由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，④符合题意；
正确的个数为3，
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质，相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AH，CH，设AE与BF交于M，
∵BF⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴BF=DF，
∵CG=CF，∠DCG=∠BCF，DC=BC，
∴△BCF≌△DCG（SAS），
∴∠CBF=∠CDG，
又∵∠BHG=∠DHF，
∴△BHG≌△DHF（AAS），
∴HG=HF，
又∵HC=HC，CG=CF，
∴△HCG≌△HCF（SSS），
∴∠HCG=∠HCF=45°，
∴A、H、C三点共线，
∵，
∴△ADH∽△CGH，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接AH，CH，设AE与BF交于点M，先证得A、H、C三点共线，由AD∥BC，可得△ADH∽△CGH，利用相似三角形对应边成比例即得结论.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE于点M，
设BE=a，GH=b，
∵△AHD≌△BEA，
∴AH=BE=a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=GH=EH=EF=b，
∵∠AEB=∠PMB=90°，
∴PM∥AE，
∴BP∶AP=BM∶ME，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP，
∴BM=EM=a，
∴PM是△ABE的中位线，
∴PM=AE=（a-b），
又∵点Q是GH的中点，
∴GQ=GH=b，
∵∠PMF=∠BFC=90°，
∴△PM∥FC，
∴∠MPF=∠GFQ，
∵∠PMF=∠FGQ=90°，
∴△PMF∽△FGQ，
∴PM∶FG=MF∶GQ，
∴PM×GQ=FG×MF，
∵MF=EM-EF=a-b，
∴（a-b）×b=b（a-b），
整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，
∵b≠0，
∴3b-a=0，
∴a=3b，
∴AE=AH-EH=a-b=2b，
∴，
∴AB∶EF=.
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，设BE=a，GH=b，根据全等三角形的性质得AH=BE=a，根据正方形的性质得FG=GH=EH=EF=b，易得PM是△ABE的中位线，根据三角形中位线定理得BM=EM=a，PM=AE=（a-b），根据中点的定义得GQ=GH=b，易得△PM∥FC，然后判断出△PMF∽△FGQ，根据相似三角形对应边成比例得PM×GQ=FG×MF，代入并整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，由于b≠0，故可得a=3b，用勾股定理表示出AB，据此就可求出答案了.
11．【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠DBC和∠DAC所对的弧都是CD弧，
∴∠DAC=∠DBC，
∵AD平分∠BAC 即∠BAD=∠DAC，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠BDE=∠ADB，
∴△ABD∽△BDE，
∴BD：DE=AD：BD，即6：DE=（5+DE）：6，
解得DE=4，DE=-9（舍），
∴AD=AE+DE=4+5=9，
∵∠ACE和∠D所对的弧都是AB弧，
∴∠ACE=∠D，
∵∠DBC=∠CAD，
∴△AEC∽△ABD，
∴AB：AE=AD：AC，即7：5=9：AC，
∴AC=，
故答案为：.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，结合角平分线的定义，证明△ABD∽△BDE，则用相似三角形的性质定理求出DE的长，同理证明△AEC∽△ABD，在利用相似三角形的性质定理即可求出AC的长.
12．【答案】
【知识点】垂径定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，
∵△ACB为等腰三角形，
∴CH⊥AB，
CH===4，
∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，
∴△BHC∽△FBC，
∴BC：CH=CF：BC，
，
∴OM=，
∵ 点C关于DE的对称点为点O，
∴OK=KC=，
∴MK=，
∴MN=2MK=.
故答案为： .
【分析】连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，根据等腰三角形的性质，先求出CH的长，再利用相似三角形的性质求出CF的长，则知圆的半径的长，再由对称的性质得出OK的长，然后根据勾股定理即可求出MK的长，则知MN的长.
13．【答案】 、 、
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB= =5
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴ ，即： ，
解得x= ，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴ ，即： ，
解得：x= ，
BE= >BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴ ，即 ，
解得：x= ，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴ ，即： ，
解得：x= ，
综上：AD的长为 、 、 .
【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴F是BC的中点
∵BD是三角形ABC的中线；
∴点N为三角形ABC的重心，
∴ ，
设FN=k，则AN=2k，AF=3k
过点B作BG//AF交AE的延长线于G，
∴△BGE∽△FAE，
∴
∴BG=1.5k，
∵BG//AF
∴△BGM∽△NAM，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】由BE：EF：FC=1：2：3可得BF：FC=1，即F是BC的中点，推出点N为△ABC的重心，得到FN：AN=1：2，DN：BN=1：2，设FN=k，则AN=2k，AF=3k，过点B作BG//AF交AE的延长线于G，证明△BGE∽△FAE，△BGM∽△NAM，由相似三角形的性质可得BG，BM：MN=3：4，根据DN：BN=1：2可得BM：MN：DN=3：4：3.5，据此求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：
∵正方形的面积为4
∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，
在与中，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴＝
∴，
由题意可得：
∴
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据正方形ABCD的面积可得边长为2，利用SAS证明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，结合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面积法可得DM，然后求出GM，证明△DCK∽△DGM，根据相似三角形的性质可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，证明△OKL∽△GML，然后根据相似三角形的性质进行计算.
16．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵E为PC中点， AE= CP，
∴△PAC为直角三角形，
∵∠APE=30°，PC= ，
∴AC=
∴AP=.
（2）如图，连结AC，作DF⊥BF，
∵A，C，D在同一条直线上 ，
∴AD⊥AB，
∴∠CAP=∠PAD=90°
设AC=a，
在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，
∴( )2-a2=3002-（a+）2，
整理，解得：a=，
∴AD=AC+CD=+=，
∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= .
故答案为：；.
【分析】(1)连接AC，E为PC中点， AE= CP， 利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出△PAC为直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP，进而可求出BP长；
（2）连接AC， A，C，D在同一条直线上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，进而求出AD，由 BF等于AD可得影长值.
17．【答案】（1）解：如图所示，
设DE=xcm，则AD=（8－x）cm，
根据题意得：（8－x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4（cm）
（2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3，
∴CD=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB，
∴∠DCE=∠BCF
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，即，
∴CF=（cm），
答：CF的高是cm
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1） 设DE=xcm，则AD=（8－x）cm， 根据“ 图1、图2所示水的体积相等 ”列出方程并解之即可；
（2）由勾股定理求出CD的长，再证△CDE∽△CBF，可得，据此即可求解.
18．【答案】（1）解：作于M，交于N，
可得，米，米，米．
∴米，米，
∵，
∴，
∴，即
∴米，
米，
答：大楼的高度为14米．
（2）0.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】（2）类似（1）可得，
∴，
∵米，米，米，米，
∴米，
∴，
∴米，
相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动（米），
答：相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动0.5米．
【分析】（1）作于M，交于N，证出，得出米，代入求解即可；
（2）类似（1）可得，得出，利用相似三角形的性质求解即可。
19．【答案】（1）解：，理由如下，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：①如图，延长交直线l于点G，可知米，米，
米；
②设米，
米，米，
米，
，
，
米，
，
解得：，
米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）①延长交直线l于点G，可知米，米，利用线段的和差求出BG的长即可；
②根据，可得，将数据代入可得，求出x的值，最后利用线段的和差求出PF的长即可。
20．【答案】（1）解：该抛物线过点，
可设该抛物线的解析式为．
将，代入，
得，
解得，
此抛物线的解析式为
（2）解：存在．如图，设点的横坐标为，
则点的纵坐标为，
当时，，．
又，
当，
在抛物线上，
，
，
，
∽，
即．
解得，舍去，
．
当时，∽，即．
解得，均不合题意，舍去
当时，，
当时，，，
或，
把代入得：，，
解得：第一个方程的解是舍去舍去，
第二个方程的解是，舍去
求出，，
则，
当时，，．
或，
则：，，
解得：第一个方程的解是舍去，舍去，第二个方程的解是舍去，，
时，，
则，
综上所述，符合条件的点为或或，
（3）解：如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为
过作轴的平行线交于．
由题意可求得直线的解析式为．
点的坐标为．
，
，
，
当时，面积最大，
．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A、B的坐标代入求出a、b的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2+m-2），当14时，AM=m-4，PM=m2-m+2，根据相似三角形的性质求出m的值，进而可得点P的坐标；同理可得m<1时对应的点P的坐标；
（3）设D点的横坐标为t（021．【答案】（1）是
（2）解：如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，
∴AD＝BC，
∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点B是△AA′C的重心，
∴BC＝2BD，
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，
由勾股定理得AC＝ ，
∴ ；
（3）CD的值为 或2 或2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形.
理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AC＝6，
∴ ，
∴AD＝BC＝3，
即△ABC是“等高底”三角形.
故答案为：是.
（3）①当AB＝ BC时，
Ⅰ.如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB＝ BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2 ，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2 ，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴ ，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2 ，
∴x＝ ，CD＝ x＝ .
Ⅱ.如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝ AC＝2 .
②当AC＝ BC时，
Ⅰ.如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ.如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，
∴AC＝ BC＝ AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为 或2 或2.
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=AC=3，则AD=BC=3，据此判断；
（2）由题意可得AD＝BC，∠ADC＝90°，根据重心的概念可得BC＝2BD，设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定理表示出AC，据此求解；
（3）①当AB＝BC时，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则BC＝AE＝2，AB＝2，进而可得EC＝4，AC＝2，由旋转的性质可得∠DCF＝45°，设DF＝CF＝x，则AF＝2x，AC＝3x＝2，求出x，进而可得CD；②当AC＝BC时，此时△ABC是等腰直角三角形，A'C⊥l1，则CD＝AB＝BC；作AE⊥BC于E，则AE＝BC，AC＝BC＝AE，此时∠ACE＝45°，直线A'C与l2无交点，据此解答.
22．【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴，
∵点P在直线，且横坐标为t，
∴，
∴点P到x轴的距离即为△APC的边AC上的高，即为，底，
∴；
（3）解：过点P作PT⊥x轴于点T，如图所示：
∵FM平分∠CFG，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点E在y轴的正半轴上，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即为点F的横坐标，
设直线BP的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BP的解析式为，
∴当时，则，解得： ，
∴，，
∴，
由点F的横坐标代入直线BP的解析式可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
化简得：，
由勾股定理可得，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）求出点C的坐标，可得AC＝8，根据直线上的点的坐标特点设P（t，2t-4），由于 点P到x轴的距离即为△APC的边AC上的高 ，从而利用三角形面积公式求解即可；
（3） 过点P作PT⊥x轴于点T ，首先用AAS判断出△RFH≌△GHM，得FR=HG，推出FG=GQ， 点E在y轴的正半轴上，且OE=OD得CE=CD，由等边对等角及平行线的性质得∠PGC=∠PCG，则PC=PG，进而得CT=GT，表示出PT、CT，可得CG、OG，即可得点F的横坐标，利用待定系数法求出直线BP的解析式，令解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，表示出OL、CL、GL、将点F的横坐标代入直线BP的解析式算出对应的y的值，可得FG、QG ，判断出△GQL∽△CFL，由相似三角形对应边成比例表示出CF，最后根据勾股定理建立方程可求出t的值，从而求出点P的坐标.
23．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC，由已知条件可知∠ADB=∠DCB，证明△ABD∽△DBC，然后根据相似三角形的性质可得结论；
（2）根据平行四边形以及平行线的性质可得∠AFB=∠FBC，∠DFC=∠FCB，由等腰三角形的性质可得∠AFB=∠ABF，则∠ABF=∠FBC，由已知条件可知∠EFB=∠DFC，则∠EFB=∠FCB，证明△EBF∽△FBC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）过点C作CM∥AE，交EF的延长线于点M，证明△BCE∽△CBE，根据相似三角形的性质可得EM、FM的值，证明△AEF∽△CMF，然后根据相似三角形的性质进行计算.
24．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴，
∴AC2= AD AB；
（2）解：∵FB=2AF，
∴AB=AF+BF=3AF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，
∴△AFE∽△CDE，
∴
∴CE=3AE，
∴AC=4AE.
∵DF⊥AC，
由（1）可得，
DA2=AE·AC，
∴22=AE·4AE，
∴AE=1；
（3）解：在矩形ABCD中， ∠BCD=∠CDA=∠A=90°，
∴∠ADF+∠CDM=90°.
∵△DCE与△DFE关于直线DE对称，
∴△DFE≌△DCE，
∴∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，
∵GC∥FE，
∴DM⊥GC，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠ADF=∠DCM，
∴△CDM≌△DFA，
∴CM=DA=2.
∵G是AD的中点，
∴DG=GA=1.
由（1）可得，DG2=GM·GC.
设 GM=x，则 CG=GM+CM=x+2，
∴12=x(x+2)，
解得 (舍去)
∴GM的长为 .
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠B=∠ACD，结合∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△CAD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△AFE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例得CE=3AE，结合（1）的结论可求出AE的长.
（3）根据轴对称的性质得∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，根据平行线的性质推出DM⊥GC，由同角的余角相等得∠ADF=∠DCM，用AAS判断出△CDM≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得CM=DA=2，
结合（1）的结论建立方程，求解即可.
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵、恰好将三等分，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，，
∴，
根据（1）得，；
（3）解：过E作的平行线，分别交、于G、H.
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴
∴也是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴
∴
∴.
∴，即，
∴，
由（1）和，得，
设，则.
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）易证△AEG∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，同理可得，则， 据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠C=∠AFE=30°，∠EFB=∠FBD，根据题意可得∠AFE=∠EFB=∠BFD=30°，则∠AFD=∠DFC=90°，进而推出DF=BD，根据含30°角的直角三角形的性质可得DF=DC，则，据此解答；
（3）过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、H，根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC，由平行线的性质可得∠AGH=∠AHG=∠BAC=60°，推出△AGH为等边三角形，得到AG=AH，易证△GEB∽△HCE，根据相似三角形的性质可得GE·EH=BG2，由（1）和BD=4DC可得，设EH=a，则GE=4a，BG2=4a2，AG=GH=5a，BG=CH=2a，AC=BC=7a，证明△GEB∽△EBC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（培优版）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2018九上·金山期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（　　）
A．30厘米、45厘米； B．40厘米、80厘米；
C．80厘米、120厘米； D．90厘米、120厘米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】当60cm的木条与20cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm与120cm；
当60cm的木条与30cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm与80cm；
当60cm的木条与40cm是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm与45cm；
所以A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】讨论：若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米；
若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，；
若20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可．
2．（2022九上·江城期末）如图，小红利用小孔成像原理制作了一个成像装置，他在距离纸筒处准备了一支蜡烛，蜡烛长为，纸筒的长度为，则这支蜡烛所成像的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点O作，的延长线交于点E，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
答：这支蜡烛所成像的高度为．
故答案为：B．
【分析】过点O作，的延长线交于点E，先证明，可得，再将数据代入可得，最后求出即可。
3．（2021九上·宁波月考）如图是一个由A、B、C三种相似的直角三角形纸片拼成的矩形，A、B、C的纸片的面积分别为S1、S2、S3，（S1与S2，S2与S3的相似比相同），相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，若S1＞S2＞S3，则这个矩形的面积一定可以表示为（　　）
A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S3
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意，A、B、C三个直角三角形相似，A与B，B与C的相似比相同，且S1＞S2＞S3，
∴如图，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，
∴EH=EF+FH=m(1+ k2)，
∴FM= = ，FK=kEH= km(1+ k2)，
由FK+MK=FM得：km(1+ k2)+ mk= ，
∴k4+ k2－1=0，
解得： 或 （舍去），
∴S2= k2S1= S1，S3= k2S2= k4S1= ，
∴S2+S3=S1，
∴矩形面积等于2（S1+S2+S3）=2（S1+S1）=4S1.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，设相似比为k，EF=m，则MK=GH=mk，FH=mk2，EH=m(1+ k2)，FM=，FK= km(1+ k2)，根据FK+MK=FM可求出k2，根据S2= k2S1，S3= k2S2= k4S1分别表示出S2、S3，据此解答.
4．（2020九上·南昌期末）如图，在矩形 中， ， 分别为 ， 的中点，线段 ， 与对角线 分别交于点 .设矩形 的面积为 ，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】① 四边形ABCD是矩形
点E是BC的中点
A不符合题意；
②
同理得：
B不符合题意
③
设 则
同理可得：
C不符合题意；
④由③可知：
D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，相似三角形的性质和面积公式进行计算求解即可。
5．（2021九上·杭州月考）如图，是的重心，过的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与的顶点重合），，分别表示四边形和的面积，则的最大值是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：过O作MN∥BC交AB于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E
∵O是△ABC的重心，
∴，D是BC中点
∴BD=CD，
∵MN∥BC
∴
∴，
∴
∵ME∥AB
∴
∴
∴
设
∴
∴
∴
∵x为定值
∴当y越小时值越大
∴当时最大，此时GH∥BC
故答案为：A.
【分析】过O作MN∥BC交AN于N，交AC于M，过M作ME∥AB交GH于E，根据三角形重心的性质得BD=CD，，证得，利用AAS证，根据全等三角形性质得，设可得故=，，即得，由于x为定值，当y越小时比值越大，可得当y=0时比值越大.
6．（2021九上·拱墅期中）如图，H是△ABC的重心，延长AH交BC于D，延长BH交AC于M，E是DC上一点，且DE∶EC＝5∶2，连结AE交BM于G，则BH∶HG∶GM等于（　　）
A．7∶5∶2 B．13∶5∶2 C．5∶3∶1 D．26∶10∶3
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，
∵H是△ABC的重心，
∴M是AC的中点，D是BC的中点，
∴G是AF的中点，
∴GM＝CF，
设CF＝a，则GM＝a，
∵CF∥BG，DE∶EC＝5∶2，D是BC的中点，
∴＝，
∴BG＝6CF＝6a，
∴BM＝a，
∵H是△ABC的重心，
∴BH＝BM＝a，
∴HG＝BG﹣BH＝6a﹣a＝a，
∴BH∶HG∶GM＝a∶a∶a＝26∶10∶3．
故答案为：D．
【分析】过C作CF∥BM，交AE的延长线于F，根据平行线分线段成比例得出G是AF的中点，设CF=a，则GM＝a，由CF∥BG，DE∶EC=5∶3，D是BC的中点，根据平行线分线段成比例的性质求出BG=6a，再根据H是△ABC的重心，得到BH=BM=a，根据线段的和差关系表示出HG，则可得到BH∶HG∶GM的值，即可作答.
7．（2023九上·宁波期末）如图，，，，分别是矩形四条边上的点，连接，相交于点，且，，矩形矩形，连接交，于点，，下列一定能求出面积的条件是（　　）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
【答案】A
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接BP、BQ，
根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，
又∵，
∴
设，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，
∴，
∵
，
∵，
∴ .
∴
故答案为：A.
【分析】连接BP、BQ，根据矩形的性质点B、D到AC的距离相等，根据同底等高的三角形面积相等得S△DPQ=S△BPQ，设BF=a，BG=b，AG=kb，判断出△AGP∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得，推出GP=ka，同理△FQC∽△ABC，得，推出FQ=kb，根据割补法得S△BPQ=S△ABC-S△ABP-S△BQC，进而根据矩形面积计算方法得S矩形BGIF=ab，S矩形EIHD=k2ab，则 ，据此就可得出结论了.
8．（2022九上·南山期末）如图，在矩形中，过点作对角线的垂线并延长，与的延长线交于点，与交于点，垂足为点，连接，且，则下列结论正确的有（　　）个：①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：①由题意可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，①符合题意；
②由题意可得：，
∴，
∴，即，
∴，即，②不符合题意；
③由题意可得：，
∴，
∴，即
又∵，
∴，③符合题意；
④过点作，交延长线于点，如下图：
由题意可得：，，
∴，，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，④符合题意；
正确的个数为3，
故答案为：C
【分析】利用全等三角形的判定方法和性质，相似三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
9．（2022九上·电白期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，且．过点B作，交边CD于点F．以C为圆心，CF长为半径画圆，交边BC于点G，连接DG，交BF于点H．则（　　）
A．10：3 B．3：1 C．8：3 D．5：3
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接AH，CH，设AE与BF交于M，
∵BF⊥AE，
∴∠AMB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABE=∠BCF=90°，
∴∠ABM+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∴BF=DF，
∵CG=CF，∠DCG=∠BCF，DC=BC，
∴△BCF≌△DCG（SAS），
∴∠CBF=∠CDG，
又∵∠BHG=∠DHF，
∴△BHG≌△DHF（AAS），
∴HG=HF，
又∵HC=HC，CG=CF，
∴△HCG≌△HCF（SSS），
∴∠HCG=∠HCF=45°，
∴A、H、C三点共线，
∵，
∴△ADH∽△CGH，
∴，
故答案为：B．
【分析】连接AH，CH，设AE与BF交于点M，先证得A、H、C三点共线，由AD∥BC，可得△ADH∽△CGH，利用相似三角形对应边成比例即得结论.
10．（2022九上·瑞安期中）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．点P，Q分别为AB，GH的中点，若PQ恰好经过点F，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过点P作PM⊥BE于点M，
设BE=a，GH=b，
∵△AHD≌△BEA，
∴AH=BE=a，
∵四边形EFGH是正方形，
∴FG=GH=EH=EF=b，
∵∠AEB=∠PMB=90°，
∴PM∥AE，
∴BP∶AP=BM∶ME，
∵点P是AB的中点，
∴AP=BP，
∴BM=EM=a，
∴PM是△ABE的中位线，
∴PM=AE=（a-b），
又∵点Q是GH的中点，
∴GQ=GH=b，
∵∠PMF=∠BFC=90°，
∴△PM∥FC，
∴∠MPF=∠GFQ，
∵∠PMF=∠FGQ=90°，
∴△PMF∽△FGQ，
∴PM∶FG=MF∶GQ，
∴PM×GQ=FG×MF，
∵MF=EM-EF=a-b，
∴（a-b）×b=b（a-b），
整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，
∵b≠0，
∴3b-a=0，
∴a=3b，
∴AE=AH-EH=a-b=2b，
∴，
∴AB∶EF=.
故答案为：C.
【分析】过点P作PM⊥BE于点M，设BE=a，GH=b，根据全等三角形的性质得AH=BE=a，根据正方形的性质得FG=GH=EH=EF=b，易得PM是△ABE的中位线，根据三角形中位线定理得BM=EM=a，PM=AE=（a-b），根据中点的定义得GQ=GH=b，易得△PM∥FC，然后判断出△PMF∽△FGQ，根据相似三角形对应边成比例得PM×GQ=FG×MF，代入并整理得3b2-ab=0，即b（3b-a）=0，由于b≠0，故可得a=3b，用勾股定理表示出AB，据此就可求出答案了.
二、填空题（每空3分，共18分）
11．（2020九上·慈溪月考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC于点E，若BD=6，AE=5，AB=7，则AC=　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠DBC和∠DAC所对的弧都是CD弧，
∴∠DAC=∠DBC，
∵AD平分∠BAC 即∠BAD=∠DAC，
∴∠DBC=∠BAD，
∵∠BDE=∠ADB，
∴△ABD∽△BDE，
∴BD：DE=AD：BD，即6：DE=（5+DE）：6，
解得DE=4，DE=-9（舍），
∴AD=AE+DE=4+5=9，
∵∠ACE和∠D所对的弧都是AB弧，
∴∠ACE=∠D，
∵∠DBC=∠CAD，
∴△AEC∽△ABD，
∴AB：AE=AD：AC，即7：5=9：AC，
∴AC=，
故答案为：.
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，结合角平分线的定义，证明△ABD∽△BDE，则用相似三角形的性质定理求出DE的长，同理证明△AEC∽△ABD，在利用相似三角形的性质定理即可求出AC的长.
12．（2020九上·萧山期中）如图，在 中， ， ，点D为AC上一点，作 交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N则MN的值为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，
∵△ACB为等腰三角形，
∴CH⊥AB，
CH===4，
∵∠FBC=∠BHC=90°，∠BCH=∠BCF，
∴△BHC∽△FBC，
∴BC：CH=CF：BC，
，
∴OM=，
∵ 点C关于DE的对称点为点O，
∴OK=KC=，
∴MK=，
∴MN=2MK=.
故答案为： .
【分析】连接OC，延长CO交AB于H，交圆于F，连接BF，再连接OC、OM，OC交MN于K，根据等腰三角形的性质，先求出CH的长，再利用相似三角形的性质求出CF的长，则知圆的半径的长，再由对称的性质得出OK的长，然后根据勾股定理即可求出MK的长，则知MN的长.
13．（2020九上·秦淮期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为　 　．
【答案】 、 、
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设过点D的直线与△ABC的另一个交点为E，
∵AC＝4，BC＝3，∴AB= =5
设AD=x，BD=5-x，
∵DE平分△ABC周长，∴周长的一半为（3+4+5）÷2=6，
分四种情况讨论：
①△BED∽△BCA，如图1，BE=1+x
∴ ，即： ，
解得x= ，
②△BDE∽△BCA，如图2，BE=1+x
∴ ，即： ，
解得：x= ，
BE= >BC，不符合题意.
③△ADE∽△ABC，如图3，AE=6-x
∴ ，即 ，
解得：x= ，
④△BDE∽△BCA，如图4，AE=6-x
∴ ，即： ，
解得：x= ，
综上：AD的长为 、 、 .
【分析】根据直线平分三角形周长得出线段的和差关系，再通过四种情形下的相似三角形的性质计算线段的长.
14．（2021九上·通川期中）如图， 为 的 边上的点、且 ，中线 被 截得的三线段为 ，则 　 　
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴F是BC的中点
∵BD是三角形ABC的中线；
∴点N为三角形ABC的重心，
∴ ，
设FN=k，则AN=2k，AF=3k
过点B作BG//AF交AE的延长线于G，
∴△BGE∽△FAE，
∴
∴BG=1.5k，
∵BG//AF
∴△BGM∽△NAM，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为： .
【分析】由BE：EF：FC=1：2：3可得BF：FC=1，即F是BC的中点，推出点N为△ABC的重心，得到FN：AN=1：2，DN：BN=1：2，设FN=k，则AN=2k，AF=3k，过点B作BG//AF交AE的延长线于G，证明△BGE∽△FAE，△BGM∽△NAM，由相似三角形的性质可得BG，BM：MN=3：4，根据DN：BN=1：2可得BM：MN：DN=3：4：3.5，据此求解.
15．（2023九上·富阳期末）如图，面积为4的正方形中，分别是各边的中点，将一边两端点分别和对边中点连结，所得阴影部分为各边相等的八边形，则八边形每条边的长度是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：
∵正方形的面积为4
∴正方形的边长为2，
∵点分别是的中点，
∴，
在与中，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，
∴＝
∴，
由题意可得：
∴
∴
∴
同理可得：
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：.
【分析】根据正方形ABCD的面积可得边长为2，利用SAS证明△ADG≌△DCF，得到∠DAG=∠CDF，结合∠DAG+∠DGA=90°可得∠DMG=90°，利用勾股定理可得AG，由等面积法可得DM，然后求出GM，证明△DCK∽△DGM，根据相似三角形的性质可得CK，同理可得△BCG≌△CBE，得到∠ECB=∠GBC，易得BO、OG、OC、OK的值，证明△OKL∽△GML，然后根据相似三角形的性质进行计算.
16．（2021九上·温州期末）某户外遮阳棚如图1，其截面结构示意图如图2所示.支撑柱AB上地面，AB=120 cm，Р是支撑柱AB上一动点，伞杆CP可绕着中点E旋转，CD=CP=40 cm，斜拉杆AE可绕点A旋转，AE= CP．若∠APE=30°，则BP=　 　cm；伞展开长 PD==300cm，若A，C，D在同一条直线上，某时太阳光线恰好与地面垂直，则PD落到地面的阴影长为　 　cm.
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接AC，
∵E为PC中点， AE= CP，
∴△PAC为直角三角形，
∵∠APE=30°，PC= ，
∴AC=
∴AP=.
（2）如图，连结AC，作DF⊥BF，
∵A，C，D在同一条直线上 ，
∴AD⊥AB，
∴∠CAP=∠PAD=90°
设AC=a，
在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得：PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，
∴( )2-a2=3002-（a+）2，
整理，解得：a=，
∴AD=AC+CD=+=，
∴PD 落到地面的阴影长BF=AD= .
故答案为：；.
【分析】(1)连接AC，E为PC中点， AE= CP， 利用斜边中线等于斜边的一半逆定理可推出△PAC为直角三角形，在根据30°角所对直角边为斜边的一半求出AP，进而可求出BP长；
（2）连接AC， A，C，D在同一条直线上得AD⊥AB，在直角三角形PAC和PAD中，由勾股定理得PA2=PC2-AC2=PD2-AD2，求出AC，进而求出AD，由 BF等于AD可得影长值.
三、解答题（共9题，共72分）
17．（2022九上·济南期末）如图1，长、宽均为3cm，高为8cm的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6cm，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图3所示．
（1）利用图1、图2所示水的体积相等，求的长；
（2）求水面高度．
【答案】（1）解：如图所示，
设DE=xcm，则AD=（8－x）cm，
根据题意得：（8－x+8）×3×3=3×3×6，解得：x=4，
∴DE=4（cm）
（2）解：∵∠E=90°，DE=4，CE=3，
∴CD=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB，
∴∠DCE=∠BCF
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴，即，
∴CF=（cm），
答：CF的高是cm
【知识点】勾股定理；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1） 设DE=xcm，则AD=（8－x）cm， 根据“ 图1、图2所示水的体积相等 ”列出方程并解之即可；
（2）由勾股定理求出CD的长，再证△CDE∽△CBF，可得，据此即可求解.
18．（2022九上·大安期末）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．
（1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动　 　米.
【答案】（1）解：作于M，交于N，
可得，米，米，米．
∴米，米，
∵，
∴，
∴，即
∴米，
米，
答：大楼的高度为14米．
（2）0.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】（2）类似（1）可得，
∴，
∵米，米，米，米，
∴米，
∴，
∴米，
相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动（米），
答：相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动0.5米．
【分析】（1）作于M，交于N，证出，得出米，代入求解即可；
（2）类似（1）可得，得出，利用相似三角形的性质求解即可。
19．（2022九上·临汾期中）如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图．如图1，道闸关闭时，四边形是矩形．如图2，在道闸打开的过程中，边固定，直线l，连杆、分别绕点A、D转动，且边始终与边平行，P为上的一点（不与点C，D重合），过点P作直线l，，垂足分别为E，F，即四边形是矩形，过点D作，垂足为Q，延长与相交于点R．
（1）与相似吗？请判断并说明理由．
（2）若道闸长米，宽米，点D距地面米，米，米，米．
①求点B到地面l的距离；
②求的长．
【答案】（1）解：，理由如下，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：①如图，延长交直线l于点G，可知米，米，
米；
②设米，
米，米，
米，
，
，
米，
，
解得：，
米．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）利用两组角相等的三角形相似的判定方法求解即可；
（2）①延长交直线l于点G，可知米，米，利用线段的和差求出BG的长即可；
②根据，可得，将数据代入可得，求出x的值，最后利用线段的和差求出PF的长即可。
20．（2022九上·镇海区开学考）如图，抛物线经过点、、三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线上方的抛物线是有一点，使得的面积最大，求出点的坐标．
【答案】（1）解：该抛物线过点，
可设该抛物线的解析式为．
将，代入，
得，
解得，
此抛物线的解析式为
（2）解：存在．如图，设点的横坐标为，
则点的纵坐标为，
当时，，．
又，
当，
在抛物线上，
，
，
，
∽，
即．
解得，舍去，
．
当时，∽，即．
解得，均不合题意，舍去
当时，，
当时，，，
或，
把代入得：，，
解得：第一个方程的解是舍去舍去，
第二个方程的解是，舍去
求出，，
则，
当时，，．
或，
则：，，
解得：第一个方程的解是舍去，舍去，第二个方程的解是舍去，，
时，，
则，
综上所述，符合条件的点为或或，
（3）解：如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为
过作轴的平行线交于．
由题意可求得直线的解析式为．
点的坐标为．
，
，
，
当时，面积最大，
．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由题意可设抛物线的解析式为y=ax2+bx-2，将A、B的坐标代入求出a、b的值，进而可得抛物线的解析式；
（2）设P（m，m2+m-2），当14时，AM=m-4，PM=m2-m+2，根据相似三角形的性质求出m的值，进而可得点P的坐标；同理可得m<1时对应的点P的坐标；
（3）设D点的横坐标为t（021．（2021九上·宁波期中）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.
（1）概念理解：
如图1，在△ABC中，AC＝6，DC＝3，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是“等高底”三角形.　 　（填“是”或“否”）
（2）问题探究：
如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连接AA'交直线BC于点D.若点B是△AA′C的重心，求 的值.
（3）应用拓展：
如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的 倍.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B′C，A′C所在直线交l2于点D，直接写出CD的值.
【答案】（1）是
（2）解：如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，
∴AD＝BC，
∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，
∴∠ADC＝90°，
∵点B是△AA′C的重心，
∴BC＝2BD，
设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，
由勾股定理得AC＝ ，
∴ ；
（3）CD的值为 或2 或2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形.
理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，
∵∠ACB＝30°，AC＝6，
∴ ，
∴AD＝BC＝3，
即△ABC是“等高底”三角形.
故答案为：是.
（3）①当AB＝ BC时，
Ⅰ.如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，
∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB＝ BC，
∴BC＝AE＝2，AB＝2 ，
∴BE＝2，即EC＝4，
∴AC＝2 ，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴∠DCF＝45°，
设DF＝CF＝x，
∵l1∥l2，
∴∠ACE＝∠DAF，
∴ ，即AF＝2x，
∴AC＝3x＝2 ，
∴x＝ ，CD＝ x＝ .
Ⅱ.如图4，此时△ABC等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝ AC＝2 .
②当AC＝ BC时，
Ⅰ.如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，
∴A'C⊥l1，
∴CD＝AB＝BC＝2；
Ⅱ.如图6，作AE⊥BC于E，则AE＝BC，
∴AC＝ BC＝ AE，
∴∠ACE＝45°，
∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，
∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，
综上所述，CD的值为 或2 或2.
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=AC=3，则AD=BC=3，据此判断；
（2）由题意可得AD＝BC，∠ADC＝90°，根据重心的概念可得BC＝2BD，设BD＝x，则AD＝BC＝2x，CD＝3x，由勾股定理表示出AC，据此求解；
（3）①当AB＝BC时，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，则BC＝AE＝2，AB＝2，进而可得EC＝4，AC＝2，由旋转的性质可得∠DCF＝45°，设DF＝CF＝x，则AF＝2x，AC＝3x＝2，求出x，进而可得CD；②当AC＝BC时，此时△ABC是等腰直角三角形，A'C⊥l1，则CD＝AB＝BC；作AE⊥BC于E，则AE＝BC，AC＝BC＝AE，此时∠ACE＝45°，直线A'C与l2无交点，据此解答.
22．（2023九上·永嘉期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线经过，两点，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线上的一个动点，连接.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且，连接，当直线交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段于点F，连接，过点G作交线段于点Q，的平分线交x轴于点M，过点M作交于点H，过点H作于点R，若，求点P的坐标.
【答案】（1）解：抛物线y=ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴，
∵点P在直线，且横坐标为t，
∴，
∴点P到x轴的距离即为△APC的边AC上的高，即为，底，
∴；
（3）解：过点P作PT⊥x轴于点T，如图所示：
∵FM平分∠CFG，，
∴，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵点E在y轴的正半轴上，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即为点F的横坐标，
设直线BP的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BP的解析式为，
∴当时，则，解得： ，
∴，，
∴，
由点F的横坐标代入直线BP的解析式可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
化简得：，
由勾股定理可得，即，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点.
【知识点】相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可；
（2）求出点C的坐标，可得AC＝8，根据直线上的点的坐标特点设P（t，2t-4），由于 点P到x轴的距离即为△APC的边AC上的高 ，从而利用三角形面积公式求解即可；
（3） 过点P作PT⊥x轴于点T ，首先用AAS判断出△RFH≌△GHM，得FR=HG，推出FG=GQ， 点E在y轴的正半轴上，且OE=OD得CE=CD，由等边对等角及平行线的性质得∠PGC=∠PCG，则PC=PG，进而得CT=GT，表示出PT、CT，可得CG、OG，即可得点F的横坐标，利用待定系数法求出直线BP的解析式，令解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，表示出OL、CL、GL、将点F的横坐标代入直线BP的解析式算出对应的y的值，可得FG、QG ，判断出△GQL∽△CFL，由相似三角形对应边成比例表示出CF，最后根据勾股定理建立方程可求出t的值，从而求出点P的坐标.
23．（2023九上·海曙期末）如图：
（1）[基础巩固]如图1，在四边形中，对角线平分，求证：；
（2）[尝试应用]如图2，四边形为平行四边形，F在边上，，点E在延长线上，连接、、，若，求的长；
（3）[拓展提高]如图3，E是内部一点，F为边上一点，连接，已知，，求的值.
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：过点C作，交的延长线于点M，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC，由已知条件可知∠ADB=∠DCB，证明△ABD∽△DBC，然后根据相似三角形的性质可得结论；
（2）根据平行四边形以及平行线的性质可得∠AFB=∠FBC，∠DFC=∠FCB，由等腰三角形的性质可得∠AFB=∠ABF，则∠ABF=∠FBC，由已知条件可知∠EFB=∠DFC，则∠EFB=∠FCB，证明△EBF∽△FBC，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）过点C作CM∥AE，交EF的延长线于点M，证明△BCE∽△CBE，根据相似三角形的性质可得EM、FM的值，证明△AEF∽△CMF，然后根据相似三角形的性质进行计算.
24．（2023九上·余姚期末）如图
（1）[基础巩固]如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，求证：AC2 =AD·AB．
（2）[尝试应用] 如图②，在矩形ABCD中，AD=2，点F在AB上，FB=2AF，DF⊥AC于点E，求AE的长．
（3）[拓展提高] 如图③，在矩形ABCD中，点E在边BC上，NDCE与NDFE关于直线DE对称，点C的对称点F在边AB上，G为AD中点，连结GC交DF于点M，GC∥FE，若AD=2，求GM的长．
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB， ∴∠DCB+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△CAD∽△BAC，
∴，
∴AC2= AD AB；
（2）解：∵FB=2AF，
∴AB=AF+BF=3AF.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，
∴△AFE∽△CDE，
∴
∴CE=3AE，
∴AC=4AE.
∵DF⊥AC，
由（1）可得，
DA2=AE·AC，
∴22=AE·4AE，
∴AE=1；
（3）解：在矩形ABCD中， ∠BCD=∠CDA=∠A=90°，
∴∠ADF+∠CDM=90°.
∵△DCE与△DFE关于直线DE对称，
∴△DFE≌△DCE，
∴∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，
∵GC∥FE，
∴DM⊥GC，
∴∠CDM+∠DCM=90°，
∴∠ADF=∠DCM，
∴△CDM≌△DFA，
∴CM=DA=2.
∵G是AD的中点，
∴DG=GA=1.
由（1）可得，DG2=GM·GC.
设 GM=x，则 CG=GM+CM=x+2，
∴12=x(x+2)，
解得 (舍去)
∴GM的长为 .
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得∠B=∠ACD，结合∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△CAD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例即可得出结论；
（2）根据矩形的性质得AB∥CD，AB=CD，∠ADC=90°，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得△AFE∽△CDE，根据相似三角形对应边成比例得CE=3AE，结合（1）的结论可求出AE的长.
（3）根据轴对称的性质得∠DFE=∠DCE=90°，DC=DF，根据平行线的性质推出DM⊥GC，由同角的余角相等得∠ADF=∠DCM，用AAS判断出△CDM≌△DFA，由全等三角形的对应边相等得CM=DA=2，
结合（1）的结论建立方程，求解即可.
25．（2023九上·镇海区期末）
（1）【基础巩固】如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F，点D是上任意一点，连结交于点G，求证：；
（2）【尝试应用】
如图2，在（1）的条件下，连结，，若，、恰好将三等分，求的值；
（3）【拓展延伸】
如图3，在等边中，，连结，点E在上，若，求的值.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∵、恰好将三等分，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，，
∴，
根据（1）得，；
（3）解：过E作的平行线，分别交、于G、H.
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴
∴也是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴
∴
∴.
∴，即，
∴，
由（1）和，得，
设，则.
∴，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴.
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）易证△AEG∽△ABD，根据相似三角形的性质可得，同理可得，则， 据此证明；
（2）根据平行线的性质可得∠C=∠AFE=30°，∠EFB=∠FBD，根据题意可得∠AFE=∠EFB=∠BFD=30°，则∠AFD=∠DFC=90°，进而推出DF=BD，根据含30°角的直角三角形的性质可得DF=DC，则，据此解答；
（3）过点E作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、H，根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC，由平行线的性质可得∠AGH=∠AHG=∠BAC=60°，推出△AGH为等边三角形，得到AG=AH，易证△GEB∽△HCE，根据相似三角形的性质可得GE·EH=BG2，由（1）和BD=4DC可得，设EH=a，则GE=4a，BG2=4a2，AG=GH=5a，BG=CH=2a，AC=BC=7a，证明△GEB∽△EBC，然后根据相似三角形的性质进行计算.
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