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第4章 相似三角形 单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．3，4，5，6 D．5，10，15，20
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；
B、∵2×6＝3×4，故此选项符合题意；
C、∵3×6≠4×5，故此选项不符合题意；
D、∵5×20≠10×15，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．如图，直线AE，BD被一组平行线所截，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】只需要证明△ABC∽△EDC得到，即可得到答案．
【解答】解：∵，
∴△ABC∽△EDC，
∴，，
故选：C．
3．如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】根据相似三角形对应边成比例列出等式，即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，
即，
解得DF＝2，
故选：C．
4．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
【分析】由△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，根据相似三角形的对应角相等，即可求得∠ADE的度数，又由三角形的内角和等于180°，即可求得∠E的度数．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，
∴∠ADE＝∠ABC＝45°．
在△ADE中，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°，
即∠AED+45°+60°＝180°，
∴∠AED＝75°．
故选：A．
5．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【分析】根据相似多边形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴相似比＝＝＝2，
故选：C．
6．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC CD D．
【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、D选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；B选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
7．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.6m，则楼高CD是（ ）
A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m
【分析】先证明△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得＝，然后利用比例性质求出CD即可．
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.65（米）．
故选：B．
8．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：BO为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：1 D．4：9
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【解答】解：由位似变换的性质可知，△A′B′C′∽△ABC．
∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，
∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，
∵A′B′∥AB
OB′：BO＝A′B′：AB＝2：3，
故选：A．
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设AB＝m，由＝2，得AE＝DA＝m，可证明△ABE≌△DAF，得DF＝AE＝m，则AF＝＝m，再证明△GAE∽△DAF，得＝＝，所以AG＝AD＝m，GF＝AF﹣AG＝m，即可求得＝，于是得到问题的答案．
【解答】解：设AB＝m，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA＝m，∠BAE＝∠D＝90°，
∵＝2，
∴AE＝DA＝m，
∵AF⊥BE于点G，
∴∠AGE＝90°，
∴∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠AEB，
∴△ABE≌△DAF（ASA），
∴DF＝AE＝m，
∴AF＝＝＝m，
∵∠AGE＝∠D＝90°，∠GAE＝∠DAF，
∴△GAE∽△DAF，
∴＝＝＝，
∴AG＝AD＝m，
∴GF＝AF﹣AG＝m﹣m＝m，
∴＝＝，
故选：C．
10．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点E，连接FN，EM，若AO＝AD，有下列结论： ①NE＝MF；②∠DEM＝60°；③DN2＝MC NC；④四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】①证明△ADN≌△CBM（AAS），得DN＝BM，然后证明四边形DFBE是平行四边形，可得结论；
③证明△AMB∽△BMC，推出＝，再证明DN＝BM，AM＝CN，可得结论；
④证明△AOD是等边三角形，然后得DE＝BE，可得结论；
②结合④，根据菱形的一条对角线平分一组对角，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB，
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴EN＝FM，故①正确，
∵NE∥FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN＝CM，
∴CN＝AM，
∵∠AMB＝∠BMC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠BCM＝90°，
∴∠ABM＝∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴＝，
∵DN＝BM，AM＝CN，
∴DN2＝CM CN，故③正确，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
∵∠AED＝60°，
∴∠DEB＝120°，
∵EM不是菱形DEBF的对角线，
∴∠DEM≠60°，故②错误，
综上所述：正确结论是①③④，共3个，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知，则＝ 2 ．
【分析】根据已知得出a＝2b，代入分式进行化简即可求解．
【解答】解：∵，
∴a＝2b，
∴＝．
故答案为：2．
12．两个相似五边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 1：2 ．
【分析】利用相似多边形的性质：相似多边形的周长的比等于相似比解题即可．
【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为1：2
∴它们的周长的比为1：2．
故答案为：1：2．
13．如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ 2 ．
【分析】由AB∥DE，即可证得△ABC∽△ECD，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得CE的长．
【解答】解：∵AB∥DE，
∴△ABC∽△ECD，
∴，
∵AC＝4，BC＝2，DC＝1，
∴，
解得：CE＝2．
故答案为：2
14．已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈ 6.18 cm．
【分析】根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，AB＝10cm，
∴AP＝AB≈6.18（cm）．
故答案为6.18．
15．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB是 9 m．
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D
∴△DEF∽△DCB
∴＝，
∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝10m，
∴＝，
∴BC＝7.5米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+7.5＝9米．
故答案为：9．
16．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为 （﹣2，0） ．
【分析】根据位似图形的概念得到，求出，再证明DE∥OP，得到，即可求出OP，得到答案．
【解答】解：∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（2，3），
∴AB＝OC＝3，OA＝2，
∵点E的横坐标为﹣1，
∴DE＝OF＝1，
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，
∴，
∴，
∴，
∵∠COP＝∠CDE＝90°，
∴DE∥OP，
∴△CDE∽△COP，
∴，
∴，
解得：OP＝2，
∴点P的坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 （3，0）或（0，2）或（0，3） ．
【分析】分两种情形：当点P在x轴上时，△PAC∽△CAB时，当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC，分别求解即可．
【解答】解：如图，
∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，
∴AC＝，
当点P在x轴上时，△PAC∽△CAB时，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝2，
∴OP＝3，
∴P（3，0），
当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC，
∵AC＝CA，
∴AB＝CP′＝1，
∴OP′＝2，
∴P′（0，2）．
根据对称性可知．P（0，3）也符合题意．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，0）或（0，2）或（0，3）．
18．如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝2AE，BE＝4，则EF＝ ．
【分析】过C作AD的平行线交EF的延长线于G，先判断出△BEC∽△EGC，得出＝＝，再判断出△AEF≌△CGF（AAS），得出AE＝CG，EF＝GF，即可得出答案．
【解答】解：如图，过C作AD的平行线交EF的延长线于G，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∵CG∥AD，
∴∠GCE＝∠DEC，∠AEG＝∠G，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠BEC＝∠AEF，
∴∠BEC＝∠G，
∴△BEC∽△EGC，
∴＝＝，
∵F为AC中点，
∴AF＝CF，
∵∠AEG＝∠G，∠AFE＝∠CFG，
∴△AEF≌△CGF（AAS），
∴AE＝CG，EF＝GF，
∴EF＝EG，
∵BC＝2AE，BE＝4，
∴CE2＝CG BC＝AE×2AE＝2AE2，
∴CE＝AE，
∴＝，
∴EG＝2，
∴EF＝EG＝．
故答案为：．
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．（5分）如图，l1∥l2∥l3，若，EF＝6，求DF的长．
【分析】根据平行线分线段成比例，可得，由EF＝6，可得DE＝4，从而得到DF的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴，
∵EF＝6，
∴DE＝4，
∵DF＝DE+EF，DE＝4，EF＝6，
∴DF＝10．
20．（5分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，
在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°，
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，
解得x＝28，
∴EH＝28cm．
21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
【分析】由平行四边形的性质得出∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．证出∠AFD＝∠C，则可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC．
22．（6分）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE．
【分析】由题意可作出示意图，由题意可知△ABC∽△ADE，＝，可得出DE的长度，城墙的高度．
【解答】解：由题意可作出下图：
由题意得，AF＝60厘米＝0.6米，AG＝EN＝30米，BC＝24厘米＝0.24米，
∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝12，
∴城墙的高度DE为12米．
23．（6分）如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP＝60°，且△ACP∽△PDB．
（1）请判定△PCD的形状，并说明理由；
（2）若AC＝2，BD＝3，求△ABP的面积．
【分析】（1）根据三角形相似结合∠ADP＝60°即可判断；
（2）根据三角形相似得出等式求出等边三角形边PD的长从而得出高，即可得出结果．
【解答】解：（1）△PCD为等边三角形，理由如下：
∵△ACP∽△PDB，
∴∠ACP＝∠PDB，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴△PCD是等腰三角形，
又∵∠ADP＝60°，
∴△PCD是等边三角形；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴，
又∵AC＝2，BD＝3，△PCD的等边三角形，
∴，
∴PD＝（负值已舍），
如图，过点P作PH⊥CD于H，
∵∠CDP＝60°，
∴PH＝PD＝，
∴S＝＝．
24．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣4）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2：1；
（3）若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为P2，请写出点P2的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质即可画出图形；
（2）根据位似图形的性质，分别画出点A2、B2、C2即可；
（3）根据位似图形的性质，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图所示，△AB1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）∵P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，△A2B2C2与△ABC的相似比为2：1，
∴对应点P2的坐标为（﹣2a，﹣2b）．
25．（7分）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝8，AD＝6，从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）求证：．
（2）求这个矩形EFGH的周长．
【分析】（1）根据矩形性质得出∠AHG＝∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；
（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG＝∠ABC，
又∵∠HAG＝∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴＝；
（2）解：设HE＝x，MD＝HE＝x，
∵AD＝6，
∴AM＝6﹣x，
∵HG＝2HE，
∴HG＝2x，
由（1）得＝，
可得＝，
解得，x＝2.4，
故HE＝2.4，HG＝2x＝4.8，
则矩形EFGH的周长＝（2.4+4.8）×2＝14.4．
26．（8分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，AB＝6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；
（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
【分析】（1）先根据勾股定理求出BO的长，再用x表示出OQ及OP的长，根据三角形的面积公式即可得出x的值；
（2）分△OPQ∽△OAB与△OPQ∽△OBA两种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，
∴BO2＝AB2﹣AO2，
∴BO＝6，
在Rt△OPQ中，OQ＝6﹣x，OP＝2x，
∵△OPQ的面积为5cm2；
∴OQ OP＝5，即（6﹣x） 2x＝5，解得x1＝1，x2＝5；
（2）当△OPQ∽△OAB时，＝，即＝，解得x＝3秒；
当△OPQ∽△OBA，＝，即＝，解得x＝秒．
综上所述，当x＝3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似．
27．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在△ABC的外部作正方形ABDE，正方形BCFG和正方形ACIH，GB的延长线交AE于点M，HA的延长线分别交BM于点K，交DE于点Q．
（1）如图1，求HA：AK；
（2）如图2，连接IQ分别交CA于点P，交BM于点N，求IP：PN：NQ．
【分析】（1）先证明A、C、F三点在同一条直线上，B、C、I三点在同一条直线上，则AC∥BK，BC∥AK，即可证明四边形ACBK是矩形，得AK＝BC＝3，而HA＝AC＝4，所以HA：AK＝4：3；
（2）由HI∥AC∥KB，得＝＝＝，再证明△AQE∽△ABC，得＝，其中AE＝AB＝＝＝5，即可求得AQ＝，则KQ＝﹣3＝，所以＝＝，即可求得IP：PN：NQ＝16：12：13．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形BCFG和四边形ACIH都是正方形，
∴CF∥BG，CI∥AH，∠BCF＝∠ACI＝90°，
∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴HA＝AC＝4，∠BCF+∠ACB＝180°，∠ACI+∠ACB＝180°，
∴A、C、F三点在同一条直线上，B、C、I三点在同一条直线上，
∴AC∥BK，BC∥AK，
∴四边形ACBK是平行四边形，
∴四边形ACBK是矩形，
∴AK＝BC＝3，
∴HA：AK＝4：3．
（2）如图2，∵HI∥AC∥KB，
∴＝＝＝，
∵四边形ABDE是正方形，
∴∠BAE＝∠CAQ＝90°，
∴∠QAE＝∠BAC＝90°﹣∠BAQ，
∵∠AEQ＝∠ACB＝90°，
∴△AQE∽△ABC，
∴＝，
∵AE＝AB＝＝＝5，
∴AQ＝＝＝，
∴KQ＝﹣3＝，
∴＝＝＝，
∴IP：PN：NQ＝16：12：13．
28．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，DE⊥CF，则的值为 1 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，且CE⊥BD，的值为 ；
（3）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AD＝2，DE＝3，CF＝4．求AB的长．
【分析】（1）设DE与CF的交点为G，利用SAS证明△AED≌△DFC，得DE＝CF；
（2）利用两个角相等证明△DEC∽△ABD，得＝＝；
（3）过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，可得四边形ABCH为矩形，再证明△DEA∽△CFH，得＝即可．
【解答】解：（1）设DE与CF的交点为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED与△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴DE＝CF，
∴＝1，
故答案为：1；
（2）如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴＝＝＝；
故答案为：．
（3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∵AD＝2，DE＝3，CF＝4，
∴＝，
∴AB＝．中小学教育资源及组卷应用平台
第4章 相似三角形 单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．3，4，5，6 D．5，10，15，20
2．如图，直线AE，BD被一组平行线所截，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（ ）
A． B． C．2 D．3
4．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（ ）
A．75° B．105° C．60° D．45°
5．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，且顶点都在方格纸的格点上，它们的相似比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
6．如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．CA平分∠BCD B．∠DAC＝∠ABC C．AC2＝BC CD D．
7．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．如果标杆BE高1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.6m，则楼高CD是（ ）
A．9.45m B．10.65m C．14.2mm D．16.8m
8．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：BO为（ ）
A．2：3 B．3：2 C．2：1 D．4：9
9．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点E，连接FN，EM，若AO＝AD，有下列结论： ①NE＝MF；②∠DEM＝60°；③DN2＝MC NC；④四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知，则＝ ．
12．两个相似五边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 ．
13．如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ ．
14．已知线段AB＝10cm，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则AP≈ cm．
15．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB．他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40cm．EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB是 m．
16．如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为（2，3），点E的横坐标为﹣1，则点P的坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 ．
18．如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE＝DC，F为AC中点，且∠BEC＝∠AEF，若BC＝2AE，BE＝4，则EF＝ ．
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．（5分）如图，l1∥l2∥l3，若，EF＝6，求DF的长．
20．（5分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一点，连结DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．求证：△ADF∽△DEC．
22．（6分）西安古城墙凝聚了中国古代劳动人民的智慧，它作为古城西安的地标性建筑，吸引了不少人慕名而来．节假日，乐乐去城墙游玩，看见宏伟的城墙后，他想要测量城墙的高度DE．如图，他拿着一根笔直的小棍BC，站在距城墙约30米的点N处（即EN＝30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC∥DE，乐乐看到点B和城墙顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知乐乐的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，AN⊥EN，CM⊥AN，DE⊥EN．求城墙的高度DE．
23．（6分）如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP＝60°，且△ACP∽△PDB．
（1）请判定△PCD的形状，并说明理由；
（2）若AC＝2，BD＝3，求△ABP的面积．
24．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣4）．
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB1C1；
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2：1；
（3）若P（a，b）是△ABC边AB上任意一点，通过（2）的位似变换后，点P的对应点为P2，请写出点P2的坐标．
25．（7分）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝8，AD＝6，从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）求证：．
（2）求这个矩形EFGH的周长．
26．（8分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12cm，AB＝6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么：
（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；
（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
27．（8分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，在△ABC的外部作正方形ABDE，正方形BCFG和正方形ACIH，GB的延长线交AE于点M，HA的延长线分别交BM于点K，交DE于点Q．
（1）如图1，求HA：AK；
（2）如图2，连接IQ分别交CA于点P，交BM于点N，求IP：PN：NQ．
28．（9分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（1）如图1，在正方形ABCD中，DE⊥CF，则的值为 ；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，且CE⊥BD，的值为 ；
（3）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AD＝2，DE＝3，CF＝4．求AB的长．
