2.4 等腰三角形的判定定理分层作业（含解析）

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2.4等腰三角形的判定定理 同步分层作业
基础过关
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝70°，∠B＝50°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝60°，∠B＝80°
2．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
5．若a、b、c是△ABC的边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，相交于点F，则图中等腰三角形共有（　　）
A．7个 B．8个 C．6个 D．9个
7．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　 　．
8．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 　 　个．
9．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
10．如图，已知在△ABC中，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求证：AB＝AC．
11.如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求B处与灯塔C距离．
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，
（1）求∠ADC的度数；
（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．
①求证：△ADE是等腰三角形；
②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．
13.如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
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14．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
15．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
16．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个
A．5 B．6 C．7 D．8
17．在△ABC中，如果只给出∠A＝60°，还不能判断△ABC是等边三角形，给出下面四种说法：①如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果再加上条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果再加上条件“D为BC中点且AD⊥BC”，那么△ABC是等边三角形；④如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，那么△ABC是等边三角形；其中能判断△ABC是等边三角形的有（　　）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
18．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　 　时，△ABC是等腰三角形．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．在点D的运动过程中，∠BDA的度数为 　 　时，△ADE的形状是等腰三角形．
20．如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　 　．（填序号）
21.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前刘老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①AB＝DC； ②∠ABE＝∠DCE； ③AE＝DE； ④∠A＝∠D
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：
（1）请你写出在抽取的两张纸片上的等式为条件不能判断△BCE是等腰三角形的所有情形：
　 　；（用序号表示）
（2）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BCE是等腰三角形吗？说说你的理由．
22.如图，已知AB＝AC，∠ACB＝2∠CAB，点D为BC中点，CE平分∠ACB交AD于点I，交AB于点E．连接BI．
（1）求∠AIC的度数；
（2）求证：△IBE为等腰三角形．
23.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
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24．如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 　 　（填序号）．
25.若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，试探索△ABC的形状，并说明理由．
26.在四边形形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠B＝60°，AC是对角线．
（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF．
①求证：△ABE≌△ACF；
②求证：△AEF是等边三角形．
（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．
答案与解析
基础过关
1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝30°，∠B＝60° B．∠A＝70°，∠B＝50°
C．∠A＝40°，∠B＝70° D．∠A＝60°，∠B＝80°
【点拨】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．
【解析】解：A、∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，不能判定△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；
B、∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，不能判定△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；
C、∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°＝∠B，能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意；
D、∠C＝180°﹣80°﹣60°＝40°，不能判定△ABC是等腰三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和三角形内角和定理，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．
2．下列推理中，不能判断△ABC是等边三角形的是（　　）
A．∠A＝∠B＝∠C B．AB＝AC，∠B＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝60° D．AB＝AC，且∠B＝∠C
【点拨】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【解析】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．
（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．在△ABC中，已知∠A＝∠B＝2∠C，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【点拨】根据三角形内角和定理求出三个内角的度数即可判断．
【解析】解：设∠C＝α，
∵∠A＝∠B＝2∠C，
∴∠A＝∠B＝2α，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2α+2α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠A＝∠B＝72°，
∴该三角形是等腰三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的判定定理，熟知三角形的内角和是180°是解题的关键．
4．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【点拨】直接根据等边三角形的判定方法进行判断．
【解析】解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
5．若a、b、c是△ABC的边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【点拨】利用偶次方的非负性可得出a＝b＝c，结合a、b、c是△ABC的边，即可得出△ABC是等边三角形．
【解析】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b＝c．
又∵a、b、c是△ABC的边，
∴△ABC是等边三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查了偶次方的非负性以及等边三角形的判定，利用偶次方的非负性，找出a＝b＝c是解题的关键．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，相交于点F，则图中等腰三角形共有（　　）
A．7个 B．8个 C．6个 D．9个
【点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根据角平分线的定义三角形∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝∠BCE＝36°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠BEC＝∠BDC＝∠EFB＝∠DFC＝72°，再根据等腰三角形的判定得出即可．
【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，∠ACE＝∠BCE＝∠ACB＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°，
同理∠BEC＝72°，
∠EFB＝∠DFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，∠A＝∠ABD＝36°，∠BEC＝∠ABC＝72°，∠BDC＝∠ACB＝72°，∠BEF＝∠EFB＝72°，∠BDC＝∠DFC＝72°，∠FBC＝∠FCB＝36°，
∴△ABD，△ACE，△FBC，△EFB，△DFC，△BDC，△BEC，△ABC都是等腰三角形，共8个等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形的外角定义等知识点，能灵活运用性质求出每个角的度数是解此题的关键．
7．在△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝∠C，那么△ABC的形状为 　等边三角形　．
【点拨】可利用等腰三角形的判定，说明三角形的三条边都相等，亦可利用等腰三角形的性质，说明该三角形的三个角都相等．
【解析】解：（法一）在△ABC中，∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC．
又∵AB＝AC，
AB＝AC＝BC．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
（法二）在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
又∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠B＝∠C．
所以△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质和判定是解决本题的关键．
8．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 　3　个．
【点拨】根据等腰三角形的定义一一判断即可．
【解析】解：第一图：由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误．
第三图：由作图可知BA＝BD可推出BD＝CD＝AD，即△ADC是等腰三角形，故正确．
第四图：由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，故正确．
故答案为：3．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
9．如图，CE是△ABC的角平分线，EF∥BC交AC于点F，求证：△FEC是等腰三角形．
【点拨】根据角平分线的定义可知∠FCE＝∠BCE，根据平行线的性质可知∠FEC＝∠BCE，等量代换得∠FCE＝∠FEC，根据等角对等边可得结论．
【解析】证明：∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠FCE＝∠BCE，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴∠FCE＝∠FEC，
∴FE＝FC，
∴△FEC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
10．如图，已知在△ABC中，D、E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED，∠BAD＝∠EAC，求证：AB＝AC．
【点拨】根据三角形外角的性质就可以得出∠B＝∠C，根据等角对等边就可以得出结论．
【解析】证明：∵∠ADE＝∠AED．
∴∠BAD+∠B＝∠EAC+∠C，
∵∠BAD＝∠EAC
∴∠B＝∠C．
∴AB＝AC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及三角形外角的性质，熟练掌握性质是关键．
11.如图，一只船从A处出发，以18海里/时的速度向正北航行，经过10小时到达B处．分别从A、B处望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°．求B处与灯塔C距离．
【点拨】本题的关键是利用题中给出的角的度数，求得BC＝AB，再速度乘时间就是路程，从而求出BC的长．
【解析】解：∵∠NBC是△ABC的外角
∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝42°
∴∠C＝∠BAC
∴BC＝BA＝18×10＝180（海里）
因此B处与灯塔C距离是180海里．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；利用数学知识来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，CD是∠ACB的平分线交AB于点D，
（1）求∠ADC的度数；
（2）过点A作AE∥BC，交CD的延长交于点E．
①求证：△ADE是等腰三角形；
②判断：△ACE是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．
【点拨】（1）关键等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B＝∠ACB＝72°，求出∠DCB，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①根据平行线求出∠EAD，根据三角形内角和定理求出∠ADE，即可得出答案；
②先判断出∠BCE＝∠ACE，再判断出∠BCE＝∠E，即可得出结论．
【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°
∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝72°，
∵CD是∠ACB的平分线
∴∠DCB＝∠ACB＝36°，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝72°+36°＝108°；
（2）①证明：∵AE∥BC
∴∠EAB＝∠B＝72°，
∵∠B＝72°，∠DCB＝36°，
∴∠ADE＝∠BDC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
即△ADE是等腰三角形；
②解：结论：△ACE是等腰三角形．
理由：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝∠ACE，
∵AE∥BC，
∴∠BCE＝∠E，
∴∠ACE＝∠E，
∴AE＝AC，
∴△ACE是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力．
13.如图，在△ABC中，BD是中线，延长BC到点E，使CE＝CD，若DB＝DE，∠E＝30°．求证：△ABC是等边三角形．
【点拨】根据等腰三角形的性质，得到∠DBC＝∠E＝30°，∠CDE＝∠E＝30°，可得∠BCD＝60°，求出∠BDC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝BC，从而求出∠A＝∠ACB＝60°＝∠ABC，即可证明．
【解析】证明：∵DB＝DE，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠BCD＝∠CDE+∠E＝60°，
∴∠BDC＝90°，
∵BD是中线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．也考查了等腰三角形的性质．
能力提升
14．如图，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，则图中共有等腰三角形（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【点拨】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B，
∵∠A＝36°，
∴∠ACB＝∠B＝（180°﹣∠A）＝72°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，
∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线性质、平行线性质、三角形内角和定理，三角形外角性质，以及等角对等边的性质等知识点的应用，题目比较好，难度适中．
15．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点M、点N是两个格点，如果点P也是图中的格点，且使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【点拨】分两种情况：当MN是等腰△MNP的底边时，符合条件的点有4个；当MN是等腰△MNP的腰时，符合条件的点有4个，于是即可得到答案．
【解析】解：当MN是等腰△MNP的底边时，符合条件的点有P1、P2、P3、P4，共4个；
当MN是等腰△MNP的腰时，符合条件的点有P5、P6、P7、P8，共4个，
∴点P的个数是8个．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定，关键是要分两种情况讨论．
16．在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有（　　）个
A．5 B．6 C．7 D．8
【点拨】分三种情况，OA＝OP，OA＝AP，OP＝AP三种情况画出图形，即可得出结果．
【解析】解：作出图形，如图，可知使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底，哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
17．在△ABC中，如果只给出∠A＝60°，还不能判断△ABC是等边三角形，给出下面四种说法：①如果再加上条件“AB＝AC”，那么△ABC是等边三角形；②如果再加上条件“∠B＝∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果再加上条件“D为BC中点且AD⊥BC”，那么△ABC是等边三角形；④如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，那么△ABC是等边三角形；其中能判断△ABC是等边三角形的有（　　）
A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④
【点拨】根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，即只要证△ABC是等腰三角形即可判定△ABC是等边三角形．
【解析】解：①如果再加上条件“AB＝AC”，
则△ABC是等腰三角形，且∠A＝60°
∴△ABC是等边三角形，故①正确
②如果再加上条件“∠B＝∠C”，
则△ABC是等腰三角形，且∠A＝60°
∴△ABC是等边三角形，故②正确
③如果再加上条件“D为BC中点且AD⊥BC”，
根据“三线合一”可判断△ABC是等腰三角形，且∠A＝60°
∴△ABC是等边三角形，故③正确
④如果再加上条件“AB，AC边上的高相等”，
根据S△ABC＝AB×AB上的高＝AC×AC上的高，
可得AB＝AC，且∠A＝60°∴△ABC是等边三角形，故④正确
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定，关键是灵活运用等腰三角形的判定解决问题．
18．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝　80°、50°、20°　时，△ABC是等腰三角形．
【点拨】此题要分三种情况进行讨论①∠B、∠A为底角；②∠A为顶角，∠B为底角；③∠B为顶角，∠A为底角．
【解析】解：∵∠A＝80°，
∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；
②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；
③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；
故答案为：80°、50°、20°．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边，注意考虑全面，不要漏解．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．在点D的运动过程中，∠BDA的度数为 　110°或80°　时，△ADE的形状是等腰三角形．
【点拨】分三种情形，①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，由∠AED＞∠C，舍去；②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝＝70°，③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，分别利用三角形内角和进行计算即可．
【解析】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝40°，
①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，
∵∠AED＞∠C，
∴此时不符合；
②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA＝＝70°，
∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°，
∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°；
③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°，
∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴当∠BDA的度数为 110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
故答案为：110°或80°．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，运用分类思想是解题的关键．
20．如图，将含有30°角的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB，EC，则下列结论：①∠DAC＝∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④△ABD为等边三角形．其中正确的是　①②④　．（填序号）
【点拨】先利用旋转的性质得到AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD＝∠ADB＝60°，则∠EAC＝∠BAD＝60°，再计算出∠DAC＝30°，于是可对①进行判断；接着证明△AEC为等边三角形得到EA＝EC，加上DA＝DC，则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断；然后根据平行线和等腰三角形的性质，则可对③进行判断，利用等边三角形的判定判断即可．
【解析】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝∠ADB＝60°，
∴∠EAC＝∠BAD＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝30°＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，所以①正确；
∵AC＝AE，∠EAC＝60°，
∴△AEC为等边三角形，
∴EA＝EC，
而DA＝DC，
∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确；
∴DE⊥AC，
∵AB⊥AC，
∴AB∥DE，
∴∠ABE＝∠BED，
∵AB≠AE，
∴∠ABE≠∠AEB，
∴∠AEB≠∠BED，
∴EB平分∠AED不正确，故错误；所以③错误；
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
由旋转知，AB＝AD
∴△ABD为等边三角形，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】主要考查了垂直平分线的判定，直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积公式，解本题的关键是熟练掌握旋转的性质．
21.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前刘老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①AB＝DC； ②∠ABE＝∠DCE； ③AE＝DE； ④∠A＝∠D
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：
（1）请你写出在抽取的两张纸片上的等式为条件不能判断△BCE是等腰三角形的所有情形：
　①③；②④　；（用序号表示）
（2）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BCE是等腰三角形吗？说说你的理由．
【点拨】（1）将题中条件两两结合，进而判定三角形是否全等，若不能得出全等，即不能得出BE＝CE，则条件不成立，最后总结即可得出结论．
（2）结合图形，利用对顶角相等，得∠AEB＝∠DEC，再根据AAS即可证明△ABE≌△DCE，所以BE＝EC，即△BCE是等腰三角形．
【解析】解：（1）若使△BEC为等腰三角形，即求解BE＝CE即可．
若抽取的两张为①②，则可得出△ABE≌△DCE，∴BE＝EC；
若是①③，AE＝DE，AB＝CD，并不能得出△ABE≌△DCE，∴这种情况不成立；
若是①④，则可得出△ABE≌△DCE，∴BE＝EC；
若是②③，同样可得△ABE≌△DCE，∴BE＝EC；
若是②④，三个角相等，但边长并不一定相等，则不成立，
若是③④，同样可得BE＝EC．
故答案为：①③；②④．
（2）用①，②作为条件能判定△BCE是等腰三角形．
∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，
又∵∠AEB＝∠DEC
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴BE＝EC，即△BCE是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定问题，应熟练掌握．
22.如图，已知AB＝AC，∠ACB＝2∠CAB，点D为BC中点，CE平分∠ACB交AD于点I，交AB于点E．连接BI．
（1）求∠AIC的度数；
（2）求证：△IBE为等腰三角形．
【点拨】（1）根据等边对等角和∠ACB＝2∠CAB得到∠BAC＝36°，可得∠ACB＝72°，根据角平分线的定义求出，再根据三线合一求出∠CAD，最后利用三角形内角和求出结果；
（2）根据三线合一的性质得到AD垂直平分BC，则有BI＝CI，推出∠BID＝∠CID，结合∠AIC求出具体的度数，根据平角的定义求出∠BIE，根据外角的性质求出∠BEI，根据等角对等边即可证明．
【解析】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝2∠CAB，
∴∠BAC+2∠BAC+2∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝36°，
∴∠ACB＝72°，
∵CE平分∠ACB，
∴，
∵点D为BC中点，
∴，
∴∠AIC＝180°﹣∠CAD﹣∠ACI＝126°；
（2）证明：∵AB＝AC，点D为BC中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BI＝CI，
∴∠BID＝∠CID，
∵∠AIC＝126°，
∴∠BID＝∠CID＝180°﹣126°＝54°，
∴∠BIE＝180°﹣∠BIC＝72°，
∵∠BEI＝∠BAC+∠ACB＝72°，
∴∠BIE＝∠BEI，
∴BE＝BI，即△BEI是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质．
23.如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
【点拨】过点D作DG∥AC交BC于点G，根据平行线的性质可得出∠GDF＝∠E、∠DGB＝∠ACB，结合DF＝EF以及∠DFG＝∠EFC可证出△GDF≌△CEF（ASA），根据全等三角形的性质可得出GD＝CE，结合BD＝CE可得出BD＝GD，进而可得出∠B＝∠DGB＝∠ACB，由此即可证出△ABC是等腰三角形．
【解析】证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．
∵DG∥AC，
∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴GD＝CE．
∵BD＝CE，
∴BD＝GD，
∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，根据△GDF≌△CEF找出GD＝CE＝BD是解题的关键．
培优拔尖
24．如图的5个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是 　②⑤　（填序号）．
【点拨】根据等腰三角形的性质，即可．
【解析】解：①过点B作∠B的角平分线，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠C＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，∠BDC＝72°，
∴△ABD和△BCD是等腰三角形，
∴①正确；
②不能分成两个小等腰三角形；
③过点A作∠A的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
∵∠A＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD和△ACD是等腰三角形；
∴③正确；
④把点A分成36°和72°的角，
∴∠BAD＝36°，∠CAD＝72°，
∵∠A＝108°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝36°，
∴∠BAD＝∠B，∠ADC＝∠CAD
∴△ABD和△ACD是等腰三角形；
∴④正确；
⑤不能分成两个小等腰三角形．
∴②⑤不能分成两个小等腰三角形
故答案为：②⑤．
【点睛】本题考查等腰三角形的知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
25.若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2＝ab+ac+bc，试探索△ABC的形状，并说明理由．
【点拨】根据题意化简变形，然后根据化出的关系确定三角形的形状．
【解析】解：△ABC为等边三角形
理由如下：∵a2+b2+c2＝ab+ac+bc
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝0
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（c2﹣2ac+a2）＝0
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0
∴a＝b＝c
∴△ABC为等边三角形．
【点睛】本题考查了式子变形和因式分解等知识．
26.在四边形形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠B＝60°，AC是对角线．
（1）如图1，点E、F分别在边BC、CD上，且BE＝CF．
①求证：△ABE≌△ACF；
②求证：△AEF是等边三角形．
（2）若点E在BC的延长线上，在直线CD上是否存在点F，使△AEF是等边三角形？请证明你的结论（图2备用）．
【点拨】（1）根据AB＝BC，∠ACB＝∠ACF，根据SAS判定：△ABE≌△ACF；
（2）由全等得到AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，因为∠BAE﹣∠CAE＝60°，所以∠CAF﹣∠CAE＝60°，即△AEF是等边三角形．
【解析】（1）证明：
①∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠ACF（2分）
又∵∠B＝60°
∴△ABC是等边三角形（1分）
∴AB＝AC，∠ACB＝60°
∴∠B＝∠ACF（1分）
∵BE＝CF
∴△ABE≌△ACF；（1分）
②由△ABE≌△ACF
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF（2分）
∵∠BAE+∠CAE＝60°
∴∠CAF+∠CAE＝60°，即∠EAF＝60°
∴△AEF是等边三角形．（2分）
（2）答：存在（1分）
证明：在CD延长线上取点F，使CF＝BE
与（1）①同理可证△ABE≌△ACF（2分）
∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF（1分）
∴∠CAF﹣∠CAE＝∠BAE﹣∠CAE，
∴∠EAF＝∠BAC
∵∠BAC＝60°
∴∠EAF＝60°
∴△AEF是等边三角形．（1分）
注：若在CD延长线上取点F，使CE＝DF亦可．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定方法等知识点，做题时要求学生对其灵活运用．
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