《3.5 圆周角》导学案（2）
【学习目标】
经历探索圆周角定理的另一个推论的过程
掌握圆周角定理的推论“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等”。
会运用圆周角定理的推论解决简单几何问题
【教学重点、难点】
教学重点：圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”
难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难
【学习过程】
一、旧知回顾:
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.即 ∠ABC = ∠AOC.
课前测验
1、100 的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120 的弧所对的圆周角是60
合作学习
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系 为什么
1、圆周角定理的推论2：
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。
做一做
找出图中用数字表示的角中，所有相等的圆周角。
2.如图，已知△ABC的内接于圆O，弧AB,弧BC的度数分别为80°和110°，则△ABC的三个内角度数分别是多少度？
例2已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,
求证：⌒ ⌒
BD=DE
练习：
如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形
例3: 船在航行过程中，船长 ( http: / / www.21cnjy.com )常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
弓形所含的圆周角∠C=50°,问船在航行时怎样才能保证不进入暗礁区
课堂练习
1、如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )B于点E,G是AC上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
2、一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
2，已知BC为半圆O的直径，AB=AF,AC交BF于点M，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？
同步练习
班级：__________ 姓名：__________
一、选择题
1. 如图，BD是⊙O的直径，弦AC与BD相交于点E，下列结论一定成立的是（ ）
A．∠ABD=∠ACD B．∠ABD=∠AOD C．∠AOD=∠AED D．∠ABD=∠BDC
2. 如图，A, B, C, D 是同一个圆上的顺次四点，则图中相等的圆周角共有（ ）
A . 2对 B . 4 对 C . 8 对 D. 16对
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3. 下列命题中，真命题的个数为（ ）
①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③900的圆周角
所对的弦是直径；④直径所对的角是直角；⑤圆周角相等，则它们所对的弧也相等；⑥同
弧或等弧所对的圆周角相等．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
填空题
4. 如图，A, B, C, D是⊙O上的点，已知∠1=∠2，则与相等的弧是 ，与
相等的弧是 ，于是AD= , BD= .
5. 如图， AB, AC, AD是⊙O的三条弦，E是上一点，AD是∠BAC的平分线，且∠BAC=600，则∠BED .
6. 如图，已知AB 是⊙O的直径，CD与AB相交于点E，∠ACD=600，∠ADC=500 ，则∠AEC= ．
7. 如图，MN是半圆O的直径，K是MN延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若∠K=200，∠PMQ =400，则∠MQP等于（ ）
A. 300 B. 350 C. 400 D . 500
8. 如图所示的暗礁区，两 ( http: / / www.21cnjy.com )灯塔A, B之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A, B的视角∠ASB 必须 ( )
A．大于600 B．小于600 C．大于300 D．小于300
9 如图，∠1,∠2,∠3的大小关系是（ ）
A.∠1>∠2>∠3 B. ∠3>∠1>∠2 C.∠2>∠1>∠3 D. ∠3>∠2>∠1
10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC 和∠ACB的
平分线分别交⊙O于点D, E，且BD=CE，则∠A 是（ )
A . 300 B. 450 C . 600 D . 900
11. 如图，AB是半圆O的直径，=600,，∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，
则∠FDG的度数为 .
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12 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=2∠A ,BM平分∠ABC交外接圆于点M , ME//BC交AB于点E．
试判断四边形EBCM的形状，并加以证明.
13. 如图， AB是⊙O的直径，C, D是AB上的点，且AC=BD; P，Q是⊙O上在AB同侧的两点，且,延长PC, QD分别交⊙O于点M, N．求证：
第4题《3.5 圆周角》导学案（1）
【学习目标】：1、理解圆周角的概念。
2、掌握圆周角定理和它的推论。
3、会运用圆周角定理及其推论解决简单的几何问题。
【学习重点】：圆周角定理
【学习难点】：圆周角定理的证明
学法指导：
通过类比圆心角得出圆周角的概念。
2、通过画图，知道同一条弧所对的圆周角和圆心有三种位置关系，圆周角定理的证明需分三种情况。
二、课前预习：
1、已知点A、B、C、D、E是⊙O的五等分点，则∠AOC= 度。
2、如图，在⊙O中，⑴若∠AOB=85° ( http: / / www.21cnjy.com )，则弧AB的度数为 度；⑵若则弧AB的度数为85°，则∠AOB= 。(理由是： )
3、延长AO交⊙O于点C，连结CB ( http: / / www.21cnjy.com )，则∠ACB也是一个与圆有关的角，这个角的顶点在 ，它的两边都和圆 ，这样的角叫圆周角。
4、判别下面5个图中的角是不是圆周角。
5、画一个圆心角∠BOC,然后再画同弧所对的圆周角∠BAC.用量角器量出这两个角的度数,我发现：
思考：⑴一条弧所对的圆心角有 个；一条弧所对的圆周角有 个；⑵和同学比较，我发现圆周角与圆心的位置有 种情况。
三、课堂学习：
看书本75页到76页，证明并掌握圆周角定理和它的推论。
1、圆周角定理：
2、证明圆周角定理：已知：∠BOC，∠BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角
求证：
证明：
⑴ ⑵ ⑶
【小结】要说明一个命题是真命题，如果一个图形不能概括一般的情况，那么就往往需要分类讨论。
3、如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A，B的任意一点，连接AC，BC。求证：∠C是直角。
【归纳】半圆（或直径）所对的圆周角是 ； 90°的圆周角所对的弦是 。
4、自学完成例1
5、自学检测：完成书本77页课内练习
四、知识小结：
1、一条定义： 的角叫圆周角
2、一条定理：同一条弧所对的圆周角等于 。
3、一种应用：圆周角与圆心角，弧的度数之间的转化。
圆周角定理还可理解成：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的______；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的________。
五、当堂检测：
1、判断题，下列命题是否正确？
（1）圆周角的顶点一定在圆上；（ ） （2）顶点在圆上的角叫圆周角；（ ）
（3）圆周角的两边都和圆相交；（ ） （4）两边都和圆相交的角叫圆周角。（ ）
2、在下列各图中，∠1＝_____度, ∠2＝_____度, ∠3＝_____度, ∠4＝_____度,
3、40°弧所对的圆心角是 度，圆周角 度。
4、一条弧所对的圆周角等于50°，则这条弧所对的圆心角是 度，这条弧是 度。
5、n°弧所对的圆心角是 度，所对的圆周角是 度。
6、如图，∠AOB=100°，则∠ACB=
7、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：3两部分，则弦所对的圆周角的度数是
8、如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，求证：∠ACB＝2∠BAC
3.4圆周角（1）同步练习
●A组 基础练习
1. 如图，AB是半圆直径，∠BAC=200，D是AC的中点，则∠DAC的度数是（ ）
A . 300 B. 350 C. 450 D . 700
2. 下面每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ）
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3. 已知AB是⊙O的直径，AC, AD是弦，且AB=2, AC=，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是 ( )
A. 450或600 B. 600 C . 1050 D. 150或1050
4. 如图，A, B, C为⊙O上三点，∠ABO=650，则∠BCA 等于（ ）
A. 250 B. 32.50 C . 300 D. 450
5. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=1400，则∠DCE= .
6. 如图，AB是⊙O的直径，C, D, E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2 = .
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7. 如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD//BC交AC于点D, AC=6cm，则DC= cm .
8. 如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B, 点A的坐标为（0, 4 ) , M是圆上一点，
∠BMO=120．求：⊙C的半径和圆心C的坐标.
●B组 提高训练
9．如图， AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC, D是上一点， P是上一点，若∠BDC=1500, 则∠APC = .
10. 在⊙O中，己知∠AOB=1000 , C为的中点，D在圆上，则∠ADC= .
11. 如图，PB交⊙O于点A , B，PD交⊙O于点C , D，已知=420 , =380，则∠P＋∠Q的度数为 .
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12. 如图，∠A的两边交⊙O于点B ， C , E , D，若，则∠A的度数为 .
13. 如图，在⊙O中AB是直径， CD是弦，AB⊥CD.
(1)P是上一点（不与C, D重合）．求证：∠CPD=∠COB；
(2)点P’在劣弧CD上（不与C , D重合）时，∠CP/D与∠COD有什么数量关系？请证明你的结论．
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1
130°
4
3
2
70°
74°
120°
第6题图
（第9题）
