2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（提升版）

2023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（提升版）
一、选择题 （每题3分，共30分）
1．（2022九上·东阳月考）已知△ABC∽△A'B'C，AD和A'D'是它们的对应高线，若AD＝4，A'D'＝1，则△ABC与△A'B'C的面积比是（　　）
A．16：1 B．4：1 C．4：3 D．4：9
2．（2021九下·西湖开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
3．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020·萧山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．3
5．（2023九上·江北期末）如图，点G是的重心，于点H，若，，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2023·温州模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，得到交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
7．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（　　）
A．PA+PB+PC+PD的最小值为10
B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC
C．若△PAB △PDA，则PA=2
D．若S1=S2，则S3=S4
8．（2023·绍兴）如图，在中，是边上的点（不与点重合）.过点作交于点；过点作交于点.是线段上的点，；是线段上的点，.若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
9．（2023九上·温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（　　）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
10．（2022九上·温州月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（　　）
A．1cm B．cm C．2cm D．cm
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·越城期末）
如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为　 　.
12．（2021九上·吴兴期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A、B、C、E、F均在格点上．若△ABC∽△DFE，则△DFE的面积是　 　．
13．（2022九上·杭州月考）在相似的两个三角形中，已知其中一个三角形三边的长是3，4，5，另一个三角形有一边长是2，则另一个三角形的周长是　 　.
14．（2023九上·诸暨期末）三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心和重心的距离为　 　.
15．（2022九上·义乌期中）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为　 　米.
16．（2023·永嘉模拟）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可．
（1）　 　km．
（2） =　 　．
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·瑞安月考）如图，在 中，D，E分别是AB，AC上的点， 平分 交DE于点 ，交BC于点 .
（1）求证： .
（2）若点 是 的重心， ，求AB的长.
18．（2023九上·吴兴期末）如图，是的外接圆，，于点D，的延长线分别交于点E、F.
（1）求证：.
（2）若，，求AC的长.
19．（2023九上·杭州期末）如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
20．（2023九上·吴兴期末）已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，.
（1）如图1，若，点运动到的中点时，求的长.
（2）如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由.
（3）当点从点运动到点时，请直接写出点的运动路径长.
21．（2023九上·通川期末）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．
（1）视线∠ABD的度数为 　 　.（用含α的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
22．（2022九上·济南期中）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
23．（2023·慈溪模拟）
（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：．
（2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接．
①[思考探究]如图2，当时，求的长．
②[拓展延伸]如图3，当时，求的长．
24．（2023九上·宁波期末）如图
【证明体验】
（1）如图①，在和中，，，，连接，.
求证：；
（2）【思考探究】如图②，在①的条件下，若，，，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应高线，AD＝4，A'D'＝1，
∴两三角形的相似比为＝，
∴＝（）2＝，即△ABC与△A'B'C的面积比是16：1
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质：对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ＝（ ）2＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ （等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】 根据平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，推出△DEF∽△BAF，结合DE：AB=2：5，求出 ＝ ， ＝ ＝ ，再根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出求出 ＝ = ，即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ∠ACB=90°， CD⊥AB
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ACD=∠CBD,
∴
∴;
AD=9
∴CD=6
又CD2=AD·BD；
∴BD=4；
在Rt中，根据勾股定理得：
===;
故答案为：C.
【分析】先根据相似三角形边长比等于周长比求出CD，再根据三角形射影定理求出BD，在直角三角形BCD中用勾股定理求出BC的长。
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接并延长交于点D，过A点作于点E，
由重心性质可得：，
∵，
∴，
∴
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接AG并延长交BC于点D，过A点作AE⊥BC于点E，由重心性质可得AD：GD=3：1，证明△DGH∽△DAE，根据相似三角形的性质可得AE的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴OA=OB=2，OC=1，BC=3
∴AB=
∵将△ABC沿x轴正方形平移，使点B平移至原点O，得到△DOE
∴AB//OD
∴△ABC∽△FOC
∴，即
∴OF=.
故答案为：A
【分析】由的点的坐标可以得到OA=OB=2，OC=1，BC=3，再由勾股定理求出AB=；由平移可以得到AB//OD，从而得到△ABC∽△FOC，由即可求出OF的长.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；
B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；
C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；
D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；平行线之间的距离；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DN，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠ECD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴△BDF∽△DCE，
∴，
∵BN=2NF，DM=2ME，
∴，
又∵∠B=∠EDC，
∴△BDN∽△CDM，
∴∠BDN=∠DCM，
∴ND∥CM，
设DN与CM之间的距离为d，
∴S△CMN=CM·d，S△CMD=CM·d，
∴S△CMN=S△CMD，
∵DM=2ME，S△CMD=DM·h，S△CME=EM·h，
∴S△DCE=S△CMD+S△CME=S△CMD=S△CMN.
故答案为：D.
【分析】连接DN，根据二直线平行，同位角相等可得∠FDB=∠ECD，∠EDC=∠B，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△BDF∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例得，进而结合BN=2NF，DM=2ME，可推出，进而根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△BDN∽△CDM，由相似三角形对应角相等得∠BDN=∠DCM，由同位角相等，两直线平行，得ND∥CM，设DN与CM之间的距离为d，根据同底等高的三角形的面积相等得S△CMN=S△CMD，再根据同高三角形的之间的关系就是底之间的关系得S△DCE=S△CMD，从而即可得出结论.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB=1.5m，EF=3m，BF=1.2m，BD=20m，四边形ABFG、四边形ABDH都是矩形，
∴FG=AB=1.5m，BF=AG=1.2m，AB=DH=1.5m，BD=AH=20m，
∴EG=EF-FG=3-1.5=15m
∵CD∥EF∥AB，
∴△AEG∽△ACH，
∴EG∶CH＝AG∶AH，即1.5∶CH＝1.2∶20，
解得：CH＝25m，
∴CD＝CH＋DH＝25＋1.5＝26.5（m）；
答： 楼房的高度是26.5m.
故答案为：B.
【分析】由题意得出CD∥EF∥AB，证出△AEG∽△ACH，得出对应边成比例EG∶CH＝AG∶AH，求出CH，即可得出结果.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CD：AC，
∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，
∴CD=4，AC=6，
∴DE：3=4：6，
∴DE＝2cm，
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：C．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.
11．【答案】10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
两个相似三角形的周长比为2：3，
，
解得， ，
这两个三角形的周长和为 ，
故答案为：10.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BC=5，EF=6，
∴，
∵△ABC∽△DFE，
∴即，
解之：.
故答案为：.
【分析】观察图形可知BC=5，EF=6，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△DEF的面积.
13．【答案】8或6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形三边的长是3，4，5，
∴此三角形的周长为：3+4+5=12，
∵在相似的两个三角形中，另一个三角形有一边长是2，
∴若2与3对应，则另一个三角形的周长是：；
若2与4对应，则另一个三角形的周长是：；
若2与5对应，则另一个三角形的周长是：.
故答案为： 8或6或 .
【分析】由一个三角形三边的长是3，4，5，可求得其周长，又由相似三角形周长的比等于相似比，分别从2与3对应，2与4对应，2与5对应，去分析求解即可求得答案．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=6，
∴AH是△ABC的中线和角平分线，
∴点O1和点O2在AH上，
∴BH=BC=3，
∴，
∵点O2是△ABC的重心，
∴AO2=2O2H即，
设△ABC的外接圆的半径为r，则BO1=AO1=r，O1H=4-=r
∴32+（4-r）2=r2，
解之：，
∴
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，利用等腰三角形的性质可知点O1和点O2在AH上，同时可求出BH的长，利用勾股定理求出AH的长；再利用点O2是△ABC的重心，可求出O2H的长，设△ABC的外接圆的半径为r，可表示出O1H的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的方程，解方程求出r的值，可得到O1H的长；然后求出O1O2的长.
15．【答案】45
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB.
∴ ，
∵CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，
∴ .
∴AB＝45.
故答案为：45.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OCD∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
16．【答案】（1）1.8
（2）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）CD-EF-GJ=5.5-1-2.7=1.8（km）.
故答案为：1.8.
（2）连接AB，过A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z，
由矩形的性质可得AZ=CD-EF-GJ=1.8，BZ=DE+FG-CB-AJ=4.9+3.1-3-2.4=2.6.
∵点P、A、B、Q共线，
∴∠MBQ=∠ZBA.
∵∠BMQ=∠BZA=90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）由图形可得CD=5.5，EF=1，GJ=2.7，据此计算；
（2）连接AB，过A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z，由矩形的性质可得AZ=CD-EF-GJ=1.8，BZ=DE+FG-CB-AJ=2.6，由对顶角的性质可得∠MBQ=∠ZBA，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BMQ∽△BZA，然后由相似三角形的性质进行计算.
17．【答案】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAF
∵∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△ACF
.
（2）解：∵点G是△ABC的重心，
，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∵AE=6，∴AB=9．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义得出 ∠DAG=∠CAF，结合∠ADE=∠C， 证明 △ADG∽△ACF ，根据相似三角形的性质列比例式，即可得证；
(2)由三角形重心的性质得出 ，再证明 △ADE∽△ACB， 然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
18．【答案】（1）证明：连接
∵
∴B，O在的垂直平分线上
即，且，
∴，，
又∵
∴，
∴
∴
（2）解：∵，，
∴
又∵，
∴
∴
即
∴
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA、OC，由题意可得B、O在AC的垂直平分线上，则BO⊥AC，AC=2AE，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，由同角的余角相等可得∠CAD=∠CBE，据此证明；
（2）由题意可得AE=EF+BF=4，证明△AEF∽△BEA，根据相似三角形的性质可得AE的值，进而可得AC.
19．【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连接交于G，
∵，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴且，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 根据圆内接四边形的性质可得∠BCD+∠BAD=180°，由邻补角的性质可得∠DAB+∠EAD=180°，则∠EAD=∠BCD，由角平分线的概念可得∠EAD=∠DAC，则∠BCD=∠CBD，推出DB=DC，据此证明；
（2）①由等腰三角形的性质可得∠DAF=∠DFA，则∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，证明△DAF∽△DBC，得到∠ADF=∠BDC，推出∠DFA=∠DCB，进而证明△FBC∽△BCD，然后根据相似三角形的性质进行证明；
②连接DO交BC于点G，则D、O、G共线，由等腰三角形的性质可得BG=GC=3，利用勾股定理求出BD的值，根据相似三角形的性质可求出FB的值，进而求出DF、AD的值，证明△AFD∽△BFC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
20．【答案】（1）解：矩形中，，，，
∴，则矩形是正方形，
∵点到的中点，
∴，，
在中，，
∴矩形，，
∵，，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：，理由如下，
矩形，，，矩形，，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点的运动路径长是2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（3）解：点从点运动到点，如图所示，
过点作的延长线于点，的延长线交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∴点在定直线上运动，
∴当点与点重合时，，，此时点与点重合；
当点与点重合时，，，点与点重合，
∴点的运动路径长是2.
【分析】（1）由题意可得矩形ABCD为正方形，由中点的概念可得AE=DE=1，BE=CE，利用勾股定理可得CE的值，根据矩形的性质可得CE=CCG，由同角的余角相等可得∠BCE=∠DCG，利用SAS证明△BEC≌△DGC，得到DG=BE，据此求解；
（2）由题意可得AD=BC=2k，证明△BEC∽△DGC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过点G作GM⊥BC的延长线于点M，MG的延长线交AD延长线于点H，证明△ECD∽△CGM，根据相似三角形的性质可得CM，推出点G在定直线GM上运动，当点E与点A重合时，ED=AD，GM=2，此时点G与点H重合；当点E与点D重合时，ED=0，GM=0，点G与点M重合，据此解答.
21．【答案】（1）2α
（2）解：如图，过点D作DC⊥PM交PM于点C，
由题意得：AB＝250cm，AD＝100cm，
∴AE＝50cm，
∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴，
∴，
∴CD＝20cm，
∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，
∴AB⊥PM，
∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠PAD＝90°-∠BAE＝α，
∵AE＝DE，BE⊥AD，
∴AB＝BD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α.
故答案为：2α.
【分析】（1）如图，连接BD，由AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，得到AB⊥PM，所以∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，从而得到∠ABE＝∠PAD＝90°-∠BAE＝α，再由AE＝DE，BE⊥AD，可得AB＝BD，从而得∠ABE＝∠DBE，进而求得∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α；
（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，易知AB＝250cm，AD＝100cm，则AE＝50cm，再由∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，可证得△ACD∽△BEA，再通过相似三角形对应比成比例列式计算CD长，即可解决问题.
22．【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
（2）解：设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明，可得，将数据代入求出即可；
（2）设横向影子，的长度和为，先证明可得，将数据代入可得，求出即可。
23．【答案】（1）证明∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①取中点F，连接，
∵，
∴，，
∵E为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴
解得，（舍去），
∴．
②取中点F，连接，过点E作，垂足为G，设，
∵为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，．
∴，
解得，（舍去）．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠ACD=∠ABC，由图形可得∠A=∠A，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）①取AD的中点F，连接EF，易得AC、AB的值，根据中位线的性质可得EF=AC，EF∥AC，根据平行线的性质可得∠DEF=∠ACD，结合已知条件可得∠DBE=∠DEF，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△FED∽△FBE，由相似三角形的性质可得EF2=FD·FB，设AF=FD=x，则FB=4-x，代入求解即可；
②取AD的中点F，连接EF，过点E作EG⊥AB，垂足为G，设AF=FD=x，根据中位线的性质可得EF∥AC，由平行线的性质可得∠EFB=∠A=30°，进而推出∠DEB=∠EFB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△BEF，由相似三角形的性质可得BE2=BD·FB，易得EG、FG、BG，由勾股定理可得BE2，据此求解.
24．【答案】（1）证明：如图中，
∵，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：如图中，
，
∽，
∴，
可以假设，
∵
∴
，∴
解得，（负根已经舍去)，
∴
∵
∴；
（3）解：如图中，，
将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，
∵
∴
∵
∴
∴∽，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）易得∠BAD=∠CAE，用SAS判断出△BAD≌△CAE，根据全等三角形对应边相等得BD=CE；
（2）先判断出△BAC∽△DAE，则 ， 设AE=AD=4k，DE=3k，用勾股定理建立方程算出k，从而即可得出CE的长；
（3） 将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG，则BD=CG=10， 易得∠BAC=∠DAG，由三角形内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，判断出△ABC∽△ADG，由相似三角形的性质得 ，结合已知及三角形的内角和定理推出∠CDG=90°，用勾股定理算出DG，从而即可求出答案了.
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质与应用 同步测试（提升版）
一、选择题 （每题3分，共30分）
1．（2022九上·东阳月考）已知△ABC∽△A'B'C，AD和A'D'是它们的对应高线，若AD＝4，A'D'＝1，则△ABC与△A'B'C的面积比是（　　）
A．16：1 B．4：1 C．4：3 D．4：9
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应高线，AD＝4，A'D'＝1，
∴两三角形的相似比为＝，
∴＝（）2＝，即△ABC与△A'B'C的面积比是16：1
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质：对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可．
2．（2021九下·西湖开学考）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE＝2：3，连接AE，BD交于点F，则S△DEF：S△ADF：S△ABF等于（　　）
A．2：3：5 B．4：9：25 C．4：10：25 D．2：5：25
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∵DE：CE＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ＝（ ）2＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝ （等高的三角形的面积之比等于对应边之比），
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故答案为：C.
【分析】 根据平行四边形性质得出DC=AB，DC∥AB，推出△DEF∽△BAF，结合DE：AB=2：5，求出 ＝ ， ＝ ＝ ，再根据等高的三角形的面积之比等于对应边之比求出求出 ＝ = ，即可得出答案.
3．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
4．（2020·萧山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为点D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】勾股定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ∠ACB=90°， CD⊥AB
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ACD=∠CBD,
∴
∴;
AD=9
∴CD=6
又CD2=AD·BD；
∴BD=4；
在Rt中，根据勾股定理得：
===;
故答案为：C.
【分析】先根据相似三角形边长比等于周长比求出CD，再根据三角形射影定理求出BD，在直角三角形BCD中用勾股定理求出BC的长。
5．（2023九上·江北期末）如图，点G是的重心，于点H，若，，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接并延长交于点D，过A点作于点E，
由重心性质可得：，
∵，
∴，
∴
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接AG并延长交BC于点D，过A点作AE⊥BC于点E，由重心性质可得AD：GD=3：1，证明△DGH∽△DAE，根据相似三角形的性质可得AE的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
6．（2023·温州模拟）如图，在直角坐标系中，已知点，将沿着轴正方向平移，使点平移至原点，得到交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴OA=OB=2，OC=1，BC=3
∴AB=
∵将△ABC沿x轴正方形平移，使点B平移至原点O，得到△DOE
∴AB//OD
∴△ABC∽△FOC
∴，即
∴OF=.
故答案为：A
【分析】由的点的坐标可以得到OA=OB=2，OC=1，BC=3，再由勾股定理求出AB=；由平移可以得到AB//OD，从而得到△ABC∽△FOC，由即可求出OF的长.
7．（2023·柯桥模拟）如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB=3，BC=4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1、S2、S3、S4，以下判断，其中不正确的是（　　）
A．PA+PB+PC+PD的最小值为10
B．若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC
C．若△PAB △PDA，则PA=2
D．若S1=S2，则S3=S4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD的值最小为AC+BD=10，故此选项正确；
B、若△PAB≌△PCD，则PA=PC，PB=PD，∴点P是对角线的交点，容易判断出△PAD≌△PBC，故此选项正确；
C、若△PAB∽△PDA，由相似三角形的性质得∠PAB=∠PDA，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA=2.4，故此选项错误；
D、易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，所以若S1=S2，则S3=S4，故此选项正确.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理算出算出矩形的对角线AC=BD=5，根据两点之间线段最短可得当点P是矩形ABCD的对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，据此可判断A选项；由三角形全等的性质得PA=PC，PB=PD，则点P是对角线的交点，进而用SSS判断出△PAD≌△PBC，据此可判断B选项；由相似三角形的对应角相等得∠PAB=∠PDA，推出∠APD=180°-=90°，同理可得∠APB=90°，则B、P、D三点共线，根据三角形的面积公式可得PA的长，据此可判断C选项；根据矩形的性质、三角形的面积计算公式及平行线间的距离易得S1+S3=S2+S4=S矩形ABCD，据此可判断D选项.
8．（2023·绍兴）如图，在中，是边上的点（不与点重合）.过点作交于点；过点作交于点.是线段上的点，；是线段上的点，.若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；平行线之间的距离；三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DN，
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠ECD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴△BDF∽△DCE，
∴，
∵BN=2NF，DM=2ME，
∴，
又∵∠B=∠EDC，
∴△BDN∽△CDM，
∴∠BDN=∠DCM，
∴ND∥CM，
设DN与CM之间的距离为d，
∴S△CMN=CM·d，S△CMD=CM·d，
∴S△CMN=S△CMD，
∵DM=2ME，S△CMD=DM·h，S△CME=EM·h，
∴S△DCE=S△CMD+S△CME=S△CMD=S△CMN.
故答案为：D.
【分析】连接DN，根据二直线平行，同位角相等可得∠FDB=∠ECD，∠EDC=∠B，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得△BDF∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例得，进而结合BN=2NF，DM=2ME，可推出，进而根据两组边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得△BDN∽△CDM，由相似三角形对应角相等得∠BDN=∠DCM，由同位角相等，两直线平行，得ND∥CM，设DN与CM之间的距离为d，根据同底等高的三角形的面积相等得S△CMN=S△CMD，再根据同高三角形的之间的关系就是底之间的关系得S△DCE=S△CMD，从而即可得出结论.
9．（2023九上·温州期末）如图，线段AB，EF，CD分别表示人，竹竿，楼房的高度，且A，E，C在同一直线上．测得人和竹竿的水平距离为1.2m，人和楼房的水平距离为20m，人的高度为1.5m，竹竿的高度为3m，则楼房的高度是（　　）
A．25m B．26.5m C．50m D．51.5m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得AB=1.5m，EF=3m，BF=1.2m，BD=20m，四边形ABFG、四边形ABDH都是矩形，
∴FG=AB=1.5m，BF=AG=1.2m，AB=DH=1.5m，BD=AH=20m，
∴EG=EF-FG=3-1.5=15m
∵CD∥EF∥AB，
∴△AEG∽△ACH，
∴EG∶CH＝AG∶AH，即1.5∶CH＝1.2∶20，
解得：CH＝25m，
∴CD＝CH＋DH＝25＋1.5＝26.5（m）；
答： 楼房的高度是26.5m.
故答案为：B.
【分析】由题意得出CD∥EF∥AB，证出△AEG∽△ACH，得出对应边成比例EG∶CH＝AG∶AH，求出CH，即可得出结果.
10．（2022九上·温州月考）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为6等份．若小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE的长为（　　）
A．1cm B．cm C．2cm D．cm
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DE：AB＝CD：AC，
∵AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，
∴CD=4，AC=6，
∴DE：3=4：6，
∴DE＝2cm，
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：C．
【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，可得DE：AB＝CD：AC，再由AB的长为3cm，AC被分为6等份，小玻璃管口DE正好对着量具上2等份处，可得CD=4，AC=6，再将数据代入计算，即可求解.
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2021九上·越城期末）
如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为　 　.
【答案】10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
两个相似三角形的周长比为2：3，
，
解得， ，
这两个三角形的周长和为 ，
故答案为：10.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.
12．（2021九上·吴兴期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A、B、C、E、F均在格点上．若△ABC∽△DFE，则△DFE的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BC=5，EF=6，
∴，
∵△ABC∽△DFE，
∴即，
解之：.
故答案为：.
【分析】观察图形可知BC=5，EF=6，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出△DEF的面积.
13．（2022九上·杭州月考）在相似的两个三角形中，已知其中一个三角形三边的长是3，4，5，另一个三角形有一边长是2，则另一个三角形的周长是　 　.
【答案】8或6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵一个三角形三边的长是3，4，5，
∴此三角形的周长为：3+4+5=12，
∵在相似的两个三角形中，另一个三角形有一边长是2，
∴若2与3对应，则另一个三角形的周长是：；
若2与4对应，则另一个三角形的周长是：；
若2与5对应，则另一个三角形的周长是：.
故答案为： 8或6或 .
【分析】由一个三角形三边的长是3，4，5，可求得其周长，又由相似三角形周长的比等于相似比，分别从2与3对应，2与4对应，2与5对应，去分析求解即可求得答案．
14．（2023九上·诸暨期末）三角形三边长为5，5，6，则这个三角形的外心和重心的距离为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，
∵△ABC中，AB=AC=5，BC=6，
∴AH是△ABC的中线和角平分线，
∴点O1和点O2在AH上，
∴BH=BC=3，
∴，
∵点O2是△ABC的重心，
∴AO2=2O2H即，
设△ABC的外接圆的半径为r，则BO1=AO1=r，O1H=4-=r
∴32+（4-r）2=r2，
解之：，
∴
∴.
故答案为：
【分析】过点A作AH⊥BC于点H，连接BO1，利用等腰三角形的性质可知点O1和点O2在AH上，同时可求出BH的长，利用勾股定理求出AH的长；再利用点O2是△ABC的重心，可求出O2H的长，设△ABC的外接圆的半径为r，可表示出O1H的长，利用勾股定理可得到关于r的方程，解方程求出r的方程，解方程求出r的值，可得到O1H的长；然后求出O1O2的长.
15．（2022九上·义乌期中）为了测量河宽AB，有如下方法：如图，取一根标尺CD横放，使CD∥AB，并使点B，D，O和点A，C，O分别在同一条直线上，量得CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，则河宽AB的长度为　 　米.
【答案】45
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB.
∴ ，
∵CD＝15米，OC＝10米，AC＝20米，
∴ .
∴AB＝45.
故答案为：45.
【分析】由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OCD∽△OAB，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
16．（2023·永嘉模拟）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可．
（1）　 　km．
（2） =　 　．
【答案】（1）1.8
（2）
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）CD-EF-GJ=5.5-1-2.7=1.8（km）.
故答案为：1.8.
（2）连接AB，过A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z，
由矩形的性质可得AZ=CD-EF-GJ=1.8，BZ=DE+FG-CB-AJ=4.9+3.1-3-2.4=2.6.
∵点P、A、B、Q共线，
∴∠MBQ=∠ZBA.
∵∠BMQ=∠BZA=90°，
∴△BMQ∽△BZA，
∴.
故答案为：.
【分析】（1）由图形可得CD=5.5，EF=1，GJ=2.7，据此计算；
（2）连接AB，过A作AZ⊥CB，交CB的延长线于点Z，由矩形的性质可得AZ=CD-EF-GJ=1.8，BZ=DE+FG-CB-AJ=2.6，由对顶角的性质可得∠MBQ=∠ZBA，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BMQ∽△BZA，然后由相似三角形的性质进行计算.
三、解答题（共8题，共66分）
17．（2021九上·瑞安月考）如图，在 中，D，E分别是AB，AC上的点， 平分 交DE于点 ，交BC于点 .
（1）求证： .
（2）若点 是 的重心， ，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠DAG=∠CAF
∵∠ADE=∠C，
∴△ADG∽△ACF
.
（2）解：∵点G是△ABC的重心，
，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∵AE=6，∴AB=9．
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义得出 ∠DAG=∠CAF，结合∠ADE=∠C， 证明 △ADG∽△ACF ，根据相似三角形的性质列比例式，即可得证；
(2)由三角形重心的性质得出 ，再证明 △ADE∽△ACB， 然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可.
18．（2023九上·吴兴期末）如图，是的外接圆，，于点D，的延长线分别交于点E、F.
（1）求证：.
（2）若，，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接
∵
∴B，O在的垂直平分线上
即，且，
∴，，
又∵
∴，
∴
∴
（2）解：∵，，
∴
又∵，
∴
∴
即
∴
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接OA、OC，由题意可得B、O在AC的垂直平分线上，则BO⊥AC，AC=2AE，由等腰三角形的性质可得∠ABE=∠CBE，由同角的余角相等可得∠CAD=∠CBE，据此证明；
（2）由题意可得AE=EF+BF=4，证明△AEF∽△BEA，根据相似三角形的性质可得AE的值，进而可得AC.
19．（2023九上·杭州期末）如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接，，交于点F.
（1）求证：是等腰三角形.
（2）若.
①求证：.
②若的半径为5，，求的值.
【答案】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②连接交于G，
∵，
∴D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，
∴且，
∵，
∴在中，，
∴，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 根据圆内接四边形的性质可得∠BCD+∠BAD=180°，由邻补角的性质可得∠DAB+∠EAD=180°，则∠EAD=∠BCD，由角平分线的概念可得∠EAD=∠DAC，则∠BCD=∠CBD，推出DB=DC，据此证明；
（2）①由等腰三角形的性质可得∠DAF=∠DFA，则∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，证明△DAF∽△DBC，得到∠ADF=∠BDC，推出∠DFA=∠DCB，进而证明△FBC∽△BCD，然后根据相似三角形的性质进行证明；
②连接DO交BC于点G，则D、O、G共线，由等腰三角形的性质可得BG=GC=3，利用勾股定理求出BD的值，根据相似三角形的性质可求出FB的值，进而求出DF、AD的值，证明△AFD∽△BFC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答.
20．（2023九上·吴兴期末）已知在矩形中，，，点是边上的一个动点，以为边，在的右侧作矩形，且，连接，.
（1）如图1，若，点运动到的中点时，求的长.
（2）如图2，判断与有怎样的数量关系，并说明理由.
（3）当点从点运动到点时，请直接写出点的运动路径长.
【答案】（1）解：矩形中，，，，
∴，则矩形是正方形，
∵点到的中点，
∴，，
在中，，
∴矩形，，
∵，，
∴，
在，中，
∴，
∴，
∵，
∴.
（2）解：，理由如下，
矩形，，，矩形，，
∴，
∴，，即，
∵，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：点的运动路径长是2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】（3）解：点从点运动到点，如图所示，
过点作的延长线于点，的延长线交延长线于点，
∵，
∴，，
∴，
∴，且，
∴，
∵，，
∴，
∴点在定直线上运动，
∴当点与点重合时，，，此时点与点重合；
当点与点重合时，，，点与点重合，
∴点的运动路径长是2.
【分析】（1）由题意可得矩形ABCD为正方形，由中点的概念可得AE=DE=1，BE=CE，利用勾股定理可得CE的值，根据矩形的性质可得CE=CCG，由同角的余角相等可得∠BCE=∠DCG，利用SAS证明△BEC≌△DGC，得到DG=BE，据此求解；
（2）由题意可得AD=BC=2k，证明△BEC∽△DGC，然后根据相似三角形的性质进行解答；
（3）过点G作GM⊥BC的延长线于点M，MG的延长线交AD延长线于点H，证明△ECD∽△CGM，根据相似三角形的性质可得CM，推出点G在定直线GM上运动，当点E与点A重合时，ED=AD，GM=2，此时点G与点H重合；当点E与点D重合时，ED=0，GM=0，点G与点M重合，据此解答.
21．（2023九上·通川期末）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm．
（1）视线∠ABD的度数为 　 　.（用含α的式子表示）
（2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离．
【答案】（1）2α
（2）解：如图，过点D作DC⊥PM交PM于点C，
由题意得：AB＝250cm，AD＝100cm，
∴AE＝50cm，
∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，
∴△ACD∽△BEA，
∴，
∴，
∴CD＝20cm，
∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，连接BD，
∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，
∴AB⊥PM，
∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠PAD＝90°-∠BAE＝α，
∵AE＝DE，BE⊥AD，
∴AB＝BD，
∴∠ABE＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α.
故答案为：2α.
【分析】（1）如图，连接BD，由AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN，得到AB⊥PM，所以∠PAB＝90°，∠AEB＝90°，从而得到∠ABE＝∠PAD＝90°-∠BAE＝α，再由AE＝DE，BE⊥AD，可得AB＝BD，从而得∠ABE＝∠DBE，进而求得∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α；
（2）过点D作DC⊥PM交PM于点C，易知AB＝250cm，AD＝100cm，则AE＝50cm，再由∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°，可证得△ACD∽△BEA，再通过相似三角形对应比成比例列式计算CD长，即可解决问题.
22．（2022九上·济南期中）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．
（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架，边长为，在其上方点P处有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子，的长度和为．那么灯泡离地面的高度为多少．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子，的长度和为多少？
【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∴，
∴，
解得；
∴灯泡离地面的高度为；
（2）解：设横向影子，的长度和为，
同理可得．
∴，
即，
解得：，
∴横向影子，的长度和为．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）先证明，可得，将数据代入求出即可；
（2）设横向影子，的长度和为，先证明可得，将数据代入可得，求出即可。
23．（2023·慈溪模拟）
（1）[证明体验]如图1，在中，D为边上一点，连接，若，求证：．
（2）在中，，，D为边上一动点，连接，E为中点，连接．
①[思考探究]如图2，当时，求的长．
②[拓展延伸]如图3，当时，求的长．
【答案】（1）证明∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①取中点F，连接，
∵，
∴，，
∵E为中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则，
∴
解得，（舍去），
∴．
②取中点F，连接，过点E作，垂足为G，设，
∵为的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵，．
∴，
解得，（舍去）．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠ACD=∠ABC，由图形可得∠A=∠A，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质进行证明；
（2）①取AD的中点F，连接EF，易得AC、AB的值，根据中位线的性质可得EF=AC，EF∥AC，根据平行线的性质可得∠DEF=∠ACD，结合已知条件可得∠DBE=∠DEF，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△FED∽△FBE，由相似三角形的性质可得EF2=FD·FB，设AF=FD=x，则FB=4-x，代入求解即可；
②取AD的中点F，连接EF，过点E作EG⊥AB，垂足为G，设AF=FD=x，根据中位线的性质可得EF∥AC，由平行线的性质可得∠EFB=∠A=30°，进而推出∠DEB=∠EFB，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△BDE∽△BEF，由相似三角形的性质可得BE2=BD·FB，易得EG、FG、BG，由勾股定理可得BE2，据此求解.
24．（2023九上·宁波期末）如图
【证明体验】
（1）如图①，在和中，，，，连接，.
求证：；
（2）【思考探究】如图②，在①的条件下，若，，，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，，，，求的值.
【答案】（1）证明：如图中，
∵，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：如图中，
，
∽，
∴，
可以假设，
∵
∴
，∴
解得，（负根已经舍去)，
∴
∵
∴；
（3）解：如图中，，
将绕点A逆时针旋转得到，连接，则，
∵
∴
∵
∴
∴∽，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）易得∠BAD=∠CAE，用SAS判断出△BAD≌△CAE，根据全等三角形对应边相等得BD=CE；
（2）先判断出△BAC∽△DAE，则 ， 设AE=AD=4k，DE=3k，用勾股定理建立方程算出k，从而即可得出CE的长；
（3） 将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG，则BD=CG=10， 易得∠BAC=∠DAG，由三角形内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，判断出△ABC∽△ADG，由相似三角形的性质得 ，结合已知及三角形的内角和定理推出∠CDG=90°，用勾股定理算出DG，从而即可求出答案了.
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