(共27张PPT)
新浙教版数学九年级（下）
1.3 解直角三角形（1）
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
1.解直角三角形
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
2.解直角三角形的依据
(2)两锐角之间的关系:
∠ A＋ ∠ B＝ 90 ；
(3)边角之间的关系:
tanA＝
a
b
sinA＝
a
c
cosA＝
b
c
(必有一边)
cotA＝
b
a
Ａ
Ｃ
Ｂ
a
b
c
别忽略我哦！
三峡大坝
三峡大坝位于中国湖北省宜昌市境内，距下游葛洲坝水利枢纽工程38公里；是当今世界最大的水利发电工程——三峡水电站的主体工程、三峡大坝旅游区的核心景观、三峡水库的东端。
三峡大坝工程包括主体建筑物及导流工程两部分，全长约2309m，坝高185m，工程总投资为4954.6亿元人民币，于1994年12月14日正式动工修建，2006年5月20日全线修建成功。
经国家防总批准，三峡水库于2011年9月10日零时正式启动第四次175米试验性蓄水，至18日19时，水库水位已达到160.18米。2012年7月23日，三峡枢纽开启7个泄洪深孔泄洪。上游来水流量激增至每秒4.6万立方米。2012年7月24日，三峡大坝入库流量达7.12万立方米/秒，是三峡水库建库以来遭遇的最大洪峰。
大坝利处：防洪；发电；蓄水北调；促进航运。弊端：下游洄游鱼类与长江特有鱼类受到影响，部分生物将面临濒危、灭绝；突发地质灾害增多；微地震明显增加。
同时，三峡大坝的完工转移了超过39亿立方米的水到海拔175米的高度，根据美国太空总署的计算，这人为的减缓了地球自转，使每天都比过去延长0.00000006秒。
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的 ，斜坡CD的 ，
则斜坡CD的 ，
坝底宽AD和斜坡AB
的长应设计为多少？
坡度i=1∶3
坡度i=1∶2.5
坡面角α
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
l
h
i= h : l
1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
2、坡度（或坡比）
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=——
h
l
3、坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡面
水平面
1、斜坡的坡度是 ，则坡角α=______度。
2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 _______。
3、斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______。
α
L
h
30
1：1
********************************
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形.
********************************
解直角三角形中的边角关系
b
A
B
C
a
┌
c
a,b
∠A，a
∠A，b
∠A，c
∠A
∠B
C
∠B
b
c
∠B
a
c
∠B
a
b
已知
可求
关系式
你发现已知量中哪一种量是必须具备的？
解直角三角形可分成
哪几类？
（1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角
在⊿ABC中，已知a,b,c分别为∠A，∠B和∠C的对边,∠C=900，根据下列条件解直角三角形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30°
（2）b =4，∠ B =60°
（3）a =5， c=10
（4）a =20， SinＡ=
C
A
B
a
b
c
（1）c=10， ∠A=30°
（2）b =4，∠ B =60°
（3）a =5， c=10
（4）a =20， SinＡ=
C
A
B
a
b
c
∠B=60° ， b≈8.7, a=5
∠A=30° ， a = ,c=
b,= ∠A = ， ∠B =
∠A = 30° ， ∠B = 60°, b =, c=
例2.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度。（精确到0.1m ）
（2）斜坡CD的坡角α。（精确到 ）
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
分析：（1）由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线。
（2）垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD， EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解Rt△ABE和Rt△CDF求出。
（3）斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ ABE和Rt△ CDF。
解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，
垂足分别为点E、 F,由题意可知
在Rt△ABE中
BE=CF=23m EF=BC=6m
在Rt△DCF中，同理可得
=69+6+57.5
=132.5m
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
(2) 斜坡CD的坡度i=tanα=1：2.5=0.4
由计算器可算得
E
F
A
D
B
C
i=1:2.5
23
6
α
答：坝底宽AD为132.5米，斜坡AB
的长约为72.7米．斜坡CD的坡角α约
为22°。
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽．（精确到0.1米 ）
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F．由题意可知
DE＝CF＝4（米），
CD＝EF＝12（米）．
在Rt△ADE中，
在Rt△BCF中，同理可得
因此AB＝AE＋EF＋BF
≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
答： 路基下底的宽约为22.93米．
45°
30°
4米
12米
A
B
C
E
F
D
2： 如图19.4.1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解 利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为:
26＋10＝36（米）.
答:大树在折断之前高为36米.
3: 如图东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40゜的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）
东
南
西
北
本题是已知一边,一锐角.
50°
解: 在Rt△ABC中，因为
∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，
＝tan∠CAB,
所以 BC＝AB tan∠CAB
=2000×tan50゜
≈2384(米).
又因为 ，
所以
AC＝
答：敌舰与A、B两炮台的距离分别约为3111米和2384米.
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0.1米）
1.2
1.2
30°
A
B
C
为了增加抗洪能力，现将横断面如图所示的大坝加高，加高部分的横断面为梯形DCGH，GH∥CD，点G、H分别在AD、BC的延长线上,当新大坝坝顶宽为4.8米时，大坝加高了几米？
B
A
C
D
i1=1：1.2
i2=1：0.8
G
H
6米
E
F
M
N
思考：如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的用土量不变,问:路面宽将增加多少
(选用数据:sin22°37′≈ ,cos22°37′ ≈ ,
tan 22°37′ ≈ ,
tan 32° ≈ )
A
E
C
D
B
F
G
H
1
2
3
4
M
N登陆21世纪教育 助您教考全无忧
3.1解直角三角形(1)（巩固练习）
姓名 班级
第一部分
1、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=60°, c=12,求a和b.2·1·c·n·j·y
2、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b=36,∠A=45°,求a和c.21·世纪*教育网
3、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=8, ∠B=40°, 解直角三角形.(长度精确到0.1).www-2-1-cnjy-com
4、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=6, , 解直角三角形.(长度精确到0.1, 角度精确到1°).2-1-c-n-j-y
5、如图，小王在陆地上从A地经B地到达C地，总行程是14千米，这里的∠ABC为直角，且∠BAC的正切值为. 那么小王乘海轮从A地直接到C地的最短距离是多少千米？
6、河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦地带，一次活动课，老师要求测量河的宽度．一同学的测量结果如图所示：，米．请你帮助计算河的宽度（结果保留根号）．21cnjy.com
第二部分
1. 在△ABC中，∠C=90°, a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则cosA=………（ ）
A. B. C. D.
2. 写出下列锐角三角函数值：
(1) sin35°= ； (2)cos52°30′= ；(3)tan28°12′36" = .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°, AB=3, BC=2，则sinA= .
4. (中考武汉)如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备的水管的长为……………………………（ ）
A. 17.5m B. 35m C. m D. 70
5. △ABC中，∠C=90°，BC=6, cosB=, 则AB= , tanA ．
6.(中考安顺) 如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕点旋转后，点落在延长线上的C/点处，那么 ．
7. (中考丽水)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为 米．21世纪教育网版权所有
8. (中考成都)如图，已知是的直径，弦，，，那么的值是 ．
9. 在△ABC中，∠C=90°.
(1) 若∠A=45°, c=16, 求∠B和a, b的值.
(2) 若a=5,b=8,求c和∠A,∠B.(角度精确到1°,边长保留3个有效数字.)
10. “朝晖中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°, AC = 40米，AB= 25米，请你求出这块花圃的面积. www.21-cn-jy.com
参考答案
第一部分
1、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若∠A=60°, c=12,求a和b.【来源：21·世纪·教育·网】
【解】在Rt△ABC中, a=c·sinA=12×sin60°=；b=c·cosA=12×cos60°=6.
2、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b=36,∠A=45°,求a和c. 21*cnjy*com
【解】在Rt△ABC中, a=b·tanA=36×tan45°=36；c=.
3、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，c=8, ∠B=40°, 解直角三角形.(长度精确到0.1).【来源：21cnj*y.co*m】
【解】∵∠B=40°, ∠C=90°，∴∠A=50°.
在Rt△ABC中, a=c·cosB=8×cos40°≈6.1；b= c·sinB=8×sin40°≈5.1.【出处：21教育名师】
4、在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，a=6, , 解直角三角形.(长度精确到0.1, 角度精确到1°).【版权所有：21教育】
【解】∵, ∴∠B≈42°, ∴∠A=90°-∠B=48°.
在Rt△ABC中, c=≈8.0；b=≈5.4.
5、如图，小王在陆地上从A地经B地到达C地，总行程是14千米，这里的∠ABC为直角，且∠BAC的正切值为. 那么小王乘海轮从A地直接到C地的最短距离是多少千米？21教育名师原创作品
【解】∵在Rt△ABC中, tanA==, ∴设BC=3x, AB=4x.
∵AB+BC=14km, ∴3x+4x=14, 解得x=2. ∴BC=6km, AB=8km, ∴AC=km.
6、河边有一条笔直的公路，公路两侧是平坦地带，一次活动课，老师要求测量河的宽度．一同学的测量结果如图所示：，米．请你帮助计算河的宽度（结果保留根号）．
【解】设AB=xm.
在Rt△ABC中, AC=. 在Rt△ABD中, AD=.
∵AC+AD=CD, ∴x+x=70, ∴x=(或) m.
第二部分
1. 在△ABC中，∠C=90°, a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则cosA=………（ ）
A. B. C. D.
答案：C
2. 写出下列锐角三角函数值：
(1) sin35°= ； (2)cos52°30′= ；(3)tan28°12′36" = .
答案：(1)0.5736；(2)0.6088；(3)0.5364.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°, AB=3, BC=2，则sinA= .
答案：
4. (中考武汉)如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备的水管的长为……………………………（ ）
A. 17.5m B. 35m C. m D. 70m
答案：D
5. △ABC中，∠C=90°，BC=6, cosB=, 则AB= , tanA ．
答案：10
6.(中考安顺) 如图，已知正方形的边长为3，如果将线段绕点旋转后，点落在延长线上的C/点处，那么 ．
答案：
7. (中考丽水)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离=3米，，则梯子的长度为 米．21教育网
答案：4
8. (中考成都)如图，已知是的直径，弦，，，那么的值是 ．
答案：
9. 在△ABC中，∠C=90°.
(1) 若∠A=45°, c=16, 求∠B和a, b的值.
(2) 若a=5,b=8,求c和∠A,∠B.(角度精确到1°,边长保留3个有效数字.)
解：(1)∵∠C=90°, ∠A=45°, ∴∠B=90°-∠A=45°.
在Rt△ABC中, a=c·sinA=16×sin45°=；b=c·cosA=16×sin45°=.
(2) 在Rt△ABC中, c=≈9.43.
∵tanA=, ∴∠A≈32°, ∴∠B=90°-∠A=58°.
10. “朝晖中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A=30°, AC = 40米，AB= 25米，请你求出这块花圃的面积. 21·cn·jy·com
解：作BD⊥AC于D.
在△ABD中, BD=AB·sinA=25·sin30°=12.5m.
∴S△ABC=AC·BD=×40×12.5=250m2.
A
B
C
D
30°
45°
第7题
A
B
C
A
B
C
D
第6题
A
A
B
B
C
C
30°
(第4题图)
A
C
B
D
O
A
B
C
D
30°
45°
第7题
A
B
C
A
B
C
D
第6题
A
A
B
B
C
C
30°
(第4题图)
A
C
B
D
O
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网
