2.3 等腰三角形的性质定理分层作业（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2.3等腰三角形的性质定理 同步分层作业
基础过关
1．某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（　　）
A．50° B．60° C．65° D．80°
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若BD＝5，则CD等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知等腰三角形的一个底角比顶角大30°，则它的顶角的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
4．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是（　　）度．
A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE＝（　　）
A．80° B．60° C．50° D．40°
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠C＝70°，则∠BAD的度数是（　　）
A．20° B．45° C．60° D．70°
7．如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．45° C．40° D．35°
8．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）
A．30° B．20° C．25° D．15°
9．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
10．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，连接AD，则∠BAD的大小为 　　．
11．如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于E，求证：∠EBC＝∠DAC．
题组B 能力提升练
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC
14．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是（　　）
A．20° B．25° C．35° D．40°
15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（　　）
A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，点D是BC的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED 的度数为（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
18．已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝80°，则△ABC的顶角度数是 　 　．
19．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是 　50　°．
20．如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，点P是射线AD上一点，当△ABP是等腰三角形时，∠CBP＝　　．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，P，Q分别是边AB，AC上的点．
（1）如图1，若∠MPB＝∠MQC＝90°，证明：MP＝MQ；
（2）如图2，若∠MPB+∠MQC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
22.已知：△ABC中，AB＝AC．
（1）如图①，点O在BC边上，且OB＝OC，过O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，求证：OD＝OE；
（2）如图②，点O在△ABC的内部，且OB＝OC，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，OD＝OE还成立吗？若成立请证明，若不成立，请说明理由；
（3）点O在△ABC的外部，且OB＝OC，过点O作OD⊥AB的延长线于点D，作OE⊥AC的延长线于点E，OD＝OE还成立吗？请直接回答是否成立即可，不需要说明理由．
23.如图，点A是BC上一点，△ABD、△ACE都是等边三角形．
试说明：
（1）AM＝AN；
（2）MN∥BC；
（3）∠DOM＝60°．
题组C 培优拔尖练
24．如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE的度数为（　　）
A． B．
C． D．
25．小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　 °．
26.在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，在直线BC上取一点P，使CP＝CA，连接AP，则∠BAP的度数为 　 　．
27.探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
29.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：　 　．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　 　；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝　 　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
30．在△ABC中，BA＝BC，在射线BC上取点D，E，且BD＜BE，作△ADE，使DA＝DE．
（1）如图，当点D在线段BC上时，且∠BAD＝30°．
①若∠B＝40°，求∠EAC的度数；
②若∠B≠40°，求∠EAC的度数；
（2）当点D在BC延长线上时，猜想∠BAD与∠EAC的数量关系并说明理由．
答案与解析
基础过关
1．某等腰三角形的顶角50°，则其每个底角是（　　）
A．50° B．60° C．65° D．80°
【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】解：∵等腰三角形的顶角50°，
∴每个底角＝（180°﹣50°）＝65°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，若BD＝5，则CD等于（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】根据等腰三角形的三线合一的性质可得：AD为BC边上的中线，从而求解．
【解析】解：∵AD是∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴AD为BC边上的中线，
∴CD＝BD＝5．
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质．
3．已知等腰三角形的一个底角比顶角大30°，则它的顶角的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【思路点拨】设等腰三角形的顶角为x°，则它的一个底角为（x+30）°，然后根据三角形内角和定理可得：x+2（x+30）＝180，最后进行计算即可解答．
【解析】解：设等腰三角形的顶角为x°，则它的一个底角为（x+30）°，
由题意得：x+2（x+30）＝180，
解得：x＝40，
∴它的顶角的度数为40°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件列出方程进行计算是解题的关键．
4．等腰三角形的一个角为50°，则顶角是（　　）度．
A．65°或50° B．80° C．50° D．50°或80°
【思路点拨】分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°时；当等腰三角形的一个底角为50°时；然后分别进行计算即可解答．
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的顶角为50°时，则它的底角＝＝65°；
当等腰三角形的一个底角为50°时，则它的顶角＝180°﹣2×50°＝80°；
综上所述：它的顶角是50°或80°，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE＝（　　）
A．80° B．60° C．50° D．40°
【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质∠C，利用线段垂直平分线的性质易得AE＝CE，∠CAE＝∠C．
【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣100°）÷2＝40°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝40°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等和等边对等角是解答此题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠C＝70°，则∠BAD的度数是（　　）
A．20° B．45° C．60° D．70°
【思路点拨】根据等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，然后再根据垂直定义可得∠ADC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAD＝20°，即可解答．
【解析】解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝70°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
7．如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．45° C．40° D．35°
【思路点拨】延长AC交直线m于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
【解析】解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3＝60°﹣∠1＝60°﹣25°＝35°，
∵l∥m，
∴∠2＝∠3＝35°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
8．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（　　）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【思路点拨】由等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠CAD＝30°，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠ADE的度数，进而可求解．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，求解∠ADE的度数是解题的关键．
9．如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC＝（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【思路点拨】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，根据等边三角形三线合一可得∠CBD＝30°，再根据作图可知BD＝ED，进一步可得∠DEC的度数．
【解析】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，
∵BD是AC边上的高，
∴BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵BD＝ED，
∴∠DEC＝∠CBD＝30°，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
10．如图，△ABC是等边三角形，点D是BC的中点，连接AD，则∠BAD的大小为 　30°　．
【思路点拨】根据等边三角形的三线合一性质求解即可．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵点D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，熟记等边三角形的三线合一性质是解题的关键．
11．如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE．若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
【思路点拨】根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；由DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解析】解：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝45°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°．
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于E，求证：∠EBC＝∠DAC．
【思路点拨】根据三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，根据直角三角形的性质即可得解．
【解析】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠C，
∴∠EBC＝∠DAC．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”是解题的关键．
题组B 能力提升练
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．∠B＝∠C C．AD平分∠BAC D．AB＝BC
【思路点拨】由AB＝AC知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质进行判断即可．
【解析】解：在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C，
∵D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
故选项A、B、C正确，AB＝BC不一定成立，
故选：D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是（　　）
A．20° B．25° C．35° D．40°
【思路点拨】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．
【解析】解：∵△ABC中，AC＝AD，∠DAC＝80°，
∴∠ADC＝＝50°，
∵AD＝BD，∠ADC＝∠B+∠BAD＝50°，
∴∠B＝∠BAD＝（）°＝25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角是40°，则底角的度数是（　　）
A．65° B．65°或25° C．70° D．70°或20°
【思路点拨】作出图形，分①三角形是锐角三角形，根据直角三角形两锐角互余求出顶角，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解；②三角形是钝角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出顶角度数，再根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【解析】解：①如图，三角形是锐角三角形时，
∠A＝90°﹣40°＝50°
底角为：×（180°﹣50°）＝65°，
②如图2，三角形是钝角三角形时，
∵∠BAC＝90°+40°＝130°，
底角为：×（180°﹣130°）＝25°，
综上所述，底角为65°或25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，点D是BC的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED 的度数为（　　）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝∠B＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，
又∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形内角和定理定理，掌握等腰三角形的三线合一的性质是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　）
A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm
【思路点拨】根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，从而得到，根据面积公式S△ADB＝AB DE，S△ACB＝AC BF，变形计算即可．
【解析】解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得△ADB≌△ADC，
∴，
∵S△ADB＝AB DE，S△ACB＝AC BF，
∴AB DE×2＝AC BF，
∴BF＝2DE，
∵DE＝5cm，
∴BF＝10cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和面积公式是解题的关键．
18．已知△ABC是等腰三角形，若∠A＝80°，则△ABC的顶角度数是 　80°或20°　．
【思路点拨】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
【解析】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是80°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×80°＝20°；
综上，△ABC的顶角度数是80°或20°．
故答案为：80°或20°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，此类题目，难点在于要分情况讨论．
19．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝75°，则∠DCE的度数是 　50　°．
【思路点拨】根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可．
【解析】解：设∠O＝x°，
∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠CDO＝x°，
∴∠DEC＝∠DCE＝∠O+∠CDO＝2x°，
∴∠BDE＝∠O+∠DEC＝x°+2x°＝3x°＝75°，
∴x°＝25°，
∴∠DCE＝2x°＝50°，
故答案为：50．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
20．如图，△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，点P是射线AD上一点，当△ABP是等腰三角形时，∠CBP＝　30°或60°　．
【思路点拨】根据等边三角形等腰三角形的性质解答即可．
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠BAC＝30°，
∴当AP＝BP时，∠BAP＝∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°﹣30°＝30°．
当AB＝BP时，∠BAP＝∠BPA＝30°，
∠ABP＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠CBP＝∠ABP﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°．
故答案为：30°或60°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形和等边三角形的性质，关键是弄清P的位置有两种情况，一一解答即可．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，P，Q分别是边AB，AC上的点．
（1）如图1，若∠MPB＝∠MQC＝90°，证明：MP＝MQ；
（2）如图2，若∠MPB+∠MQC＝180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【思路点拨】（1）先由AB＝AC，得出∠B＝∠C，再根据AAS证明△MBP≌△MQC，即可得到MP＝MQ；
（2）过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，连接AM．先根据等腰三角形三线合一的性质及角平分线的性质得出MF＝ME，再根据AAS证明，△MEP≌△MFQ，即可得出MQ＝MP．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△MBP与△MQC中，
，
∴△MBP≌△MQC，
∴MP＝MQ．
（2）解：若∠MPB+∠MQC＝180°，则（1）中的结论仍然成立．理由如下：
过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，连接AM，
∵AB＝AC，M是中点，
∴AM平分∠BAC，
又ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∴MF＝ME，
∵∠MPB+∠MQC＝180°，∠MQC+∠MQA＝180°，
∴∠MPB＝∠MQA，
在△MEP与△MFQ中，
，
∴△MEP≌△MFQ，
∴MQ＝MP．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，补角的性质，难度适中，关键是正确作出辅助线．
22.已知：△ABC中，AB＝AC．
（1）如图①，点O在BC边上，且OB＝OC，过O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，求证：OD＝OE；
（2）如图②，点O在△ABC的内部，且OB＝OC，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，OD＝OE还成立吗？若成立请证明，若不成立，请说明理由；
（3）点O在△ABC的外部，且OB＝OC，过点O作OD⊥AB的延长线于点D，作OE⊥AC的延长线于点E，OD＝OE还成立吗？请直接回答是否成立即可，不需要说明理由．
【思路点拨】（1）连接AO，先由等腰三角形三线合一的性质得出AO平分∠BAC，再根据角平分线的性质即可得出OD＝OE；
（2）连接AO，先由AB＝AC及OB＝OC得出AO是BC的垂直平分线，再由等腰三角形三线合一的性质得出AO平分∠BAC，然后根据角平分线的性质即可得出OD＝OE；
（3）根据等于三角形的性质，由AAS易证得Rt△BOD≌Rt△COE，根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解析】（1）证明：如图①，连接AO．
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，
∴OD＝OE；
（2）解：OD＝OE仍然成立．理由如下：
如图②，连接AO．
∵AB＝AC，
∴A在BC的垂直平分线上，
∵OB＝OC，
∴O在BC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AO是BC的垂直平分线，
∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC，
又∵OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，
∴OD＝OE；
（3）成立．
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBD＝∠OCE，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ODB＝∠OEC＝90°，
在△BOD与△COE中，
∵，
∴△BOD≌Rt△COE（AAS），
∴OD＝OE．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形及角平分线的性质，正确地作出辅助线，利用等腰三角形三线合一的性质得出AO平分∠BAC是解题的关键．
23.如图，点A是BC上一点，△ABD、△ACE都是等边三角形．
试说明：
（1）AM＝AN；
（2）MN∥BC；
（3）∠DOM＝60°．
【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，再根据等角的补角相等求出∠BAE＝∠DAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠ADC，再利用“角边角”证明△ABM和△ADN全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）证明△AMN是等边三角形，然后求出∠AMN＝60°，从而得到∠AMN＝∠BAD，再根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（3）利用三角形的内角和定理表示出∠AMB和∠DMO，再根据对顶角相等可以求出∠DOM＝∠BAD，从而得解．
【解析】证明：（1）∵△ABD、△ACE都是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴180°﹣∠CAE＝180°﹣∠BAD，
即∠BAE＝∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
∵，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴∠ABE＝∠ADC，
∵∠DAN＝180°﹣∠BAD﹣∠CAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，
∵，
∴△ABM≌△ADN（ASA），
∴AM＝AN；
（2）∵∠MAN＝180°﹣60°×2＝60°，AM＝AN，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMN＝60°，
∴∠AMN＝∠BAD，
∴MN∥BC；
（3）在△ABM中，∠AMB＝180°﹣∠BAM﹣∠BAD，
在△DMO中，∠DMO＝180°﹣∠DAN﹣∠DOM，
∵∠BAM＝∠DAN（已证），∠AMB＝∠DMO（对顶角相等），
∴∠DOM＝∠BAD＝60°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，二次证明三角形全等得到△ABM和△ADN全等是证明本题的关键，也是难点．
题组C 培优拔尖练
24．如图，在△ABC中，D，E是BC边上两点，且满足AB＝BE，AC＝CD，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE的度数为（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据等腰三角形性质得出∠BAE＝∠BEA，∠CAD＝∠CDA，根据三角形内角和定理得出α＝180°﹣2∠BAE①，β＝180°﹣2∠CAD②，①+②得出α+β＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD），求出2∠DAE＝α+β，即可求出∠DAE＝（α+β）．
【解析】解：∵BE＝BA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴α＝180°﹣2∠BAE，①
∵CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA，
∴β＝180°﹣2∠CAD，②
①+②得：α+β＝360°﹣2（∠BAE+∠CAD）
∴α+β＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE）+（∠DAE+∠CAE）]
＝360°﹣2[（∠BAD+∠DAE+∠CAD）+∠DAE]
＝360°﹣2（∠BAC+∠DAE），
∵∠BAC＝180°﹣（α+β），
∴α+β＝360°﹣2[180°﹣（α+β）+∠DAE]
∴α+β＝2∠DAE，
∴∠DAE＝（α+β），
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，关键是推出α+β＝2∠DAE．
25．小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB＝AC）中恰好剪出五个如图所示的小等腰三角形，其中BC＝BD，EC＝EF＝FG＝DG＝DA，则∠B＝　67.5　°．
【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质以及三角形内角和定理解答即可．
【解析】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE+∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF+∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A+∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴4x+6x+6x＝180°，解得：x＝，
∴∠B＝＝67.5°．
故答案为：67.5．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握等边对等角的性质．
26.在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，在直线BC上取一点P，使CP＝CA，连接AP，则∠BAP的度数为 　15°或75°　．
【思路点拨】根据等腰三角形的性质可以得到△ABC各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出∠BAP的度数即可．
【解析】解：如图所示，
当点P在点B的左侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP1，
∴∠CAP1＝∠CP1A＝＝＝55°，
∴∠BAP1＝∠CAP1﹣∠CAB＝55°﹣40°＝15°；
当点P在点C的右侧时，
∵AB＝AC，∠ABC＝70°，
∴∠ACB＝∠ABC＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵CA＝CP2，
∴∠CAP2＝∠CP2A＝＝＝35°，
∴∠BAP2＝∠CAP2+∠CAB＝35°+40°＝75°；
由上可得，∠BAP的度数是15°或75°，
故答案为：15°或75°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是正确画出图形，利用分类讨论的方法解答．
27.探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在底边BC上，AE＝AD，连接DE．
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论；
（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x；
（3）设∠CDE＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠B＝∠C＝y，
∵∠CDE＝x，
∴∠AED＝y+x，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝y+x，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴y+∠BAD＝y+x+x，
∴∠BAD＝2∠CDE．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【思路点拨】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．
【解析】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
29.某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上．
活动一：
如图甲所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒．
数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：　能　．（填“能”或“不能”）
（2）设AA1＝A1A2＝A2A3，θ＝　22.5°　；
活动二：
如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2＝AA1．
数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，θ3＝　4θ　；（用含θ的式子表示）
（4）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．
【思路点拨】（1）先根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端分别落在两射线上，从而判断出能继续摆下去．
（2）利用等腰直角三角形的性质求解即可．
（3）本题需先根据A1A2＝AA1，得出∠A1AA2和∠AA2A1相等，即可得出θ1的值，同样道理得出θ2、θ3的值；
（4）根据（3）的结论，和三角形外角的性质，即可推出不等式，解不等式即可．
【解析】解：（1）∵根据已知条件∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）小棒两端能分别落在两射线上，
∴小棒能继续摆下去．
故答案为：能；
（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A2A1A3＝45°，
∴∠AA2A1+∠θ＝45°，
∵∠AA2A1＝∠θ，
∴∠θ＝22.5°；
（3）∵A1A2＝AA1，
∴∠A1AA2＝∠AA2A1＝θ，
∴∠A2A1A3＝θ1＝θ+θ，
∴θ1＝2θ，
同理可得：θ2＝3θ，
θ3＝4θ．
故答案为：4θ；
（4）由题意得：，
∴15°≤θ＜18°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要注意根据题意找出规律并与等腰三角形的性质相结合是本题的关键．
30．在△ABC中，BA＝BC，在射线BC上取点D，E，且BD＜BE，作△ADE，使DA＝DE．
（1）如图，当点D在线段BC上时，且∠BAD＝30°．
①若∠B＝40°，求∠EAC的度数；
②若∠B≠40°，求∠EAC的度数；
（2）当点D在BC延长线上时，猜想∠BAD与∠EAC的数量关系并说明理由．
【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求解；
（2）设∠B＝a，∠BAD＝β，则∠ADE＝α+β，利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可证得∠BAD＝2∠EAC．
【解析】解：（1）①∵∠BAD＝30°，∠B＝40°，
∴∠ADE＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝55°，
∵∠B＝40°，BA＝BC，
∴∠BCA＝70°，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝15°，
②∠B≠40°时，设∠B＝a，
∵∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝30°+α，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝＝，
∵∠B＝a，BA＝BC，
∴∠BCA＝，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝15°；
（2）∠BAD＝2∠EAC，
理由如下：作图如图2，设∠B＝a，∠BAD＝β，
∴∠ADE＝α+β，
∵DA＝DE，
∴∠DEA＝，
∵∠B＝a，BA＝BC，
∴∠BCA＝，
∴∠EAC＝∠BCA﹣∠DEA＝＝，
∴∠BAD＝2∠EAC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)