2023年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 同步测试（培优版）

2023年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（　　）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
2．（2023九上·慈溪期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（　　）
A．5 B． C． D．10
4．（2022·宁波模拟）ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD.若知道S1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．6
5．（2022九上·奉化期末）如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH~矩形HDFP~矩形PEBG，，AC交HG，EF于点M，Q，若要求的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（　　）
A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPH
C．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形HDFP和矩形PGCF
6．（2021九上·石家庄月考）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
7．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（　　）
A． B．
C．或 D．或或
8．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（　　）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
9．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．1 D．
二、填空题
11．（2022九上·奉贤期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是　 　．（用a的代数式表示）．
12．（2022·新都模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为 和 .现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是　 　 .
13．（2022·福州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M.E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 = .现给出以下结论：
（1）△ADE与△BEC一定相似；（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离；（3）OM的最大值是 ；（4）当OM最大时，CD = .其中正确的是　 　 .（写出所有正确结论的序号）
14．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为　 　.
15．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为　 　．
16．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是　 　.
三、综合题
17．（2019九上·乡宁期中）若矩形的一个短边与长边的比值为 ，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
18．（2022九上·灌阳期中）如图，在直角坐标中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数是的图象经过的中点D，且与交于点E，连接．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且，求直线的解析式．
（3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标．
19．（2019·长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（　 　命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　 　命题）
③两个大小不同的正方形相似．（　 　命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
20．（2021·深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　 　（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
21．（2021·鼓楼模拟）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
（1）（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例　 　.所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
（2）（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.
已知：四边形 和四边形 中， ， .
求证：四边形 四边形 .证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是　 　.（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
22．（2018·潜江模拟）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为　 　；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为　 　；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=　 　（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=　 　（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=　 　（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=　 　（用含m，n，b的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
依题意得：
，
矩形 矩形 ，
，
，
整理得 ，
这个大矩形的面积为：
故答案为：D.
【分析】设BC=a，CD=b，AE=c，IE=d，则ab=m，cd=n，由题意可得BG=a-d，BE=c-b，由相似图形的性质可得 ，代入并整理可得ac+bd=2ab，则这个大矩形的面积为(a+d)(b+c)=ab+cd+(ac+bd)，据此解答.
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
4．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，
设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y.
∵AB：AD=AL：AE=KB：FD
∴（kx+LK+kz）：（x+y+y：y=k，
∴LK=ky.
只需知道S1，S3，S5，便可由
x2：y2：z2= S1：S3：S5
得到x：y：z=，
于是SABCD= S1·=.
故答案为：B.
【分析】相似关系得AL∶AE=KB∶FD，设AE=x，FD=z，EF=y，则AL=kx，KB=kz，根据AB∶AD=AL∶AE=KB∶FD可得LK=ky，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得x：y：z=，据此解答.
5．【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD被分割成4个小矩形，
设，则，
矩形AEPH~矩形HDFP
矩形AEPH~矩形PEBG，
矩形AEPH的面积为：
矩形HDFP的面积为：
矩形PEBG的面积为：
-
故答案为：B
【分析】设AE＝a，EP＝b，其中a＞b，根据矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，可得：DH＝，BE＝，S矩形AEPH＝AE EP，S矩形PEBG＝EP BE，S矩形HDFP＝DH AE，再由EF∥BC ，可得△AEQ∽△ABC，得比例式，则EQ=，再由图形的构成S△APQ＝S△AEQ-S△AEP=（S矩形HDFP S矩形AEPH）即可求解．
6．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法符合题意；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ，
∴ ，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即证出∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得出△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，可得出 ，即新矩形与原矩形不相似。
7．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
8．【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵菱形与菱形相似，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
即，解得：．
故答案为：．
【分析】连接，先求出，再结合菱形与菱形相似，可得，再利用勾股定理可得，求出即可。
12．【答案】540
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴风筝模型ABCD的面积为 ，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540
=540cm2.
故答案为：540.
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半可得风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，则四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比为1∶3，根据相似图形的的面积比等于相似比的平方可得大风筝的面积，进而根据矩形的面积计算方法算出矩形彩色纸的面积，然后根据废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积进行计算.
13．【答案】（1）（3）（4）
【知识点】二次函数的最值；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=90°，∠CED = 90°，
∴∠AED=∠BCE，
∴ ADE BEC.
故（1）正确；
∵∠OMC= 90°，
∴∠ADM+∠AOM=180°，∠ADM+∠MCB=180°，
∴∠AOM=∠MCB，
∴四边形ADMO与四边形MOBC相似，
∴，
∴OM2=AD·BC
∵△ADE △BEC
∴，
∴ AD·BC=AE·BE，
∴ OM2=AE·BE，
即OM2=AE·(5-AE) ，
∴OM2=-AE2+5AE.
∴当AE=BE= 时，OM值最大，最大值为 .
∴以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD不可能相离，
故（2）错误，（3）正确，
∵当OM最大时，点O与点E重合（如图所示），AE=BE=OM= ，
∴ △AED≌△MED，△BCE≌△MCE ，
∴AD=MD，BC=MC，
∴CD=AD+BC，
∵， ，
解得： ， ，
∴CD=AD+BC= .
故答案为：（1）（3）（4）
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠AED=∠BCE，再根据∠A=∠B=90°，得出ADE BEC，即可判断（1）正确；
（2）证出四边形ADMO与四边形MOBC相似，得出OM2=AD·BC，根据△ADE △BEC，得出 AD·BC=AE·BE，从而得出OM2=AE·BE=-AE2+5AE，得出当AE=BE=时，OM值最大，最大值为，即可判断（2）错误，（3）正确；
（4）证出△AED≌△MED，△BCE≌△MCE ，得出AD=MD，BC=MC，从而得出CD=AD+BC，再求出AD，BC的长，得出CD的长，即可判断（4）正确.
14．【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
15．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
16．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
17．【答案】（1）解：以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示
（2）解：矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得 =
∴ = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形;
矩形E′BCF′是黄金矩形.
证明：如图，∵ = =（1- ）÷ =（1- ）÷ =
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）解：由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【知识点】黄金分割；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；
（2）矩形EBCF不是黄金矩形， 设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得 = ，所以 = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠ ，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，
理由： = =（1- ）÷ =（1- ）÷ = ，即对应边成比例，故两个矩形相似.（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
18．【答案】（1）解：在矩形中，
∵B点坐标为，
∴边中点D的坐标为，
又∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴，
∵E点在上，
∴E点的横坐标为2，
又∵经过点E，
∴E点纵坐标为，
∴E点坐标为，
（2）解：由（1）得，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即点F的坐标为，
设直线的解析式为，而直线经过，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
由题意，得，
∴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似多边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由B点的坐标，可得出D点的坐标，将点D的坐标代入反比例函数 可求出k值，由E点在AB上可得出点E的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出E点的纵坐标，进而可得出E点的坐标；
（2）由（1）可得出BD＝1，BE＝，CB＝2，由△FBC∽△DEB，利用相似三角形的对应边成比例建立方程可求出CF的长，结合OF＝OC CF可得出OF的长，进而可得出点F的坐标，由点F，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB的解析式；
（3）由S四边形BDOE＝S矩形OABC S△OCD S△OAE，可求出四边形BDOE的面积，由点P在y轴上及△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，可求出OP的长，进而可得出P点的坐标．
19．【答案】（1）假；假；真
（2）证明：分别连接BD，B1D1
，且
，
， ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似
（3）解：如图2中，
∵四边形ABFG与四边形EFCD相似
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即AE=DE
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
【分析】（1）根据相似多边形的定义逐一判断即可.
（2）分别连接BD，B1D1 ，分别求出四条边对应成比例且四个角分别相等即可.
（3）根据相似四边形的性质及平行线分线段成比例可得2AE=DE+AE，即得AE=DE，从而得出S1与S2的比值.
20．【答案】（1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得 ，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在；
【分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△≥0，求出k的取值范围，即可得出答案.
21．【答案】（1）菱形和正方形
（2）证明：连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
综上，四边形 四边形 .
（3）③
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边.
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”.若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形 和四边形 中， ， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：∵ ， ， ，
∴ .
连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上，四边形 四边形 .
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解： 正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（3）解：①如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交 延长线于点 ，则 ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
②如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交过点 且和 平行的直线相交于点 ，过 作 交 于点 ，则 ，四边形 为平行四边形.则 ，即 ， ， ，
但四边形 不与四边形 相似.
③已知：如图，四边形 和四边形 中， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：连接 ， .
，且 ，
△ ，
， ， ，
，
，
，
，
△ ，
， ， ，
， ， ， ， ，
四边形 与四边形 相似；
④如图，四边形 四边形 ，以 为圆心， 为半径作圆交 于点 ，在 左侧作 ，则 ， ， ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
故答案为：③；
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）连接BD，BD＇，易证△ABD∽△A'B'D，利用相似三角形的性质可得∠1=∠5，∠2=∠6，同时得对应边成比例；再证明△BCD∽△B'C'D'，得∠3＝∠7，∠4＝∠8，∠C＝∠C'，由此得∠ADC=∠AD'C'，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，逐一判断可得出是真命题的序号；
（4）四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边； 若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”；若成比例的两边是邻边，则相似分两种情况考虑，分别利用相似多边形的判定方法进行证明即可．
22．【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为： ；
（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： ，
故答案为： ；
（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b．
【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是；相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。
（1）由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；
（2）在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5，而CDAB，所以用面积法可求得CD=，所以相似比===；
（3）A、①由题意可得，解得；
②同理可得； ，解得，；
B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，，，解得FD=，则AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=AF，再根据矩形GABH∽矩形ABCD，得到相对应的比例式即可求得a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得a=b；
②同①中的两种情况类似。
1 / 12023年浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 同步测试（培优版）
一、选择题
1．（2023九上·宁波期末）如图，在平行四边形中，点分别在边上，，四边形四边形，相似比，则下列一定能求出面积的条件（　　）
A．四边形和四边形的面积之差
B．四边形和四边形的面积之差
C．四边形和四边形的面积之差
D．四边形和四边形的面积之差
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
四边形ABCD四边形HGFA，相似比，
，，，
则，，
，
，选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，根据相似多边形的性质并结合相似比k=3得，CD=3AF=SME，BC=3FG=3BJ，△BCD∽△BJI，从而找出对应图形的面积关系为，，再结合即可得出正确的选项.
2．（2023九上·慈溪期末）一个大矩形按如图方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形矩形.设矩形与矩形的面积分别为m和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
依题意得：
，
矩形 矩形 ，
，
，
整理得 ，
这个大矩形的面积为：
故答案为：D.
【分析】设BC=a，CD=b，AE=c，IE=d，则ab=m，cd=n，由题意可得BG=a-d，BE=c-b，由相似图形的性质可得 ，代入并整理可得ac+bd=2ab，则这个大矩形的面积为(a+d)(b+c)=ab+cd+(ac+bd)，据此解答.
3．（2022九上·晋州期中）矩形相邻的两边长分别为25和，把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则的值为（　　）
A．5 B． C． D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：矩形分割成五个全等的小矩形，则每个小矩形的相邻两边的长为5和，每一个小矩形均与原矩形相似，
∴大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽，
∴，解方程得，，（舍弃），
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的性质可得，再求出x的值即可。
4．（2022·宁波模拟）ABCD被分别平行于两边的四条线段EJ、FI、LG、KH分割成9个小平行四边形，面积分别为S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD.若知道S1-9中的n个，就一定能算出平行四边形ABCD的面积，则n的最小值是（　　）.
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
由题述相似关系得AL：AE=KB：FD，
设AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y.
∵AB：AD=AL：AE=KB：FD
∴（kx+LK+kz）：（x+y+y：y=k，
∴LK=ky.
只需知道S1，S3，S5，便可由
x2：y2：z2= S1：S3：S5
得到x：y：z=，
于是SABCD= S1·=.
故答案为：B.
【分析】相似关系得AL∶AE=KB∶FD，设AE=x，FD=z，EF=y，则AL=kx，KB=kz，根据AB∶AD=AL∶AE=KB∶FD可得LK=ky，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可得x：y：z=，据此解答.
5．（2022九上·奉化期末）如图，矩形ABCD被分割成4个小矩形，其中矩形AEPH~矩形HDFP~矩形PEBG，，AC交HG，EF于点M，Q，若要求的而积，需知道下列哪两个图形的面积之差（　　）
A．矩形AEPH和矩形PEBG B．矩形HDFP和矩形AEPH
C．矩形HDFP和矩形PEBG D．矩形HDFP和矩形PGCF
【答案】B
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD被分割成4个小矩形，
设，则，
矩形AEPH~矩形HDFP
矩形AEPH~矩形PEBG，
矩形AEPH的面积为：
矩形HDFP的面积为：
矩形PEBG的面积为：
-
故答案为：B
【分析】设AE＝a，EP＝b，其中a＞b，根据矩形AEPH∽矩形HDFP∽矩形PEBG，可得：DH＝，BE＝，S矩形AEPH＝AE EP，S矩形PEBG＝EP BE，S矩形HDFP＝DH AE，再由EF∥BC ，可得△AEQ∽△ABC，得比例式，则EQ=，再由图形的构成S△APQ＝S△AEQ-S△AEP=（S矩形HDFP S矩形AEPH）即可求解．
6．（2021九上·石家庄月考）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴甲说法符合题意；
乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ，
∴ ，
∴新矩形与原矩形不相似．
∴乙说法不符合题意．
故答案为：C．
【分析】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即证出∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得出△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，可得出 ，即新矩形与原矩形不相似。
7．（2023·舒城模拟）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（　　）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：设AD=a，AB=b，
D C
∴AH=AD，
∴HB=b-a，
∵HB=FG= GC，
∴BG=a-(b-a)= 2a -b，
分两种情况讨论：
①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：；
②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，
∴，
∴，
设，
∴，
解得：
综上所述： 的相邻两边与的比值是或.
故答案为：C.
【分析】分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。
8．（2023九上·鄞州期末）如图，E，F，G，H分别是矩形四条边上的点，连接相交于点I，且，，矩形矩形，连接交于点P，Q，下列一定能求出面积的条件是（　　）
A．矩形和矩形的面积之差
B．矩形与矩形的面积之差
C．矩形和矩形的面积之差
D．矩形和矩形的面积之差
【答案】A
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
故答案为：A.
【分析】设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ，S矩形BGIF=ab，S矩形EDHI=k2ab，即可得出答案.
9．（2022九上·镇海区期中）如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
【分析】易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得，从而可得GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，然后推出△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，则可得，四边形FBCH的面积是四边形AFPE的3倍，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，进而建立方程求出k的值，从而即可一一判断得出答案.
10．（2019九上·平顶山期中）如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质；平移的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝ ∠BCD＝30°，
∴A'D＝1，A'C＝ DA'＝ ，
∴菱形ABCD的面积＝4× ×A'D×A'C＝2 ，
如图，
由平移的性质得， ABCD∽ A'ECF，且A'C＝ AC，
∴四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，
∴阴影部分的面积＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是 ABCD面积的 ，即可求解.
二、填空题
11．（2022九上·奉贤期中）如图，在菱形中，，点E、F是对角线上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接若四边形是菱形，且与菱形是相似菱形，那么菱形的边长是　 　．（用a的代数式表示）．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形为菱形，，
∴，，
∴，
∵菱形与菱形相似，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
即，解得：．
故答案为：．
【分析】连接，先求出，再结合菱形与菱形相似，可得，再利用勾股定理可得，求出即可。
12．（2022·新都模拟）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线 ，并且两条对角线长分别为 和 .现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是　 　 .
【答案】540
【知识点】矩形的性质；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴风筝模型ABCD的面积为 ，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540
=540cm2.
故答案为：540.
【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半可得风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，则四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，且相似比为1∶3，根据相似图形的的面积比等于相似比的平方可得大风筝的面积，进而根据矩形的面积计算方法算出矩形彩色纸的面积，然后根据废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积进行计算.
13．（2022·福州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M.E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 = .现给出以下结论：
（1）△ADE与△BEC一定相似；（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离；（3）OM的最大值是 ；（4）当OM最大时，CD = .其中正确的是　 　 .（写出所有正确结论的序号）
【答案】（1）（3）（4）
【知识点】二次函数的最值；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B=90°，∠CED = 90°，
∴∠AED=∠BCE，
∴ ADE BEC.
故（1）正确；
∵∠OMC= 90°，
∴∠ADM+∠AOM=180°，∠ADM+∠MCB=180°，
∴∠AOM=∠MCB，
∴四边形ADMO与四边形MOBC相似，
∴，
∴OM2=AD·BC
∵△ADE △BEC
∴，
∴ AD·BC=AE·BE，
∴ OM2=AE·BE，
即OM2=AE·(5-AE) ，
∴OM2=-AE2+5AE.
∴当AE=BE= 时，OM值最大，最大值为 .
∴以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD不可能相离，
故（2）错误，（3）正确，
∵当OM最大时，点O与点E重合（如图所示），AE=BE=OM= ，
∴ △AED≌△MED，△BCE≌△MCE ，
∴AD=MD，BC=MC，
∴CD=AD+BC，
∵， ，
解得： ， ，
∴CD=AD+BC= .
故答案为：（1）（3）（4）
【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠AED=∠BCE，再根据∠A=∠B=90°，得出ADE BEC，即可判断（1）正确；
（2）证出四边形ADMO与四边形MOBC相似，得出OM2=AD·BC，根据△ADE △BEC，得出 AD·BC=AE·BE，从而得出OM2=AE·BE=-AE2+5AE，得出当AE=BE=时，OM值最大，最大值为，即可判断（2）错误，（3）正确；
（4）证出△AED≌△MED，△BCE≌△MCE ，得出AD=MD，BC=MC，从而得出CD=AD+BC，再求出AD，BC的长，得出CD的长，即可判断（4）正确.
14．（2021九上·椒江期末）如图，把矩形Ⅰ、一个小正方形和由大小相同的四个正方形组成的 L 型放入矩形 ABCD 中.矩形Ⅰ的一个顶点落在 L 型中正方形的顶点 E 处，其他顶点在矩形 ABCD 的边上； L 型中的正方形有三个顶点恰好在矩形
ABCD 的边上，另有一个顶点和小正方形顶点合.若矩形Ⅰ与矩形
ABCD相似，则 AB：BC 的值为　 　.
【答案】 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，
在Rt△IJH中，JH= a，
∵四边形ABCD和四边形MEFD是矩形，四边形NBLK是矩形，
4个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，
∴∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，
∴∠LKJ+∠LJK=∠IJH+∠IHJ=∠GHC+∠HGC=∠EGF+∠GEF=90°，
∠KJL+∠IJH=∠IHJ+∠GHC=∠EGF+∠HGC=90°，
∴∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，
∴△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，
∴BL=KL=HC，LJ=GC，
，
，
即
，
，
∴FG=
，EF=
，BL=KL=HC=
，LJ=GC=
，
∴CD=DF+FG+GC=x+
=
，
BC=BL+LJ+JH+HC=
+
=
，
当矩形MEFD∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
，
AB：BC 的值为
；
当矩形MDFE∽矩形 ABCD时，
，即
，
解得：x=
(负值已舍)，
AB：BC 的值为
；
故答案为：
或
.
【分析】设大小相同的四个正方形的边长为a，DF=x，即GH=IJ=KJ=a，IH=EG=2a，由勾股定理得JH= a，根据矩形的性质得∠B=∠C=∠KLJ=∠EFG=∠JIH=90°，由同角的余角相等得∠KJL=∠IHJ=∠HGC=∠GEF，证△KJL≌△HGC，△JHI∽△HGC∽△GEF，根据全等三角形的性质可得BL=KL=HC，LJ=GC，根据相似三角形的性质可得FG、EF，进而得到BL、LJ、CD、BC，根据相似矩形的对应边成比例可得x的值，进而可得AB：BC的值.
15．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
16．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是　 　.
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
三、综合题
17．（2019九上·乡宁期中）若矩形的一个短边与长边的比值为 ，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
【答案】（1）解：以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示
（2）解：矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得 =
∴ = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形;
矩形E′BCF′是黄金矩形.
证明：如图，∵ = =（1- ）÷ =（1- ）÷ =
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）解：由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【知识点】黄金分割；相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；
（2）矩形EBCF不是黄金矩形， 设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得 = ，所以 = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠ ，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，
理由： = =（1- ）÷ =（1- ）÷ = ，即对应边成比例，故两个矩形相似.（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
18．（2022九上·灌阳期中）如图，在直角坐标中，矩形的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数是的图象经过的中点D，且与交于点E，连接．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是边上一点，且，求直线的解析式．
（3）若点P在y轴上，且的面积与四边形的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：在矩形中，
∵B点坐标为，
∴边中点D的坐标为，
又∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴，
∵E点在上，
∴E点的横坐标为2，
又∵经过点E，
∴E点纵坐标为，
∴E点坐标为，
（2）解：由（1）得，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即点F的坐标为，
设直线的解析式为，而直线经过，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵，
由题意，得，
∴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；相似多边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）由B点的坐标，可得出D点的坐标，将点D的坐标代入反比例函数 可求出k值，由E点在AB上可得出点E的横坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出E点的纵坐标，进而可得出E点的坐标；
（2）由（1）可得出BD＝1，BE＝，CB＝2，由△FBC∽△DEB，利用相似三角形的对应边成比例建立方程可求出CF的长，结合OF＝OC CF可得出OF的长，进而可得出点F的坐标，由点F，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线FB的解析式；
（3）由S四边形BDOE＝S矩形OABC S△OCD S△OAE，可求出四边形BDOE的面积，由点P在y轴上及△OPD的面积与四边形BDOE的面积相等，可求出OP的长，进而可得出P点的坐标．
19．（2019·长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①条边成比例的两个凸四边形相似；（　 　命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；（　 　命题）
③两个大小不同的正方形相似．（　 　命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1， ，求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFDE的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求 的值．
【答案】（1）假；假；真
（2）证明：分别连接BD，B1D1
，且
，
， ， ，
，
，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似
（3）解：如图2中，
∵四边形ABFG与四边形EFCD相似
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，即AE=DE
【知识点】相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．
②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．
③两个大小不同的正方形相似．是真命题．
故答案为假，假，真．
【分析】（1）根据相似多边形的定义逐一判断即可.
（2）分别连接BD，B1D1 ，分别求出四条边对应成比例且四个角分别相等即可.
（3）根据相似四边形的性质及平行线分线段成比例可得2AE=DE+AE，即得AE=DE，从而得出S1与S2的比值.
20．（2021·深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、 倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　 　（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，
联立 得 ，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的 倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明 ： ， ： ，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的 ，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【答案】（1）不存在
（2）解：a存在；
∵ 的判别式 ，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限有两个交点，故存在；
b设新矩形长和宽为x、y，则依题意 ， ，联立 得 ，
因为 ，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看， ： ， ： 在第一象限无交点，故不存在；
c. ；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意 ， ，
联立 得 ， ，故 ．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）不存在，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在；
【分析】（1）根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方，即可得出这样的正方形不存在；
（2）a、方法①：根据一元二次方程根的判别式△＞0，得出方程有两组正数解，即可得出这样的新矩形存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+10与反比例函数y= 在第一象限有两个交点，即可得出这样的新矩形存在；
b、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△＜0，得出方程无解，即可得出这样的新矩形不存在；
方法②：观察图象可知，一次函数y=-x+与反比例函数y= 在第一象限没有交点，即可得出这样的新矩形不存在；
c、方法①： 设新矩形长和宽为x、y， 列出方程组，得出一元二次方程，再根据一元二次方程根的判别式△≥0，求出k的取值范围，即可得出答案.
21．（2021·鼓楼模拟）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程.
（定义）四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
（1）（初步思考）
小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例　 　.所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
（2）（深入探究）
学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明.
已知：四边形 和四边形 中， ， .
求证：四边形 四边形 .证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是　 　.（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
【答案】（1）菱形和正方形
（2）证明：连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
即 ， ，
综上，四边形 四边形 .
（3）③
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边.
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”.若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形 和四边形 中， ， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：∵ ， ， ，
∴ .
连接 、 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
综上，四边形 四边形 .
【知识点】菱形的性质；正方形的性质；相似多边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解： 正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（3）解：①如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交 延长线于点 ，则 ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
②如图，四边形 四边形 ，以 为圆心、 为半径作圆交过点 且和 平行的直线相交于点 ，过 作 交 于点 ，则 ，四边形 为平行四边形.则 ，即 ， ， ，
但四边形 不与四边形 相似.
③已知：如图，四边形 和四边形 中， ， ， .
求证：四边形 四边形 .
证明：连接 ， .
，且 ，
△ ，
， ， ，
，
，
，
，
△ ，
， ， ，
， ， ， ， ，
四边形 与四边形 相似；
④如图，四边形 四边形 ，以 为圆心， 为半径作圆交 于点 ，在 左侧作 ，则 ， ， ， ， ，但四边形 不与四边形 相似.
故答案为：③；
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）连接BD，BD＇，易证△ABD∽△A'B'D，利用相似三角形的性质可得∠1=∠5，∠2=∠6，同时得对应边成比例；再证明△BCD∽△B'C'D'，得∠3＝∠7，∠4＝∠8，∠C＝∠C'，由此得∠ADC=∠AD'C'，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，逐一判断可得出是真命题的序号；
（4）四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边； 若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”；若成比例的两边是邻边，则相似分两种情况考虑，分别利用相似多边形的判定方法进行证明即可．
22．（2018·潜江模拟）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．
任务：
（1）图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为　 　；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为　 　；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）．
请从下列A、B两题中任选一条作答．
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=　 　（用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=　 　（用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=　 　（用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=　 　（用含m，n，b的式子表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】（解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为： ；
（ 2 ）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： ，
故答案为： ；
（ 3 ）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b．
【分析】由题意可知，用相似多边形的性质即可求解。相似多边形的性质是；相似多边形的对应边的比相等。相似多边形的对应边的比等于相似比。
（1）由题意知，小正方形的边长等于大正方形的边长的一半，所以其相似比为；
（2）在直角三角形BC中，由勾股定理易得AB=5，而CDAB，所以用面积法可求得CD=，所以相似比===；
（3）A、①由题意可得，解得；
②同理可得； ，解得，；
B、①最小的矩形的长和宽与大矩形的场和宽的对应方式有两种，所以分两种情况来解：
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，由题意可得成比例线段，，，解得FD=，则AF的长也可用含a的代数式表示，而AG=GF=AF，再根据矩形GABH∽矩形ABCD，得到相对应的比例式即可求得a=b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，同理可得a=b；
②同①中的两种情况类似。
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