浙教版九年级上册 第4章《相似三角形》章末达标测试题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上册 第4章《相似三角形》章末达标测试题
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组线段的长度成比例的是（　　）
A．1，2，3，4 B．2，3，4，6 C．3，4，5，6 D．5，10，15，20
2．已知矩形的长与宽分别为4和3，下列矩形与它相似的是（　　）
A． B．
C． D．
3．两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（　　）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
4．已知＝，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知△ABC∽△DEF，且∠A＝30°，∠E＝30°，则∠C的度数是（　　）
A．120° B．60° C．90° D．30°
6．如图：AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：1，BE＝12，那么CE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，若点P为△ABC的边AB上一点（AB＞AC），下列条件不能判定△ABC∽△ACP的是（　　）
A．∠B＝∠ACP B．∠ACB＝∠APC C． D．
8．如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，淇淇的身高为1.7m，则树高为（　　）
A．3.4m B．4.7m C．5.1m D．6.8m
9．如图，△OAB和△OCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A（﹣4，2），△OAB与△OCD的相似比为2：1，则点C的坐标为（　　）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，2）
10．我们把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，若BC＝2，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图所示，网格中相似的两个三角形是 　 　．（填序号）
12．如果11m＝7n，那么m：n＝　 　：　 　．
13．已知△ABC∽△A'B'C'且＝，则S△ABC：S△A'B'C'为 　 　．
14．如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，点D从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B点移动，点E从C点出发沿CA以2cm/s的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 　 　秒时，△ADE与△ABC相似．
15．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD＝CD，E是边AC上的一点，AD与BE交于点F，若∠DAB+∠CDE＝90°，则＝　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，2），以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2；再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2 以此类推，则点B2023的坐标为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（5分）已知线段a，b满足＝，且a+b＝34．
（1）求a，b的值．
（2）若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值．
18．（5分）如图，l1∥l2∥l3，若，EF＝6，求DF的长．
19．（5分）如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是∠ABD的角平分线．
（1）求证：△APC∽△DPB；
（2）若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的长．
21．（6分）如图，小明欲测量一座信号发射塔的高度．他站在该塔的影子上前后移动，直到他自己影子的顶端正好与塔的影子的顶端重合，此时他距离该塔20米．已知小明的身高是1.8米，他的影长是2米．
（1）图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
（2）求信号发射塔的高度．
22．（8分）在如图的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B1的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标；
（3）△OAB的内部一点M的坐标为（a，b），写出M在△OA2B2中的对应点M2的坐标．
23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6cm，OB＝8cm．点P从点B开始沿BA边向终点A以1cm/s的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1cm/s的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若P，Q同时出发，运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式分别表示线段AQ和AP的长；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
24．（9分）阅读下面材料：
小波遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，AD与BE相交于点P．
（1）小波发现，，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，通过构造△CEF（如图2），经过推理和计算得到的值为 　 　．
（2）参考小波思考问题的方法，解决问题：
①如图3，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求的值；
②如图4，在△ABC中，点D在BC的延长线上，，点E在AC上，且，求出的值．
浙教版九年级上册 第4章《相似三角形》章末达标测试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、∵1×4≠2×3，故此选项不符合题意；
B、∵2×6＝3×4，故此选项符合题意；
C、∵3×6≠4×5，故此选项不符合题意；
D、∵5×20≠10×15，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．【解答】解：A、因为3：4≠4：5，故A不符合题意；
B、因为3：4≠4：8，故B不符合题意；
C、因为3：6＝4：8，故C符合题意；
D、因为3：6≠4：9，故D不符合题意．
故选：C．
3．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，
∴其面积之比是16：81，
故选：D．
4．【解答】解：设m＝2k，n＝3k，
则
＝
＝
＝，
故选：B．
5．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠E＝30°，
∴∠ABC＝∠E＝30°，
∵∠A＝30°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝120°．
故选：A．
6．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝3，
∴BC＝3CE，
∴CE＝BE＝×12＝3，
故选：A．
7．【解答】解：A、∠B＝∠ACP，因为∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合题意；
B、∠ACB＝∠APC，因为∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合题意；
C、，因为∠A＝∠A，所以△ABC∽△ACP，不符合题意；
D、，因为∠A＝∠A，而PC和BC的夹角为∠C，所以不能判定△ABC∽△ACP，符合题意．
故选：D．
8．【解答】解：由相似三角形的性质，设树高x米，
则＝，
∴x＝5.1m．
故选：C．
9．【解答】解：∵△OAB与△OCD的相似比为2：1，
∴OA：OC＝2：1，
过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F．
∵A（﹣4，2），
∴AE＝2，OE＝4，
∵AE∥CF，
∴△AOE∽△COF，
∴＝＝，
∴＝＝2，
CF＝1，OF＝2，
∴C（2，﹣1），
故选：A．
10．【解答】解：∵∠A＝36°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BC＝BD，
∴△BDC是“黄金三角形”，
∴＝，
∵BC＝2，
∴DC＝﹣1，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：图形①的三边为：2，，；
图形②的三边为：3，，；
图形③的三边为：2，2，2；
图形④的三边为：3，，，
∵，，
∴①与③相似，
故答案为：①③．
12．【解答】解：∵11m＝7n，
∴m：n＝7：11．
故答案为：7，11．
13．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，＝，
∴＝＝．
故答案为：．
14．【解答】解：由题意可得，AD＝tcm，AE＝（12﹣2t）cm，
分两种情况：①若△ADE∽△ABC，则，
∴，
解得t＝3；
②若△ADE∽△ACB，则，
∴，
∴t＝．
综上所述，t＝3或．
故答案为：3或．
15．【解答】解：如图，取AD的中点I，连接BI并延长，交AC于点J，
Rt△ABD中，BI＝AI＝DI，
∴∠IBA＝∠IAB，∠IBD＝∠IDB，
∵∠DAB+∠CDE＝90°，∠IBA+∠IBD＝90°，
∴∠IBD＝∠CDE，
∴DE∥BJ，
∴＝，＝，
∵BD＝CD，AI＝DI，
∴CE＝EJ，AJ＝EJ，
∴ED＝2JI，BJ＝2DE＝4JI，
∴BI＝BJ﹣JI＝4JI﹣JI＝3JI，
∴＝＝，
∵BI∥DE，
∴∠DEF＝∠IBF，∠EDF＝∠BIF，
∴△DEF∽△IBF，
∴＝＝．
故答案为：．
16．【解答】解：根据题意，点B的坐标为（1，2），在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2，
则B1（﹣2，﹣4），
再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2，
则B2（4，8），
……
所以，点，
故点B2023的坐标为（﹣22023，﹣22024）．
故答案为：（﹣22023，﹣22024）．
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．【解答】解：（1）∵＝，
∴a：b＝5：12，
∴设a＝5k，b＝12k，
∵a+b＝34，
∴5k+12k＝34，
∴k＝2，
∴a＝10，b＝24；
（2）∵线段x是线段a，b的比例中项，
∴x2＝ab＝240，
∵x是线段，x＞0，
∴x＝4．
18．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵，
∴，
∵EF＝6，
∴DE＝4，
∵DF＝DE+EF，DE＝4，EF＝6，
∴DF＝10．
19．【解答】解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
20．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵BC是∠ABD的平分线，
∴∠ABC＝∠DBC，
∴∠C＝∠DBC，
又∠APC＝∠DPB，
∴△APC∽△DPB．
（2）解：设DP＝x，
∵AP＝PB＝1，
∴AD＝AP+DP＝1+x，
又AD＝CP，
∴CP＝1+x，
由（1）得：△APC∽△DPB，
∴AP：DP＝PC：BP，
即：1：x＝（x+1）：1，
∴x2+x＝1，
∴x2+x﹣1＝0，
解得：，（不合题意，舍去）．
∴．
21．【解答】解：（1）∵BC⊥AC，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴，
即，
∴DC＝19.8（米），
∴古塔的高度为19.8米．
22．【解答】解：（1）位似中心P如图所示，P（﹣5，﹣1），B1（3，﹣5）；
（2）△OA2B2如图所示，B2（﹣2，﹣6）；
（3）点M2（2a，2b）．
23．【解答】解：（1）∵OA＝6cm，OB＝8cm，
∴AB＝＝＝10（cm），
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AQ＝tcm，AP＝（10﹣t）cm；
（2）①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴＝，
即，
解得t＝＞6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得t＝，
综上所述，t＝时，△APQ与△AOB相似．
24．【解答】解：（1）如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F＝∠APF，∠FCE＝∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE＝CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP＝FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（2）①如图3，过A作AF∥BC，交BP延长线于点F，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵，
∴，
设AF＝3x，BC＝2x，
∵，
∴BD＝x，
∵AF∥BD，
∴△AFP∽△DBP，
∴＝＝；
②如图4，过C作CF∥AP交PB于F，
∴△BCF∽△BDP，
∴＝＝，
设CF＝3x，PD＝4x，
∵CF∥AP，
∴△ECF∽△EAP，
∴，
∴AP＝x，
∴＝＝．
∴的值为．