2023年浙教版数学九年级上册第四章 相似三角形 章末检测（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·长清期末）如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
2．（2022九上·温州期中）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项错误；
D、，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】所给四条线段的长度满足：最短与最长线段的积等于剩下两条线段的积，那么这四条线段就成比例，据此一一判断得出答案.
3．（2022九上·瑞安期中）如图，l1，l2，l3，l4是一组平行线，l5，l6与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若AB∶BC∶CD=2∶3∶4，EG=10，则EH的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
∴AC∶CD=5∶4，
∵l1∥l3∥l4，
∴AC∶CD＝EG∶GH，即5∶4＝10∶GH，
∴GH＝8，
经检验，GH＝8是所列方程的解，且符合题意，
∴EH＝EG＋GH＝10＋8＝18．
故答案为：C.
【分析】由l1∥l3∥l4，利用平行线分线段成比例，可得出AC∶CD＝EG∶GH，代入求解并检验即可得出GH的长，再将其代入EH＝EG＋GH中，即可得出结论．
4．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
5．（2022九上·义乌期中）两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为，
而相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴其面积比为：1∶2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，而相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可得出答案.
6．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、，两个三角形的对应角相等，那么，故A选项不符合题意；
B、，两个三角形的对应角相等，那么，故B选项不符合题意；
C、，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么，故C选项不符合题意；
D、，与的大小无法判断，即无法判定，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加，从而一一判断得出答案.
7．（2023九上·宁波期末）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．1.5 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接AG并延长，交BC于点D，连接BG，
∵为的重心，
∴是的中线，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是，
故答案为：C.
【分析】连接AG并延长，交BC于点D，连接BG，根据重心可得，BD=CD，易得S△ABD＝4.5，S△ABG=3，由平行线等分线段成比例定理得，则S△BGE＝1，再根据平行四边形的判定与性质即可求解．
8．（2022九上·东阳月考）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A、＝，
B、＝，
C、＝，
D、＝，
∴＝＝≠，
∴B选项不符合标准.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，再进行比较，即可得到符合题意的答案．
9．（2021九上·宁波期中）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 ，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足 即可，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由题意可得：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，然后根据相似图形的对应边成比例进行解答.
10．（2021九上·越城期末）下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；
正确答案为：②③
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的概念即可判断求解.
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·东阳月考）若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 ．
【答案】-5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AB＝10，点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB＝×10＝-5.
故答案为：-5.
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
12．（2021九上·舟山期末）如图，在ΔABC中，BC＝20，点B1，B2，B3，B4和点C1，C2，C3，C4分别是AB，AC的5等分点，则B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4的值为 。
【答案】40
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
同理，
∴
故答案为：40.
【分析】由SAS得出，从而得出对应线段成比例，得出的长，同理，可得出其他线段的长，从而得出结果。
13．（2023九上·慈溪期末）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 .
【答案】6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意， ，
若 ，则 ，即 ，解得： ；
若 ，则 ，即 ，解得： ，
故答案为：6或 .
【分析】由题意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，结合相似三角形的对应边成比例进行计算.
14．（2022九上·余杭期中）如图，在中，.点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过 秒后，与相似.
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①设经过x秒后，
，
，
解得；
②设经过秒后，
，
，
解得；
经过秒或秒，与相似.
故答案为：或.
【分析】根据路程=速度×时间可得PC=2x，BQ=x，则CQ=8-x，由于∠ACB=∠PCQ=90°，故分△PCQ∽△ACB与△PCQ∽△BCA考虑，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
15．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似（相似比不为1）．
．
【答案】答案如图
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：如图所示：
【分析】在4×4的方格纸中，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画一个135度的钝角，因为要在4×4的方格纸中，所以钝角的两边只能缩小，又要在格点上，所以要缩小为1和 ，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了．顺次连接即可．
16．（2023九上·滨江期末）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得或（舍去），
故答案为2.
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=，∠ABC=90°，则AC=2，由等腰三角形的性质可得∠EBO=∠ACB，证明△BOE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
三、作图题（共9分）
17．（2018九上·宁波期中）如图，△ABC中，A（-4，4），B（-4，-2），C（-2，2）.
①请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；
②以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2.
③画出一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比是无理数，并写出所画三角形与△ABC的相似比.
【答案】解：△A1BlC1是将△ABC向右平移8个单位长度后的三角形，△A2B2C2是将△A1BlC1缩小 得到的三角形，△A3B3C3是要求作的三角形，与△ABC的相似比是
【知识点】作图﹣平移；作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】①由平移后的点的坐标变化特征知“横坐标左减右加”可得平移后各点的坐标，根据坐标描出各点，再顺次连接各点即可求解；
②由位似的性质可求解；
③根据相似三角形对应边的比等于相似比可求解。
四、解答题（共8题，共57分）
18．（2022九上·舟山月考）已知．
（1）若，求，的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：解法一：∵ ，
∴ ．
∴ ，
．
即 ．
解法二：设 （ ）．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
（2）解：解法一、由（1）得： ，
∵ ，
∴ ．
即 ．
∴ ．
则 ， ，
∴ ．
解法二、设 （ ）．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
解的 ．
∴
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）解法一：把c=4代入比例式，即可求出a，b的值；
解法二：根据比例的性质设a=4k，b=3k，c=2k，再根据c=4求出k的值，即可得出a，b的值；
（2）解法一：根据题意得出a=2c，b=c，代入等式a+b-2c=9求出c的值，得出a，b的值，再代入原式进行计算，即可得出答案；
解法二：根据比例的性质设a=4k，b=3k，c=2k，再代入等式a+b-2c=9求出k的值，得出a，b，c的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
19．（2022九上·温州期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
即的长度为5.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得 ，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案.
20．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.
（1）求证：DE＝EF；
（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A＋∠DGC.
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴ ，∵点D为边AB的中点，∴AE＝EC，∵CF∥AB，∴ ＝ ＝1，∴DE＝EF
（2）证明：如图，∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACG，∴∠A＋∠DGC＝∠ACG＋∠DGC＝∠DHC，∵∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴AD＝DC，∴∠A＝∠ACD，又∵∠ACB＝∠CDG＝90°，∴∠B＝∠DHC.∴∠B＝∠A＋∠DGC
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得：AD：DB=AE：EC，由D为中点得AE=EC，再由平行线分线段成比例定理得DE：EF=AE：EC，从而得证.
（2）根据平行线性质得∠A＝∠ACG，由三角形外角性质和等量代换得∠DHC=∠ACG＋∠DGC=∠A＋∠DGC；根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得AD＝DC，由等腰三角形性质得∠A＝∠ACD，由等角的余角相等得∠B＝∠DHC，从而即可得证.
22．（2023九上·富阳期末）如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）证明：∵，点是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴
（2）解：如图，过点作，交于点.
∵点是的中点，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，即.
∵，
∴.
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠CAD，由已知条件可知∠CEF=2∠CAD，则∠BAC=∠CEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，由等腰三角形的性质可得BD=CD，由已知条件可知BE=2DE，则BD=CD=3DE，证明△AHF∽△ADC，△FHG∽△EDG，然后根据相似三角形的性质进行计算.
23．（2020九上·北仑期中）如图， 内接于 ，且 ， 是 上的一点， 在 的延长线上，连结 交 于 ，连结 .
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）证明：如下图
∵
∴
又∵ ，
∴ ，即 平分 .
（2）证明：∵
∴
又∵ ，
∴
又∵
∴
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得 ，由同弧所对圆周角相等可得 ，由圆内接四边形的外角等于它的内对角可得 ，故 可得结果；
（2）由等边对等角、同弧所对圆周角相等、对顶角相等可得 ，且 可得两个三角形相似.
24．（2021九上·东阳月考）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离.
【答案】解：在△ABC与△AMN中，
， 又 ，
，
， 即 ，
解得：MN＝1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用已知条件可证得 ，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ANM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出MN的长.
25．（2018九上·台州期末）如图1，在△ABC中，在BC边上取一点P，在AC边上取一点D，连AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”.
（1）如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，则∠PAC的度数是 ；
（2）如图3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”，并说明理由；
（3）如图4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，请写出AD长度的所有可能值.
【答案】（1）30°
（2）解：如图3中，△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”，
理由：作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，
∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，
∴DP=DA，
∵∠CAB=2∠C，
∴∠BAP =∠C，
∴△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，
∴△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”
（3）解：如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，
①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，
∴90°-x+2x+x=180°，
∴x=45°，
∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1；
②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，
得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，
设AD=a，则AP=
∵△BPD∽△CPA，
∴ ，即 ，
解得 ，
如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，
∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，
设AD=a，则BD=2-a， ，AC=2，
，
解得a= ，
如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，
∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，
在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，
解得x=45°，不可能成立．
综上所述．AD的长为1或 或
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：如图2中，
∵AB＝AC，DA＝DP，
∴∠B＝∠C，∠DAP＝∠DPA，
∵∠PAC＝∠BPD，
∴∠APC＝∠BDP＝∠DAP＋∠DPA，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠B＝∠PAB＝50°，
∵∠BAC＝180° 50° 50°＝80°，
∴∠PAC＝30°
故答案为30°
【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明∠B＝∠PAB即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，根据平行线的性质和角平分线定义可得∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，结合∠A=2∠C可证△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，即可解决问题．（3）分三种情形讨论：如图3′中，当DA＝DP时；如图4中，当PA＝PD时；如图5中，当AP＝AD时；分别求解即可解决问题．
1 / 12023年浙教版数学九年级上册第四章 相似三角形 章末检测（B卷）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022九上·长清期末）如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·温州期中）下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
3．（2022九上·瑞安期中）如图，l1，l2，l3，l4是一组平行线，l5，l6与这组平行线依次相交于点A，B，C，D和E，F，G，H．若AB∶BC∶CD=2∶3∶4，EG=10，则EH的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
4．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
5．（2022九上·义乌期中）两个相似三角形的对应边上的中线比为，则它们面积比的为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·镇海区期中）如图示，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023九上·宁波期末）如图，为的重心，过点作交于点，交于点，若，则四边形的面积为（ ）
A． B．1.5 C．2 D．3
8．（2022九上·东阳月考）国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九上·宁波期中）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
10．（2021九上·越城期末）下列三个关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题（每空4分，共24分）
11．（2022九上·东阳月考）若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 ．
12．（2021九上·舟山期末）如图，在ΔABC中，BC＝20，点B1，B2，B3，B4和点C1，C2，C3，C4分别是AB，AC的5等分点，则B1C1＋B2C2＋B3C3＋B4C4的值为 。
13．（2023九上·慈溪期末）如图，正方形的边长为6，点F为的中点，点E在上，且，在边上找一点P，使以E，D，P为顶点的三角形与相似，则的长为 .
14．（2022九上·余杭期中）如图，在中，.点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过 秒后，与相似.
15．在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似（相似比不为1）．
．
16．（2023九上·滨江期末）如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，交于点，若，，则的长为 .
三、作图题（共9分）
17．（2018九上·宁波期中）如图，△ABC中，A（-4，4），B（-4，-2），C（-2，2）.
①请画出将△ABC向右平移8个单位长度后的△A1BlC1；
②以O为位似中心，将△A1BlC1缩小为原来的 ，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2.
③画出一个三角形，使它与△ABC相似，且相似比是无理数，并写出所画三角形与△ABC的相似比.
四、解答题（共8题，共57分）
18．（2022九上·舟山月考）已知．
（1）若，求，的值；
（2）若，求的值．
19．（2022九上·温州期中）如图，在矩形中，点E，F分别在边，上，，，，，，求的长.
20．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B>∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F.
（1）求证：DE＝EF；
（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B＝∠A＋∠DGC.
22．（2023九上·富阳期末）如图，在等腰三角形中，，点是的中点，点，分别在线段，上，连结，交于点，.
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
23．（2020九上·北仑期中）如图， 内接于 ，且 ， 是 上的一点， 在 的延长线上，连结 交 于 ，连结 .
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求证： .
24．（2021九上·东阳月考）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离.
25．（2018九上·台州期末）如图1，在△ABC中，在BC边上取一点P，在AC边上取一点D，连AP、PD，如果△APD是等腰三角形且△ABP与△CDP相似，我们称△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”.
（1）如图2,在△ABC中AB=AC,∠B=50°，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，且AD=DP，∠PAC=∠BPD，则∠PAC的度数是 ；
（2）如图3，在△ABC中，∠A=2∠C，在AC边上至少存在一个“等腰邻相似△APD”，请画出一个AC边上的“等腰邻相似△APD”，并说明理由；
（3）如图4，在Rt△ABC中AB=AC=2，△APD是AB边上的“等腰邻相似三角形”，请写出AD长度的所有可能值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】∵，
∴或．
故答案为：C．
【分析】利用比例的性质求解即可。
2．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、，所以A选项错误；
B、，所以B选项错误；
C、，所以C选项错误；
D、，所以D选项正确.
故答案为：D.
【分析】所给四条线段的长度满足：最短与最长线段的积等于剩下两条线段的积，那么这四条线段就成比例，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ∵AB∶BC∶CD=2∶3∶4，
∴AC∶CD=5∶4，
∵l1∥l3∥l4，
∴AC∶CD＝EG∶GH，即5∶4＝10∶GH，
∴GH＝8，
经检验，GH＝8是所列方程的解，且符合题意，
∴EH＝EG＋GH＝10＋8＝18．
故答案为：C.
【分析】由l1∥l3∥l4，利用平行线分线段成比例，可得出AC∶CD＝EG∶GH，代入求解并检验即可得出GH的长，再将其代入EH＝EG＋GH中，即可得出结论．
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF
∴相似比为：，
△ABC的周长为：，
∴△DEF的周长为：，
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应边上的中线比为，即其相似比为，
而相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴其面积比为：1∶2.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，而相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、，两个三角形的对应角相等，那么，故A选项不符合题意；
B、，两个三角形的对应角相等，那么，故B选项不符合题意；
C、，两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等，那么，故C选项不符合题意；
D、，与的大小无法判断，即无法判定，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】由∠1=∠2可推出∠CAB=∠EAD，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可以添加∠B=∠D或∠C=∠AED，根据两个三角形的两条对应边的比相等且夹角相等的三角形相似可以添加，从而一一判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行线分线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接AG并延长，交BC于点D，连接BG，
∵为的重心，
∴是的中线，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是，
故答案为：C.
【分析】连接AG并延长，交BC于点D，连接BG，根据重心可得，BD=CD，易得S△ABD＝4.5，S△ABG=3，由平行线等分线段成比例定理得，则S△BGE＝1，再根据平行四边形的判定与性质即可求解．
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：A、＝，
B、＝，
C、＝，
D、＝，
∴＝＝≠，
∴B选项不符合标准.
故答案为：B．
【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，再进行比较，即可得到符合题意的答案．
9．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 ，
要使小长方形与原长方形相似，只要满足 即可，
∴ .
故答案为：B.
【分析】由题意可得：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，然后根据相似图形的对应边成比例进行解答.
10．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，故②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，且对应边平行或共线，那么，这两个图形是位似图形，故③正确；
位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错误；
正确答案为：②③
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的概念即可判断求解.
11．【答案】-5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵AB＝10，点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，
∴BC＝AB＝×10＝-5.
故答案为：-5.
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
12．【答案】40
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∴
同理，
∴
故答案为：40.
【分析】由SAS得出，从而得出对应线段成比例，得出的长，同理，可得出其他线段的长，从而得出结果。
13．【答案】6或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：依题意， ，
若 ，则 ，即 ，解得： ；
若 ，则 ，即 ，解得： ，
故答案为：6或 .
【分析】由题意可得AE=2，DE=4，AF=3，然后分△AEF∽△DEP、△AEF∽△DPE，结合相似三角形的对应边成比例进行计算.
14．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①设经过x秒后，
，
，
解得；
②设经过秒后，
，
，
解得；
经过秒或秒，与相似.
故答案为：或.
【分析】根据路程=速度×时间可得PC=2x，BQ=x，则CQ=8-x，由于∠ACB=∠PCQ=90°，故分△PCQ∽△ACB与△PCQ∽△BCA考虑，根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解即可.
15．【答案】答案如图
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【解答】解：如图所示：
【分析】在4×4的方格纸中，使△A1B1C1与格点三角形ABC相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画一个135度的钝角，因为要在4×4的方格纸中，所以钝角的两边只能缩小，又要在格点上，所以要缩小为1和 ，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了．顺次连接即可．
16．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴即，
解得或（舍去），
故答案为2.
【分析】根据矩形的性质可得OA=OC=OB=OD=，∠ABC=90°，则AC=2，由等腰三角形的性质可得∠EBO=∠ACB，证明△BOE∽△CBA，然后根据相似三角形的性质进行计算.
17．【答案】解：△A1BlC1是将△ABC向右平移8个单位长度后的三角形，△A2B2C2是将△A1BlC1缩小 得到的三角形，△A3B3C3是要求作的三角形，与△ABC的相似比是
【知识点】作图﹣平移；作图﹣相似变换；作图﹣位似变换
【解析】【分析】①由平移后的点的坐标变化特征知“横坐标左减右加”可得平移后各点的坐标，根据坐标描出各点，再顺次连接各点即可求解；
②由位似的性质可求解；
③根据相似三角形对应边的比等于相似比可求解。
18．【答案】（1）解：解法一：∵ ，
∴ ．
∴ ，
．
即 ．
解法二：设 （ ）．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，∴ ．
∴ ．
（2）解：解法一、由（1）得： ，
∵ ，
∴ ．
即 ．
∴ ．
则 ， ，
∴ ．
解法二、设 （ ）．
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
解的 ．
∴
．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）解法一：把c=4代入比例式，即可求出a，b的值；
解法二：根据比例的性质设a=4k，b=3k，c=2k，再根据c=4求出k的值，即可得出a，b的值；
（2）解法一：根据题意得出a=2c，b=c，代入等式a+b-2c=9求出c的值，得出a，b的值，再代入原式进行计算，即可得出答案；
解法二：根据比例的性质设a=4k，b=3k，c=2k，再代入等式a+b-2c=9求出k的值，得出a，b，c的值，再代入原式进行计算，即可得出答案.
19．【答案】解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
即的长度为5.
【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形对应边成比例得 ，代入数值计算即可得出DF的长，再根据矩形的对边相等得DC的长，最后根据FC=DC-DF即可算出答案.
20．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
21．【答案】（1）证明：∵DE∥BC，∴ ，∵点D为边AB的中点，∴AE＝EC，∵CF∥AB，∴ ＝ ＝1，∴DE＝EF
（2）证明：如图，∵CF∥AB，∴∠A＝∠ACG，∴∠A＋∠DGC＝∠ACG＋∠DGC＝∠DHC，∵∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，∴AD＝DC，∴∠A＝∠ACD，又∵∠ACB＝∠CDG＝90°，∴∠B＝∠DHC.∴∠B＝∠A＋∠DGC
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得：AD：DB=AE：EC，由D为中点得AE=EC，再由平行线分线段成比例定理得DE：EF=AE：EC，从而得证.
（2）根据平行线性质得∠A＝∠ACG，由三角形外角性质和等量代换得∠DHC=∠ACG＋∠DGC=∠A＋∠DGC；根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得AD＝DC，由等腰三角形性质得∠A＝∠ACD，由等角的余角相等得∠B＝∠DHC，从而即可得证.
22．【答案】（1）证明：∵，点是的中点，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴
（2）解：如图，过点作，交于点.
∵点是的中点，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，即.
∵，
∴.
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠BAC=2∠CAD，由已知条件可知∠CEF=2∠CAD，则∠BAC=∠CEF，然后根据相似三角形的判定定理进行证明；
（2）过点F作FH∥BC，交AD于点H，由等腰三角形的性质可得BD=CD，由已知条件可知BE=2DE，则BD=CD=3DE，证明△AHF∽△ADC，△FHG∽△EDG，然后根据相似三角形的性质进行计算.
23．【答案】（1）证明：如下图
∵
∴
又∵ ，
∴ ，即 平分 .
（2）证明：∵
∴
又∵ ，
∴
又∵
∴
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由等边对等角可得 ，由同弧所对圆周角相等可得 ，由圆内接四边形的外角等于它的内对角可得 ，故 可得结果；
（2）由等边对等角、同弧所对圆周角相等、对顶角相等可得 ，且 可得两个三角形相似.
24．【答案】解：在△ABC与△AMN中，
， 又 ，
，
， 即 ，
解得：MN＝1500米，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米；
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用已知条件可证得 ，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ANM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出MN的长.
25．【答案】（1）30°
（2）解：如图3中，△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”，
理由：作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，
∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，
∴DP=DA，
∵∠CAB=2∠C，
∴∠BAP =∠C，
∴△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，
∴△APD是AC边上的“等腰邻相似三角形”
（3）解：如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，
①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，
∴90°-x+2x+x=180°，
∴x=45°，
∴三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1；
②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，
得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，
设AD=a，则AP=
∵△BPD∽△CPA，
∴ ，即 ，
解得 ，
如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，
∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，
设AD=a，则BD=2-a， ，AC=2，
，
解得a= ，
如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，
∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，
在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，
解得x=45°，不可能成立．
综上所述．AD的长为1或 或
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）解：如图2中，
∵AB＝AC，DA＝DP，
∴∠B＝∠C，∠DAP＝∠DPA，
∵∠PAC＝∠BPD，
∴∠APC＝∠BDP＝∠DAP＋∠DPA，
∵∠APC＝∠B＋∠BAP，
∴∠B＝∠PAB＝50°，
∵∠BAC＝180° 50° 50°＝80°，
∴∠PAC＝30°
故答案为30°
【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明∠B＝∠PAB即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，根据平行线的性质和角平分线定义可得∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，结合∠A=2∠C可证△APD是等腰三角形且△APB与△CDP相似，即可解决问题．（3）分三种情形讨论：如图3′中，当DA＝DP时；如图4中，当PA＝PD时；如图5中，当AP＝AD时；分别求解即可解决问题．
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