第1章 二次函数 巩固练习（含解析） 2023-2024学年九年级上册数学浙教版

第1章 二次函数巩固练习
一．选择题（共10小题）
1．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣6 （a为常数）的图象与x轴有交点，当x＞4时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣3 B．﹣3≤a＜4 C．a＜4 D．﹣3≤a≤4
2．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0，正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
3．已知关于x的二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，且x1+8＝﹣x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1+8＝﹣y2
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），D（6，4），那么a﹣b+c的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．t
5．将抛物线y＝2x2﹣4x+5绕其顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x2+4x+1 B．y＝﹣2x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝﹣2x2+4x+5
6．如图，已知抛物线l1：y＝（x﹣2）2﹣4与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12，则抛物线l2的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
7．已知抛物线y＝x2+bx+c过A（2，n），B（4，n），且它与x轴只有一个公共点，则c的值是（　　）
A．0 B．4 C．6 D．9
8．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
9．对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（，0）
C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确
二．填空题（共7小题）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有5个结论：
①abc＞0；
②b＞a+c；
③9a+3b+c＞0；
④c＜﹣3a；
⑤a+b≥m（am+b）．
其中正确的有是 　 　．
12．已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是 　 　．
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④a﹣b+c＞0；
⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．
其中正确的有 　 　．
14．若二次函数y＝x2﹣4x﹣7经过点（x1，0），（x2，0），则的值是 　 　．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 　 　（填写序号）．
16．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　 　．
17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　 　．
三．解答题（共8小题）
18．对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 　 　；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
19．设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，OA＝OB＝2OC，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，C
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣m）x+2＜n的解集：
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q，当PQ时，求P点的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b经过点A（4，0），交y轴于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）观察函数图象，写出不等式．﹣x2+bx+c≤kx+b的解集；
（3）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+1．
（1）若a＝1，当0≤x≤3时，求函数y＝x2﹣2ax+1的最大值和最小值；
（2）若抛物线上有且只有3个点到直线y＝2的距离等于5，求a的值；
（3）若抛物线上存在两点A（a﹣1，y1）和B（a+2，y2），当y1 y2＜0时，求a的取值范围．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．
（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（4）在（3）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3．求t的值．
第1章 二次函数巩固练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣6 （a为常数）的图象与x轴有交点，当x＞4时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣3 B．﹣3≤a＜4 C．a＜4 D．﹣3≤a≤4
【分析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，解得a≥﹣3；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当x＞4时，y随x的增大而增大，可得对称轴不超过4，从而得出答案．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣2a﹣6 （a为常数）的图象与x轴有交点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a2﹣2a﹣6）≥0．
解得：a≥﹣3；
∵抛物线的对称轴为直线xa，抛物线开口向上，且当x＞4时，y随x的增大而增大，
∴a≤4，
∴实数a的取值范围是﹣3≤a≤4．
故选：D．
2．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0，正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】①利用图象信息即可判断；②根据x＝﹣2时，y＜0即可判断；③根据m是方程ax2+bx+c＝0的根，结合两根之积﹣m，即可判断；④根据两根之和﹣1+m，可得ma＝a﹣b，可得am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m，am2+bm+c＝0，
∴0，
∴1，故③正确，
∵﹣1+m，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
故选：D．
3．已知关于x的二次函数y＝（x+3）2﹣4的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，且x1+8＝﹣x2，则y1与y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1+8＝﹣y2
【分析】求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣3，然后判断出A、B距离对称轴的大小，即可判断y1与y2的大小．
【解答】解：∵y＝（x+3）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3，
∵x1＜x2，且x1+8＝﹣x2，
∴x1+x2＝﹣8，
∴4，
∵﹣4＜﹣3，
∴点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴y1＞y2．
故选：B．
4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），D（6，4），那么a﹣b+c的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．t
【分析】根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到D（6，4）关于对称轴对称的点为（﹣1，4），故当x＝﹣1时可求得y值为4，即可求得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x，
∴D（6，4）对称点坐标为（﹣1，4），
∴当x＝﹣1时，y＝4，
即a﹣b+c＝4，
故选：C．
5．将抛物线y＝2x2﹣4x+5绕其顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2x2+4x+1 B．y＝﹣2x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝﹣2x2+4x+5
【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据此得出所求的结论．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+5＝2（x2﹣2x+1）+3＝2（x﹣1）2+3，
将原抛物线绕顶点旋转180°后，得：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
即：y＝﹣2x2+4x+1．
故选：A．
6．如图，已知抛物线l1：y＝（x﹣2）2﹣4与x轴分别交于O、A两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12，则抛物线l2的函数表达式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣2 D．y＝（x﹣2）2+2
【分析】根据题意和图象，可以由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积与矩形OABC的面积相等，从而可以解答本题．
【解答】解：∵抛物线l1：y＝（x﹣2）2﹣4与x轴分别交于O、A两点，
∴当y＝0时，得x1＝0，x2＝4，
∴点O（0，0），点A（4，0），
∴OA＝4，
∵由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为12，连接BC，
∴矩形OABC的面积为12，
设OC＝a，
∴4a＝12，
解得，a＝3，
∴抛物线l2的函数表达式为：y＝（x﹣2）2﹣4+3＝y＝（x﹣2）2﹣1，
故选：A．
7．已知抛物线y＝x2+bx+c过A（2，n），B（4，n），且它与x轴只有一个公共点，则c的值是（　　）
A．0 B．4 C．6 D．9
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x＝3．根据抛物线与x轴只有一个公共点可设抛物线解析式为y＝（x﹣3）2，化成一般式即可求得c的值．．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（2，n）、B（4，n），
∴对称轴是直线x＝3．
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（3，0），
∴设抛物线解析式为y＝（x﹣3）2，
∴y＝x2﹣6x+9，
∴c＝9．
故选：D．
8．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过（0，﹣3），对称轴为直线x＝﹣1，关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n的取值范围为（　　）
A．﹣11＜n＜﹣2 B．﹣6＜n＜﹣3 C．﹣11＜n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣6
【分析】x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，则n在y＝﹣11和顶点之间，进而求解．
【解答】解：由题意得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x﹣3，
则抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
函数的大致图象如下：
当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x﹣3＝﹣11，
∵x＝﹣4比x＝1离对称轴远，故关于x的方程﹣x2+bx+c﹣n＝0在﹣4＜x＜1的范围内有实数根，
则n在y＝﹣11和顶点之间，
即﹣11＜n≤﹣2，
故选：C．
9．对于抛物线y＝ax2+4ax﹣m（a≠0）与x轴的交点为A（﹣1，0），B（x2，0），则下列说法：
①一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3；
②原抛物线与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于D点，则CD＝4；
③点E（1，y1）、点F（﹣4，y2）在原抛物线上，则y1＞y2；
④抛物线y＝﹣ax2﹣4ax+m与原抛物线关于x轴对称．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线的对称轴x＝﹣2及其与x轴的交点A（﹣1，0），利用对称性可得另一交点即可判断①；根据抛物线的对称性及对称轴x＝﹣2可得CD的长，即可判断②；根据抛物线与x轴的交点及二次函数的增减性，结合开口方向可判断③；根据关于x轴的对称的图形横坐标相等、纵坐标为相反数可判断④．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+4ax﹣m的对称轴为x2，
∴由抛物线与x轴的交点A（﹣1，0）知抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0），
则一元二次方程ax2+4ax﹣m＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝﹣3，故①正确，符合题意；
②根据题意，设C（0，﹣m），D（n，﹣m），
由抛物线的对称轴为x＝﹣2知（0+n）＝﹣2，得n＝﹣4，
∴CD＝|n﹣0|＝|n|＝4，故②正确；
③由题意知，函数的对称轴为x＝﹣2，点（﹣4，0）比（1，0）离x轴近，
∴当抛物线开口向上时，y2＜y1，
而当抛物线开口向下时，y2＞y1，故③错误，不符合题意；
④抛物线y＝ax2+4ax﹣m关于x轴对称的抛物线为﹣y＝ax2+4ax﹣m，即y＝﹣ax2﹣4ax+m，故④正确，符合题意；
综上，正确的是①②④，
故选：B．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（，0）
C．（0，2）或（，0） D．以上都不正确
【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使△PMN的周长最小，MN的长度一定，所以只需（PM+PN）取最小值即可．
然后，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（如图2）．
【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点，
∴，
解得．
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5，
∴M（﹣3，5）．
∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小．
如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）．
设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则，
解得，
故该直线的解析式为y＝x+2．
当x＝0时，y＝2，即P（0，2）．
同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（，0）．
如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长；
所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）．
故选：A．
二．填空题（共7小题）
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有5个结论：
①abc＞0；
②b＞a+c；
③9a+3b+c＞0；
④c＜﹣3a；
⑤a+b≥m（am+b）．
其中正确的有是 　②④⑤　．
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可判断a，b，c符号及a与b的关系，根据图象可得x＝﹣1时y＜0，由抛物线对称性可得x＝3时y＜0，由图象可得x＝1时，y＝a+b+c为最大值．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
由图象可得，x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，②正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝1，x＝﹣1时y＜0，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，
∴③错误．
∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，④正确．
由图象可得x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥m（am+b），⑤正确．
故答案为：②④⑤．
12．已知二次函数y＝x2﹣（m+1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是 　m≤1　．
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣（m+1）x+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x，
∴x时，y随x增大而增大，
∴1，
解得m≤1，
故答案为：m≤1．
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④a﹣b+c＞0；
⑤若且x1≠x2，则x1+x2＝2．
其中正确的有 　②⑤　．
【分析】根据抛物线图象开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线，得到b＝﹣2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，据此即可判定①②；根据二次函数的性质知：当x＝1时，函数有最大值a+b+c，据此即可判定③；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，据此即可判定④；把先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b＝0，即，然后把b＝﹣2a代入计算，即可判定⑤．
【解答】解：∵抛物线图象开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵，
∴，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
∵x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即，
∵b＝﹣2a，
∴，所以⑤正确，
综上所述，正确的有②⑤．
故答案为：②⑤．
14．若二次函数y＝x2﹣4x﹣7经过点（x1，0），（x2，0），则的值是 　　．
【分析】由题意得出x1，x2是方程x2﹣4x﹣7＝0两个根，根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，即可得到．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣7经过点（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程x2﹣4x﹣7＝0两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣7，
∴．
故答案为：．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 　①②③　（填写序号）．
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
【解答】解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x2．
∴2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如图：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
16．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　﹣1或　．
【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分a≤﹣1，﹣1＜a＜2，a≥2三种情况讨论，根据函数最大值时列方程求出a的值．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为xa，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为22﹣4a﹣2＝2﹣4a，
∴2﹣4a＝6，
解得：a＝﹣1，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜2时，
在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，
解得：a或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）；
（3）当a≥2时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，
因此有2a﹣1＝6，解得a，符合题设；
综上，a＝﹣1或a．
故答案为：﹣1或．
17．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（2，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集是 　﹣2＜x＜1　．
【分析】作直线y＝mx+n关于y轴的对称直线CD：y＝﹣mx+n，点C、D是两个函数的交点，根据点的对称性，点C（1，p），D（﹣2，q），即可求解．
【解答】解：作直线y＝mx+n关于y轴的对称直线CD：y＝﹣mx+n，
点C、D是两个函数的交点，根据点的对称性，点C（1，p），D（﹣2，q），
由图象可以看出，ax2+c＞n﹣mx的解集为：﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
三．解答题（共8小题）
18．对于抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，3）．
①求顶点坐标；
②当0≤x≤6时，直接写出y的取值范围为 　﹣1≤y≤15　；
（2）已知当0≤x≤m时，1≤y≤9，求a和m的值．
【分析】（1）①解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；
②求得x＝6时的函数值，根据二次函数的性质即可求解；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x，由当0≤x≤m时，1≤y≤9可知抛物线顶点坐标为（，1）且过点（m，9），把顶点坐标代入解析式即可求得a＝2，然后把点（m，9）代入解析式即可求得m的值．
【解答】解：（1）若抛物线过点（4，3），则3＝16a﹣16+3，
解得a＝1，
∴y＝x2﹣4x+3；
①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点坐标为（2，﹣1）；
②当x＝6时，y＝x2﹣4x+3＝15，
∴当0≤x≤6时，直y的取值范围为﹣1≤y≤15，
故答案为：﹣1≤y≤15；
（2）抛物线y＝ax2﹣4x+3（a＞0）对称轴为直线x，
∵当0≤x≤m时，1≤y≤9，且x＝0时，y＝3，
∴x时，y＝1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（，1），
∴13，
解得a＝2，
∴y＝2x2﹣4x+3，
把x＝m，y＝9代入得9＝2m2﹣4m+3，
解得m1＝3，m2＝﹣1，
∴m＞0，
∴m＝3，
故a的值为2，m的值为3．
19．设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a．
【分析】（1）当a＝1时，二次函数y＝（x+1）（x+4）＝x2+5x+4，即可求出顶点坐标；
（2）先判断抛物线过点（0，﹣2），代入解析式即可求得a＝﹣2，从而求得抛物线的解析式；
（3）分a＞0和a＜0两种情况，根据二次函数的增减性和已知条件列出a的不等式便可求得结果．
【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数，
∴顶点坐标为；
（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，
故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，
∴a＝﹣2，∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；
（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），，0），
∴函数图象的对称轴为直线，
当a＞0时，函数图象开口向上，∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∴，
解得，舍去；
当a＜0时，函数图象开口向下，∵x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∵x1+x2＝2，x1＜x2，
∴x1＜1，
∴，
∴．
故．
20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）设点M是直线l上的一个动点，当点M到点A，点C的距离之和最短时，求点M的坐标．
【分析】（1）讲点A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c的值，即可求出函数解析式；
（2）点A关于直线l的对称点为B，利用将军饮马原理，连接BC，线段BC就是点M到点A、点C的距离之和最短，求出直线BC的解析式，再求出直线BC与直线l的交点，即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）．C（0，﹣3）三点，
∴，解得，
∴抛物线的函数解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，
点A是关于直线l成轴对称，MA+MC＝BM+MC，
当且仅当点B、M、C三点共线时，MB+MC取到最小值，即为点M到点A，点C的距离之和最短，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
∵直线BC经过点C（0，﹣3），点B（3，0），
∴，解得，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴直线l为：x＝1，
联立方程，解得，
∴点M的坐标为（1，﹣2）．
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
【分析】（1）将A（﹣4，0），C（2，0）两点坐标代入y＝ax2+bx﹣4可求出b、c的值即可确定关系式；
（2）根据面积法得出S关于m的函数关系式，再利用函数的性质得出最大值．
【解答】解：（1）把A（﹣4，0），C（2，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，
，解得，
∴抛物线的解析式为yx2+x﹣4；
（2）如图，过点M作MN⊥AC，垂足为N，
抛物线yx2+x﹣4与y轴的交点B坐标为（0，﹣4），即OB＝4，
又∵M（m，m2+m﹣4），
∴ON＝﹣m，MNm2﹣m+4，AN＝4﹣（﹣m）＝4+m，
∴S△ABM＝S△ANM+S梯形MNOB﹣S△AOB，
（4+m）（m2﹣m+4）（m2﹣m+4+4）（﹣m）4×4
＝﹣m2﹣4m
＝﹣（m+2）2+4，
∴当m＝﹣2时，S最大＝4，
答：S与m的函数关系式为S＝﹣m2﹣4m，S的最大值为4．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx+n与坐标轴交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，OA＝OB＝2OC，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A，B，C
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式ax2+（b﹣m）x+2＜n的解集：
（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q，当PQ时，求P点的坐标．
【分析】（1）根据题意得出A、B点的坐标，然后利用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式由图象判断即可；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，根据函数图象点P的位置分三种情况分别计算出P点的坐标即可．
【解答】解：（1）当x＝0，y＝ax2+bx+2＝0+2＝2，
∴B（0，2），
∵OA＝OB＝2OC，
∴A（﹣2，0），C（1，0），
把A（﹣2，0），C（1，0），B（0，2）代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；
∵直线y＝mx+n与坐标轴交于A（﹣2，0），B（0，2）两点，
∴，
解得，
∴y＝x+2；
（2）∵不等式ax2+（b﹣m）x+2＜n，
即﹣x2﹣x+2＜x+2，
观察函数图象可知当﹣2＜x＜0时y＝﹣x2﹣x+2的函数值大于y＝x+2的函数值，
∴不等式ax2++（b﹣1 ）x+c＞2的解集为解集应为x＜﹣2或x＞0；
（3）作PE⊥x轴于点E，交AB于点D，作PQ⊥AB于Q，
①如图1，当P在AB上方时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠ADE＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ，
∴PD1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，
即﹣x2﹣2x＝1，
解得x＝﹣1，
∴此时P点的坐标为（﹣1，2），
②如图2，当P点在A点左侧时，
同理①可得PD＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±1，
由图象知此时P点在第三象限，
∴x1，
∴此时P点的坐标为（1，），
③如图3，当P点在B点右侧时，
在Rt△OAB中，
∵OA＝OB＝2，
∴∠OAB＝45°，
∴∠PDQ＝∠DPQ＝45°，
在Rt△PDQ中，∠DPQ＝∠PDQ＝45°，
∴PQ＝DQ，
∴PD1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点D（x，x+2），
∴PD＝（x+2）﹣（﹣x2﹣x+2）＝x2+2x，
即x2+2x＝1，
解得x＝±1，
由图象知此时P点在第一象限，
∴x1，
∴此时P点的坐标为（1，），
综上，P点的坐标为（﹣1，2）或（1，）或（1，）．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b经过点A（4，0），交y轴于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）观察函数图象，写出不等式．﹣x2+bx+c≤kx+b的解集；
（3）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
【分析】（1）将点A、O的坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求出解析式，再联立抛物线解析式和直线解析式，解方程组，求出点C坐标，再结合图象求出﹣x2+bx+c≤kx+b的解集；
（3）根据直线AB的解析式，设出M点坐标和N的坐标，再表示出MN，然后根据MN＝2解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（4，0）和O（0，0），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x；
（2）∵一次函数y＝kx+b经过点A（4，0）和点B（0，4），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4，
联立方程组，
解方程组得：或，
∴点C坐标为（1，3），
∴﹣x2+bx+c≤kx+b的解集为x≤1或x≥4；
（3）∵MN∥y轴，
设M（t，﹣t+4），N（t，﹣t2+4t），其中0≤t≤4，
当M在N点的上方时，
MN＝﹣t+4﹣（﹣t2+4t）＝t2﹣5t+4＝2，
解得：t1，t2（舍），
∴M1（，），
当M在N点下方时，
MN＝﹣t2+4t﹣（﹣t+4）＝﹣t2+5t﹣4＝2，
解得：t1＝2，t2＝3，
∴M2（2，2），M3（3，1），
综上，满足条件的点M的坐标有三个（，）或（2，2）或（3，1）．
24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2ax+1．
（1）若a＝1，当0≤x≤3时，求函数y＝x2﹣2ax+1的最大值和最小值；
（2）若抛物线上有且只有3个点到直线y＝2的距离等于5，求a的值；
（3）若抛物线上存在两点A（a﹣1，y1）和B（a+2，y2），当y1 y2＜0时，求a的取值范围．
【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线的解析式，对称轴，根据自变量的取值范围确定抛物线的最大值；
（2）根据解析式求出抛物线的顶点坐标，根据点到直线y＝2的距离为5的计算方法即可求解；
（3）将点A，B代入抛物线可求出y1，y2，根据抛物线开口向上，对称轴为x＝a，点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，且y1 y2＜0，由此即可求解．
【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线为y＝x2﹣2x+1，
∵抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，函数有最小值为y＝0；
当x＝3时，函数有最大值为y＝4，
∴当0≤x≤3时，函数最小值为0，最大值为4．
（2）抛物线为y＝x2﹣2ax+1，顶点坐标为（a，﹣a2+1），
∵抛物线开口向上且抛物线上有且只有3个点到直线y＝2的距离等于5，
∴2﹣（﹣a2+1）＝5，
解得，a＝±2．
（3）解：当x＝a﹣1时，y＝﹣a2+2；当x＝a+2时，y＝﹣a2+5；
∵抛物线开口向上，对称轴为x＝a，点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴y1＜y2，y1 y2＜0，
∴y1＜0，y2＞0，
∴﹣a2+2＜0且﹣a2+5＞0，
∴或．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的对称轴是直线x＝1．
（1）若抛物线经过点（0，﹣3），求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的解析式；
（2）在（1）的条件下，求抛物线y＝ax2+bx+a﹣4（a＞0）的顶点坐标；
（3）当﹣2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；
（4）在（3）的条件下，当t≤x≤t+1时，y的最大值是m，最小值是n，且m﹣n＝3．求t的值．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）将各系数代入二次函数的顶点坐标公式即可；
（3）根据抛物线的性质，确定x取何值时y最大，进而求得a值；
（4）分情况讨论t的取值范围，以此确定x取何值时y的值最大和最小值，从而求出t的值．
【解答】解：（1）由点（0，﹣3）和对称轴，可列方程组，解得a＝1，b＝﹣2．
故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）抛物线的顶点坐标为（，），将a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3代入，得（1，﹣4）．
（3）当a＞0时，抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝1，1到﹣2的距离大于1到3的距离，
∴x＝﹣2 时，y的值最大．
∴y＝4a﹣2b+a﹣4＝5a﹣2b﹣4＝5．
将b＝﹣2a代入，得a＝1．
（4）①当t＜0时，
∵a＝1，
∴b﹣2a＝﹣2．
∴y的最大值是 m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3
最小值是 n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3
m﹣n＝3，
t2﹣2t﹣[（t+1）2﹣2（t+1）﹣3]＝3．解得 t＝﹣1．
②当 时，
y的最大值是 m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是 n＝﹣4．
∵m﹣n＝3，
（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（﹣4）＝3．解得 （不成立）；
③当 时，y的最大值是 m＝t2﹣2t+1﹣4＝t2﹣2t﹣3，最小值是 n＝﹣4．
m﹣n＝t2﹣2t﹣（﹣4）＝3．解得 （不成立）；
④当t≥1 时，
y的最大值是 m＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3，最小值是 n＝t2﹣2t﹣3
∴m﹣n＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝3．解得 t＝2．
综上，t的值为﹣1或2